MATEMATIKA I (FIS 6111, Wajib, 3 SKS)

Transkripsi

1 MATEMATIKA I (FIS 6111, Wajib, 3 SKS) Kompetensi Umum Sistem bilangan real, fungsi, barisan dan deret bilangan real, Limit dan keontinuan, turunan dan penggunaannya, interpretasi derivatif. Teorema Rolle, Teorema Nilai ratarata, Teorema L Hospital, Teorema Taylor dan penggunaannya. Acuan 1.Purcell dan Varberg; Kalkulus dan Geometri Analitis (terjemahan), Erlangga Leithold; Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik (terjemahan), Erlangga

2 SATUAN ACARA PERKULIAHAN Mata Kuliah : Matematika I Kode : FIS 6111 Bobot SKS Pokok Bahasan : 3 (Tiga) : Sistem bilangan real Sub Pokok Bahasan: Aksioma lapangan Aksioma urutan Aksioma kelengkapan Garis bilangan Sistem koordinat Petaksamaan Nilai Mutlak Alokasi Waktu : 3 x (3 x 50) Menit I. Tujuan PembelajaranUmum Memahami Sistem bilangan real serta mampu menerapkanya dalam masalahmasalah nyata II. Tujuan Pembelajaran Khusus a. Menjelaskan Sistem bilangan real a. Menjelaskan sifat-sifat bilangan nyata b. Menggunakan sifat-sifat bilangan nyata dalam teknik-teknik manipulasi aljabar c. Mengurutkan dua bilangan nyata sebarang d. Menggunakan sifat urutan bilangan nyata untuk memanipulasi bentukbentuk aljabar e. Menyatakan himpunan bagian dari R dalam notasi selang atau sebaliknya f. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksaman aljabar dengan garis bilangan g. Menentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan yang memuat nillai mutlak dengan sifat-sifat nilai mutlak h. Menentukan himpunan penyelesaian nilai mutlak dengan pengkuadratan III. Pokok-pokok materi Sifat-sifat lapangan: 18

3 1. Sifat komutatif. x + y = y + x dan xy = yx 2. Sifat Assosiatif. x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z 3. Sifat distributif. x(y + z) = xy + xz 4. Elemen-elemen identitas. Elemen 0 memenuhi sifat 0 + x = x + 0 = x untuk setiap bilangan x. 0 disebut identitas terhadap penjumlahan. Elemen 1 memenuhi sifat x.1 = 1.x = x untuk setiap bilangan x. Elemen 1 disebut elemen identitat terhadap perkalian. 5. Elemen balikan Setiap bilangan x mempunyai balikan aditif x, yang memenuhi sifat x + ( -x) = 0. Juga setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai balikan perkalian x -1, yang memenuhi sifat xx -1 = 1. Sifat-Sifat urutan : 1. Trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka pasti satu diantara yang berikut berlaku : X < y atau x = y atau x> y 2. Ketransitipan. x < y dan y < z x < z 3. Penambahan. x < y x + z < y + z 4. Perkalian. Bilangan z positif, x < y xz < yz : Bilangan z negatif, x < y xz yz Nilai mutlak suatu bilangan real x, dinyatakan oleh x, didefinisikan sebagai x jika x 0 x x jika x 0 Nilai mutlak dikenalkan melalui konsep jarak pada garis bilangan. Sifat-sifat nilai mutlak 1. ab a b 2. a b a b 3. a b a b 4. a b a b (ketaksamaan segitiga) Ketaksamaan yang menyangkut nilai mutlak 1. x a -a < x < a 2. x a x < -a atau x > a. 3. x y x 2 < y 2 IV. Strategi Pembelajaran a. Metode : Ceramah, diskusi dan penugasan baik di kelas maupun di rumah yang hasilnya segera dikembalikan pada mahasiswa b. Alat : Spidol, penghapus, papan tulis. c. Bahan/.acuan : Kalkulus dan Geomeri Analitik, Purcell, edisi kelima, Bab I 19

4 d. Tugas Terstruktur : Soal-soal Bab I V. Evaluasi Tugas di kelas dan di rumah serta Quiz Mata Kuliah : Matematika I Kode : FIS 6111 Bobot SKS Pokok Bahasan : 3 (Tiga) : Fungsi Sub Pokok Bahasan: Pengertian fungsi (Domain dan Range) Jenis-jenis fungsi (konstan, linear, polinom, rasional) Kesimetrian (fungsi ganjil dan genap) Aljabar fungsi Grafik fungsi Fungsi komposisi Fungsi invers Fungsi Trigonometri Alokasi Waktu : 2 x 3 x 50 Menit I. Tujuan Pembelajaran Umum Memahami fungsi dan grafiknya serta mampu menerapkannya dalam masalah-masalah nyata II. Tujuan Pembelajaran Khusus a. Menjelaskan pengertian fungsi b. Mengidentifikasi suatu fungsi melalui grafik c. Menentukan daerah definisi dan daerah hasil suatu fungsi d. Menentukan rumus dari hasil jumlahan, pengurangan, perkalian dan emagian fungsi-fungsi serta perpangkatan fungsi beserta daerah definisi dan daerah hasilnya e. Menentukan rumus fungsi dari hasil perkalian fungsi dengan skalar beserta daerah definisi dan daerah hasilnya f. Menggambar grafik fungsi yang diberikan dengan cara merajah titik-titik yang memenuhi rumus fungsi yang diberikan g. Menggambar grafik fungsi melalui konsep pergeseran, pencerminan dan perbesaran 20

5 III. Pokok-pokok materi Suatu fungsi f adalah suatu aturan pengawanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan tepat satu nilai dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah nilai (jelajah) fungsi tersebut. Fungsi genap dan fungsi ganjil Jika f(-x) = f(x), maka garafik simetri terhadap sumbu y. Fungsi yang demikian disebut fungsi genap. Jika f(-x) = -f(x), grafik simetri terhadap titik asal. Fugsi yang demikian disebut fungsi ganjil Grafik fungsi Bilamana daerah asal dan daerah nilai sebuah fungsi merupakan bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. Grafik fungsi f adalah himpunan semua titik (x,y) yang memenuhi persamaan y = f(x). Prosedur penggambaran grafik : 1. Dapatkan kordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan 2. Rajah titik-titik tersebut di bidang 3. Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus. Pergeseran grafik melalui fungsi y = f(x-a) + b Yang perlu diperhatikan pada aljabar fungsi adalah daerah asal dari fungsi-fungsi tersebut. IV. Strategi Pembelajaran a. Metode : Ceramah, diskusi dan penugasan baik di kelas maupun di rumah yang hasilnya segera dikembalikan pada mahasiswa b. Alat : Spidol, papan tulis, penghapus c. Bahan/.acuan : Kalkulus dan geomeri analitik, Purcell, edisi kelima, Bab II. d. Tugas Terstruktur : Soal-soal Bab II bagian V. Evaluasi Tugas di kelas dan di rumah serta Quiz 21

6 Mata Kuliah : Matematika I Kode : FIS 6111 Bobot SKS Pokok Bahasan : 3 (Tiga) : Limit dan Kekontinuan Sub Pokok Bahasan: Pengertian limit secara intuisi Imit di satu titik Limit sepihak Teorema limit Teorema Apit Limit tak hingga dan di takhingga Kekontinuan fungsi Fungsi-fungsi yang kontinu Alokasi Waktu : 3 x (3 x 50) Menit I. Tujuan Pembelajaran Umum a. Memahami pengertian limit fungsi b. Memahami pengertian fungsi kontinu II. Tujuan Pembelajaran Khusus a. Menjelaskan pengertian limit, termasuk limit-limit sepihak, secara intuisi pada suatu titik melalui contohfungsi sederhana dengan memakai tabel nilai fungsi atau grafik fungsi b. Menggunakan teorema limit untuk menentukan limit fungsi c. Memeriksa eksistensi limit fungsi pada suatu titik dengan menggunakan limit sepihak d. Menjelaskan pengertian kekontinuan fungsi di suatu titik dengan definisi limit fungsi e. Memeriksa kekontinuan fungsi di suatu titik dengan definisi limit fungsi f. Menjelaskan kekontinuan suatu fungsi di suatu titik hasil dari operasi fungsi fungsi dengan teorema kekontinuan fungsi g. Memeriksa kekontinuan suatu fungsi pada selang III. Pokok-pokok materi Pengertian limit secara intuisi : Untuk mengatakan bahwa bahwa lim f ( x) L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L. 22

7 Limit sepihak. lim f ( x) L sebelah kanan c, maka f(x) dekat ke L. berarti bahwa bilamana x dekat dan di lim f ( x) L dekat dan di sebelah kiri c, maka f(x) dekat ke L. lim f ( x) L jika dan hanya jika lim f ( x) = lim f ( x) L berarti bahwa x Teorema limit utama Andaikan n bilangan positif, k konstanta, dan fdan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka 1. limk k 2. lim x c 3. limkf ( x) k lim f ( x) 4. lim[ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( x) 5. lim[ f ( x) g( x)] (lim f ( x)(lim g( x)) f ( x) lim f ( x) lim asalkan lim g( x) 0 g( x) lim g( x) lim[ n n f ( x)] [lim f ( x)] 8. lim n f ( x) n lim f ( x) asalkan lim f ( x) 0 bilamana n genap. Fungsi f dikatakan kontinu di c jika ada selang terbuka disekitar c yang terkandung dalam daerah asal f dan memenuhi lim f ( x ) f ( c ) Teorema-teorema yang menyangkut kekontinuan fungsi, termasuk kekontinuan fungsi sebagai hasil operasi fungsi-fungsi Fungsi polinom, fungsi rasional kontinu disetiap bilangan real c dalam daerah asalnya, kecuali dimana penyebutnya nol. IV. Strategi Pembelajaran a. Metode : Ceramah, diskusi dan penugasan baik di kelas maupun di rumah yang hasilnya segera dikembalikan pada mahasiswa b. Alat : tidak ada c. Bahan/.acuan : Kalkulus dan geomeri analitik, Purcell, edisi kelima, Bab II d. Tugas Terstruktur : Soal-soal Bab II bagian

8 V. Evaluasi Tugas di kelas dan di rumah serta Quiz 24

9 Mata Kuliah : Matematika I Kode : FIS 6111 Bobot SKS Pokok Bahasan : 3 (Tiga) : Turunan Sub Pokok Bahasan: Fenomena turunan (dua masalah dengan satu tema) Definisi turunan sekaligus notasi Leibniz Turunan sepihak Turunan pada selang Aturan mencari turunan Aturan rantai Turunan tingkat tinggi Teorema nilai rata-rata Teorema L Hospital Turunan fungsi implisit Hampiran Laju yang berkaitan Alokasi Waktu : 4 x (3 x 50) Menit I. Tujuan Pembelajaran Umum Memahami pengertian turunan serta mampu menginterpretasikannya dalam berbagai masalah nyata II. Tujuan Pembelajaran Khusus a. Menjelaskan konsep turunan dengan menggunakan fenomena laju pertumbuhan populasi, gradien garis singgung dan kecepatan sesaat b. Menentukan turunan pertama, gradien garis singgung dan kecepatan sesaat suatu fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi turunan pertama c. Memeriksa kaitan antara turunan pertama dengan kekontinuan fungsi di suatu titik d. Menggunakan aturan-aturan turunan untuk menentukan turunan fungsi di suatu titik, termasuk aturan turunan fungsi eksponen dan logaritma asli, dan aturan turunan sinus dan kosinus uttuk menentukan fungsi trigonometri yang lain e. Menyajikan aturan rantai baik dalam notasi fungsional maupun notasi Leibnitz untuk turunan fungsi komposisi f. Menggunakan aturan rantai untuk menentukan turunan suatu fungsi yang diperolehdari komposisi dua fungsi atau lebih 25

10 g. Menjelaskan pengertian turunan tigkat tinggi dari suatu fungsi h. Menentukan turunan tingkat tinggi (kedua, ketiga, dst.) dari sutu fungsi i. Menggunakan turunan tingkat tinggi dalam menentukan kecepatan dan percepatan gerak suatu benda j. Menjelaskan fungsi implisit dan eksplisit k. Menentukan turunan fungsi implisit dengan menngunakan aturan rantai III. Pokok-pokok materi Fenomena turunan : Dua masalah satu tema (gradien garis singgung dan kecepatan sesaat) Definisi turunan : Turunan fungsi f adalah fungsi lain (dibaca f aksenƒ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah f ( c h) f ( c) f '( c) lim h 0 h asalkan limit ini ada. Aturan mencari turunan 1. Aturan fungsi konstanta 2. Aturan fungsi identitas 3. Aturan pangkat 4. Aturan kelipatan konstanta 5. Aturan jumlah 6. Aturan selisih 7. Aturan hasil kali 8. Atturan hasil bagi (Yang sederhana boleh dibuktikan) Turunan fungs-fungsi y = sin x, y = cos x, y = e x dan y = ln x langsung diberikan tanpa pembuktian. Aturan rantai : Andaika y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposit y = f(g(x)) = (f g)(x). Jika g terdifferensial di x dan f terdifferensialkan di u = g(x), maka f g terdifferensialkan di x dan (f g)(x) = f (g(x) g (x) yakni, D x y = D y u D x u IV. Strategi Pembelajaran a. Metode : Ceramah, diskusi dan penugasan baik di kelas maupun di rumah yang hasilnya segera dikembalikan pada mahasiswa b. Alat : tidak ada c. Bahan/.acuan : : Kalkulus dan geometri analitik, Purcell, edisi kelima, Bab III d. Tugas Terstruktur : Soal Bab III bagian

11 V. Evaluasi Tugas di kelas dan di rumah serta Quiz 27

12 Mata Kuliah : Matematika I Kode : FIS 6111 Bobot SKS Pokok Bahasan : 3 (Tiga) : Penggunaan Turunan Sub Pokok Bahasan: Keujudan maksimum dan minimum Teorema titik kritis Kemonotonan fungsi Kecekungan fungsi Maksimum dan minimum (lokal dan global) Limit-limit di ketakhinggaan, limit-limit tak hingga Menggambar grafik canggih Alokasi Waktu : 2 x (3 x 50) Menit I. Tujuan Pembelajaran Umum Memahami penggunaan turunan II. Tujuan Pembelajaran Khusus a. Menjelaskan pengertian maksimum dan minimum (lokal dan global) dari suatu fungsi b. Menentukan titik-titik kritis suatu fungsi c. Menentukan nilai ekstrim global dengan membandingkan nilai fungsi di titik-titik kritisnya d. Menjelaskan pengertian fungsi naik, turun dan monoton murni e. Menentukan selang kemonotonan suatu fungsi dengan memeriksa turunan pertamanya f. Menjelaskan pengertian kecekungan suatu fungsi g. Menentukan selang kecekungan dan titik balik suatu fungsi dengan memeriksa turunan keduanya h. Menjelaskan pegertian maksimum dan minimum lokal dari suatu contoh masalah sederhana i. Menentukan nilai ekstrim lokal dari suatu fungsi dengan menggunakan contoh ilustrasi sederhana j. Menentukan nilai ekstrim lokal dari suatu fungsi yang diberikan dengan menggunakan uji turunan pertama dan kedua 28

13 k. Menentukan limit-limit di ketakhinggaan dan limit takhingga untuk fungsi-fungsi sederhana l. Menggunakan limit di ketakhinggaan dan limit tak hingga untuk menentukan asimtot (datar, tegak, miring) suatu fungsi m. Merumuskan dan menyelesaikan masalah-masalah praktis yang berkaitan dengan masalah nilai ekstrim. III. Pokok-pokok materi Andaikan S daerah asal f memuat titik c. Kita katakan bahwa : 1. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jka f(c) f(x) untuk semua x di S 2. f(c) adalah nilai minimum f pada S jka f(c) f(x) untuk semua x di S 3. f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum Keujudan maksimum dan minimum : jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum Teorema titik kritis : Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslahsuatu titik kritis; yakni c berupa salah satu : 1. Titik ujung dari I 2. Titik stationer dari f (f (c) = 0) 3. Titik singular dari f (f (c) tidak ada) Teorema kemonotonan : Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didefferensialkan pada setiap titik dalam dari I. 1. Jika f (x) > 0 untuk semua titik dalam I, maka f naik pada I. 2. Jika f (x) < 0 untuk semua titik dalam I, maka f turun pada I. Teorema kecekungan : Andaikan f terdifferensial dua kali pada selang terbuka (a,b). 1. Jika fƒ(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b). 2. Jika fƒ(x) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b). Andaikan S daerah asal f yang memuat c. Kita katakan bahwa 1. f(c) nilai maksimum lokal f pada selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada [a,b] S. 2. f(c) nilai minimum lokal f pada selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada [a,b] S. 3. f(c) adalah nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal Limit tak hngga dan limit di tak hingga langsung dengan contoh-contoh. IV. Strategi Pembelajaran 29

14 a. Metode : Ceramah, diskusi dan penugasan baik di kelas maupun di rumah yang hasilnya segera dikembalikan pada mahasiswa b. Alat : tidak ada c. Bahan/.acuan : Kalkulus dan geomeri analitik, Purcell, edisi kelima, Bab IV d. Tugas Terstruktur : Soal-soal Bab IV bagian V. Evaluasi Tugas di kelas dan di rumah serta Quiz 30