Limit Fungsi. Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Transkripsi

1 7 di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat untuk Mengitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri Cobala kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam sebua tempat dengan genggaman sebanyak a kali. Setela diitung, pengambilan pertama terdapat 5 bungkus, pengambilan ke dua 6 bungkus, pengambilan ke tiga 5 bungkus, pengambilan ke empat 7 bungkus, dan pengambilan kea 6 bungkus. Jika diratarata pada pengambilan pertama, ke dua, sampai ke a adala 9 5 5,8 dan dikatakan ampir mendekati 6. Dalam conto seari-ari, banyak sekali kamu temukan katakata ampir, mendekati, arga batas, dan sebagainypengertian tersebut sering dianalogikan dengan pengertian it. Limit merupakan konsep dasar atau pengantar dari deferensial dan integral pada kalkulus. Untuk lebi jelasnya, dalam bab ini kamu akan mempelajari konsep it fungsi dalam pemecaan masala. 97

2 Menjelaskan secara intuitif arti it fungsi di suatu titik dan di tak ingga Menggunakan sifat it fungsi untuk mengitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri Arti it fungsi di satu titik melalui peritungan nilai-nilai di sekitar titik tersebut Arti Arti it fungsi di di tak tak ingga Mengitung it fungsi aljabar Mengitung it fungsi trigonometri it fungsi it fungsi tak ingga it fungsi beringga it fungsi aljabar it fungsi trigonometri 98 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

3 A Pengertian di Suatu Titik dan di Tak Hingga. di Satu Titik Melalui Peritungan Nilai-Nilai di Sekitar Titik Tersebut Diketaui fungsi f : R R yang ditentukan ole f(). Jika variabel diganti dengan, maka f() 5. Berapaka nilai yang akan didekati f() jika variabel mendekati? Untuk menjawab persoalan ini diperlukan tabel sebagai berikut.,5,75,5,75,85,95,97,98,99. f(),5 4 4,5 4,7 4,9 4,94 5,96 4,98.. Dari tabel dapat diliat jika mendekati dari piak kurang dari, maka nilai f() mendekati 5. Apaka nilai f() akan mendekati 5 jika lebi besar dari? Untuk menjawabnya kita liat tabel berikut ini...,0,0,5,50,50,75 4,5. f().. 5,0 5,0 5,50 6,00 6,50 6,50 7,50.. Dari tabel dapat diliat bawa jika mendekati dari piak lebi dari maka nilai f() mendekati 5, seingga dikatakan bawa fungsi f() mempunyai it 5 untuk mendekati dan ditulis jika f(), maka 5. Grafiknya dapat kamu amati pada gambar di samping. Dari penjelasan di atas, kamu juga dapat + 6 menentukan nilai dari. Nilai + 6 f() untuk mendekati dapat disajikan dengan tabel sebagai berikut. Y X,75,85,95,97,99,999,00,0,,,9, 0 f(),75 4,85 4,95 4,97 4,99 4, ,00 5,0 5, 5, 5,9 6, Dari tabel dapat diliat jika variabel, maka f() 0 0 yaitu suatu bentuk tak tentu, tetapi jika mendekati dari ara kiri maka nilai f() mendekati 5. Demikian juga jika mendekati dari ara kanan maka nilai f() mendekati 5. 99

4 Ole karena itu dapat ditulis: Dari uraian di atas, secara intuitif it dapat didefinisikan sebagai berikut. f ( ) L artinya jika mendekati a (tetapi a) maka a f() mendekati nilai L.. Sifat-Sifat Apabila k suatu konstanta, f dan g merupakan fungsi-fungsi yang mempunyai it untuk a, a R maka berlaku: k a k f( ) f( a) a k f( ) k f( ) a a d. { f( ) ± g( )} f( ) ± g( ) a a a e. { } f. f( ) g( ) f( ) g( ) a a a f( ) f( ), untuk a a g ( ) a g ( ) g ( ) 0 a n f( ) f( ) n g. ( ) ( ) a a Untuk lebi memaami tentang sifat-sifat it fungsi, pelajarila conto soal berikut. Conto soal Diketaui f() 5 dan g() + 4. Tentukan:. f ( ) + g( ). { f ( ) + g( )} Penyelesaian. f( ) + g( ) ( 5) + ( + 4 ) Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5 . { f( ) + g( )} {( 5) + ( + 4 )} ( + 6 5) di Tak Beringga Diketaui f(). Jika dibuat tabel untuk bilangan sebagai berikut f() Apabila nilai makin besar, ternyata nilai f() makin lama makin kecil. Apabila besar sekali atau mendekati tak beringga, ditulis, maka nilai akan mendekati nol, dikatakan it dari untuk mendekati tak beringga adala nol dan ditulis: 0 Sekarang peratikan conto berikut ini. Hitungla +. Untuk menjawab it tersebut, dapat dicoba dengan tabel berikut ini. Apabila menjadi semakin besar, maka nilai bawa L +. + akan mendekati. Dikatakan f( ) Limit fungsi yang berbentuk dapat diselesaikan dengan cara membagi bagian g ( ) pembilang f() dan bagian penyebut g() dengan n, n adala pangkat tertinggi dari f() atau g() untuk setiap n bilangan positip dan a bilangan real, maka: a 0 n

6 Dari conto itu dapat ditulis: Conto soal Hitungla it dari:. + 5 (pembilang, penyebut dibagi ) Penyelesaian. + 5 (pembilang dan penyebut dibagi ) (pembilang dan penyebut dibagi ) Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

7 (pembilang dan penyebut dibagi ) Bentuk 4 0 adala bentuk tak terdefinisi, tetapi karena angka 0 pada 4 0 bukan angka nol tetapi angka yang kecil sekali seingga suatu bilangan dibagi kecil sekali asilnya besar sekali atau. f( ) Dari conto-conto diatas dapat diambil kesimpulan nilai dari adala g ( ) sebagai berikut.. Jika derajat dari pembilang f() lebi besar daripada derajat penyebut g(), maka f( ) nilai. g ( ). Jika derajat dari pembilang f() sama dengan derajat penyebut g(), maka nilai f( ) g ( ) real.. Jika derajat dari pembilang f() lebi kecil daripada derajat penyebut g(), maka f( ) nilai g ( ) 0. Untuk lebi memaami, pelajarila conto berikut. Conto soal Hitungla it berikut.. +. ( ) + 4 Penyelesaian. + ( + ) ( ) ( )( + ) + + 0

8 (pembilang dan penyebut dibagi ) ( ) + 4 ( ) ( ) ( + + 4) ( + ) ( 4 ) ( 4 ) ( + ) ( 4 + ) 6 ( ) Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

9 7. Kerjakan soal-soal dibawa ini dengan benar.. Gambarla grafik f() 5. Lengkapila tabel berikut. Carila nilai f ( ) 5.. Lengkapila tabel berikut. f() 0, 0, 0, 0,4 0,5 0,99,00,0,, f() 5,0,.,9,999,00,00.,,,,4,5 4. Carila it-it berikut Carila it-it berikut Carila it-it berikut ( 4) B Sifat untuk Mengitung Bentuk Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri. Mengitung Aljabar Peratikan fungsi f() pada tabel di bawa ini. 0,5,7,5,6,75,85,95,98,999. f(), , 5,5 5,70 5,90 5,96 5,

10 Dari tabel terliat jika nilai diperbesar ingga mendekati, maka nilai f() mendekati 6, dikatakan bawa it dari untuk mendekati adala 6 ditulis: 6 Menentukan it dengan cara di atas ternyata lambat dan tidak efisien. Misalkan untuk menyelesaikan f ( ), maka dapat dilakukan dengan cara yang lebi cepat a dengan menggunakan rumus sebagai berikut.. Jika f(a) C, maka nilai f ( ) f(a) C a. Jika f(a) C 0, maka nilai f ( ) a 0 C. Jika f(a) 0 C, maka nilai f ( ) a 0 C 0 4. Jika f(a) 0 0, maka nilai f ( ), maka sederanakan atau ubala lebi daulu a bentuk f() ingga menjadi bentuk (), (), atau (). Untuk lebi memaami, peratikan conto berikut. Conto soal. Hitungla nilai it-it berikut ini. (5 + 7) d. ( ) e Penyelesaian f (5 + 7) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) + + d e Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

11 f Karena nilai it 0, maka perlu diuba lebi daulu dengan jalan difaktorkan ( 5)( ) ( ) 5 5. Hitungla it-it berikut Penyelesaian Jadi arus diuba lebi daulu dengan jalan dikalikan dengan sekawanny ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( )( + ) ( ) ( )( + ) ( + ) Jadi arus diuba lebi daulu dengan jalan dikalikan dengan sekawanny 0 + ( + ) ( + + ) 0 ( + + ) ( + ) ( ) 0 ( + + ) + 0 ( + + ) 07

12 0 ( + + ) Jadi arus diuba lebi daulu dengan jalan dikalikan dengan sekawanny + 0 ( + ) ( + + ) ( ) ( + + ) 0 ( + ) 0 ( )( + + ) ( + ) ( )( + + ) 0 0 ( )( + + ) ( )( ) ( )( + + ) 0 (0 )( ) ( )(+ ) f( + ) f( ). Carila, jika diketaui fungsi f() di bawa ini. 0 f() + f() Penyelesaian f() + f( + ) ( + ) Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

13 f( + ) f( ) (+ ) f() f( + ) ( + ) ( + ) ( + + ) f( + ) f( ) + 6+ ( ) (6 + ) Buatla kelasmu menjadi beberapa kelompok, lalu kerjakan soal-soal berikut secara berkelompok Cocokkan dengan kelompok lain adakan diskusi kelas. Ingat!! S n n {a + (n )b} di mana: S n jumla n suku a suku pertama b beda (selisi suku-suku yang berurutan) n banyaknya suku 09

14 7. Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan benar.. Tentukan nilai it berikut. ( + 7) ( 4 9). Diketaui f(), untuk < 4 + 7, untuk 4 Hitungla nilai it berikut. f( ). Hitungla nilai it berikut ini. f( ) f( + ) f( ) 4. Carila, jika diketaui fungsi di bawa ini. 0 f() + f() + 5. Tentukan nilai it berikut ini Jika diketaui f() dan g() +, tentukan: { f( ) g( )} { f( )} g ( ) 0 f ( ). Mengitung Trigonometri r B D Peratikan gambar di samping. Dari gambar di samping diketaui panjang jari-jari lingkaran r, besar sudut AOB adala radian, BC dan AD tegak O r C A lurus OA untuk 0 < < π BC OB sin BC OB sin BC r sin 0 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

15 AD OA tan AD OA tan r tan L Δ OBC < L juring OAB < L OAD OC BC < r < OA AD OC r sin < r < OA r tan OC r sin r OA r < r < r r OC r sin < < OA r tan 0 sin tan cos sin < < r tan cos sin < < tan : sin cos < sin < cos cos < 0 < 0 sin 0 cos cos 0 < < 0 sin cos0 < < : r Ingat!! O r B A Luas juring πr π r < 0 sin < Maka sin 0 atau 0 sin Dari persamaan: cos sin < < tan : tan cos sin tan < < tan tan tan cos sin < < sin tan cos cos cos sin < < sin tan cos < tan <

16 Maka tan cos < < tan < < 0 tan tan atau 0 Dengan cara yang sama didapat rumus: 0 sin sin 0 0 tan tan 0 a 0 sin a sin a 0 a a 0 tan a tan a 0 a Untuk lebi memaami tentang it fungsi trigonometri, peratikan conto berikut. Conto soal. Carila nilai it berikut. sin 5 0 sin 0 Penyelesaian sin sin d. 0 4tan5 0 0 tan 4 sin sin sin 5 sin sin Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

17 4tan5 0 4tan tan d. 0 tan tan tan 4 4. Carila it berikut. sin5 0 tan tan4 0 sin 6 Penyelesaian sin5 0 tan cot 0 sin5 5 0 tan 5 sin tan 5 5 tan4 0 sin 6 tan sin tan sin cot 0 0 tan Ingat!! 0 tan tan cot. Carila it berikut. cos 0 cos π π 4 4 sin( + ) sin 0

18 Penyelesaian cos 0 ( cos ) 0 0 { ( sin )} ( + sin ) 0 (sin ) 0 4sin 0 sin Ingat!! cot sin cos π π 4 4 π misal y 4 π y + 4 Ingat!! cos (A + B) cos A cos B sin A sin B cos (A B) cos A cos B + sin A sin B π untuk 4, maka y 0 cos ( y + π) cos ( y + π) 4 y 0 y y 0 y (cos y cos π sin y sin π) y 0 y (cos y 0 sin y ) y 0 y (0 sin y) y 0 y sin y y y 0 y y sin y y y 0 y y sin ( + ) sin 0 0 cos {( + ) + } sin {( + ) } 0 cos( + ) sin 4 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

19 cos ( + ) sin 0 sin cos ( + ) 0 cos ( + 0) cos Ingat!! sin A + sin B sin (A + B) sin A sin B cos (A + B) sin (A B) 7. Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan benar.. Carila it berikut. sin tan sin d sin5. Carila it berikut. 0 sin5 sin 4sin 0 tan 4. Tentukan nilai dari: sin 0 tan 4. Hitungla nilai dari: d. tan8 0 4sin4 0 tan tan sin 4 0 π + cos cos tan cos π 4 5. Hitungla nilai dari: cos 0 tan sin 0 5

20 . Pengertian it Limit sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.. Limit tak beringga f( ) Untuk mengerjakan it menuju tak beringga berbentuk berlaku g ( ) sebagai berikut. Jika derajat dari pembilang f() lebi besar daripada derajat penyebut g(), f( ) maka nilai adala. g ( ) Jika derajat dari pembilang f() sama dengan derajat penyebut g(), maka f( ) nilai adala real. g ( ) Jika derajat dari pembilang f() lebi kecil daripada derajat penyebut g(), f( ) maka nilai adala 0. g ( ). Limit beringga Untuk mengerjakan it menuju beringga berbentuk f( ) berikut. Jika f(a) C, maka nilai f( ) C. a C Jika f(a), maka nilai f ( ) 0 a. a berlaku sebagai 0 Jika f(a), maka nilai C ( ) 0. a d. Jika f(a) 0 0, maka nilai ( ) a arus diuba lebi daulu supaya berbentuk a, b, atau 4. Sifat-sifat it Apabila k suatu konstanta, f dan g adala fungsi-fungsi yang mempunyai it untuk mendekati a, maka berlaku: f( ) f( a) a k a k k f( ) k f ( ) a a d. { f( ) ± g( )} f( ) ± g( ) a a a 6 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

21 e. { } f( ) g( ) f( ) g( ) a a a f. f( ) f( ) a, g ( ) a g ( ) g ( ) a a n g. ( f ) ( f ) ( ) ( ) n a a 0 I. Pilila sala satu jawaban yang paling tepat.. Nilai 9 adala. 5 d. 5 e Nilai adala. d. e. 0. Nilai. 0 d. 4 e Nilai adala. d. e Nilai 4 + adala. 6 d. 4 4 e. 6 7

22 6. Nilai + + adala. d. e Nilai + adala. 6 d. 4 e Nilai + adala. 5 d. 5 e Nilai adala. d. 0 e Nilai adala. 8 d. 8 0 e Jika f( ), g ( ) 5, dan ( ) ( f( ) + g( )) 0 ( ) adala. d. 4, maka nilai dari e Nilai + 4. d. 8 5 e. 9 8 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

23 4. Nilai + 5. d. 6 4 e Nilai d. e Nilai. d. e. 0 sin5 6. Nilai. 0 sin 5 d. 5 e. 5 4 cos 7. Nilai 0 sin. d. e. 0 cos 8. Nilai 0. 4 d. e. tan sin 9. Nilai. 0 d. e

24 sin 0. Nilai π π. d. 0 e. II. Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan benar.. Hitungla nilai it berikut ini Hitungla nilai it berikut ini Hitungla nilai it berikut ini f( + ) f( ) Hitungla it 0 f() f() f() untuk f() berikut ini. 5. Hitungla nilai it berikut ini. tany y y 0 sin 45 cos π cos sin + cos cos cosy d. y 0 y e. sin 0 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA