ABJAD YUNANI Huruf Yunani Nama Yunani Aksara Latin ekivalen Α α alpha A a Β β beta B b Γ γ gamma G g δ delta D d Ε ε epsilon Ĕ ĕ Ζ ζ zeta Z z Η η eta

Transkripsi

1

2

3

4

5

6 ABJAD YUNANI Huruf Yua Nama Yua Aksara Lat ekvale Α α alpha A a Β β beta B b Γ γ gamma G g δ delta D d Ε ε epslo Ĕ ĕ Ζ ζ zeta Z z Η η eta Ē ē Θ θ theta Th th Ι ι ota I Κ κ kappa K k Λ λ lambda L l Μ µ mu M m Ν ν u N Ξ ξ X Ο ο omcro Ŏ ŏ Π π p P p Ρ ρ rho R r Σ σ sgma S s Τ τ tau T t Υ υ upslo Y y Φ φ ph Ph ph Φ χ ch Ch ch Ψ ψ ps Ps ps Ω ω omega Ō ō

7 METODE STATISTIKA Joha Harla

8 Metode Statstka Peuls : Joha Harla ISBN Cetaka Pertama, 004 Dterbtka pertama kal oleh Guadarma Jl Margoda Raya No 00, Podokca, Depok 644 Telp , Faks e-mal : sektor@guadarmaacd Hak Cpta dldug udag-udag Dlarag megutp atau memperbayak dalam betuk apapu sebaga atau seluruh s buku tapa j tertuls dar peerbt

9 KATA PENGANTAR Pemberlakua kurkulum berbass kompetes sedkt bayak memerluka peyesuaa cara peyampaa mater pegajara Statstka d tgkat Pergurua Tgg Is buku-buku Metode Statstka sedapat mugk dsesuaka dega slabus yag dguaka utuk perkulaha Statstka d jejag S, sela dupayaka utuk megguaka cara peyampaa yag dharapka lebh memudahka pembaca utuk mecera mater yag dpelajar Ser buku-buku Metode Statstka terdr atas empat buku, yatu buku teks Metode Statstka, buku teks Metode Statstka, buku jawaba soal-soal latha Metode Statstka, da buku jawaba soal-soal latha Metode Statstka Mater yag dberka terutama dtujuka utuk perkulaha Statstka selama dua semester d jejag S, tapa memerluka peguasaa matematka lebh lajut sela yag telah dperoleh d tgkat SMU Buku teks Metode Statstka memuat mater Statstka Deskrptf, pegatar teor probabltas, serta pegeala terhadap beberapa dstrbus probabltas yag petg dalam Statstka Terapa Buku teks Metode Statstka bers mater megea Iferes Statstk, yatu estmas parameter da uj hpotess, termasuk dega megguaka Statstka No- Parametrk Kepada semua phak yag telah membatu terlaksaaya peerbta buku-buku, peuls meyampaka terma kash yag sebesar-besarya Peuls juga sagat megharapka sara, krtk, da koreks dar pembaca dem perbaka pada peerbta selajutya Joha Harla Ju 004 v

10

11 DAFTAR ISI Kata Pegatar Daftar Is v v Bab Pedahulua Kosep Statstka Notas Sgma 5 Lampra A Pera Statstka dalam Ilmu Pegetahua 9 Lampra B Skala Pegukura 0 Lampra C Cotoh-cotoh Pegguaa Notas Sgma Latha 3 Bab Pergkasa Data 9 T a b e l 9 G r a f k 6 Lampra A Baga-baga Tabel 3 Latha 33 Bab 3 Ukura Statstk 37 3 Ukura Pusat (Nla Tegah) 37 3 Ukura Peyebara 5 Lampra 3A Ukura Pusat pada Dstrbus Smetrs da Asmetrs Lampra 3B F r a k t l 63 Lampra 3C Notas ( ) da ( ) 6 65 Lampra 3D Dagram Kotak 66 v

12 Latha 3 69 Bab 4 P r o b a b l t a s 75 4 Kosep Dasar Probabltas 75 4 Probabltas Perstwa Pecacaha Ruag Sampel 83 Lampra 4A Salg Asg da Idepede 88 Lampra 4B Teorema Bayes 90 Latha 4 93 Bab 5 Dstrbus Teorets 00 5 Kosep Dasar Dstrbus Probabltas 00 5 Dstrbus Probabltas Dskret Dstrbus Probabltas Kotu 9 Lampra 5A Lampra 5B Lampra 5C Lampra 5D Ragkuma Parameter Dstrbus Probabltas Beberapa Cotoh Pegguaa Dstrbus Probabltas Dskret Nla Stadar (Nla Baku, Varabel Stadar Z) Beberapa Cotoh Pegguaa Dstrbus Normal Lampra 5E Iterpolas Lear 43 Latha 5 45 v

13 Bab 6 S a m p l g 5 6 Dstrbus Samplg 5 6 Metode Samplg 57 Lampra 6A Lampra 6B Dstrbus X, Dstrbus X, da Dstrbus Trasformas X Populas, Galat Acak, da Galat Sstematk Lampra 6C Strata da Klaster 7 Lampra 6D Cotoh Pegguaa Keempat Metode Samplg 73 Latha 6 83 Kepustakaa 89 Addeda 9 Addedum A Program Komputer Statstk 9 Addedum B Dstrbus Probabltas Bomal 93 Addedum B Probabltas Bomal Kumulatf 00 Addedum C Dstrbus Probabltas Posso 05 Addedum C Probabltas Posso Kumulatf Addedum D Dstrbus Normal Stadar 3 Addedum E Nla Krts Dstrbus t 5 Addedum F Blaga Acak 6

14

15 BAB PENDAHULUAN KONSEP STATISTIKA Metode Statstka adalah tekk tetag pegumpula data, peyaja data, aalss data, da pegambla kesmpula dar data yag berhasl dhmpu tersebut Istlah statstka berasal dar kata status (= state), yag berart egara, karea pada awal mula perkembagaya Statstka dguaka utuk megurus hal-hal yag berkata dega peyeleggaraa egara Statstka dbedaka mejad: Statstka Matematka: mempelajar dasar-dasar matematka bag berbaga aalss statstk serta megembagka tekk-tekk baru Statstka secara matematk Statstka Terapa: mempelajar peerapa da pegguaa Statstka dalam berbaga bdag lmu pegetahua Statstka Terapa terbag atas dua baga, yatu: a Statstka Deskrptf: seragkaa tekk yag melput pegumpula, peyaja, da pergkasa data b Statstka Iferes: seragkaa tekk utuk megkaj, meaksr, da megambl kesmpula berdasarka sebaga data (data sampel) yag dplh secara acak dar seluruh data yag mejad subjek kaja (populas) Populas da Sampel Populas adalah hmpua seluruh objek yag g dketahu besara karakterstkya Sampel adalah hmpua baga populas yag memlk karakterstk yag sama dega karakterstk populasya

16 Parameter da Statstk Parameter (parameter populas) adalah ukura-ukura tertetu yag dguaka utuk meggambarka suatu populas Statstk (statstk sampel) adalah ukura-ukura tertetu yag dguaka utuk meggambarka suatu sampel Nla statstk merupaka peaksr (estmator) bag la parameter, yag la sesugguhya tdak perah dketahu besarya Istlah statstk memlk pegerta yag berbeda dega statstka Statstka (statstcs) adalah lmu atau metode utuk pegolaha da aalss data, sedagka statstk (statstc) adalah la (ukura) yag dperoleh dar sampel D a t a Data merupaka kumpula fakta atau agka atau segala sesuatu yag dapat dpercaya kebearaya, sehgga dapat dguaka sebaga dasar meark suatu kesmpula V a r a b e l Varabel adalah karakterstk usur yag mejad perhata da memlk la-la yag berbeda-beda Data prmer da data sekuder Data prmer adalah data yag dperoleh lagsug dar objek yag g dketahu karakterstkya Data sekuder adalah data yag tdak dperoleh lagsug dar objek yag g dketahu karakterstkya, melaka dar sumber la yag telah megumpulkaya terlebh dahulu Data kuattatf da kualtatf Data kuattatf (data umerk) adalah karakterstk suatu varabel yag la-laya dyataka dalam betuk umerk Data kualtatf (data kategork) adalah karakterstk suatu varabel yag la-laya dyataka dalam betuk o-umerk atau atrbut-atrbut

17 Data kuattatf dbedaka mejad data dskret da data kotu: - Data dskret adalah karakterstk suatu varabel yag berasal dar proses pecacaha (coutg) da berupa blaga bulat Cotoh: jumlah aak respode bu rumah tagga, jumlah ses perkulaha Statstka yag dkut oleh respode mahasswa, da sebagaya - Data kotu adalah karakterstk suatu varabel yag berasal dar proses pegukura (measuremet) da la-laya berada dalam suatu terval atau retag tertetu Nla-la data kotu dapat berupa blaga pecaha yag tak terhgga bayakya Cotoh: tgg bada respode, berat bada respode, da sebagaya Skala pegukura - Skala omal: data yag dhmpu dapat dbedaka mejad beberapa kategor tapa memperhatka uruta tertetu Cotoh: suku bagsa, agama, da sebagaya - Skala ordal: data yag dhmpu dapat dbedaka mejad beberapa kategor yag berbeda dega memperhatka uruta Cotoh: status sosal ekoom (tgg-meegah-redah), kepagkata dalam mlter (perwra-btara-tamtama), da sebagaya - Skala terval: data yag dhmpu dapat dletakka dalam skala dega jarak (terval) atara dua ttk skala dketahu da skala tersebut tdak memlk ttk ol mutlak (ttk pusat) Cotoh: taggal lahr, suhu tubuh dalam skala Celcus, da sebagaya - Skala raso: data yag dhmpu dapat dletakka dalam skala dega jarak atara dua ttk skala dketahu da skala tersebut memlk ttk ol mutlak Cotoh: usa, suhu ruag dalam skala Kelv, da sebagaya Data omal da ordal tergolog dalam data kualtatf (kategork), sedagka data terval da raso merupaka data kuattatf (umerk) Data kualtatf dega dua kategor dsebut sebaga data bomal (dkotom, bary), yag selalu tergolog dalam data omal Cotoh data 3

18 bomal atara la jes kelam (pra-wata), hasl uja (lulus-gagal), da sebagaya Data kualtatf dega lebh darpada dua kategor damaka data poltom Data poltom mugk berupa data omal ataupu ordal Sfat-sfat skala pegukura Dalam urutaya, skala raso merupaka skala pegukura yag tertgg, sedagka skala omal merupaka skala pegukura yag teredah Rgkasa sfat-sfat keempat skala pegukura tersebut dapat dlhat pada matrks berkut Tampak bahwa sfat tap skala yag lebh redah selalu juga aka dmlk oleh skala yag lebh tgg Skala pegukura Matrks Sfat-sfat keempat skala pegukura data = Dapat dtetuka j atau j < = j, j, atau > j Nla terval ) ( Dapat dblag j Nla raso / ) Raso Iterval Ordal + + Nomal + ( j 4

19 NOTASI SIGMA Atura sumas Atura Jka = k, suatu la kosta (yatu la yag tdak berubah dega ), maka: = = k = k + k + + k = k = = k () = Atura Jka k suatu kostate, maka: Atura 3 k = k = + k + + k = k ( ) = k k = k () = = = ( + y ) = ( + y ) + ( + y ) + + ( + y ) = = ( ) + ( y + y + + y ) = ( + y ) = = + = + = = y y (3) = 5

20 6 Cotoh ( ) k = + = ( ) k k = + + = = + ( ) k = + k =, atura 3 = = + k = + k, atura da ( ) y = + = ( ) y y = + + = = + y = + y =, atura 3 da 3 ( ) a by = + = a = + by =, atura 3 = a = + b y =, atura 4 ( ) = = ( ) = = = =, atura 3 5 ( )( ) = + = ( ) = = = =, atura 3

21 =, atura = Sumas Gada maka: atau: Msalka dmlk m kuattas j, =,,, m da j =,,, ; m m m m j = j= = m j = j= = m = j= m = j= j j Msalka A j = aj y j, =,,, m da j =,,,, a y a y a a y a y a am m y am m y am m y y y maka: m aj y j = = j= m j= = a y j j 7

22 ,, Msalka A j = aj j da Aj = = a + a + + a a a b, =,,, m da j =,, a = b = b am + am + + am = b m maka: da: aj j = b = m aj j = = j= m = b 8

23 LAMPIRAN A: PERAN STATISTIKA DALAM ILMU PENGETAHUAN Dagram Proses lmah meurut Wallace Dagram Sklus metodolog lmu pegetahua (Popper) 9

24 LAMPIRAN B: SKALA PENGUKURAN Dagram Algortma pemerksaa skala pegukura 0

25 LAMPIRAN C: CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN NOTASI SIGMA Cotoh : 5 = = 4 y j = j= 3 k k = 0 y + y 3 + y 4 z = z 0 + z + z + z 3 3 ( a + b ) = ( a + b ) + ( a + b ) + ( a + b 3 ) = 5 ( a + by ) = ( a 3 + by3 ) + ( a4 + by4 ) + ( a5 + by5 ) = 3 ( a + b)( c + d ) = ( a + b )( c + d ) + ( a + b)( c + d ) = 3 = = ( a y ) a y + ay + a3 y 3 ( a + b + c) = ( a + b + c) + ( a + b + c) = 3 ( a + b)( c + d ) = ( a + b )( c + d ) + ( a b)( c d ) = ( a + b)( c + d )

26 Cotoh : X = = 340 = 5 = = = ( 3 + 7) ( + 3) = = 5 5 = ( ) = = 65 = 3,350 7 = (3)(340) + (5)(7) =,055 = 5 5 = = = = (4)(3,350) + ()(340) + (5)(9) = 97, = 5 5 = ( 6) = = ( + 4)( 4) 5 = = = 3,350 (5)(6) = 3,70 5 = 6 Catata: = = m j = = j= m j = = j= m + m j + + m j

27 LATIHAN Baga Pertama Plhlah satu jawaba yag palg bear! Ukura-ukura tertetu yag medeskrpska karakterstk suatu populas, yag la sesugguhya umumya tdak dketahu dega past damaka: A Statstk C Varabel B Parameter D Kostate Ukura-ukura tertetu yag laya dperoleh dar sampel damaka: A Statstk C Varabel B Parameter D Kostate 3 Cabag Statstka yag mempelajar tetag pegkasa data yag dperoleh dar suatu kelompok objek damaka: A Statstka matematk C Statstka deskrptf B Statstka terapa D Statstka feres 4 Cabag Statstka yag mempelajar tetag metode utuk meggeeralsaska hasl temuaya terhadap kelompok objek yag lebh luas damaka: A Statstka matematk C Statstka deskrptf B Statstka terapa D Statstka feres 5 Peraa metodolog statstka dalam peerapa metode lmah alah pada tahap: A Peetua tujua C Aalss data B Pegumpula formas D Semuaya bear 3

28 6 Yag tergolog dalam data kualtatf alah: A Data omal da ordal B Data terval da raso C Data dskret da kotu D Data kategork da umerk 7 Yag tergolog dalam data kuattatf alah: A Data omal da ordal B Data terval da raso C Data dskret da kotu D Data kategork da umerk 8 Cotoh data dskret d atara yag tersebut d bawah yatu: A Lama hdup tkus pwercobaa yag telah dagkat kelejar aak gjalya B Curah huja tahua d Kota Jakarta C Jumlah motor yag dparkr setap har d halama kampus Guadarma Podokca D Baya hdup rata-rata bulaa mahasswa Guadarma 9 Cotoh data kotu d atara yag tersebut d bawah yatu: A Jumlah gg sehat tapa kares pada aak TK B Bayak peluru kedal yag dtembakka pasuka koals per har selama Perag Teluk I C Nla tes esa bahasa Iggrs mahasswa D Jumlah kemata akbat kecelakaa lalu ltas per bula d jala tol Jagoraw 0 Data yag dperoleh lagsug dar subjek yag g dketahu karakterstkya damaka: A Data dskret C Data prmer B Data raso D Data sekuder 4

29 Data yag dperoleh dar phak ketga, yag basaya telah dkumpulka sebelumya utuk keperlua la dar subjek yag hedak dpelajar damaka: A Data dskret C Data prmer B Data raso D Data sekuder Luas lata berbaga tpe rumah dsebuah real estate merupaka cotoh data: A Nomal C Iterval B Ordal D Raso 3 Hasl pegukura IQ ( tellgece quotet ) merupaka cotoh data: A Nomal C Iterval B Ordal D Raso 4 Jumlah halama pada buku-buku d sebuah perpustakaa merupaka cotoh data: A Ordal da dskret C Raso da dskret B Ordal da kotu D Raso da kotu 5 Nla IPK mahasswa semester akhr Guadarma merupaka cotoh data: A Ordal da dskret C Raso da dskret B Ordal da kotu D Raso da kotu 6 Cotoh d bawah merupaka data berskala ordal, kecual: A Jes kelam subjek B Kelompok usa subjek C Gologa kepagkata pada PNS D Status socal-ekoom respode 5

30 7 Cotoh berkut adalah data berskala terval, kecual: A Taggal ulag tahu sswa kelas 3 SMU Btag Kejora B Rata-rata suhu luar-rumah hara d Jakarta yag dyataka dalam skala Celcus C Usa peduduk Desa Tamasar pada HUT terakhrya D Semua merupaka cotoh data berskala terval 8 Cotoh data berskala raso d atara plha d bawah adalah: A Suhu dalam skala Celcus C Suhu dalam skala Kelv B Suhu dalam skala Fahrehet D Semuaya bear 9 Plhlah peryataa yag bear: A Semua sfat skala terval dmlk oleh skala raso B Semua sfat skala ordal dmlk oleh skala omal C Semua sfat skala terval dmlk oleh skala ordal D Semua sfat skala raso dmlk oleh skala terval 0 Yag tdak bear d atara peryataa berkut alah: A B k = k; k kostate C ( y ) = y = = = = k = k D ( + y ) = + y = = = = = 6

31 Baga Kedua Plhlah satu jawaba yag palg bear! Utuk soal No sd 3: Msalka =, = 3, 3 = 5, 4 = 8, da 5 = 6 5 = = A C 3 B D 4 5 ( 3 5) = + = A 64 C 84 B 74 D ( )( 3) = + = A 96 C 7 B 03 D 4 Baga Ketga Selesakalah soal-soal berkut: Dalam suatu eksperme, delapa orag aak dber maka dega meu tertetu selama satu bula Agka-agka berkut meujukka tambaha berat bada (dalam os) Aak Tambaha berat

32 Htuglah: 5 A ( ) B E ( 8) = = 8 = 8 8 = F ( 0) 8 5 G = C ( 8) D 8 8 H = = 8 = 5 = 0 8 Data dalam tabel d bawah meujukka umur beberapa pasaga pegat yag melakuka perkaha pada tahu bula Jul 999 d Kecamata Depok Pasaga () Umur pra ( ) Umur wata ( y ) Htuglah: A 8 8, y, da = = 8 = y B 8, = 8 8 y, = C ( + y ) = 8 D ( ) = + y 8, 8 y, 8 = = = 8 = y 8 E ( + 5y ) = 8

33 BAB PERINGKASAN DATA Pergkasa data dapat dlakuka secara tabular (peyaja tabel), secara grafkal (peyaja grafk), da secara umerk (peyaja agka) Dalam baga aka dbahas megea pergkasa data secara tabular da grafkal TABEL Dstrbus Frekues Tabel Rca la skala Depres MMPI- 50 mahasswa Pskolog Guadarma Data yag dsajka datas dkataka sebaga data metah (raw data) Seyogyaya data tersebut dsusu dar agka terkecl hgga agka terbesar: Tabel Rca la terurut skala Depres MMPI- 50 mahasswa Pskolog Guadarma Dstrbus frekues serg dsebut sebaga tabel frekues Cotohya dperlhatka pada tabel 3 9

34 Tabel 3 Dstrbus frekues berat bada 64 mahasswa Pskolog Guadarma 003 Berat bada (kg) Frekues Jumlah 64 Beberapa stlah: a Kelas / kelompok data Jumlah kelas: basaya 5 sd 5 Atura Sturges (dbaca: ster -jes): Jumlah kelas = + 33 log () Atura Sturges haya dguaka jka secara substatf meurut bdag lmu yag bersagkuta belum ada kategorsas baku bag varabel yag data-ya hedak dtabelka b Iterval kelas Adalah jarak atara kelas yag satu dega laya secara beruruta Iterval kelas = Retag + Jumlah kelas 0 () Retag adalah beda atara la data terbesar dega la data terkecl c Batas kelas da tep batas kelas Batas-batas kelas (class lmts) adalah dua agka yag djadka sebaga pembatas kelas, terdr atas batas kelas atas da batas kelas bawah Kelas IV Kelas V o o Batas kelas atas kelas keempat Batas kelas bawah kelas kelma Dagram Batas kelas atas da bawah dega gars blaga utuk data pada tabel 3

35 tep batas Kelas IV kelas Kelas V o o o Batas kelas atas Batas kelas bawah kelas keempat kelas kelma Dagram Tep batas kelas (class boudares ) dega gars blaga utuk data pada tabel 3 Cotoh dstrbus frekues dega tep batas kelas sebaga batas kelas: Tabel 4 Dstrbus berat bada 64 mahasswa Pskolog Guadarma 3003 tep batas kelas sebaga batas kelas Berat bada (kg) Frekues Jumlah 64 d Ttk tegah Ttk tegah setap kelas djadka peaksr data asl yag sudah hlag sebaga akbat proses pegelompoka Cotoh dstrbus frekues dega ttk tegah: Tabel 5 Dstrbus berat bada 64 mahasswa Pskolog Guadarma 003 dega ttk tegah Batas-batas kelas Tep-tep batas kelas Ttk-ttk tegah Frekues Jumlah 64

36 Lagkah-lagkah peyusua dstrbus frekues: a Meetuka jumlah kelas: Utuk cotoh tabel = 50 Dega atura Sturges: Jumlah kelas = + 33 log 50 = kelas b Meetuka terval kelas Retag agka data terbesar dega agka terkecl adalah: 37 6 = Iterval kelas = [Retag kelas + ] : jumlah kelas = : 7 = 34 4 (dbulatka ke atas) c Meyusu kelas-kelas data Tabel 6 Batas kelas bawah da batas kelas atas Batas kelas bawah Batas kelas atas d Memasukka data Semua agka data harus dapat dmasukka tapa megalam keraguragua Pemasuka data dpermudah dega membuat tally (meld) terlebh dahulu Tabel 7 Dstrbus frekues la skala Depres MMPI- 50 mahasswa Pskolog Guadarma 003 proses meld Nla skala D Tally Frekues 3-6 // 7-0 ///// // 7-4 ///// ///// ///// //// ///// ///// // 9-3 ///// /// / / Jumlah 50

37 Hasl peyusua dstrbus frekues: Tabel 8 Dstrbus frekues la skala Depres MMPI- 50 mahasswa Pskolog Guadarma 003 Nla skala D Frekues Jumlah 50 (<): Batas atas dapat juga dyataka dega smbol lebh kecl darpada Tabel 9 Dstrbus frekues la skala Depres MMPI- 50 mahasswa Pskolog Guadarma 003 batas atas dega smbol lebh kecl darpada Nla skala D Frekues D < 7 7 < D < 7 < D<5 9 5 < D < 9 9 < D < < D < 37 D > 37 Jumlah 50 Dstrbus Frekues Relatf Frekues data dyataka dega blaga relatf (propors atau persetase) Cotoh: 3

38 Tabel 0 Dstrbus frekues la skala Depres MMPI- 50 mahasswa Pskolog Guadarma 003 Nla skala D Persetase D < 7 4 % 7 < D < 4 % < D<5 38 % 5 < D < 9 4 % 9 < D < 33 6 % 33 < D < 37 % D > 37 % Jumlah 00 % Dstrbus Frekues Kumulatf Dstrbus frekues kumulatf dbedaka mejad dua: Dstrbus frekues kumulatf kurag darpada (KDP) Dstrbus frekues kumulatf sama atau lebh darpada (LDP) Tabel Peyusua dstrbus frekues kumulatf tpe KDP < 7 < < 5 < 9 < 33 < 37 < = = = = = = 50 4

39 Dstrbus frekues kumulatfya adalah: Tabel Dstrbus frekues la skala Depres MMPI- 50 mahasswa Pskolog Guadarma 003 Nla skala D Frekues kumulatf < 7 < 9 < 5 8 < 9 40 < < < 4 50 Cotoh peyusua dstrbus frekues kumulatf tpe sama atau lebh darpada : Tabel 3 Peyusua dstrbus frekues kumulatf tpe sama atau lebh darpada Hasl akhrya adalah: > 3 > 7 > > 5 > 9 > 33 > = = = = + 8 = 0 + = Tabel 4 Peyusua dstrbus frekues kumulatf la skala Depres MMPI- 50 mahasswa Pskolog Guadarma 003 tpe sama atau lebh darpada Nla skala D Frekues kumulatf > 3 50 > 7 48 > 4 > 5 > 9 0 > 33 > 37 5

40 GRAFIK Hstogram Frekues: Hstogram merupaka peyaja secara grafkal data yag ada pada tabel dstrbus frekues Hstogram umumya dguaka utuk data kuattatf (umerk) yag dkategorsaska Dagram 3 Hstogram la skala Depres MMPI- 50 mahasswa Pskolog Guadarma 003 Agka-agka pada sumbu horzotal dapat dambl dar: - Tep-tep batas kelas (class boudares), atau: - Batas-batas kelas (class lmts) Polgo Frekues Sama sepert hstogram, haya pada polgo frekuesya dlukska dalam betuk gars yag meghubugka tap ttk tegah pucak masgmasg kelas Polgo frekues utuk data pada tabel 8 adalah: 6

41 Dagram 4 Polgo frekues la skala Depres MMPI- 50 mahasswa Pskolog Guadarma 003 Ogve Dstrbus frekues kumulatf dapat dsajka dalam betuk dagram yag damaka ogve Ogve utuk tabel adalah: Dagram 5 Ogve la skala MMPI- 50 mahasswa Pskolog Guadarma 003 7

42 Dagram Batag (bar chart) Basaya dguaka utuk data kategork ordal Berbeda dega hstogram, pada dagram batag atara batag yag satu dega yag berkutya ddapatka celah (gap) Dagram 6 Tgkat peddka 00 respode Stud Jatug Hoolulu, 969 Dagram Lgkar (pe chart) Basaya dguaka utuk data kategork omal 8

43 Dagram 7 Asal fakultas 8 mahasswa Stud Nyer Kepala Guadarma, 003 Dagram Batag-da-Dau: Dagram batag-da dau (stem-ad-leaf) merupaka kombas atara hstogram dega peyaja data dvdual secara umerk Utuk agka dua dgt, puluha djadka batag da satua djadka dau Dar cotoh data pada tabel 5 d bawah dhaslka dagram batagda-dau sepert terlhat pada dagram 8 Tabel 5 Cotoh data yag telah durut utuk pembuata dagram batag-da dau

44 4* 59 5* * * * * 346 Dagram 8 Dagram batag-da-dau yag dhaslka dar data pada tabel 5 30

45 LAMPIRAN A BAGIAN-BAGIAN TABEL Judul (ttle) - dtempatka d atas tabel - memberka deskrps yag sgkat da eksplst megea s tabel - terdr atas: a omor tabel (table umber) jka ada lebh darpada satu tabel b cakupa da jagkaua formas c perode sehubuga dega s tabel d cara pegumpula formas e ut pegukura apabla tak dsebutka d baga la tabel f jka judul terlalu pajag, sebaga d ataraya dtuls d bawah judul utama(sebaga headote) Capto kolom (colum capto) - Klasfkas yag daggap lebh petg dsusu per kolom - Capto utuk tap kolom dletakka pada pucak tap kolom - Kolom dsusu meurut uruta kepetgaya, meurut abjad, atau meurut uruta waktu 3 Stub / capto bars (row capto) Terletak pada ss terkr bars yag berkata 4 Bada tabel (body) - Hmpua etry yag termuat pada sel-sel tabel yag releva 5 Catata kak (footote) - Sumber formas basaya dcatumka d bawah tabel 3

46 Cotoh tabel da baga-bagaya 3

47 LATIHAN Baga Pertama Plhlah satu jawaba yag palg bear! Jarak atara kelas yag satu dega kelas laya secara beruruta pada tabel dstrbus frekues damaka: A Retag B Iterval kelas C Lmt kelas (class lmt) D Batas kelas (class boudary) Array adalah: A Kumpula data yag sudah d urutka dar yag terkecl ke yag terbesar B Kumpula data yag telah dsusu dalam betuk dstrbus frekues C Kumpula data yag memlk lebh darpada satu modus D Semuaya salah 3 Msalka dar suatu surve dperoleh data sebayak 00 tem jka aka dbuat dstrbus frekuesya, jumlah kelas meurut atura Sturges adalah: A 5 C 9 B 7 D 4 Jka utuk soal No 3 d atas dketahu pula la mmum X m = 35 da la maksmum X ma = 64, maka terval kelas adalah: A 4 C 8 B 5 D 9 5 Sebuah tabel yag legkap sekurag-kuragya terdr atas: A Judul tabel, stub, body, sumber B Judul tabel, stub, body, jumlah C Judul tabel, stub, colum capto, body D Judul tabel, colum capto, body, sumber 33

48 6 Tabel yag bak alah tabel yag: A bersfat self eplaatory B sederhaa C bersfat self eplaatory da sederhaa D bersfat self eplaatory da kompleks 7 Data yag tersusu dalam betuk dstrbus frekues dapat dsajka dalam betuk grafk berkut, kecual: A Hstogram C Dagram batag B Dagram tebar D Dagram lgkar 8 Ogve adalah: A Polgo frekues utuk frekues kumulatf B Hstogram utuk dstrbus frekues relatf C Dagram batag utuk dstrbus frekues mutlak D Semuaya salah 9 Dagram batag terutama dajurka pegguaaya utuk: A Data kategork omal B Data kategork ordal C Data umerk yag dkategorsaska D Semuaya salah 0 Secara koseptual, dagram batag-dau-dau (stem-ad-leaf) merupaka perpadua atara peyaja data secara umerk dega: A Hstogram C Pktogram B Dagram kotak D Dagram lgkar 34

49 Dar grafk d bawah dapat dsmpulka bahwa: Dagram Jumlah pejuala komputer d Toko A, B, da C Agustus 000 A Jumlah pejuala d Toko B kurag lebh dua kal pejuala d Toko A B Jumlah pejuala d Toko A kurag lebh sepertga pejuala d Toko C C A) da B) bear D A) da B) salah 35

50 Baga Kedua Selesaka soal berkut: Agka-agka berkut meujukka peghasla bulaa 84 keluarga d desa B (dalam rbua rupah) Dega megguaka lagkah-lagkah yag telah Ada pelajar, susulah tabel dstrbus frekues utuk meyajka rgkasa data d atas secara deskrptf Perhatka juga baga-baga yag harus ada pada saat peyaja tabel 36

51 BAB 3 UKURAN STATISTIK 3 UKURAN PUSAT (NILAI TENGAH) Rerata; Rerata Htug (Mea; Arthmetc Mea) utuk Data Tak-berkelompok (Ugroup Data) Rerata htug adalah jumlah seluruh agka data dbag dega bayakya (jumlah) data = = atau = : rerata sampel : data ke- varabel acak X; =,,, : ukura sampel (bayakya aggota sampel) Utuk populas: (3) N = µ = N X (3) µ : rerata populas (dbaca: myu) X : data ke- varabel acak X; =,,, N N : ukura populas (bayakya aggota populas) Cotoh 3: Msalka dmlk data tgg bada 0 orag mahasswa (dalam cm): 6, 6, 57, 54 64, 70, 6, 65, 6, 6 = 0 da = = 68 = 37

52 = sehgga: = = 68 0 = 68 Rerata Htug utuk Data Berkelompok (Grouped Data) Rerata sampel: = atau: = j k = j k k j = = f j f j j f j j (33) : rerata sampel : ttk tegah kelas ke-j; j =,,, k j f j : frekues (bayak aggota) kelas ke-j : ukura sampel (jumlah frekues data sampel) Rerata populas: µ = atau: µ = K j = K K j j = = f X j f j j f X N j j (34) µ : rerata populas X j : ttk tegah kelas ke-j; j =,,, K f j : frekues (jumlah aggota) kelas ke-j N : ukura populas (jumlah frekues data populas) 38

53 Cotoh 3: Lhat kembal data berat bada 64 mahasswa Pskolog Guadarma pada tabel 3 Berat bada (kg) Tabel 3 Perhtuga rerata berat bada mahasswa Pskolog Guadarma Ttk tegah: X j Frekues: f Jumlah 64 3,307 j f j X j = 3, = 567 Keuggula rerata: Lebh dkeal, sehgga pegguaaya pu lebh mudah Setap dapat dguaka data kuattatf memlk da haya memlk satu rerata 3 Karea kumpula data haya memlk satu rerata, maka ukura pusat data dapat dguaka dega bak dalam prosedur statstka, sepert perbadga dua atau lebh kumpula data Kelemaha rerata: Sagat peka terhadap data ekstrm Tdak dapat dguaka utuk meetuka ukura pusat data kualtatf 3 Utuk data berkelompok, hasl perhtuga tdak mecermka rerata sesugguhya 4 Utuk data berkelompok dega kelas terbuka, rerata-ya tdak dapat dhtug 39

54 Rerata Geomerk (Geometrc Mea) maka: Msalka G meyataka rerata geometrk utuk data,,,, log G = = = (35a) G = log (,,, = log + log + + log log G = log = log = sehgga: log G = (35b) atau: G = = = (35c) Cotoh 33: Msalka jumlah kasus DBD (Demam Berdarah Degue) d kota B pada tahu 000, 00, 00, da 003 masg-masg adalah 4, 30, 43, da 58 Rerata geometrkya adalah: G = = 4 ( 4)( 30)( 43)( 58 ) = 385 Rerata Harmok (Harmoc Mea) Msalka H meyataka rerata harmok utuk data,,,, maka: H = = (36a) sehgga: H = = (36b) 40

55 Cotoh 34: Msalka kelajua sebuah mobl adalah 60 km/jam selama meempuh klometer pertama, 80 km/jam pada klometer kedua, da 65 km/jam pada klometer ketga Rerata kelajua mobl tersebut (dhtug sebaga rerata harmok) dalam km/jam adalah: H = = = = 3 = Rerata Tertmbag (Weghted Mea) Msalka W meyataka rerata tertmbag utuk data,,,, masg-masg dega pembag (bobot) w, w,, rerata tertmbag adalah: = W = = w w 4 w, maka (37a) Jka pembag dyataka dalam propors (atau persetase), maka w =, sehgga: Cotoh 35: W = = w (37b) Msalka mahasswa Y medapatka la 90 utuk tugas hara mata kulah Statstka, 80 utuk Uja Tegah Semester, da 60 utuk Uja Akhr Semester Jka bobot tugas hara, UTS, da UAS masg-masg adalah 0%, 60%, da 30%, maka la akhrya (dhtug sebaga rerata tertmbag) adalah: W = = w = (00)(90) + (060)(80) + (030)(60) = 75

56 Rerata Terpagkas (Trmmed mea) Rerata terpagkas dguaka utuk meghdar pegaruh la-la ekstrm terhadap rerata Utuk meghtugya, mula-mula data dpagkas, yatu dega membuag sejumlah la teredah da la-la tertgg, msalya 5% la teredah da 5% la tertgg (atau 0% la teredah da 0% la tertgg), lalu terhadap ssa data dlakuka perhtuga rerata htug sepert basa Meda utuk Data Tak-berkelompok Meda adalah ukura pusat data yag laya terletak d tegahtegah kumpula data yag terurut Utuk meetuka meda, mula-mula data harus dsusu berupa array, yatu data yag durutka dar yag terkecl sampa dega yag terbesar: X, ( ) X, ( ) X,, ( 3) X ( ) X adalah data terkecl (= X ( ) m ), sedagka X ma ) Poss meda adalah: P med = sehgga meda adalah: + X adalah data terbesar (= ( ) (38) Med = Med = X + X + X +, gajl ), geap ) (38a) Cotoh 36: Lhat kembal data tgg bada 0 orag mahasswa pada cotoh 3: 6, 6, 57, 54, 64, 70, 6, 65, 6, 6 Data durutka dalam betuk array (dbaca: er-re) sebaga berkut: 4

57 X = 54 ( ) X = 57 ( ) X = 6 ( 3) X = 6 ( 4) X = 6 ( 5) X = 6 ( 6) X = 6 ( 7) X = 64 ( 8) X = 65 ( 9) X = 70 ( 0) = 0, sehgga poss meda adalah Karea geap, maka meda adalah: X + X ( 5) ( 6) Med = = = 6 adalah med Seadaya = 9 da P = ( ) P = ( ) med 0 + = 55 X = 70 tdak ada, maka poss meda ( 0) 9 + = 5 da meda adalah Med = X = 6 ( 5) Meda utuk Data Berkelompok Med = B med + ( ) fkmed f med (39) Med : meda B : tep batas kelas bawah pada kelas meda (lower class boudary) med : terval kelas : ukura sampel fk : frekues kumulatf sebelum kelas meda med f : frekues pada kelas meda med Cotoh 37: Lhat kembal data berat bada 64 mahasswa Pskolog Guadarma pada tabel 3 43

58 Tabel 3 Dstrbus frekues berat bada 64 mahasswa Pskolog Guadarma 003 Berat Bada (kg) Frekues Frekues kumulatf Jumlah 64 Ttk poss meda = 3 Kelas poss meda yatu kelas ke- B = 445 med = 9 fk = 0 med f = 9 med Keuggula meda: ( ) fk Med = B med + med fmed 3 0 = = 508 Tdak dpegaruh oleh data ekstrm Mudah dmegert da mudah dhtug, bak dar data tak-berkelompok maupu data berkelompok Juga dapat dhtug utuk data berkelompok dega kelas terbuka 3 Dapat dguaka utuk data kuattatf maupu data kualtatf Kelemaha meda: Haya dapat dtetuka dar data yag telah durutka sehgga membutuhka waktu yag tdak sedkt Dhtug buka berdasarka la data, tetap berdasarka jumlah data, sehgga sult djadka sebaga ukura pusat data utuk meggambarka kumpula dataya 44

59 Modus utuk Data Tak-berkelompok Modus adalah la yag memlk frekues tertgg Cotoh 38: Lhat kembal data tgg bada 0 orag mahasswa pada cotoh 3: 6, 6, 57, 54, 64, 70, 6, 65, 70, 6 Modus aka lebh mudah dtetuka jka data tersusu dalam dstrbus frekues sepert d bawah Tabel 33 Dstrbus frekues tgg bada 0 mahasswa Tgg bada (cm) Frekues Tampak bahwa modus data adalah Mo = 6 Modus utuk Data Berkelompok Mo = B mo + d d + d (30) Mo : modus B mo : tep batas kelas bawah pada kelas modus : terval kelas d : frekues kelas modus dkurag frekues kelas sebelum kelas modus d : frekues kelas modus dkurag frekues kelas sesudah kelas modus 45

60 Cotoh 39: Lhat kembal data berat bada 64 mahasswa Pskolog Guadarma pada tabel 3 da dstrbus frekues beserta frekues kumulatfya pada tabel 3 Kelas poss modus yatu kelas pertama B mo = 355 = 9 d = 0 0 = 0 d = 0 9 = Keuggula modus: d Mo = B mo + d + d 0 = = 4407 Dapat dguaka utuk data kualtatf maupu kuattatf Tdak dpegaruh oleh data ekstrm 3 Dapat dhtug utuk data berkelompok dega kelas terbuka Kelemaha modus: Dalam kasus-kasus tertetu, kumpula data tdak memlk modus Jka modus justru lebh darpada satu, tdak dapat dguaka sebaga ukura pusat data Cotoh 30: Htug rerata, meda, da modus dstrbus frekues berkut: Tabel 34 Dstrbus frekues IPK 3 orag mahasswa IPK 46 Frekues X < 5 5 < X < < X < < X < < X < 35 X > 35 4 Jumlah 3

61 X Tabel 35 Perhtuga rerata, meda, da modus IPK 3 orag mahasswa j f j X Jumlah j f j Frekues kumulatf a Rerata: X = X = = 8950 = 80 3 b Meda: Kelas poss meda adalah kelas keempat ( ) fk Med = B med + med fmed 6 0 = = 93 c Modus: Kelas poss modus adalah kelas kelma d Mo = B mo + d + d 4 = = 38 Kuartl utuk Data Tak-berkelompok Kuartl membaga sedereta data terurut mejad empat baga yag sama Terdapat tga kuartl, yatu kuartl pertama ( Q ), kuartl kedua ( Q ), da kuartl ketga ( Q 3 ) 47

62 Poss kuartl ( < 30): Poss Q = + 4 Poss Q = + = 4 + = Poss meda Poss Q 3 = ) ) (3) ) Kuartl utuk Data Berkelompok Nla kuartl ( > 30): Q = B q + Q 3 = B q + ( ) 4 fkq f q ( ) 3 4 fkq fq (3a) (3b) Q : kuartl pertama Q : kuartl ketga 3 B : tep batas kelas bawah pada kelas kuartl q : terval kelas : ukura sampel fk : frekues kumulatf sebelum kelas kuartl q f q : frekues pada kelas kuartl Cotoh 3: Lhat tabel 35 Tetuka kuartl pertama da kuartl ketga! Poss kuartl pertama: 3 4 = 8 q B = 00 = 05 48

63 fk q = 5 f q = 5 Q = B q + Poss kuartl ketga: ( 3)( 3) ( ) 4 fkq fq 8 5 = (05) = 5 4 B = 300 q = 05 fk = 7 q f q = Q 3 = B q + = 4 ( ) 3 4 fkq fq 4 7 = (05) = 33 Desl da Persetl Pada desl, dereta data terurut dbag mejad 0 baga yag sama Desl ke-: Desl ke-: Desl ke-3: Desl ke-4: Desl ke-5: Desl ke-6: Desl ke-7: Desl ke-8: Desl ke-9: /0 /0 3/0 4/0 5/0 6/0 7/0 8/0 9/0 Meda 49

64 Cotoh 3: Lhat tabel 36 Tetuka desl ke-7! Tabel 36 Dstrbus frekues berat bada 0 sswa SMU Berat Bada (kg) Frekues Frekues kumulatf Jumlah 0 Poss desl ke-7: = 84 B d (tep batas bawah kelas desl) : 635 (terval kelas) : 4 fk (frekues kumulatf sebelum kelas desl) : 75 d d f (frekues pada kelas desl) : 8 Desl ke-7 adalah: ( 7 0) fk D 7 = B d + d fd = (4) =

65 Poss beberapa ttk persetl: Persetl ke- Persetl ke- Persetl ke-7 Persetl ke-87 Persetl ke-99 /00 /00 7/00 87/00 99/00 Cotoh 33: Lhat tabel 36 Tetuka persetl ke-67! 0 67 Poss ttk persetl ke-67: = B (tep batas bawah kelas persetl) : 635 p (terval kelas) : 4 fk (frekues kumulatf sebelum kelas persetl) : 75 p f d (frekues pada kelas persetl) : 8 Persetl ke-67 adalah: ( ) fk p P 67 = B p + f p = (4) = 647 5

66 3 UKURAN PENYEBARAN Retag (Rage) Cotoh 34: Retag adalah selsh atara data terbesar da data terkecl R = X ma X m (33) Lhat kembal data tertgg bada 0 mahasswa pada cotoh 3 Data terkecl adalah X m = 54 da data terbesar adalah X ma = 70, sehgga retag adalah: R = X ma X m = = 6 Retag Iter-kuartl Retag ter-kuartl (ter-quartle rage) adalah selsh atara kuartl ketga da kuartl pertama IQR = Q 3 Q (34) Cotoh 35: Lhat data IPK 3 orag mahasswa pada tabel 34 Pada cotoh 3 telah dhtug kuartl pertama Q = 5 da kuartl ketga Q 3 = 33, sehgga retag ter-kuartl adalah: IQR = Q 3 Q = 33 5 = 07 Devas Mutlak Rata-rata Devas mutlak rata-rata (mea absolute devato; MAD) adalah ratarata la mutlak peympaga (devas) data terhadap rerataya Devas mutlak rata-rata utuk populas adalah: N = MAD = X N µ 5 (35)

67 da devas mutlak rata-rata utuk sampel adalah: = MAD = (35a) Varas da Stadar Devas Data Tak-berkelompok Varas adalah rata-rata kuadrat devas data observas terhadap rerata-ya Varas data populas dlambagka dega σ (dbaca: sgma kuadrat), sedagka varas data sampel dlambagka dega s Stadar devas, dsgkat SD adalah akar varas Stadar devas data populas dlambagka dega σ, sedagka stadar devas data sampel dlambagka dega s Rumus defs varas da SD utuk populas: σ = N ( X µ ) = N (36) σ = N ( X µ ) = N (36a) σ : varas populas σ : stadar devas populas X : data ke- varabel radom X; =,,, N µ : rerata populas N : ukura populas Rumus defs varas da SD utuk sampel: s = ( ) = (37) 53

68 s = ( ) = (34a) s : varas sampel s : stadar devas sampel : data ke- varabel radom X; =,,, : rerata sampel : ukura sampel Dalam praktk, yag dguaka umumya adalah rumus operasoal Rumus operasoal varas da SD utuk populas: σ = ( ) X X N N (38) σ = ( ) X X N N (38a) σ : varas populas σ : stadar devas populas X : data ke- varabel radom X; =,,, N N : ukura populas Rumus operasoal varas da SD utuk sampel: s = ( ) (39) s = ( ) (39a) s : varas sampel s : stadar devas sampel : data ke- varabel radom X; =,,, : ukura sampel 54

69 Cotoh 36: Lhat kembal data tgg bada 0 mahasswa pada cotoh 3 Tabel 37 Perhtuga varas da stadar devas tgg bada 0 mahasswa Tgg bada (= X ) Rerata (= X ) ( X X ) ( X X ) , , , , , , , , , ,9, ,960 s = ( X X ) = = = 86 s = 86 = 43 X Dega rumus operasoal: X ( ) X s = 6,960 (, 68) 0 = 0 = 86 55

70 Varas da Stadar Devas Data Berkelompok Rumus defs varas SD utuk populas: σ = K j= f j ( X j µ ) K j= f j = K j= f j ( X j µ ) N (30) σ = K j= f j ( X j µ ) N (30a) σ : varas populas σ : stadar devas populas X : ttk tegah kelas ke-j; j =,,, K j µ : rerata populas f j : frekues kelas ke-j N : ukura populas (= f j ) K j= Rumus defs varas da SD utuk sampel: s = k j= ( j ) f j (3) s = k j= ( j ) f j (3a) s : varas populas s : stadar devas populas j : ttk tegah kelas ke-j; j =,,, k : rerata sampel f j : frekues kelas ke-j N : ukura sampel (= f j ) k j= 56

71 Dalam praktk, yag dguaka umumya adalah rumus operasoal Rumus operasoal varas da SD utuk populas: σ = ( ) f j X j f j X j N N (3) σ = ( ) f j X j f j X j N N (3a) σ : varas populas σ : stadar devas populas X j : ttk tegah kelas ke-j: j =,,, K f j : frekues kelas ke-j N : ukura populas Rumus operasoal varas utuk sampel: s = ( ) f j j f j j (33) s = ( ) f j j f j j (33a) s : varas sampel s : stadar devas sampel j : ttk tegah kelas ke-j; j =,,, k f j : frekues kelas ke-j : ukura sampel Cotoh 37: Lhat kembal data berat bada 64 mahasswa Pskolog Guadarma pada tabel 3 Pada cotoh 3 telah dhtug la rerataya X =

72 Tabel 38 Perhtuga varas da stadar devas berat bada 64 mahasswa Pskolog Guadarma dega rumus defs Ttk tegah: X Devas: ( X X ) j Frekues: f j f ( X X ) , , , ,7967 Jumlah ,0 j Varas-ya adalah: s = k j= k j ( j ) f X X 8, 0 j= ` = = Dega rumus operasoal, terlebh dahulu harus dhtug f j X j f j X j da Tabel 39 Perhtuga varas da stadar devas berat bada 64 mahasswa Pskolog Guadarma dega rumus operasoal Ttk tegah: X j Frekues: f j f j X j , , , , , , ,836 Jumlah 64 3,307 79,089 f j j X 58

73 Varas-ya adalah: f ( ) j j f j j s = 79, 089 ( 3,307) 64 = = Stadar devas adalah: s = 303 = 4 Koefse Varas Koefse varas (coeffcet of varato; CV) adalah la stadar devas dbag dega rerata Koefse merupaka ukura peyebara data yag tak memlk satua, karea tu dapat dguaka utuk membadgka peyebara data varabel yag memlk satua berbeda, msalya tgg da berat bada Koefse varas utuk populas adalah: CV = σ µ (34) da koefse varas utuk sampel adalah: CV = s (34a) Koefse varas juga dapat dyataka dalam persetase, yatu CV = (σ / µ ) 00% utuk populas da CV = (s/ ) 00% utuk sampel Cotoh 38: Lhat kembal data tgg bada 0 mahasswa pada cotoh 3 Pada cotoh 3 telah dhtug rerata-ya = 68 cm da pada cotoh 36 telah dhtug stadar devas-ya s a = 43 cm, sehgga koefse varasya adalah: s CV a = a (00%) a a 59

74 = 43 (00%) = 67% 68 Msalka utuk kelompok mahasswa yag sama dketahu pula data berat badaya dega rerata b = 544 kg da stadar devas s b = 675 kg, sehgga koefse varas-ya adalah: sb CV b = (00%) b = 675 (00%) = 4% 544 Tampak bahwa ukura berat bada mahasswa jauh lebh meyebar dbadgka ukura tgg bada pada kelompok mahasswa yag sama 60

75 LAMPIRAN 3A: UKURAN PUSAT PADA DISTRIBUSI SIMETRIS DAN ASIMETRIS Pada dagram 3 dapat dlhat gambara dstrbus frekues sampel yag berasal dar populas kotu, amu telah dkategorsaska Jka sampel yag berasal dar dstrbus kotu dperbesar ukuraya sampa mejad tak berhgga da dperbayak jumlah kelasya sampa mejad tak berhgga bayakya (atau tdak dlakuka kategorsas lag), aka dperoleh beberapa gambara sepert terlhat pada dagram III d bawah Dagram III Dstrbus frekues sampel dar populas kotu yag dkategorsaska dega berbaga jumlah kelas Seadaya populas berdstrbus smetrs, maka dapat dperoleh gambara sepert pada dagram III Pada populas smetrs, poss rerata, meda, da modus bermpt pada satu ttk (la-la ketgaya sama besar) Dagram III Poss ukura tegah pada dstrbus smetrs: rerata, meda, da modus bermpt pada satu ttk 6

76 Jka la-la besar lebh bayak darpada la-la kecl, aka ddapatka gambara dstrbus asmetrs dega ekor yag lebh pajag d ss kaa, sepert pada dagram III3 Dstrbus sepert dsebut juga meceg ke kaa (skewed to the rght) Dstrbus dapat daggap berasal dar dstrbus smetrs dega peambaha sejumlah la-la ekstrm yag besar Peambaha la-la ekstrm yag besar terutama aka mempegaruh la rerata, sehgga poss rerata seolah-olah tertark ke kaa, sedagka poss meda haya tertark sedkt (la meda sedkt terpegaruh), sedagka poss modus tdak berubah Dagram III3 Poss ukura tegah pada dstrbus meceg ke kaa: dar ke kr ke kaa ddapatka modus, meda, da rerata Keadaa sebalkya dtemuka pada dagram III4, yag meggambarka dstrbus meceg ke kr (skewed to the left) Dstrbus dapat daggap berasal dar dstrbus smetrs dega peambaha lala ekstrm kecl, yag megakbatka poss rerata palg bayak tertark ke kr, poss meda sedkt tertark da poss modus tetap Dagram III4 Poss ukura tegah pada dstrbus meceg ke kr: dar kr ke kaa ddapatka rerata, meda, da modus 6

77 LAMPIRAN 3B: FRAKTIL Matrks III Macam-macam fraktl (kuatl) Macam Data dbag mejad Fraktl Meda baga Med Kuartl 4 baga Q, Q, 3 Q, ( Q 4 ) D, ( D 0 ) P, ( P ) Desl 0 baga D, D, D 3,, 9 Persetl 00 baga P, P, P 3,, 99 Matrks III Kesamaa beberapa fraktl Med Q Q Q 3 D D D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9 P 0 P 0 P 5 P 30 P 40 P 50 P 60 P 70 P 75 P 80 P 90 Matrks III3 Cara meghtug fraktl Cara eksak: Data kecl ( < 30) Aproksmas: Data besar ( > 30) Meda Kuartl Desl Persetl Matrks III4 Poss fraktl *) Fraktl Cara eksak Aproksmas Med + Q j j D j k k P k *) Dalam array (data yag telah durut dar yag terkecl sampa dega yag terbesar) 00 63

78 Cotoh: a = 0; dguaka cara eksak karea < 30 Poss Q : + 4 Poss Q : = 55 Poss Q : = 05 Poss Q 3 : = 55 Jka < 30 umumya tdak dlakuka perhtuga desl atau persetl b = 60; dguaka cara aproksmas karea > 30 Poss Q : 4 Poss Q : 60 = 5 4 Poss Q : 60 = 30 4 Poss Q 3 : 60 3 = 45 4 j Poss D j : 0 Poss D : 60 = 6 0 Poss D 3 : 60 3 = 8 0 Poss D 7 : 60 7 =

79 LAMPIRAN 3C: NOTASI ( - ) DAN ( - ) = Karea =, sehgga = ; da pada pegambla satu sampel, merupaka kostate, sehgga =, maka: ( ) = = = 0 A ( ) = ( + ) = + = ( ) ( ) = = B ( ) = = + + ( ) [ da kostate] 65

80 LAMPIRAN 3D: DIAGRAM KOTAK Dagram kotak (dagram kotak-da-ttk; bo plot; bo ad whsker plot) adalah betuk grafk yag meyajka pergkasa data dalam betuk kuartl pertama, meda, da kuartl ketga Secara kasar dapat dlhat apakah sebara data smetrs atau tdak, sela tu dsajka pula la perbatasa bawah (lower adjacet value) da la perbatasa atas (upper adjacet value) yag atara la bergua utuk meympulka ada tdakya data pecla (outler) ( ) Tabel III Rca la skala Depres MMPI- 45 mahasswa wata Pskolog Guadarma 003 dalam betuk array ( ) ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) ( 7) ( 8) ( 9) ( 0) ( ) ( ) ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) ( 7) ( 8) ( 9) ( 0) ( ) ( ) ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) ( 7) ( 8) ( 9) ( 30) ( 3) ( 3) ( 33) ( 34) ( 35) ( 36) ( 37) ( 38) ( 39) ( 40) ( 4) ( 4) ( 43) ( 44) ( 45) Sumber: Hasl tes MMPI- kelas PA0 TA 003/ Poss Q = = 4 4 = 4 Q = = ( ) Poss Q = Med = = + ( ) ( 3) Q = Med = = 4 = ( )( ) 66

81 Poss Q 3 = 3 4 Q 3 = = ( 3)( 45) 4 = 7 ( 34) = IQR (retag ter-kuartl) = Q 3 Q = 7 = 6 5 IQR = (5)(6) = 9 LF (lower fece; pagar bawah): LF = Q 5 IQR = 9 = LAV (lower adjacet value; la perbatasa bawah) adalah la terkecl yag lebh besar darpada LF: LAV = = 6 ( ) UF (upper fece; pagar atas): UF = Q IQR = = 36 UAV (upper adjacet value; la perbatasa atas) adalah la terbesar yag lebh kecl darpada UF: UAV = = ( 43) = 3 ( 44) Nla perbatasa bawah da la perbatasa atas masg-masg merupaka la mmum da la maksmum data yag mash belum tergolog data pecla Nla yag lebh kecl darpada la perbatasa bawah atau lebh besar darpada la perbatasa atas (dega sedrya juga lebh kecl darpada pagar bawah atau lebh besar darpada pagar atas ) dsebut sebaga data pecla (outler) Terdapat la data pecla, yatu = 37 (lhat dagram III5) ( 45) 67

82 Dagram III5 Dagram kotak skala Depres MMPI- 45 mahasswa wata Pskolog Guadarma

83 LATIHAN 3 Baga Pertama Plhlah satu jawaba yag palg bear! Ukura-ukura berkut merupaka ukura pusat sekalgus ukura lokas, kecual: A Rerata (mea) C Varas B Meda D Modus Jumlah seluruh agka data dalam kelompokya dbag dega bayakya data dsebut: A Rerata htug (arthmetc mea) B Rerata geometrk (geometrc mea) C Rerata harmok (harmoc mea) D Rerata terpagkas (trmmed mea) 3 Jka devas suatu la terhadap tap observas laya djumlahka, da hasl pejumlahaya sama dega ol, maka la tersebut adalah la: A Rerata C Modus B Meda D Semuaya salah 4 Jka setegah d atara seluruh observas la-laya lebh kecl darpada suatu la tertetu, da setegah observas laya lalaya lebh besar darpada la tertetu tersebut, la tertetu tu adalah la: A Rerata C Modus B Meda D Rerata harmok 5 Keuggula rerata (mea) atara la yatu: A Tdak dpegaruh oleh data ektrm B Dapat dguaka utuk meetuka ukura pusat data kategork C A) da B) bear D A) da B) salah 69

84 6 Keuggula meda atara la yatu: A Tdak dpegaruh oleh data ektrm B Dapat dguaka utuk meetuka ukura pusat data kategork C A) da B) bear D A) da B) salah 7 Salah satu kelemaha modus yatu: A Tdak dapat dguaka utuk data kuattatf B Sagat peka terhadap data ekstrm C Tdak dapat dhtug utuk data berkelompok dega kelas terbuka D Tdak semua kumpula data memlk modus 8 Peryataa berkut yag tdak bear megea kosep kuatl (fraktl): A Kuartl II = meda C Desl 3 = kuartl I B Persetl 75 = kuartl III D Desl = persetl 0 9 Retag ter-kuartl (ter-quartle rage) adalah: A Kuartl IV - kuartl 0 C Kuartl III kuartl II B Kuartl IV kuartl II D Semuaya salah 0 Peyebara data dapat dla dar ukura berkut, kecual: A Retag ter-kuartl C Stadar devas B Devas mutlak rata-rata D Kemecega Varas (data tak berkelompok) bag populas berhgga adalah: A Rata-rata devas data observas terhadap rerata-ya B Rata-rata kuadrat devas data observas data observas terhadap rerata-ya C Kuadrat rata-rata devas data observas terhadap rerata-ya D Akar rata-rata kuadrat devas data observas terhadap rerata-ya Ukura varas yag terbak utuk membadgka varas berat bada da varas tgg bada adalah: A Retag C Stadar devas B Retag ter-kuartl D Koefse varas 70

85 3 ( ) = A Selalu lebh besar darpada ol B Selalu sama dega ol C Dapat lebh kecl darpada ol D Semuaya salah = 4 ( ) = A 0 C B + = 5 Hmpua data X, X,, = = D Semuaya salah 5, maka hmpua data ( X + 5), ( memlk rerata: X memlk rerata (mea) sama dega X + 5),, ( X + 5) aka A X = 5 C X = 30 B 5 < X < 30 D X > 30 6 Hmpua data X, X,, dega 8, maka hmpua data ( X + 0), ( aka memlk stadar devas: X memlk stadar devas sama X + 0),, ( X + 0) A SD = 8 C SD = 8 B 8 < SD < 8 D SD > 8 7 Hmpua data X, X,, dega 8, maka hmpua data X, stadar devas: X memlk stadar devas sama X,, X aka memlk A SD = 6 C SD = 56 B 6 < SD < 56 D SD > 56 8 Pergkasa data secara grafkal yag meamplka la-la kuartl I, meda, da kuartl III ddapatka pada: A Dagram batag-dau-dau C Dagram ttk B Dagram kotak D Semuaya bear 7

86 9 Dagram kotak atara la bergua utuk: A Mela smetrs atau tdakya sebara data B Mela ada tdakya data pecla C Keduaya bear D Keduaya salah 0 Data pecla (outler) adalah: A Data yag laya lebh kecl darpada pagar bawah B Data yag laya lebh besar darpada kuartl ketga dtambah dega satu setegah kal retag ter-kuartl C Data yag laya lebh besar darpada la perbatasa atas D Semuaya bear Baga Kedua Plhlah satu jawaba yag palg bear! Utuk soal omor sd 6: Dketahu data hasl uja Ilmu Alamah Dasar sekelompok mahasswa sebaga berkut: 7, 86, 63, 59, 74, 67, 74, 77, 63, 74, 8, 67 Rerata-ya ( mea) alah: A 750 C 7400 B 7300 D 7800 Medaya adalah: A 750 C 7400 B 7300 D Modusya yatu: A 750 C 7400 B 7300 D Kuartl I da kuartl III masg-masg adalah: A 63 da 77 C 65 da 755 B 63 da 795 D 67 da 8 7

87 5 Retag-ya (retag) adalah: A 5 C 5 B 4 D 7 6 Jka dketahu = 6058, dega megguaka pembag ( ) = htuglah varas da stadar devasya: A 595 da 770 C 7534 da 868 B 6464 da 804 D 837 da 95 Utuk soal No 7 sd 9: Msalka dmlk data hasl uja Statstka 0 orag mahasswa: 75, 40, 80, 55, 90, 70, 55, 60, 60, 55 7 Rerata data tersebut adalah: A 55 C 64 B 60 D 77 8 Meda data tersebut adalah: A 55 C 64 B 60 D 77 9 Devas mutlak rata-rataya adalah: A 8 C 0 B 47 D 50 Utuk soal No 0 sd 4: Msalka dmlk data berkut: = 5 = = ( ) = 73 =

88 0 = = A 330 C B 34 D = = A 330 C B 34 D = = A 330 C B 34 D = = 3 ( + ) A 330 C B 34 D s = A 06 C 4 B 9 D 405 Baga Ketga Selesakalah soal-soal berkut: Lhat kembal soal Latha Baga Kedua Htuglah rerata, varas, da stadar devas peghasla bulaa 84 keluarga d desa B: A Sebaga data tak berkelompok B Sebaga data berkelompok Petujuk: - Utuk soal A, guaka rumus operasoal da dega megguaka program komputer Ecel 74 dhtug - Utuk soal B, guaka tabel dstrbus frekues yag telah dsusu pada soal Latha Baga Kedua

89 BAB 4 PROBABILITAS 4 KONSEP DASAR PROBABILITAS Hmpua (set) a Hmpua berhgga Cotoh: A adalah hmpua mahasswa kelompok I mata kulah Statstka kelas PA0, maka: A = {Agust, Ata, Edag,, Yey} B adalah hmpua buah yag djual d sebuah supermarket, maka: B = {jeruk, pepaya, melo, } C adalah agka-agka yag tampak d permukaa sebuah dadu, maka: C = {,, 3, 4, 5, 6} b Hmpua tak berhgga: D adalah hmpua la-la IP semester yag mugk dperoleh mahasswa Guadarma, maka: D = { 0 < < 4} (dbaca: adalah sedemka hgga lebh besar atau sama dega ol da lebh kecl atau sama dega empat) Pegerta Perstwa, Ruag Sampel Hmpua yag usur-usurya merupaka hasl yag mugk pada suatu percobaa damaka ruag sampel (sampel space) Usur suatu ruag sampel damaka ttk sampel Suatu perstwa (evet; kejada) adalah hmpua baga suatu ruag sampelperstwa sederhaa (smple evet) adalah perstwa yag haya memuat satu usur Perstwa bersusu (composte evet) merupaka gabuga (uo) dua atau lebh perstwa sederhaa Jka suatu percobaa telah dlakuka da hasl yag dperoleh termasuk dalam hmpua baga A dkataka perstwa A telah terjad 75

90 Ruag sampel dtuls dega lambag S (= semesta), perstwa dega huruf besar A, B, C, Jka suatu percobaa meghaslka kemugka perstwa, ruag sampelya dsajka sebaga: S = { a, a,, a } (4) dega a, a,, a meyataka semua hasl yag mugk terjad pada percobaa tu A = { a, a 4 } meujukka perstwa yag haya terdr dar hasl a da a 4 Cotoh 4: ) Percobaa : Pelotara sebuah dadu Hasl : Mata dadu yag tampak d atas Ruag sampel S = {,, 3, 4, 5, 6} Salah satu perstwa : A = ttk gajl tampak = {, 3, 5} ) Percobaa : Pelotara sebuah mata uag logam dua kal Salah satu hasl : MB (hasl pelotara pertama adalah muka, da hasl pelotara kedua adalah belakag Ruag sampel : S = {MM, MB, BM, BB} Cotoh perstwa : A = palg sedkt satu muka = {MM, MB, BM} B = kedua hasl sama = {MM, BB} 3) Percobaa : Pemlha seorag mahasswa secara acak (radom) da pecatata deks prestasya Hasl : Blaga X d atara 0 da 4 Ruag sampel : S = {0 < < 4}, yatu hmpua blaga real d atara 0 da 4, termasuk Cotoh perstwa : A = IP d atas 3 = {3 < < 4} B = IP d bawah = {0 < < } 4) Percobaa : Pelempara sepasag dadu, satu merah da satu puth Hasl : Dapat dyataka sebaga (, j) dega meyataka ttk yag tampak d atas pada 76

91 dadu merah, j meyataka ttk yag tampak d atas pada dadu puth Ruag sampel : S = 6 6 pasaga berurut (, j) dega =,, 3, 4, 5, 6 da j =,, 3, 4, 5, 6 Cotoh perstwa: a) A = jumlah ttk yag tampak sama dega 7 = {(, 6), (, 5), (3, 4), (4, 3), (5, ), (6, )} b) B = kedua hasl sama = {(, ), (, ), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} Operas Hmpua (Uo, Iterseks, Kompleme suatu Perstwa) Uo (gabuga) dua perstwa A, B dyataka dega lambag A B, adalah hmpua semua usur yag termasuk dalam A atau termasuk dalam B (juga yag termasuk dalam keduaya, jka ada) Iterseks (rsa) dua perstwa A, B dyataka dega lambag A B, adalah hmpua semua usur yag termasuk dalam A da termasuk dalam B sekalgus C Kompleme perstwa A dyataka dega lambag A (atau A ), adalah hmpua semua usur yag tdak termasuk dalam A (relatf terhadap S) Operas hmpua demka dapat dsajka dalam dagram Ve (dagram 4) 77

92 Dagram 4 Dagram Ve: uo, terseks, kompleme Cotoh 4: ) Sebuah kartu dambl secara acak dar satu dek kartu brdge Ddefska perstwa-perstwa berkut: A = kartu yag terambl adalah Ace B = kartu yag terambl adalah C = kartu yag terambl adalah D = kartu yag terambl adalah Merah E = kartu yag terambl adalah Htam Maka: B C = kartu yag terambl adalah atau B C = karea satu kartu tdak dapat berupa da sekalgus B C E = S = D E A C = kartu yag terambl adalah Ace C D = kartu yag terambl buka Merah = E 78

93 ( B C) C = D C = E adalah hmpua kosog yag tak mempuya aggota, = {} ) Jka sebuah dadu dlemparka, da A = {, 3, 5}; B = {}; da C = {, 4, 6}, maka: A C = {,, 3, 4, 5, 6} = S C A = {, 4, 6} = C A B = {, 3, 5} = A B C = {,, 4, 6} A C = A B = {} = B C B = {, 3, 4, 5, 6} C B A = {3, 5} 3) Jka X meyataka IP seorag mahasswa, da A = {3 < < 4}; B = {0 < < }; C = {5 < < 3}, maka: A C = {5 < < 4} A C = B C = {5 < < } A B C = {0 < < 4} = S C A = {0 < < 3} = B C C A C = {0 < < 3} = C A Hukum De Morga: a) ( A B) C = b) ( A B) C = A A C C C B (4a) C B (4b) Hukum dstrbutf: a) A ( B C) = ( A B) ( A C) b) A ( B C) = ( A B) ( A C) Parts: (43a) (43b) Msalka dmlk hmpua A dega sejumlah hmpua bagaya A, A,, A 79

94 a) Hmpua-hmpua baga A, A,, A dkataka salg asg (mutually eclusve) jka A Aj = utuk setap pasaga la (, j); =,,, ; j =,,, ; j b) Hmpua-hmpua baga A, A,, A dkataka terbag habs (mutually eclusve) jka A A A = A c) Hmpua-hmpua baga A, A,, A dkataka merupaka A,, parts hmpua A jka hmpua-hmpua baga A, A salg asg da terbag habs 4 PROBABILITAS PERISTIWA Perstwa Dega Probabltas Sama Msalka suatu ruag sampel S mempuya usur yag bayakya berhgga, da tap usur memlk probabltas yag sama utuk terjad Msalka pula A adalah suatu perstwa dalam ruag sampel S Probabltas P bahwa perstwa A aka terjad jka percobaa dlakuka, ddefska sebaga: P (A) = ( ) ( ) N A N S dega N ( ) meyataka bayakya usur dalam perstwa ( ) (44) Cotoh 43: ) Jka A adalah perstwa bayakya ttk gajl pada satu kal pelotara sebuah dadu, maka N(A) = 3 da N(S) = 6, sehgga P(A) = 3/6 = / Demka juga P() = /6 da P(geap) = 3/6 = / ) Dalam pelotara dua buah dadu, perstwa berpasaga [{, }, {, },, {6, 6}] terdr atas 6 usur Karea seluruhya ada 36 usur dalam ruag sampelya (= 6 ), maka P (berpasaga) = 6/36 = /6 Juga P (jumlah geap) = 8/36 = / Utuk setap perstwa A, berlaku: 0 < P (A) < (45) 80

95 Selajutya: da: P ( ) = P (S) = N ( ) = ( ) ( ) N S ( ) ( ) N S N S 0 N S = 0 (45a) = (45b) Utuk dua pertwa A, B, berlaku: N ( A B) = N (A) + N (B) N ( A B) ( B) N ( S ) N A = N ( A) N ( S ) + N ( B) N ( S ) ( A B ) N ( S ) P ( A B) = P (A) + P (B) P ( A B) (46) Dua perstwa A, B, yag salg tdak mempuya usur persekutua, yatu A B A B = 0 damaka salg asg (mutually = atau P ( ) eclusve atau dsjot) Utuk setap dua perstwa A, B, yag salg asg berlaku hukum pejumlaha: P ( A B) = P (A) + P (B) (47) Utuk setap perstwa A berlaku: P (A) + P ( C A ) = (48) atau: P ( C A ) = P (A) (48a) total: Utuk setap dua perstwa A, B, juga berlaku hukum probabltas P (A) = P ( A B) atau: P (B) = P ( B A) karea ( A B) salg asg] C da ( A B ) C + P ( A B ) + P ( B A C ) salg asg [ ( B A) (49a) (49b) da ( B A C ) juga 8

96 Defs Probabltas Msalka ruag sampel S suatu percobaa terdr atas N usur [ a, a,, a N ] da msalka pula p, p,, p N adalah blaga-blaga oegatf yag jumlahya sama dega Utuk suatu perstwa A (hmpua baga S), probabltasya ddefska sebaga: P (A) = p (40) dega p meyataka propors tap hasl termasuk dalam A a ; a adalah usur yag Cotoh 44: ) Sebuah dadu dbuat sedemka hgga dalam jagka pajag ss dadu aka tampak d atas dalam propors (frekues relatf) sebaga berkut: Ss dega ttk Propors S = {,, 3, 4, 5, 6} A = ttk geap = {, 4, 6} P(A) = p + p 4 + p 6 = = 054 A C = ttk gajl = {, 3, 5} P(A C ) = p + p 3 + p 5 = = 046 = P(A) ) Sebuah bola dambl secara acak dar sebuah kotak bers 34% bola merah, 7% bola puth, 0% bola bru, da 9% bola htam Jka a meyataka perstwa yag terambl bola merah, a puth, a 3 bru, da a 4 htam, maka ruag sampelya adalah S = { a, a, a 3, a 4 } dega p = 034, p = 07, p 3 = 00, da p 4 = 09; Msalka A = bola yag terplh tdak htam, maka: P(A) = p + p + p 3 = = 08 = p 4 p = 3) Pada pelotara sepasag dadu, msalka yag dperhatka adalah jumlah ttk keduaya Ruag sampel yag terjad yatu S yag 8

97 memlk usur: S = { a, a 3,, a probabltas sebaga berkut: Hasl a a 3 a 4 a 5 a 6 } Dperoleh dstrbus la Prob /36 /36 3/36 4/36 5/36 Hasl a 7 a 8 a 9 a0 a a Prob 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 Msalka perstwa A = jumlah ttk geap, maka: P(A) = p + p 4 + p 6 + p 8 + p 0 + p = /36 + 3/36 + 5/36 + 3/36 + /36 = 8/36 = / 43 PENCACAHAN RUANG SAMPEL Atura Aalss Kombatork dalam Probabltas ) Jka suatu percobaa terdr atas baga, sedemka hgga baga pertama memberka k hasl yag berbeda, da jka dega tap hasl tu dapat terjad m hasl yag berbeda pada baga kedua, maka bayak hasl yag mugk seluruhya (bayak cara) adalah: k m Cotoh 45: a) Sebuah dadu dlotarka dua kal berturut-turut Lotara pertama dapat memberka 6 hasl yag mugk Utuk tap hasl, pada lotara kedua dapat terjad 6 hasl yag mugk b) Seorag pra mempuya 5 kemeja, 3 celaa, da pasag sepatu Maka bayak cara a dapat berpakaa secara berbeda adalah 5 3 = 30 ) Bayak susua atau uruta berbeda yag dapat dbetuk oleh k objek yag dambl dar sekumpula objek yag berbeda damaka bayak permutas k objek dar objek (dega memperdulka urutaya; k dyataka dega lambag P, dhtug dega rumus: 83

98 k! P = ( k )! (4) = [( k) + ] [( k) + ] [( k) + 3] ( ) ( ) Jka k =, bayak permutas objek yag berbeda adalah: P = 3 ( ) ( ) P = P =! (4) Catata:! damaka faktoral, dega defs:! = 3 ( ) ( ) Msalka 5! = = 0 dega defs tambaha 0! = Cotoh 46: Bayak blaga tga dgt yag dapat dbetuk dega megguaka agka-agka,, 3, 4, 5 adalah: Tapa pegulaga: 5 3 P = = 60 Dega pegulaga: = 5 3) Bayak kombas k objek yag dambl dar objek yag berbeda (tapa memperdulka urutaya; dyataka dega lambag C k ) adalah: Cotoh 47: C k =! k! k! ( ) (43) Msalka dmlk lma bola dega wara berbeda-beda Jka dambl tga bola dar kumpula lma bola tu, bayak kombas yag mugk adalah: 5 C 3 = 5! 3!! = 0 84

99 Perhatka: Atura permutas dguaka jka perstwa yag dsebutka memlk uruta tertetu pada hasl percobaa Jka uruta tu tdak petg, dguaka atura kombas Probabltas Bersyarat Msalka A da B dua perstwa dega P(B) > 0, maka probabltas bersyarat (codtoal probablty) perstwa A dega syarat (jka dketahu) B terjad adalah: P ( A B ) = ( B) P ( B) P A (44) Cotoh 48: ) Msalka dalam sebuah populas yag terdr dar 000 orag memlk data berkut: Buta wara Normal Jumlah Pra Wata Jumlah Jka seorag dplh secara acak dar populas tersebut, A perstwa yag dplh seorag pra da B perstwa yag dplh buta wara, maka: P(A) = = 068 P(B) = = 035 Probabltas yag dplh buta wara, jka dketahu a seorag pra, adalah: P ( B A ) = = 3 34 Tampak bahwa: P ( B A ) = ( B) N ( A) N A = 85 ( ) ( ) N ( A) N ( S ) N A B N S

100 P ( B A ) = ( B) P ( A) P A (44a) ) Sebuah kartu dplh secara acak dar satu dek kartu brdge, da teryata dperoleh kartu Merah a) Probabltas kartu tu Ace adalah: P (Ace Merah) = ( ) P ( Merah) P Ace Merah = = 3 = P(Ace) b) Probabltas kartu tu (Hat) adalah: P(Hat Merah) = ( Merah) P ( Merah) P Hat P(Hat) = 3 5 = 4 = = Dua perstwa A, B depede jka: P ( A B ) = P ( A ) P ( B A ) = P ( B ) (45a) (45b) Cotoh 49: Jka tdak A, B dkataka depede: P ( A B ) P(A) P ( B A ) P(B) Pada perstwa depede berlaku hukum perkala: ( B) = P( A ) ( ) P A P B (46) ) Sebuah kartu dambl secara acak dar satu dek kartu brdge, lalu dkembalka, kartu dkocok kembal, lalu dambl kartu kedua secara acak (samplg dega pegembala) Msalka A adalah perstwa dperoleh Ace pada pegambla pertama, da A adalah perstwa dperoleh Ace pada pegambla kedua, maka: 86

101 P(A) = P(A) = P ( A A) = = P(A) P(A) 5 5 Jad A, A depede ) Dua kartu dambl secara acak dar satu dek kartu brdge, kartu pertama tdak dkembalka terlebh dahulu pada pegambla kartu kedua (samplg tapa pegembala), maka probabltas kedua kartu adalah Ace: P A A = P(A) P(A A) ( ) 4 3 = 5 5 = 3 7 = 3) Sebuah kotak bers 00 bola, d ataraya htam da 40 ssaya puth D atara 00 bola, 70 beromor 0 da 30 ssaya beromor Dketahu pula 4 bola berwara htam da beromor 0 Msalka sebuah bola dambl secara acak, probabltas bola tu beromor 0 (perstwa A) da berwara htam (perstwa B) adalah: P ( A B) = 4 00 = 04 P(A) = = 07 P(B) = = 06 P A B = P(A) P(B), sehgga perstwa A, B depede ( ) Seadaya ada 48 bola yag berwara htam da beromor 0, maka: P ( A B) = = 048 P(A) P(B) = (07)(06) = 04 87

102 LAMPIRAN 4A: SALING ASING DAN INDEPENDEN A Salg asg Dua perstwa A da B dkataka salg asg jka: - Keduaya memuat usur (usur-usur) yag seluruhya berasal dar satu semesta, dega kata la memuat usur-usur yag berasal dar satu ruag sampel - Kedua perstwa tdak memlk usur persekutua Cotoh: Pada satu kal pelotara dadu, semestaya adalah {,, 3, 4, 5, 6} - Msalka A = {, 3, 5} da B = {, 4, 6}, maka A da B salg asg - Msalka pula C = {3, 4, 6}, maka A da C tdak salg asg Utuk perstwa salg asg berlaku hukum pejumlaha: ( B) = P(A) + P(B), karea P ( A B) P A B Salg depede Cotoh: = 0 Dua perstwa A da B dkataka salg depede jka: Usur-usur perstwa berasal dar semesta yag berbeda, dega kata la usur-usur pada kedua perstwa merupaka hasl yag mugk pada dua percobaa yag berbeda Ruag sampel keduaya dapat dgabugka mejad satu ruag sampel bersama - Msalka meyataka hasl yag dperoleh pada pelotara sebuah dadu, A = {,, 3, 4, 5, 6}; B meyataka hasl pelotara sebuah mata uag, B = {Muka, Belakag}, maka A da B salg depede Kedua ruag sampel dapat dgabugka mejad {(, Muka), (, Belakag), (, Muka),, (6, Belakag)} - Sebuah kotak bers 6 bola merah da 4 bola htam Dua buah bola dambl berturut-turut tapa pegembala Msalka A meyataka hasl pada pegambla bola pertama, A = {Merah, Htam}, da B hasl pada pegambla bola kedua, tdak salg depede, karea probabltas hasl-hasl B tergatug pada hasl perstwa A Kedua 88

103 ruag sampel dapat dgabugka mejad {(Merah, Merah), (Merah, Htam), (Htam, Merah), (Htam, Htam)} Utuk perstwa B yag salg depede, berlaku hukum perkala: ( B) P A = P(A) P(B), karea P(A B) = P(A) da P(B A) = P(B) 89

104 LAMPIRAN 4B: TEOREMA BAYES Msalka B merupaka dua perstwa yag tdak depede dalam ruag sampel S maka: P ( A B) P(A B) = P B Dar: P(B A) = ( ) ( B) P ( A) P A dperoleh: P ( A B) = P(A) P(B A) sehgga: P ( A) P ( B A) P(A B) = P ( B) Sela tu deomator (peyebut) P( B ) dapat djabarka mejad: P(B) = P ( B A) sehgga dperoleh terorema Bayes: P(A B) = + P ( B A ) C = P(A) P(B A) + P(A C ) P(B A C ) ( ) ( ) P A P B A ( ) ( ) ( ) ( ) C C + P A P A P B A A P B (hukum probabltas total) (47) Dalam perkembaga selajutya, teorema Bayes mejad sed utama bag pegembaga Statstka Bayesa, suatu alra Statstka yag merupaka alteratf bag Statstka Klask Neyma-Pearso yag dpelajar d s Cotoh: Pada berbaga uj dagostk d bdag kesehata umumya dmlk dua parameter, yatu sestvtas da spesfstas Sestvtas adalah probabltas bahwa seseorag meujukka hasl uj postf dega syarat a sakt (mederta peyakt yag dperksa dega uj dagostk tersebut): S = P ( pos sakt ) sedagka spesfstas adalah probabltas seseorag meujukka hasl uj egatf dega syarat a tdak sakt: Sp = P ( eg tdak sakt ) 90

105 Dalam praktk, dega memperoleh hasl uj postf atau egatf, yag g dketahu alah probabltas seseorag mederta peyakt dega P sakt pos ataupu probabltas syarat hasl ujya postf, yatu ( ) seseorag tdak mederta peyakt dega syarat hasl ujya egatf, yatu P tdak sakt eg Probabltas dapat dhtug jka dketahu propors ( ) pederta peyakt tersebut dalam populas, yatu probabltas tdak bersyarat utuk mederta peyakt tersebut Msalka suatu uj dagostk utuk peyakt DM (Dabetes Meltus) dketahu memlk sestvtas sebesar 90% da spesfstas 70%, da dketahu pula propors pederta DM dalam populas adalah 8%, maka: Ddefska: A : perstwa subjek mederta DM C A : perstwa subjek sehat (tdak mederta DM) B : perstwa subjek meujukka hasl uj postf C B : perstwa subjek meujukka hasl uj egatf da dketahu bahwa: Selajutya: P(B A) = P( pos DM ) = S = 090 C C ( ) P B A = ( ) P( A ) = ( ) P eg sehat = Sp = 070 P DM = 008 C P( B A ) = ( ) C P ( B A ) = ( ) C P( A ) = P( sehat ) = 008 = 09 C C P A P B A + P( A ) P( B A ) da: P( B ) = ( ) ( ) P( pos ) = ( ) P eg DM = S = 090 = 00 P pos sehat = Sp = 070 = 030 P pos DM + P( sehat ) P ( pos sehat ) P DM ( ) = (008)(090) + (09)(030) = 0348 Sehgga: P(A B) = ( ) ( ) P A P B A ( ) P B 9

106 atau: P ( DM pos ) = Kemuda: Sehgga: C P ( B ) = P ( A) ( ) ( ) P DM P pos DM ( ) P Pos = ( 008 )( 090 ) 0348 C A + C P ( A ) P B = 0069 = 069% P B P( eg ) = ( ) P eg DM + ( ) P A C B P DM ( ) = (008)(00) + (09)(070) = 065 C atau: P ( sehat eg ) = P ( A ) P B C P( B ) C C C A ( ) ( ) P sehat P eg sehat ( ) P eg = ( 09 )( 070 ) 065 C A C P sehat P( eg sehat ) = = 9877% Maka dsmpulka bahwa seseorag yag hasl ujya postf haya memlk probabltas sebesar 069% utuk mederta DM, sebalkya seseorag yag hasl ujya egatf memlk probabltas sebesar 9877% utuk tdak mederta DM 9

107 LATIHAN 4 Baga Pertama Plhlah satu jawaba yag palg bear! Hmpua yag berska semua hasl yag mugk dperoleh pada suatu eksperme damaka: A Ttk sampel C Perstwa sederhaa B Ruag sampel D Perstwa kompleks Aggota hmpua gabuga (uo) dua perstwa A atau B adalah: A Usur yag termasuk dalam A B Usur yag termasuk dalam B C Usur yag termasuk dalam keduaya D Semuaya bear 3 Aggota hmpua rsa (terseks) A da B adalah: A Usur yag termasuk dalam A B Usur yag termasuk dalam B C Usur yag termasuk dalam keduaya D Semuaya bear 4 Jka dketahu A da B salg asg da meyataka hmpua kosog, maka: A A B = C (A C B C ) C = B A B = D (A C B C ) C = 5 Area berwara gelap pada dagram Ve d bawah adalah: A A (B C) B A C (B C) C (A B) C D (A B) (B C) (A C) 93

108 6 Pada pelotara sebuah dadu, A meyataka yag tampak d atas adalah agka gajl, B meyataka yag tampak d atas adalah agka geap, C meyataka agka yag tampak d atas lebh besar darpada 5, da S meyataka semesta (uverse), maka: A A B = S C B C = C B A C = S D B C = C 7 A, A, da A 3 masg-masg merupaka hmpua baga dar hmpua A Jka A A A 3 = A, maka hubuga atara A, A, da A 3 dkataka bersfat: A Salg asg (mutually eclusve) B Terbag habs (mutually ehaustve) C A) da B) bear D A) da B) salah 8 Plhlah peryataa yag bear: A Hukum pejumlaha berlaku pada dua perstwa yag salg depede B Hukum perkala berlaku pada dua perstwa yag salg asg C A) da B) bear D A) da B) salah 9 Sebuah dadu yag setmbag dlotarka dua kal berturut-turut Probabltas utuk medapatka jumlah agka 7 pada kedua pelempara adalah: A 3 = B 4 = C 6 = D 7 =

109 0 Sebuah dadu da sebuah ko, keduaya setmbag, dlotarka bersama-sama Probabltas utuk medapatka agka lebh besar darpada 4 pada dadu da ss belakag ko bersama-sama adalah: A B = 4 6 = Sebuah dadu da sebuah ko, keduaya setmbag, dlotarka bersama-sama Probabltas utuk medapatka agka geap pada dadu da ss muka ko bersama-sama adalah: A B C D = C = 4 Tga buah lampu tada darurat masg-masg mempuya probabltas 07 aka meyala Dega aggapa ketga lampu tu meyala secara depede, maka probabltas bahwa ketgaya meyala adalah: A 0334 C 0433 B 0343 D 0434 D = 5 6 = 6 = 5 6 = 6 Baga Kedua Plhlah satu jawaba yag palg bear! Bayakya blaga bulat atara dega tdak ada dgt yag sama adalah: A 648 C 9(P 0 ) B 900 D 0( P ) Dua belas pertayaa dalam uja harus djawab dega B (bear) atau S (salah) Seorag mahasswa mecoba mejawab secara acak dega 6 jawaba B da 6 jawaba S Ada berapa cara sepert? A 900 C 94 B 90 D

110 3 Grup A, B, da C berturut-turut mempuya 57, 49, da 43 orag aggota A da B mempuya 3 aggota bersama; A da C mempuya 7 aggota bersama; B da C 4 aggota bersama; orag aggota dar ketga grup Probabltas medapatka orag aggota ketga grup adalah: A B Lma kartu dambl (tapa pegembala) dar set kartu brdge Probabltas tdak ada Ace d atara kelma kartu tu adalah: A B 48 5 ( 48)( 5) C Dar 4 kartu tertutup dketahu berwara merah da htam Seseorag meebak wara keempat kartu tersebut Probabltas tdak ada tebaka yag bear adalah: A B C 4 C 4 C D C D C D 5 60 C C C C 4 4 C 4 96

111 6 Satu tahu daggap terdr atas 365 har Probabltas palg sedkt orag d atara 5 orag mempuya taggal lahr yag sama adalah: 7 A 365 B C D ( 365)( 364)( 363)( 36)( 36) ( 365)( 364)( 363)( 36)( 36) Tga kotak; I, II, da III masg-masg bers sejumlah bola puth (p) da merah (m) Dar kotak I dambl bola, dmasukka dalam kotak II Kemuda dar kotak II dambl bola, dmasukka ke dalam kotak III Selajutya bola dambl dar kotak III Probabltas utuk medapatka bola merah pada pegambla ketga adalah: A B C D

112 8 Dar 5 kartu brdge dambl setap kal kartu berturut-turut tapa pegembala Berapa probabltas kartu wajk (damod) tampak ketga kalya pada pegambla ke-6? C C C C 3 3 A C 5 5 C C 47 B C C 3 C D C C 3 C Baga Ketga Selesakalah soal-soal berkut! Jka sebuah dadu dlotarka, da A = {, 3}, B = {, 5, 6}, da C = {4, 5}, maka: A A B = E C C = B A B = F (A B) C = C A C = G (B C) C = D A C = H (A C) C = Sebuah dadu dlotarka dua kal Perstwa-perstwa P, Q, R, da T ddefska sebaga berkut: P : Lotara pertama meghaslka blaga geap Q : Lotara kedua meghaslka blaga gajl R : Lotara kedua meghaslka agka T : Lotara pertama meghaslka agka 6, maka: A Eleme-eleme perstwa P Q R adalah: B Eleme-eleme perstwa P R T adalah: 3 D atara 600 orag lak-lak dewasa d desa X, terdapat 6 orag tua aksara, sedagka d atara perempua dewasaya ddapatka 8 orag tua aksara Jumlah peduduk dewasa d desa X adalah 000 orag Jka seorag peduduk dewasa dplh secara acak dar desa X, htuglah probabltas bahwa a lak-lak dega syarat a buta huruf 98

113 4 Dketahu 3 perstwa A, B, da C A da B salg depede, B da C salg asg P (A), P (B), da P (C) masg-masg adalah 05, 03, da 0 Nyataka perstwa berkut dalam otas probabltas da htuglah probabltasya: A B da C keduaya terjad B Palg sedkt salah satu dar A da B terjad C B tdak terjad D Ketga perstwa terjad 99

114 BAB 5 DISTRIBUSI TEORETIS 5 KONSEP DASAR DISTRIBUSI PROBABILITAS Varabel Radom Suatu varabel radom (peubah acak) X adalah: cara member la agka bag tap usur ruag sampel; atau: X (a) adalah ukura karakterstk tertetu, yag dberka bag tap usur a suatu ruag sampel Cotoh 5: Percobaa melotarka mata uag logam tga kal meghaslka ruag sampel berkut: MMM MMB MBB BBB S = MBM BMB BMM BBM Jka mata uag logam sembag, delapa usur ruag sampel memlk probabltas sama besar, masg-masg dega probabltas /8 Msalka varabel radom X adalah bayak M dalam tap usur, maka: Cotoh 5: X (MMM) = 3 X (MMB) = X (MBM) = X (BMM) = X (MBB) = X (BMB) = X (BBM) = X (BBB) = 0 Seorag mahasswa dplh secara acak dar kelas yag beraggotaka 30 mahasswa Ruag sampelya terdr atas 30 mahasswa, dyataka sebaga S = { a, a,, a 30 } Msalka varabel radom Y (a) meyataka deks prestas mahasswa a, da IP mahasswa a = 36, IP mahasswa a = 43, da seterusya, maka: 00

115 Y ( a ) = 36 ; Y ( a ) = 43 ; da seterusya Suatu varabel radom yag haya dapat mejala la-la berbeda yag bayakya berhgga (data dskret) dsebut varabel radom dskret Suatu varabel radom yag dapat mejala setap la (tak berhgga bayakya) dalam suatu terval (data kotu) dsebut varabel radom kotu Pada cotoh 5 d atas, X haya dapat mejala la-la dalam hmpua terhgga {0,,, 3} Jad X adalah varabel radom dskret Pada cotoh 5 d atas, Y(a) dapat mejala setap la yag tak berhgga bayakya, atara 0 da 4, termasuk Jad Y (a) adalah varabel radom kotu Dstrbus Probabltas Lhat kembal hasl tga kal pelotara mata uag d atas Ruag sampelya adalah: S = MMM MMB MBB BBB MBM BMB BMM BBM Dega asums mata uag sembag, sehgga tap usur memlk probabltas sebesar /8 utuk terjad, maka dperoleh dstrbus probabltas dskret berkut: Tabel 5 Dstrbus probabltas X Nla X 0 3 Probabltas X /8 3/8 /8 3/8 Dar dstrbus probabltas d atas, dapat dhtug probabltas perstwa-perstwa yag berhubuga dega X, msalya: P [X > ] = P [X = ] + P [X = 3] = 3/8 + /8 = 4/8 = ½ P [ < X < 3] = P [X = ] + P [X = ] + P [X = 3] = 3/8 + 3/8 + /8 = 7/8 0

116 Nla Harapa da Varas Rerata suatu varabel radom X atau dstrbus probabltasya, damaka juga la harapa X da dtulska E [X] Jka X dapat mejala la-la yag mugk X, X,, dega probabltas masg-masg f ( X ) = P [X = X ], maka la harapa X adalah: E [X] = rerata X = µ = X f ( X ) (5) = Cotoh 53: Msalka varabel radom X meyataka jumlah aak dalam tap keluarga d egara Rusa, da dstrbus probabltasya dketahu, perhtuga la harapa X = rerata X dapat dlakuka sepert terlhat pada tabel 5 berkut: Tabel 5 Dstrbus probabltas jumlah aak dalam keluarga d egara Rusa da perhtuga la harapaya Cotoh 54: X f ( X ) X f ( X ) f ( X ) = E [X] = 9 = Dalam suatu permaa dadu yag dyataka sembag, utuk berma satu lempara, pema harus membayar C rbu rupah da aka meerma uag (dalam rbua rupah) sebayak ttk yag tampak d atas pada hasl pelempara dadu tersebut Msalka varabel radom X meyataka jumlah uag (dalam rbua rupah) yag dterma pema, dstrbus probabltasya adalah: 0

117 Tabel 53 Dstrbus probabltas jumlah uag yag dterma pema pada permaa dadu sembag Nla X Prob X /6 /6 /6 /6 /6 /6 E [X] = /6 ( ) = 35 = Rp 3,500 Maka permaa dapat dyataka adl jka C = Rp 3,500, sehgga bayak uag yag dterma pema dalam jagka pajag aka sama dega bayak uag uag yag dbayar utuk berma Sfat-sfat la harapa: ) Jka b blaga kosta, maka: E [b] = b (5) ) Jka a blaga kosta, maka: E [ax] = a E [X] (53) 3) Jka a da b blaga kosta, maka: Var ( X ) atau E [ax + b] = a E [X] + b (54) Varas varabel radom X atau dstrbus probabltas, dtulska atau: Var ( X ) = σ, adalah la harapa kuadrat devas terhadap rerata: Var ( X ) = E [ X µ ] E X = E X ( [ ]) µ (55) E X (55a) Stadar devas varabel radom X atau dstrbus probabltasya, dtulska SD (X) atau σ, adalah akar varas varabel radom X atau dstrbus probabltasya Cotoh 55: Msalka varabel radom X meyataka jumlah pejuala HP merek N per har Dstrbus probabltasya da perhtuga varasya dperlhatka pada tabel 54 berkut: 03

118 Tabel 54 Dstrbus probabltas jumlah pejuala HP merek N da perhtuga varasya X f ( X ) X f ( 04 X ) X f ( Var ( X ) = f ( X ) = E [X] = 7 ( [ ]) E X E X = 93 (7) = 0 SD (X) = 0 = 4 Sfat-sfat varas da stadar devas: Utuk a da b kosta: Var ( X ) o-egatf: ( ) Var ( X ) > 0 ( ) Var ( X + b) = ( ) 3 Var ( ax ) = 4 Var ( ax b) + = Dega trasformas: SD X o-egatf: X ) E X = 93 SD X > 0 (56) Var X SD (X + b) = SD (X) (57) a Var ( X ) 3 SD (ax) = a SD (X) (58) Z = a Var ( X ) 4 SD (ax + b) = a SD (X) (59) X µ σ (50) maka varabel radom X dega rerata µ da stadar devas σ mejad varabel radom Z yag mempuya rerata 0 da stadar devas Varabel radom Z damaka varabel radom stadar E (Z) = 0 Var (Z) = (50a) (50b)

119 Cotoh 56: Msalka varabel radom X meyataka bayak pejuala HP merek N per har da varabel radom Y meyataka keutuga bershya sebaga fugs X: Y = 5,000 X,000 Maka: E [Y] = E [5,000 X,000] = 5,000 E [X],000 = (5,000)(7),000 =,500 Var (Y) = Var [5,000 X,000] = 5,000 Var (X) = (5,000 )(0) = 50,50,000 SD (Y) = 50,50,000 = 7, DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET Dstrbus Uform Msalka varabel radom X (a) meyataka la-la yag dberka bag hasl yag mugk dperoleh pada percobaa dega ruag sampel S = { a, a,, a }, maka varabel radom X dkataka berdstrbus uform jka: P ( X ) = (5) Cotoh dstrbus uform msalya dstrbus probabltas varabel radom X yag meyataka ttk yag tampak d atas pada pelotara berulag sebuah dadu yag sembag Varabel radom X dapat mejala la-la dalam hmpua {,,, 6} masg-masg dega probabltas P ( X ) = /6 Grafk cotoh dstrbus probabltas uform d atas dperlhatka dalam betuk dagram gars pada dagram 5 berkut: 05

120 Dagram 5 Cotoh grafk dstrbus uform Dstrbus Bomal Dstrbus bomal dapat daggap sebaga hasl percobaa yag dulag-ulag, yag memeuh syarat sebaga Beroull trals Sfat-sfat Beroull trals : Tap percobaa (tral) meghaslka salah satu dar dua kemugka, yag damaka sukses (S) da tdak sukses / gagal (T) Pada tap percobaa, probabltas sukses selalu tetap da dyataka sebaga: p = P (S) Probabltas tdak sukses dyataka sebaga: sehgga: q = P (T) = p p + q = (5a) (5b) (5c) 3 Percobaa-percobaa depede satu dega yag la: Hasl suatu percobaa tdak dpegaruh oleh hasl pada percobaa-percobaa sebelumya Cotoh 57: Msalka dlakuka Beroull trals sebayak kal, dega probabltas sukses p pada tap percobaa Varabel radom X meyataka bayak sukses dalam kal percobaa tersebut, maka dstrbus probabltas X dkataka berdstrbus bomal dega kal percobaa da probabltas sukses p Msalka dlakuka = 4 kal percobaa, maka semua hasl yag mugk adalah sebaga berkut: 06

121 TTTT TTTS SSTT SSST SSSS TTST STST SSTS TSTT STTS STSS STTT TSST TSSS TSTS TTSS Dstrbus probabltasya dperlhatka pada tabel 55 berkut: Tabel 55 Cotoh Dstrbus Bomal dega = 4 Nla X Bayak hasl: 4 C 0 = 4 C = 4 4 C = 6 4 C 3 = 4 4 C 4 = C Prob tap hasl: 0 p p p 3 p 4 p 4 q = p 4 q 3 q = p q 3 q q = 0 q = 3 p q 4 p q Maka dperoleh dstrbus probabltas dstrbus bomal: P (X = ) = C p q ; = 0,,, (53) Beberapa cotoh grafk dstrbus bomal dapat dlhat pada dagram 5 Dagram 5 Cotoh beberapa grafk dstrbus bomal dega = 5 da berbaga la p 07

122 Cotoh 58: Sepasag suam ster yag baru mekah merecaaka utuk memperoleh empat orag aak Jka recaaya mugk terlaksaa da dketahu probabltas utuk memperoleh aak lak-lak dalam tap kelahra adalah 05, maka: a Probabltas utuk memperoleh empat orag aak lak-lak: 4 C 4 4 p P (X = 4) = = ()(05 4 ) = b Probabltas utuk memperoleh tga orag aak lak-lak: P (X = 3) = 4 C 3 3 p q = (4)(05 3 )(049) = 0600 c Probabltas utuk memperoleh dua orag aak lak-lak: q 4 P (X = ) = C p = (6)(05 )(049 ) = d Probabltas utuk memperoleh palg sedkt dua orag aak lak-lak: P (X > ) = P (X = ) + P (X = 3) + P (X = 4) = = 0704 Nla-la probabltas dstrbus bomal dapat dlhat tabel probabltas bomal (Addedum B) Utuk mejelaska pegguaaya, dperlhatka cuplka tabel bomal pada tabel 56 berkut Msalya: Utuk = da p = 00 : P (X = ) = 0098 Utuk = 3 da p = 040 : P (X = ) = 0880 Utuk = 5 da p = 099 P (X = 5) = 0778 Kebayaka tabel bomal tdak meyajka la-la probabltas utuk p > 050 Perhatka bahwa: P (X = p) = P (X = p = p); yatu probabltas utuk medapatka kal sukses P (X = ) adalah sama dega probabltas utuk medapatka ( ) kal sukses P (X = ) dar percobaa dega yag sama da probabltas sukses baru p = p 08

123 Tabel 56 Cuplka tabel dstrbus bomal [P (X = )] 3 5 Msalya: X p Jka =, P (X = 0) = 0000 utuk p = 099, berla sama dega: P (X = ) = 0000 utuk p = 00 Jka =, P (X = ) = 0980 utuk p = 09, berla sama dega: P (X = 0) = 0980 utuk p = 00 Jka = 3, P (X = ) = 0094 utuk p = 099, berla sama dega: P (X = ) = 0094 utuk p = 00 Nla-la probabltas dstrbus bomal dapat pula dsajka secara kumulatf, yatu P (X < ) dalam betuk tabel bomal kumulatf (Addedum B) 09

124 Tabel 57 Cuplka tabel dstrbus bomal kumulatf P (X < ): 3 5 X p Msalya: Utuk = da p =00 : P (X = ) = P (X < ) P (X = 0) = = 0098 Utuk = 3 da p = 040 : P (X = ) = P (X < ) P (X < ) = = 0880 Utuk = 5 da p = 099 : P (X = 5) = P (X < 5) P (X < 4) = 00 0 =

125 Dstrbus Hpergeometrk Sampel dega da tapa pegembala: Pegembala sampel dapat dlakuka dega atau tapa pegembala Pada samplg (pegambla sampel) dega pegembala (wth replacemet), tap aggota sampel yag terplh dkembalka ke dalam hmpua calo aggota sampel utuk pemlha aggota sampel berkutya, sehgga tap aggota populas dapat terplh lebh darpada satu kal (ataupu tdak terplh) utuk mejad aggota sampel Pada samplg tapa pegembala (wthout replacemet), tap aggota sampel yag terplh dkeluarka dar hmpua calo aggota sampel utuk pemlha aggota sampel berkutya, sehgga tap aggota populas haya mugk terplh satu kal (ataupu tdak terplh) utuk mejad aggota sampel Pegambla sampel dega pegembala dar populas yag memlk karakterstk yag bersfat ber (dkotom) aka meghaslka dstrbus bomal, sedagka pegambla sampel tapa pegembala dar populas yag memlk karakterstk ber meghaslka dstrbus hpergeometrk Cotoh 59: Sebuah bers 6 bola merah (M) da bola htam (H) Dar kotak tersebut, dkeluarka sebuah bola secara acak tga kal berturut-turut Probabltas utuk medapatka bola merah atau htam pada tap kal pegambla, bak pada samplg dega ataupu tapa pegembala dperlhatka pada dagram 53 Pada samplg dega pegembala, komposs s kotak selalu tetap 6 bola merah da 4 bola htam, probabltas utuk medapatka bola merah selalu tetap berupa P (M) = 6/0 da probabltas utuk medapatka bola htam selalu tetap berupa P (H) = 4/0 Probabltas utuk medapatka bola merah (atau bola htam) pada kal pegambla sampel dega pegembala dapat dhtug dega megguaka dstrbus bomal Pada samplg tapa pegembala, probabltas utuk medapatka bola merah (atau bola htam) pada tap kal pegambla aka selalu berubah, karea komposs s kotak aka selalu berubah, sesua dega hasl yag dperoleh pada pegambla sebelumya Probabltas utuk medapatka bola merah (atau bola htam) pada kal pegambla sampel tapa pegembala dapat dhtug dega megguaka dstrbus hpergeometrk

126 Dagram 53 Skema probabltas hasl tap percobaa pada samplg dega da tapa pegembala

127 Cotoh 50: Msalka dalam sebuah populas yag beraggotaka N = 000 terdapat 300 orag perokok (= R) da 700 orag buka perokok (= R ) Apabla dplh orag secara acak d atara aggota populas, maka probabltas utuk medapatka perokok pada kedua kal memlh aggotaya secara acak tersebut adalah: a Samplg dega pegambla: - Memlh aggota pertama: terdapat 300 orag perokok d atara 000 aggota populas Probabltas utuk memperoleh perokok adalah P R P (R) = 300/000 = 030 ( ) - Memlh aggota kedua: Tak tergatug hasl pemlha pertama, karea selalu aka dkembalka kedalam populas, pada pemlha kedua terdapat 300 orag perokok d atara 000 aggota populas Probabltas utuk memperoleh adalah P (R) = 300/000 = 030 b Samplg tapa pegembala: - Memlh aggota pertama: terdapat 300 orag perokok d atara 000 aggota populas Probabltas utuk memperoleh perokok adalah P (R) = 300/000 = Memlh aggota kedua: Haslya tergatug pada hasl pemlha pertama = Pemlha pertama meghaslka seorag perokok (= R): Utuk pemlha kedua terdapat 99 orag perokok d atara 999 aggota populas Probabltas utuk memperoleh perokok adalah P (R) = 99/999 = 0993 = Pemlha pertama meghaslka seorag buka perokok (= R ): Utuk pemlha kedua terdapat 300 orag perokok d atara 999 aggota populas Probabltas utuk memperoleh perokok adalah P (R) = 300/999 = Proses samplg secara skemats dperlhatka pada dagram 54 Tampak bahwa utuk N besar (da kecl; << N), probabltas hasl samplg tapa pegembala dapat daggap sama dega samplg dega pegembala 3

128 = : R 300 Dega pegembala ) P (R) = = R N Tapa pegembala ) P (R) = = ) P (R) = Cotoh 5: 99 = ) P (R) = = ) P (R) = 999 = Dagram 54 Skema probabltas hasl tap percobaa pada samplg dega N besar ( << N) Msalka sebuah kotak bers 50 tabug elektrok, 0 d ataraya rusak da 40 bak a N a 0 40 N 50 a Dambl sampel = 3 tube (tapaa pegembala; < a): X meyataka jumlah tube yag rusak dalam sampel: X = {0,,, 3}; yatu: X = {0,, } b Dambl sampel = 5 ( > a): X = {0,,, 0}; yatu: X {0,,, a} 4

129 Utuk soal a : P (X = 0) = P (X = ) = C C3 C C C C P (X = ) = P (X = 3) = C C3 C C C C Utuk soal b : P (X = 0) = P (X = ) = da seterusya C C5 C C C C P (X = ) = P (X = 3) = C C5 C C C C Secara umum dstrbus probabltas dstrbus hpergeometrk dapat dyataka sebaga: P (X = ) = a C C C N a N (54) = 0,,, jka < a = 0,,, a jka > a Matrks 5 Rerata da varas dstrbus bomal da hpergeometrk Dstrbus Bomal Hpergeometrk Rerata µ = p µ = a N = p Var σ = p ( p) = p q σ = a b N N N N N = p q N Jka N besar da N >>, maka: N N da N N N sehgga: p q N p q da varas dstrbus hpergeometrk dapat daggap sama dega varas dstrbus bomal 5

130 Dalam praktk, pegambla sampel tapa pegembala dapat dasumska berdstrbus bomal jka N besar da N >> Nla-la probabltas hpergeometrk juga dapat dlhat pada tabel probabltas hpergeometrk, walaupu tdak semua buku-buku Statstka melamprkaya Cuplka tabel tersebut dapat dlhat pada tabel 58 berkut Tabel 58 Cuplka tabel dstrbus hpergeometrk [P (X = )] N a P () N a P () Msalka N = 9, = 4, da a = 4, maka: P (X = 3) = 0587 P (X = 4) = Cotoh kedekata la-la probabltas dstrbus hpergeometrk da dstrbus bomal jka N besar da N >> dperlhatka secara grafkal pada dagram 55 6

131 Dagram 55 Grafk dstrbus hpergeometrk (a = 0, N = 000, = 00) da dstrbus bomal (p = 00, = 00) Dstrbus Posso Varabel radom bomal X dasumska berdstrbus Posso (dbaca: pwa-sog ) jka sagat besar da p sagat kecl (medekat 0), sehgga hasl perkala da p bersfat kosta da laya tdak terlalu besar p = λ (kosta) Dstrbus probabltas dstrbus Posso adalah: P (X = ) = λ λ e! e = 788 (blaga pokok log aturals) Rerata X = Var (X) = λ (55) (55a) Cotoh 5: Suatu proses produks memlk probabltas % utuk meghaslka produk cacat Jka yag dperksa adalah 00 produk, maka: p = 00 = 00 7

132 λ = p = (00)(00) = P (X = ) = P (X = 0) = P (X = ) = λ λ e! 0 e λ 0! e λ! = 035 = 07 P (X = ) = e λ! = 07 Nla-la probabltas Posso juga dapat dperoleh dar tabel probabltas Posso, yag cuplkaya dperlhatka pada tabel 59 Tabel 59 Cuplka tabel dstrbus Posso [P (X = )] X λ Msalka, utuk λ = (cotoh 50 d atas) P (X = 0) = 0353 P (X = ) = 0707 P (X = ) = 0707 P (X < ) = P (X = 0) + P (X = ) + P (X = ) = = P (X > 3) = P (X < 3) = P (X < ) = = 0333 Cotoh-beberapa grafk dstrbus Posso dega berbaga la rerata (= λ) dperlhatka pada dagram 56 8

133 Dagram 56 Cotoh beberapa grafk dstrbus Posso dega berbaga la rerata (= λ) 53 DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU Dstrbus Homoge Varabel radom kotu X dkataka berdstrbus homoge dalam terval [a, b], apabla varabel tu mempuya fugs probabltas yag berbetuk: f () = b a a < < b (56) Dstrbus homoge dapat daggap sebaga couterpart kotu bag dstrbus uform yag dskret (lhat dagram 57 d bawah); walaupu ada juga yag tetap meyebut betuk kotu sebaga dstrbus uform 9

134 Dagram 57 Grafk fugs probabltas dstrbus homoge Dstrbus Normal Varabel radom kotu X dkataka berdstrbus ormal (dstrbus Gauss) dega rerata µ da varas σ, jka varabel tu mempuya fugs probabltas yag berbetuk: f () = πσ e σ ( µ ) ; < < (57) σ > 0 π = 34 da e = 78 Jka fugs probabltas tu dgambarka, maka dperoleh grafk sepert pada dagram 58 d bawah, yag damaka kurva ormal 0

135 Dagram 58 Kurva ormal X dega rerata µ da varas σ Sfat-sfat kurva ormal: Nla modus, yatu la sumbu X dega kurvaya maksmum terletak pada = µ Kurva ormal smetrs terhadap sumbu vertkal melalu µ 3 Kurva ormal mempuya ttk belok pada = µ + σ 4 Kurva ormal memotog sumbu horzotal secara asmtots 5 Luas area d atara kurva ormal da sumbu horzotal sama dega (secara sgkat dkataka, luas kurva ormal sama dega ) Luas area kurva ormal merupaka la probabltas utuk memperoleh seluruh la-la yag berada dalam area tersebut Atas dasar persamaa : ( ) f d = πσ ( µ ) σ e d = maka luas area kurva ormal atara = a da = b (= probabltas bahwa la terletak atara a da b) dapat dhtug sebaga: P [a < < b] = f ( ) b d (58) a

136 Dagram 59 Luas area kurva ormal atara = a da = b Beberapa luas area pada kurva ormal X (lhat dagram 50): P [µ σ < X < µ + σ] 68% ) P [µ σ < X < µ + σ] 95% ) (59) P [µ 3σ < X < µ + 3σ] 99% ) Dagram 50 Beberapa luas area pada kurva ormal X Dstrbus Z (Dstrbus Normal Stadar) Kurva ormal dapat berbeda-beda, tergatug pada la parameterya µ da σ (lhat dagram 5a da 5b) Utuk peyusua tabel probabltasya serta meyederhaaka pegguaaya, dperluka stadardsas bag kurva ormal, yag meghaslka kurva ormal stadar

137 Dagram 5a Kurva ormal dega varas yag sama, amu rerata berbeda: µ < µ < µ 3 Dagram 5b Kurva ormal dega rerata yag sama, amu varas berbeda: σ < σ < σ 3 Msalka varabel radom kotu X berdstrbus ormal dega rerata µ da varas σ Maka trasformas Z = ( ) X µ σ dkataka berdstrbus Z (berdstrbus ormal stadar) dega rerata 0 da varas (lhat cotoh pada dagram 5) f (z) = e z ; < < (50) π 3

138 Dagram 5 Trasformas varabel radom ormal X dega µ = 50 da σ mejad varabel radom ormal stadar Z Beberapa luas area pada kurve ormal stadar Z (lhat dagram 53): P [ < Z < +] 68% ) P [ < Z < +] 95% ) (5) P [ 3 < Z < +3] 99% ) Dagram 53 Beberapa luas area pada kurva ormal stadar Z Luas area pada kurva dstrbus Z dapat dlhat pada tabel Z Peyaja tabel Z dapat dlakuka dalam berbaga betuk Dalam salah satu betuk peyaja, yag cuplkaya dsajka pada tabel 50 d bawah, luas area (table area, TA) yag dmaksud adalah luas area dar Z = 0 sampa dega la z tertetu, yatu P (0 < Z < z) 4

139 Tabel 50 Cuplka salah satu betuk tabel Z [P (0 < Z < z)] Z Nla-la yag tercatum dalam bada tabel meyataka luas area [0 < Z < a]; a merupaka la pada tep kr da ss atas tabel Karea dstrbus Z memlk stadar devas sama dega, maka satua pegukura pada sumbu horzotal adalah σ Perhatka cotoh: P [Z = b] = 0 (sfat yag berlaku utuk seluruh dstrbus probabltas kotu) P [000 < Z < 00] = P [000 < Z < 00] = 0343 P [ 00 < Z < 000] = P [ 00 < Z < 000] = P [000 < Z < 00] (sfat smetrs dstrbus Z) = 0343 P [ Z < 00] = P [ 00 < Z < 00] = ()(0343) = 0686 P [000 < Z < 00] = 047 P [ Z < 00] = ()(0477) = P [000 < Z < 300] = 04987

140 P [ Z < 300] = ()(04987) = P [000 < Z < 96] = P [ Z < 96] = ()(04750) = Dapat dbalk: Jka A = 95%, maka Z < 96 (dega syarat A smetrs terhadap sumbu vertkal) P [ Z < 64] = ()(04495) = Dapat dbalk: Jka A = 99%, maka Z < 64 (dega syarat A smetrs terhadap sumbu vertkal) P [00 < Z < 00] = P [000 < Z < 00] P [000 < Z < 00] = = 0359 P [ 00 < Z < 00] = P [ 00 < Z < 000] + P [000 < Z < 00] = P [000 < Z < 00] + P [000 < Z < 00] = = 0885 Utuk aplkas tabel Z pada perhtuga bag varabel radom X yag berdstrbus ormal, trasformaska terlebh dahulu la-la X mejad la Z: Z = X µ σ sebalkya pada akhr perhtuga, la-la Z dapat dtrasformaska kembal ke la X: Cotoh 53: X = µ + Z σ Nla-la uja seleks peermaa mahasswa baru secara asoal daggap berdstrbus ormal dega rerata 45 da stadar devas 3 Jka haya 35% calo mahasswa yag aka dterma, berapakah la teredah calo mahasswa yag dterma? Msalka varabel radom ormal X meyataka la-la uja seleks peermaa mahasswa baru, maka X ~ N (45 ; 3) Jka meyataka la teredah calo mahasswa yag dterma, maka: P [X > ] = 035 Dega megguaka tabel Z serta terpolas lear (lhat Lampra 5D da 5E), dperoleh bahwa utuk luas area sebesar 035 pada ss kaa dstrbus Z, la z-ya adalah 04538, sehgga: P [Z > 04538] = 035 6

141 Dar trasformas stadar Z = ( X µ ) σ dperoleh: = µ + z σ da: = 45 + (04538)(3) = 5090 Cotoh 54: Usa hdup rata-rata eleme kerg merek PQR adalah 300 jam dega stadar devas 35 jam Dega asums bahwa dstrbus usa hdup eleme kerg tu medekat dstrbus ormal, htuglah: a Berapa perse eleme kerg merek PQR yag usa hdupya kurag darpada 5 jam? b Berapa perse eleme kerg merek PQR yag usa hdupya kuragya darpada 350 jam? Msalka varabel radom ormal X meyataka usa hdup rata-rata eleme kerg merek PQR, maka X ~ N (300 ; 35), maka propors eleme kerg merek PQR yag usa hdupya kurag darpada 5 jam dapat dyataka sebaga: P (X < 5) yag dega trasformas stadar dapat dubah mejad: P Z < = P (Z < 4) 35 yag berla sama dega: P (Z > 4) = P (0 < Z < 4) = = 006 6% Propors eleme kerg merek PQR yag usa hdupya kurag darpada 350 jam dapat dyataka sebaga: P (X < 350) yag dega trasformas stadar dapat dubah mejad: Dstrbus t P Z < = P (Z < 43) 35 = P (0 < Z < 43) = = 0936 = 936% Dstrbus t (Studet s t) dguaka utuk sampel berukura kecl ( < 30) Gambara kurvaya meyerupa dstrbus Z, amu memlk ekor 7

142 yag lebh tebal (sebara la yag lebh besar) darpada dstrbus Z (lhat dagram 54) Kurvaya / varasya dapat berubah-ubah sesua la derajat bebas -ya (db; df; degree of freedom), yatu db = Pada db > 30, dstrbus t dapat daggap sama dega dstrbus Z Nla-la utuk dstrbus t dapat dlhat pada tabel (lhat cotoh cuplka pada tabel 5) Dagram 54 Dstrbus t da dstrbus Z 8

143 Tabel 5 Cuplka salah satu betuk tabel t [α = P (t > t α )]: db Z Area satu ss Perhatka: o Secara matematk, dstrbus t baru aka sama dega dstrbus Z pada =, amu secara prakts keduaya sudah dapat daggap sama pada = 30 ( = 50) o Pada tabel t, bada tabel memuat la t da luas area tercatum pada ss atas tabel (pada tabel Z, bada tabel memuat luas area, la Z dperoleh dar ss kr da atas tabel) o Sesua kebutuha, tabel t haya memuat la-la t utuk luas area kecl (0% atau kurag) Cotoh 55: Lhat tabel t satu ss (satu ekor, oe-tal) Tampak bahwa utuk db da luas area 005, la t adalah 796 atau: t ( ;005) = 796 9

144 yag dalam koteks probabltas berart bahwa: P [ t ( ) > 796] = 005 Jka dguaka tabel t dua ss (dua ekor, two-tals), la t sebesar 796 dega db aka dperoleh utuk luas area 00, atau: t ( ;00 ) = 796 karea yag dmaksud dega luas area pada tabel t dua ss adalah: P [ t ( ) > 796] = 00 atau: P [( t ( ) < 796] ( t ( ) > 796)] = 00 Pedekata Normal utuk Bomal Jka X berdstrbus bomal dega mea µ = p da varas σ = p q da besar, maka varabel radom: Z = X p pq dapat daggap berdstrbus ormal stadar (5) Pedekata sagat bak jka besar da p medekat 05 (lhat dagram 55) Juga seadaya tdak terlalu besar, pedekata mash cukup bak, dega syarat p tdak terlalu dekat dega 0 atau 30

145 Dagram 55 Pedekata ormal utuk dstrbus bomal dega p = 05 Atas: = 6; tegah: = 0; bawah: = 4 3

146 Pada pedekata ormal utuk bomal basa dguaka koreks kotutas (karea la-la dskret pada dstrbus bomal), yatu: o P (X = c) P (c 05 < X < c + 05) ) o P (X < c) P (X < c + 05) ) (53) o P (X > c) P (X > c 05) ) Cotoh 56: Delapa puluh perse mahasswa Pskolog Guadarma adalah wata Jka 50 orag mahasswa Pskolog Guadarma dplh secara acak, maka probabltas bahwa sekurag-kuragya 35 orag d ataraya adalah wata dapat dhtug dega pedekata ormal utuk bomal (tapa korelas kotutas) = 50 p = 080 q = p = 00 Cotoh 57: 35): p P (X > ) = P Z pq P (X > ) = P Z 35 ( 50)( 080) ( 50)( 080)( 00) = P (Z > 7778) = P ( 7778 < Z < 0) + P (Z > 0) = = 0964 Msalka utuk data pada cotoh 56 d atas hedak dhtug P (X = Dega koreks kotutas pada pedekata ormal: P (X = c) P (c 05 < X < c + 05) P (X = 35) P (345 < X < 355) = P < Z < 8 8 = P ( 9445 < Z < 590) = P (590 < Z < 9445) = =

147 Dega cara eksak (megguaka dstrbus bomal): P (X = ) = P (X = 35) = C p q C 35 ( ) = ( 0 ) Pada cotoh 56 d atas, peyelesaaya yag lebh tepat dega koreks kotutas adalah: P (X > 35) P (X > 345) = P Z > 8 = P (Z > 9445) =

148 LAMPIRAN 5A: RANGKUMAN PARAMETER DISTRIBUSI PROBABILITAS A DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET No Dstrbus Dstrbus probabltas Rerata Varas P [X = ] = + Uform E (X) = Var (X) = =,,, Bomal 3 Hpergeometrk C p P [X = ] = = 0,,,, a b N q C C P [X = ] = C = ma (0, b),, m (a, ) λ λ 4 Posso e P [X = ] =! = 0,,, E (X) = p a E (X) = N = p E (X) = λ + Var (X) = p q a b N Var (X) = N N N N = p q N Var (X) = λ 34

149 B DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU No Dstrbus Dstrbus probabltas Rerata Varas Homoge f () = Normal f () = 3 Normal stadar (Z) f (z) = 4 Studet s t *) f () = b a 35 E (X) = a + b Var (X) = ( b a ) ( µ ) e σ E (X) = µ Var (X) = π σ e z π E (Z) = 0 Var (Z) = + Γ ( + ) π Γ t + E (t) = 0 Var (t) = *) Dstrbus t: db = ; utuk = da, dstrbus t tak memlk varas Γ (λ) = t λ 0 e t dt Γ () = ; Γ () =! ; Γ (3) =! ; ; Γ ( + ) =! ; blaga bulat o-egatf Γ = π 3 ; Γ = Γ = 5 π ; Γ = 3 Γ 3 = 3 π 4 σ

150 LAMPIRAN 5B: BEBERAPA CONTOH PENGGUNAAN DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET Msalka haya 40% pemlk TV yag membayar ura Jka dplh secara acak 0 pemlk TV, maka berapakah probabltas: a Lebh darpada separuhya membayar ura? b Kurag darpada separuhya membayar ura? Jumlah yag membayar ura d atara 0 pemlk TV berdstrbus bomal dega: p = 04 q = p = 06 = 0 P [X = ] = C P [X > ] = = p q C p q Probabltas lebh darpada separuhya membayar ura adalah: 0 C P [X > 6] = = 6 = P [X = 6] + P [X = 7] + P [X = 8] + P [X = 9] + P [X = 0] = = 0663 Probabltas bahwa kurag darpada separuhya membayar ura adalah: 4 C P [X < 4] = = 0 = P [X = 0] + P [X = ] + P [X = ] + P [X = 3] + P [X = 4] = = Perkumpula baraga Samso beraggotaka 0 orag, terdr atas 7 baragawa profesoal da 3 baragawa amatr Jka dplh secara acak dua orag baragawa utuk mewakl perkumpula dalam turame HUT DKI Jakarta, berapa probabltas sekurag-kuragya satu orag yag terplh adalah baragawa amatr? Jumlah baragawa amatr yag mugk terplh d atara dua wakl perkumpula berdstrbus hpergeometrk dega: 36

151 atau: N = 0 = a = 3 b = 7 P [X = ] = a C C C b N P [X > ] = P [X = ] + P [X = ] = C C C C C C ( 3 )( 7 ) ( 3 )( ) = + ( 45) ( 45) = = P [X > ] = P [X = 0] = C C C ( )( ) = ( 45) = = Sebuah kapal peagkap ka rata-rata medapat tga ekor ka dalam lma har Beberapa probabltas peagkapa: a Dua ekor ka dalam tga har b Sekurag-kuragya tga ekor ka dalam dua har Jumlah ka yag dtagkap berdstrbus Posso dega rerata λ = 3 utuk perode 5 har a Utuk perode 3 har, la rerata berubah mejad: 3 λ = 5 λ = (06)(3) = 8 P [X = ] = λ ' e ( λ ')! 37

152 P [X = ] = 8 e 8 = 0678! b Utuk perode har, la rerata berubah mejad: λ = 5 λ = (04)(3) = P [X > 3] = P [X < ] = [P (X = 0) + P (X = ) + P (X = )] = [ ] =

153 LAMPIRAN 5C: NILAI STANDAR (NILAI BAKU, VARIABEL STANDAR Z) Varabel stadar Z adalah varabel dega la mea ol ( µ = 0) da stadar devas satu ( σ z = ) Setap varabel X dapat dtrasformaska mejad varabel stadar Z dega megguaka rumus: Z = X µ σ Jka la µ da σ tdak dketahu, dguaka la peaksrya X (estmatorya), yatu da s, sehgga Z = s Cotoh: Lhat data BB lma orag mahasswa pertama kelas PA0 TA 3003/004 (dalam kg): 50, 56, 47, 45, 54 = 5 = 5 =,786 = = 5 = s = = ( ) 5, = 50 = 46 = 56 z = z = = z = 39

154 3 = 47 z 3 = 4 = 45 z 4 = 5 = 54 z 5 = = 074 = 7 =

155 LAMPIRAN 5D: BEBERAPA CONTOH PENGGUNAAN DISTRIBUSI NORMAL X berdstrbus ormal dega rerata µ = 50 da stadar devas σ = 5 Htuglah luas area kurve ormal atara X = 58 da X = 863 Luas area atara X = 58 da X = 863 adalah sama dega luas area atara Z = 053 da Z = 4, atau: P (58 < X < 863) = P (053 < Z < 4) = P (0 < Z < 4) P (0 < Z < 053) = = 0903 X berdstrbus ormal rerata µ = 60 da stadar devas σ = Htuglah luas area kurve ormal d ss kaa X = 7 Z = 7 60 = 09 Luas area d ss kaa X = 7 adalah sama dega luas area d ss kaa Z = 09 atau: P (X > 7) = P (Z > 09) = P (0 < Z < ) P (0 < Z < 09) = =

156 3 X berdstrbus ormal dega rerata µ = 75 da stadar devas σ = 4 Htuglah luas area kurve ormal d ss kaa X = 70 Z = = 036 Luas area d ss kaa adalah sama dega luas area d ss kaa Z = 036, atau: P (X > 70) = P (Z > 036) = P ( 036 < Z < 0) + P (0 < Z < ) = = X berdstrbus ormal rerata µ = 5 da stadar devas σ = 5 Htuglah luas area kurve ormal d atara X = 0 da X = 348 Luas area atara X = 0 da X = 348 adalah sama dega luas area atara Z = 00 da Z = 96, atau: P (0 < X < 348) = P ( 00 < Z < 96) = P ( 00 < Z < 000) + P (000 < Z < 96) = =

157 LAMPIRAN 5E: INTERPOLASI LINEAR Iterpolas lear dguaka utuk pembacaa tabel probabltas kotu X secara lebh akurat jka dmlk la yag terletak d atara dua la beruruta da yag ada pada tabel (yag masg-masg bersesuaa dega luas area A da A ) da aka dtetuka luas areaya A yag laya berada d atara luas area A da A Salah satu dall plametr (lmu ukur bdag) meyataka: Jka pada segtga sebarag ABC, DE sejajar dega alas BC, maka AD : AB = AE : AC (lhat dagram V) Dagram V Dall plametr: Jka DE // BC, maka AD : AB = AE : AC Aalog dega dall plametr d atas, pembacaa tabel dega terpolas lear dapat dlakuka sebagamaa terlhat pada dagram V, yatu: ( ) : ( ) = ( ) : ( A A ) sehgga dperoleh: A = A + A A ( A A ) Dagram V Iterpolas lear utuk pecara la atau luas area A pada tabel probabltas kotu 43

158 Jka yag dketahu adalah A da yag dcar adalah la, maka: A A = + ( ) A A Yag dmaksud dega tabel probabltas X d s dapat berupa tabel Z, tabel t, ataupu tabel probabltas kotu laya Cotoh: Msalka hedak dcar la z utuk luas area A = P (0 < Z < z) = Dar tabel Z yag bersesuaa dperoleh: z A Maka la z yag bersesuaa utuk A = adalah: z = z + A A A A ( z z ) = 8 + (9 8) = Msalka hedak dcar luas area pada ekor kaa dstrbus t [A = P (T > t)] yag bersesuaa utuk la t = 000 dega derajat bebas 0 Dar tabel t yag bersesuaa la-la yag ada alah: t A ( 0 ;A) Maka luas area A yag bersesuaa utuk la t = 000 dega derajat bebas 0 adalah: t t A = A + ( A A) t t = ( ) =

159 LATIHAN 5 Baga Pertama Plhlah satu jawaba yag palg bear! Plhlah peryataa yag bear: A Var (X + b) = Var (X) + b ; b kostate B SD (X + b) = SD (X) + b C Var (ax) = a Var (X) ; a kostate D SD (ax) = a SD (X) Yag tergolog dalam dstrbus dskret d atara dstrbus teorets d bawah yatu: A Dstrbus ormal C Dstrbus t B Dstrbus Z D Dstrbus Posso 3 Yag tergolog dalam dstrbus kotu d atara dstrbus teorets d bawah yatu: A Dstrbus uform C Dstrbus Posso B Dstrbus bomal D Dstrbus ormal stadar 4 Jka probabltas kelahra bay lak-lak (L) da perempua (P) daggap tepat sama besar, maka probabltas pasaga suam ster yag memlk 5 orag aak utuk memperolehya dega uruta L-L- P-L-L adalah: A B 5 05 = 003 C 5 P ( ) 5 C ( ) D Semua salah 5 Jka probabltas kelahra bay lak-lak (L) da perempua (P) daggap tepat sama besar, maka probabltas pasaga suam ster yag memlk 4 orag aak utuk memperoleh aak lak-lak da aak perempua adalah: A B 4 05 = 0065 C 4 P 05 ( 05) 4 C 05 ( 05) D Semua salah 45

160 6 Jka dasumska bahwa probabltas utuk memperoleh aak lak-lak pada tap kelahra adalah 050, maka probabltas utuk memperoleh palg sedkt orag aak perempua pada pasaga suam ster baru yag merecaaka utuk memperoleh 4 orag aak adalah: A 0065 C 035 B 05 D Jka dasumska bahwa probabltas utuk memperoleh aak lak-lak pada tap kelahra adalah 050, maka probabltas utuk memperoleh sekurag-kuragya orag aak lak-lak pada pasaga suam ster baru yag merecaaka utuk memperoleh 3 orag aak adalah: A 05 C 0750 B 0375 D Soal omor 7 d atas dselesaka dega megguaka dstrbus probabltas: A Uform C Hpergeometrk B Bomal D Posso 9 Dagram d bawah merupaka gambara probabltas dstrbus bomal dega parameter: A p = 05 ; = 3 C p = 075 ; = 3 B p = 05 ; = 3 D p = 05 ; = 0 Pada pegambla sampel tapa pegembala yag dtark dar suatu populas berhgga, perhtuga probabltasya secara eksak ddasarka atas asums dstrbus: A Bomal C Posso B Hpergeometrk D Normal 46

161 Dalam sebuah kotak terdapat bola, 5 puth, 4 merah, da ssaya kug Tga buah bola dambl secara acak tapa pegembala Probabltas bahwa ketga bola yag terambl semuaya tdak merah adalah: 0 A C 8 C 7 C 6 C A) da B) bear 8 4 C3 C0 B D A) da B) salah C 3 D atara 0 orag aggota Hmpua Mahasswa Pecta Belajar Guadarma, 5 orag adalah perokok Jka dplh 5 orag secara acak utuk mejad aggota Bada Pegurus, probabltas bahwa palg sedkt 4 orag aggota Bada Pegurus merokok adalah: A 0937 C 0440 B 0366 D Perhtuga probabltas utuk perstwa-perstwa yag salg depede amu jarag terjad, dega probabltas masg-masg perstwa sagat kecl, dlakuka atas dasar asums dstrbus: A Bomal C Posso B Hpergeometrk D Normal 4 Probabltas seseorag yag memasuk Uverstas KKN aka dapat meyelesaka kulahya adalah 04 Maka probabltas bahwa d atara lma orag mahasswa tdak ada yag tamat adalah: A 000 C 0087 B 0078 D 00 5 Msalka mahasswa baru Guadarma memlk probabltas % utuk lulus sebaga sarjaa dega predkat cum laude Dar sekelompok 00 orag mahasswa baru Guadarma, probabltas bahwa sekuragkuragya 3 orag d ataraya aka lulus sebaga sarjaa dega predkat cum laude adalah: A 0353 C 0333 B 0707 D Jumlah rata-rata paggla telepo yag masuk ke sebuah kator tap met pada jam kerja adalah 5 Probabltas bahwa aka ddapatka tga paggla pada suatu met tertetu dalam jam kerja adalah: A 04 C 0544 B 04 D

162 7 Jumlah rata-rata kosultas yag dterma oleh guru BP d SMU Sata adalah tga kasus per mggu Probabltas bahwa pada mggu depa haya aka ddapatka dua kasus kosultas adalah: A 049 C 04 B 099 D Kurve ormal memlk sfat-sfat berkut, kecual: A Smetrs terhadap sumbu vertkal melalu µ B Mempuya ttk belok pada = µ + σ C Memotog sumbu horzotal secara asmptots D Semuaya merupaka sfat kurve ormal 9 Jka pada suatu dstrbus dketahu bahwa rerata, meda, da modusya bermpt, maka dstrbus tersebut: A Belum tetu berdstrbus ormal B Past berdstrbus ormal C Meceg ke kr D Meceg ke kaa 0 Pada kurve ormal berlaku: A P X + σ 68% B P X µ + σ 68% C P[ µ σ X µ σ ] + 68% D A) da C) bear Nla-la seleks peermaa mahasswa baru Guadarma dapat daggap berdstrbus ormal dega mea 60 da stadar devas Jka haya 70% calo mahasswa yag aka dterma, la teredah calo mahasswa yag dterma adalah: A 47 C 66 B 54 D 73 Jka X berdstbus ormal dega mea 30 da varas 5, maka probabltas bahwa 5 < X < 375 adalah (megguaka tabel): A 0099 C 0433 B 0343 D

163 Utuk soal No 3 da 4: Msalka la-la uja akhr semester mahasswa Guadarma dapat daggap berdstrbus ormal dega mea 65 da varas 00 3 Jka ambag la batag lulus dtetapka sebesar 55, maka persetase mahasswa yag tdak lulus adalah: A 40 % C 34 % B 59 % D 460 % 4 Jka dputuska bahwa 0% mahasswa terbak la uja akhr semesterya aka dberka beasswa pada semester berkutya, maka la teredah yag medapatka beasswa adalah: A 675 C 84 B 778 D Dstrbus t (Studet s t) memlk sfat: A Ekorya lebh tps darpada dstrbus Z B Nla-laya lebh meyebar dbadgka dega dstrbus Z C Secara prakts dapat daggap sama dega dstrbus Z pada derajat bebas lebh kecl darpada 30 D Semuaya bear 6 Dstrbus t dega derajat bebas 0 memlk stadar devas: A Lebh kecl darpada B Sama dega C Lebh besar darpada D Dapat lebh kecl atau lebh besar darpada 7 Msalka varabel X berdstrbus t dega derajat bebas 9, maka probabltas bahwa la t lebh kecl darpada 383 adalah: A 00 C 00 B 005 D 05 49

164 Baga Kedua Plhlah satu jawaba yag palg bear! Utuk soal omor sd 3: Tabel berkut meyataka dstrbus probabltas pejuala mobl / mggu d show-room Kartka (varabel X meyataka jumlah mobl yag terjual per mggu): Nla X 0 3 Probabltas X Nla-harapa pejuala mobl per mggu [E (X)] adalah: A 08 C 3 B 09 D 5 E ( X ) da Var (X) masg-masg adalah: A 3 da 08 C 5 da 08 B 3 da 09 D 5 da 09 3 Jka keutuga bersh utuk tap pejuala mobl rata-rata sebesar Rp 5,000,000, la harapa keutuga bersh show-room Kartka per mggu adalah: A Rp 4,050,000 C Rp 6,500,000 B Rp 4,500,000 D Rp,500,000 Utuk soal omor 4 sd 6: Msalka varabel radom X meyataka jumlah uag (dalam rbua rupah) yag harus dbayar (X < 0) atau aka dterma (X > 0) seseorag sesua dega bayak ttk pada ss yag tampak d atas pada pelempara sebuah dadu dega dstrbus probabltas sebaga berkut: Bayak ttk X 3 3 P (X) /6 /6 /6 /6 /6 /6 50

165 4 Nla harapa X adalah: A E (X) = µ = 0 C E (X) = µ = 4 3 B E (X) = µ = 35 D Semuaya salah 5 Nla harapa A E ( B E ( X adalah: X ) = 0 C E ( X ) = 4 3 X ) = 35 D Semuaya salah 6 Varas X adalah: A Var (X) = E ( X ) µ = 0 B Var (X) = E ( C Var (X) = E ( D Semuaya salah X ) X ) µ = 35 µ = 4 3 Baga Ketga Selesakalah soal berkut: Dar orag pelamar suatu pekerjaa, 3 orag sebearya tdak mampu utuk meaga pekerjaa tersebut Msalka orag yag aka dplh secara acak utuk dpekerjaka, maka: A Berapa jumlah pasaga berbeda yag mugk terplh? B Jka orag yag dpekerjaka dplh secara acak, berapa probabltas bahwa keduaya tdak mampu utuk meaga pekerjaa tersebut? 5

166 BAB 6 SAMPLING 6 DISTRIBUSI SAMPLING Dstrbus Samplg Nla Rerata Msalka dmlk populas dega N = 3; X = 3 X = 6 X 3 = 8 µ = µ = 567 σ = σ = 4 Msalka pula dlakuka pegambla sampel secara acak dega = Kemugka sampel yag dperoleh adalah: Samplg dega pegembala (jumlah kemugka sampel = 3 = 9): ( ; ) ( ; ) ( ; 3 ) ( ; ) ( ; ) ( ; 3 ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) 3 Rerata-ya masg-masg adalah: ( a) = 3 ( a ) = 45 ( 3a ) = 55 ( 4a ) = 45 ( 5a ) = 6 ( 6a ) = 7 ( 7a ) = 55 ( 8a ) = 7 ( 9a ) = 8 Samplg tapa pegembala (jumlah kemugka sampel = = 3): ( ; ) ( ; ) ( ; ) 3 Rerata-ya masg-masg adalah: = 45 = 55 ( b ) ( b) 3 = 7 ( 3b) N C = N = 3 C 5

167 Kumpula rerata semua kemugka sampel demka pada samplg dega pegembala: { ( a ), ( a), ( 3a), ( 4a), ( 5a ), ( 6a ), ( 7a), ( 8a), ( 9a) } ataupu apada samplg tapa pegembala: { ( ), ( ), b b ( 3b) } damaka dstrbus samplg la rerata dega rerata: da varas: Stadar devasya SE ( X ) µ atau E ( X ) σ atau Var ( X ) σ atau SD (X) damaka juga stadard error ( ) = Teorema Lmt Pusat (Cetral Lmt Theorem) Jka sampel-sampel acak dambl dar populas berdstrbus sebarag dega rerata µ da varas σ, maka utuk besar, dstrbus samplg la rerata dapat daggap medekat dstrbus ormal dega rerata µ da varas σ Dega kata la, X dapat daggap berdstrbus ormal dega rerata: da varas: µ = E ( X ) = µ (6) σ σ = Var ( X ) = Stadar devas-ya adalah: σ = SE ( X ) = σ (6) (63) sehgga: Z = µ σ berdstrbus ormal stadar (64) 53

168 Sfat haya berlaku pada samplg dega pegembala Jka dlakuka samplg tapa pegembala, maka rerata-ya adalah: varas-ya: da stadar devas-ya: µ = E ( X ) = µ (65) σ ( N ) σ = Var ( X ) = N σ = SE ( X ) = ( ) σ ( N ) ( N ) (66) (67) Tetap jka N relatf jauh lebh besar darpada, maka pada samplg tapa pegembala dapat daggap berlaku rerata: da varas: Perhatka: µ = E ( X ) = µ σ σ = Var ( X ) Dstrbus sampel, jka cukup besar da pegembala sampel dlakuka secara acak, umumya aka medekat dstrbus populasya Jka ukura sampel cukup besar ( > 30), dstrbus samplg la rerata dapat daggap berdstrbus ormal (apa pu betuk dstrbus µ populasya; lhat dagram 6), trasformas bakuya maupu σ trasformas µ (jka σ tak dketahu) selalu berdstrbus ormal s stadar 3 Jka ukura sampel lebh kecl darpada 30 da populasya berdstrbus ormal, dstrbus samplg la rerata selalu berdstrbus ormal (tak tergatug besar la ; sedagka trasformas baku µ berdstrbus ormal stadar da trasformas µ (jka σ tak σ s dketahu) berdstrbus t dega derajat bebas ( ) 54

169 Dagram 6 Teorema lmt pusat: dstrbus utuk berbaga populas da ukura sampel Ragkuma hubuga atara dstrbus paretal (dstrbus populas) X, dstrbus samplg X, da dstrbus trasformas X dperlhatka pada matrks Lampra 6A Cotoh 6: Nla uja asoal lulusa SMU d Yogyakarta utuk mata pelajara matematka mempuya rerata 44 da varas 8464 Apabla dplh 40 orag lulusa SMU tersebut secara acak, htug probabltas bahwa rerata sampelya terletak: a Atara 40 da 45 b Lebh besar darpada 45 µ = 44 µ = µ = 44 σ σ = a P [40 < X < 45] = P = σ = 6 = 45 σ = 8464 = 40 = 6 ( 40 45) ( 45 45) < Z < = P [ 30 < Z < 4] = = b P [ X > 45] = P [Z > 4] = =

170 Dstrbus Samplg Nla Propors Dstrbus samplg propors sampel p adalah dstrbus bomal dega parameter da P, adalah ukura sampel da P propors populas Varabel radom X meyataka bayakya sukses dalam percobaa Karea p = X da merupaka kostate, X berdstrbus sama sepert p Jka ukura sampel membesar, teorema lmt pusat juga berlaku d s, da dstrbus samplg p dapat daggap berdstrbus ormal dega rerata: da varas: sehgga: E (p) = P (68) Var (p) = Z = P p P PQ berdstrbus ormal stadar Cotoh 6: ( P) = PQ (69) (60) Msalka dketahu bahwa 70% calo pembel mobl d Idoesa terutama bermat utuk membel kedaraa mbus Apabla dambl sampel 00 orag calo pembel mobl secara acak, berapakah bahwa sekurag-kuragya 60 orag d ataraya memlh utuk membel mbus? P = 070 Q = P = 030 = 00 P (p > 060) = P Z = P (Z > 8) ( )( ) = = = 9854% 56

171 6 METODE SAMPLING Pearka Sampel Tujua Megumpulka data yag vald (sahh) da relable (terpercaya) utuk melakuka feres / geeralsas megea karakterstk populas Mafaat Pegguaa proses samplg memugkka dlakukaya feres / geeralsas: dega jumlah data yag relatf sedkt dalam jagka waktu yag relatf sgkat, da dega jumlah megguaka baya / sumber daya yag terbatas Valdtas da relabltas Data yag vald (sahh) alah data yag meyataka keadaa yag sesugguhya hedak dukur Valdtas data tergatug pada 3 faktor: a Faktor subjek / objek yag dukur: Sampel harus merupaka sampel yag represetatf bag populas Syarat: pegambla sampel harus dlakuka secara acak (radom) b Faktor strume pegukura: Harus dguaka strume yag sesugguhya megukur apa yag hedak dukur c Faktor subjek pelaku pegukura Ukura ketdak-valdya data alah bas Data yag relable (terpercaya) alah data dega varabltas yag redah pada pegukura berulag Relabltas data dtetuka oleh besar sampel, sela oleh faktor subjek / objek yag dukur, strume pegukura, serta pelaku pegukura Ukura relabltas data alah press Pemahama megea valdtas da relabltas yag daalogka dega hasl bdka seorag petembak dgambarka secara sederhaa pada dagram 6 57

172 Dagram 6 Valdtas da relabltas data sampel: (a) Tdak vald da tdak relabel; (b) Vald, tdak relabel; (c) Relabel, tdak vald; da (d) Vald da relabel Beberapa stlah: - Eleme (usur) populas: ut (satua) yag dcar formasya; merupaka ut elemeterya yag membetuk populas yag dtelt Eleme populas adalah ut aalss - Ut samplg: terdr atas satu / lebh eleme, dguaka utuk memlh eleme utuk aggota sampel - Populas target (sasara): Populas yag d- target -ka utuk dtelt da destmas la parameterya - Populas aktual: kumpula eleme yag elgbel (memeuh syarat) utuk mejad aggota sampel - Keragka sampel: kumpula eleme yag terdaftar sebaga calo aggota sampel Macam sampel Berdasarka objektf-tdak-ya beserta acak-tdak-ya cara pegambla, dkeal berbaga macam sampel yag secara skemats dperlhatka pada matrks 6 58

173 Matrks 6 Tekk pearka sampel Probabltas No-probabltas Objektf Sampel radom Sampel - purposve - quota - haphazard Subjektf Sampel kuas-radom Sampel judgmet Rumus-rumus statstka matematka haya berlaku pada pearka sampel secara objektf atas dasar probabltas, yatu sampel acak / radom Pada samplg probabltas, tap eleme populas memlk probabltas yag telah dketahu besarya utuk terplh Metode seleks probabltas demka memlk lma alteratf: A Epsem (equal probablty for all elemets; probabltas sama bag seluruh eleme): probabltas sama pada tap tahap atau pada keseluruha tahap samplg versus No-equal probabltes (probabltas tak sama) bag eleme yag berlaa: dkompesas dega pembobota terbalk (verse weght) B Samplg eleme: satu tahap, ut samplg terdr atas haya satu eleme versus Samplg klaster (kelompok): ut samplg adalah klaster (kelompok) eleme C Samplg tak-terstratfkas: ut samplg dplh dar keseluruha populas versus Samplg stratfkas: seleks terpsah bag masg-masg parts / stratum populas D Seleks acak: ut samplg dplh secara acak dar keseluruha stratum atau populas versus Seleks sstematk: ut samplg dplh secara sstematk dega terval seleks tertetu pada daftar Kelma alteratf d atas dapat salg dkombaska, meghaslka beberapa tekk pearka sampel acak yag serg dguaka: 59

174 - Samplg acak sederhaa ( smple radom samplg) - Samplg acak stratfkas (stratfed radom samplg) - Samplg acak klaster ( cluster radom samplg) - Samplg acak sstematk (systematc radom samplg) Samplg dega da tapa pegembala: Pada keempat tekk pearka sampel d atas dapat dlakuka samplg dega maupu tapa pegembala, amu yag umum dlaksaaka dalam praktk adalah samplg tapa pegembala D s haya aka dbahas rumus-rumus utuk samplg tapa pegembala Samplg Acak Sederhaa Metode utuk memlh ut samplg d atara N, sehgga tap sampel yag mugk dbetuk memlk kemugka yag sama utuk terplh Skema peyampela: Dagram 63 Samplg acak sederhaa N : populas srs : samplg radom sederhaa : sampel Data sampel:,,, Estmas rerata da varas dstrbus samplg la rerata: = (6) = ( ) Var ˆ = s N N Pelaksaaa Dapat dguaka atara la: (6) 60

175 () metode pearka uda, () blaga acak yag dhaslka oleh komputer / kalkulator satfk; atau (3) tabel blaga acak Samplg Acak Stratfkas Populas dbag mejad beberapa strata, lalu sampel acak sederhaa dambl pada tap stratum Skema peyampela Dagram 64 Samplg acak stratfkas N : populas Str : stratfkas N : stratum ke-h; h =,, L h srs : samplg radom sederhaa Data sampel Stratum :,,, Stratum :,,, Stratum L: L, L,, L L 6

176 Estmas rerata da varas dstrbus samplg la rerata dega: str = h = L Nhh (63) h= L h h (64) = Var ˆ ( str ) = N L h= N N h N h h s h h (65) Pelaksaaa Populas dbag mejad beberapa strata, yag masg-masg relatf homoge Lakuka samplg acak sederhaa pada tap stratum Samplg Acak Klaster Ut samplgya adalah klaster (cluster; kelompok), yag terdr atas sejumlah eleme / sub-ut A Samplg satu-tahap (oe-stage samplg): Seluruh aggota klaster yag terplh secara otomats terplh mejad aggota sampel Skema peyampela Dagram 65 Samplg acak klaster satu-tahap N : populas clust : pegelompoka (clusterg) 6

177 N : kluster ke-, =,,, M srs : samplg acak sederhaa (smple radom samplg) N = ( ) : klaster terplh mejad sampel; =,,, m : sampel Data sampel Klaster :,,, Klaster :,,, Kluster m : m, m,, N ( ) N ( ) mn( m ) Estmas rerata da varas dstrbus samplg la rerata dega: cl = = m m (66) = = j (67) j= ( ) Var ˆ = cl M m M m m m ( ) cl (68) = Pelaksaaa Populas dbag mejad sejumlah klaster, yag masg-masg relatf heteroge Lakuka samplg acak sederhaa dega klaster sebaga ut samplg Utuk tap klaster yag terplh, seluruh eleme aggotaya djadka aggota sampel B Samplg dua-tahap (two-stage samplg): Sampel acak sederhaa dambl pada tap klaster yag terplh Skema peyampela: 63

178 Dagram 66 Samplg acak klaster dua-tahap N : populas clust : pegelompoka (clusterg) N : kluster ke- ; =,,, M srs : samplg acak sederhaa N : klaster terplh mejad sampel; =,,, m ( ) : sampel pada klaster ke-; =,,, m : sampel Data sampel Klaster :,,, Klaster :,,, Kluster m: m, m,, ( ) ( ) m( m) Estmas rerata da varas dstrbus samplg la rerata cl = N M m m = N j (69) j= Pelaksaaa Populas dbag mejad sejumlah klaster, yag masg-masg relatf heteroge Lakuka samplg acak sederhaa dega klaster sebaga ut samplg Pada tap klaster terplh, dlakuka samplg acak sederhaa 64

179 (samplg tahap kedua) dega eleme aggotaya sebaga ut utuk memlh aggota sampel fal Samplg Acak Sstematk Aggota sampel pertama dplh secara acak d atara aggota sampel pertama / keseluruha sampel, lalu aggota sampel berkutya dtetuka secara sstematk Skema peyampela A N merupaka kelpata bulat k (N = k) Dagram 67 Samplg acak sstematk: N merupaka kelpata k N : populas gr : pegelompoka (groupg) O : objek ke- ; =,,, N srs : samplg acak sederhaa : sampel 65

180 B N tdak merupaka kelpata bulat k (N k) Dagram 68 Data sampel,,, Samplg acak sstematk: N tdak merupaka kelpata bulat k Estmas rerata da varas dstrbus samplg la rerata sy = (60) = ( sy ) Var ˆ = N N ( ) ( + ) (6) = Pelaksaaa () Bag N aggota populas mejad grup (group), dega tap group memlk k = N eleme Plh secara acak satu d atara k eleme aggota grup pertama utuk djadka aggota sampel Aggota selajutya dtetuka secara sstematk, yatu tap aggota ke-k berkutya dalam daftar; atau: () Plh secara acak d atara N aggota populas utuk djadka aggota sampel Aggota selajutya dtetuka secara sstematk, yatu tap aggota ke-k berkutya dalam daftar; setelah mecapa akhr daftar dlajutka mula dar awal sampa kembal ke aggota sampel pertama 66

181 LAMPIRAN 6A: DISTRIBUSI X, DISTRIBUSI X, DAN DISTRIBUSI TRANSFORMASI X X dalam teor samplg merupaka varabel radom, karea dperoleh dar sampel berulag da memlk la yag berubah-ubah pada tap pearka sampel X = X X = + X + + X = X, X,, X masg-masg mempuya rerata µ da varas σ, sehgga: da: ( ) X E ( X ) = + X + + X E = E X + X + + X = ( ) + ( ) + + ( ) E X E X E X = [ ] µ = µ X Var X = + X + + X Var = Var X + X + + X = Var X + Var X + + Var X = ( ) ( ) ( ) σ = σ 67

182 Matrks Dstrbus traformas X utuk dstrbus paretal X ormal da sebarag serta ukura sampel besar da kecl Dstrbus paretal (dstrbus X) Normal X ~ N (µ ; σ ) Sebarag X ~? (µ ; σ ) besar ( > 30) kecl ( < 30) besar ( > 30) kecl ( < 30) Dstrbus samplg rerata (dstrbus X ) Dstrbus trasformas X σ dketahu σ tak dketahu σ X ~ N µ, µ ~ Z (0 ; ) σ µ ~ Z (0 ; ) σ σ σ X ~ N µ, X ~ N µ, µ µ ~ Z (0 ; ) ~ Z (0 ; ) σ σ µ σ t µ ~ Z (0 ; ) σ ~ ( ) X ~? σ µ,? 68

183 LAMPIRAN 6B: POPULASI, GALAT ACAK, DAN GALAT SISTEMATIK Hrark populas Istlah populas dalam metodolog peelta memlk pegerta lebh luas yag dapat dbedaka atas (lhat dagram ): Populas stud (sampel): kumpula subjek / objek yag sebearya meghaslka data utuk peelta Nla statstk yag dperoleh dar stud (sampel) sebaga estmator bag parameter sesugguhya dyataka dega lambag ˆ θ Populas aktual: kumpula subjek / objek yag elgbel (memeuh syarat) utuk dkutsertaka dalam peelta da proses samplg Parameter yag ada pada populas aktual dyataka dega lambag θ o 3 Populas target: kumpula subjek / objek yag mejad target peelta sebearya (yag sebearya hedak dtelt) Parameter yag ada pada populas target dyataka dega lambag θ 4 Populas eksteral: kumpula subjek / objek yag lebh luas darpada populas target, memlk karakterstk yag tdak terlalu berbeda dega populas target, da daggap mash layak utuk meerma geeralsas hasl peelta Dagram VI Hrark populas pada peelta Jka dbadgka dega stlah populas da sampel pada awal pelajara Statstka, stlah, populas tersebut megacu pada populas target, sedagka stlah sampel megacu pada populas stud 69

184 Galat acak da galat sstematk Galak acak (radom error) adalah perbedaa atara la estmas parameter yag dperoleh dar sampel (yatu statstk sampel; ˆ θ ) dega la parameter yag sesugguhya destmas (yatu parameter aktual; θ 0 ) Galat acak dsebabka oleh varas samplg, yag besarya atara la tergatug pada metode samplg yag dguaka, besar ukura sampel, karakterstk estmator secara statstk Galat sstematk (systematc error) adalah perbedaa atara la parameter yag sesugguhya destmas (parameter populas aktual; θ0 ) dega la parameter populas yag sebearya hedak dtelt (parameter populas target; θ) Galat sstematk dsebabka oleh berbaga aspek racaga stud ataupu aalss data d luar varas samplg, atara la pearka sampel yag tdak acak, ketdaktepata pegukura, da sebagaya Dega demka galat (error) meyeluruh dalam sebuah peelta adalah ( ˆ θ θ ), yag dapat dbedaka atas dua kompoe, galat acak da galat sstematk: ( ˆ θ θ) = ( ˆ θ θ 0 ) + (θ 0 θ) Galat acak dapat dperkecl dega memlh metode samplg yag lebh adekuat, memperbesar ukura sampel, atau memlh estmator yag lebh tepat secara statstk Galat sstematk dapat dperkecl atara la dega pearka sampel acak, perbaka kualtas data, da sebagaya 70

185 LAMPIRAN 6C: STRATA DAN KLASTER Stratum adalah pegelompoka yag relatf homoge, sedagka klaster merupaka pegelompoka yag bersfat heteroge (lhat dagram ) Samplg acak stratfkas dguaka jka karakterstk yag mejad dasar stratfkas, msalya jes kelam, tgkat sosal ekoom, suku bagsa, da sebagaya daggap terkat dega varabel yag hedak dtelt, utuk mejam agar aggota populas dega setap taraf karakterstk tersebut terwakl secara memada dalam sampel akhr yag dkumpulka Klaster adalah pegelompoka yag basaya ddasarka atas tempat (ruag) atau waktu, msalya desa, kecamata, kartu regstras calo mahasswa yag terkumpul per har, da sebagaya Klaster bersfat heteroge, msalya dalam satu klaster ddapatka subjek dar berbaga tgkat sosal ekoom, pra da wata, serta berbaga suku bagsa Samplg acak klaster dguaka jka ukura populas sagat besar sehgga tdak mugk ataupu tdak prakts utuk memperoleh atau meyusu keragka sampel secara legkap Dagram VI Strata da klaster Stratum A: tgkat sosal-ekoom tgg, statum B: tgkat sosal-ekoom meegah, da stratum C: status sosal ekoom redah Ketga klaster I, II, III dega tgkat sosal ekoom heteroge Varas tra-stratum lebh kecl darpada varas tra-klaster, amu sebalkya varas atar-stratum lebh besar darpada varas atarklaster Cotoh: Aka dtelt pegeluara rata-rata mahasswa per bula d uverstas WWW Jka varabel dasumska terkat erat dega jes kelam 7