Distribusi Peluang Gabungan

Transkripsi

1 Distribusi Peluang Gabungan EXPERT COURSE #bimbelnyamahasiswa

2 Variabel Acak Random Variabel = chance variable, stochastic variable, variate. Variabel Acak / Random Variabel (Variate) Univariate (Single-variable) Bivariate (Two-variable) Multivariate (more than twovariable) Distribusi Gabungan (jointly distributed): Jika dua atau lebih Variabel Acak berkaitan satu dengan lainnya di dalam sebuah populasi 2

3 Bivariate/Dua Variabel Acak Definisi: Misalkan Ω merupakan ruang sampe dari sebuah eksperimen acak. Misalkan pula X dan Y merupakan dua buah variabel acak, pasangan (X,Y) disebut bivariate (two-random variables), jika setiap bilangan real X dan Y berhubungan dengan setiap elemen Ω. Dua variabel acak (X,Y) dapat dianggap sebagai sebuah fungsi terhadap setiap titik ω pada Ω memetakan titik sebuah titik ( pada ruang sample. Ruang pemetaan bivariate (X,Y) dinotasikan sebagai R XY dan didefiniskan: R XY ( ; dan X ( ) Y ( ) y 3

4 Bivariate/Dua Variabel Acak Jika variabel acak X dan Y masing-masing merupakan variabel acak diskrit maka (X,Y) disebut sebagai dua variabel acak diskrit (discrete bivariate). Dalam hal sama, jika X dan Y masing-masing merupakan variabel acak kontinu, maka (X,Y) disebut sebagai continuous bivariate. Jika salah satu dari X atau Y adalah diskrit, sementara yang lainnya kontinu, maka (X,Y) disebut sebagai mixed bivariate. 4

5 Variabel Acak Diskrit Gabungan Jika X dan Y merupakan jointly discrete random variables : 1. Fungsi mass peluang gabungan (The joint probability mass function) dari X dan Y adalah: p(=p(x=x_dan_y= 2. Fungsi mass peluang marjinal (The marginal probability mass funtion) dari X dan Y dapat diperoleh dengan berikut: p Y ( P( Y p( Dimana jumlahnya diambil dari seluruh nilai yang mungkin dari masing-masing X atau Y. x 5

6 Variabel Acak Diskrit Gabungan 3. Fungsi variabel acak gabungan memiliki sifat: x y p( 1 Untuk seluruh nilai yang mungkin dari X dan Y. 6

7 Variabel Acak Kontinu Gabungan Jika X dan Y merupakan variabel acak gabungan, dengan Fungsi densitas gabungan (jointly density random variables) f(, dan a<b, c<d maka: 1. P(aX b, dan c Y d) = 2. Fungsi peluang gabungan mempunyai sifat: (i). Untuk setiap x dan y: f ( dydx f ( Fungsi peluang marjinal diperoleh: f X ) f Y ( f ( dx ( x) f ( y dy 7

8 Fungsi Distribusi Kumulatif Gabungan Definition: Fungsi Distribusi Kumulatif Gabungan (The joint cumulative distribution function) dari X and Y, dinotasikan sebagai F XY (,,erupakan fungsi yang didefiniskan: F XY ( P( X x dan Y Event (X x dan Y pada persamaan di atas equivalent dengan event A B, dimana A dan B merupakan event dari Ω, didefiniskan dengan: dan A ; X ( ) x dan B ; Y ( ) y P( A) F ( x) ; P( B) F ( X F XY ( P( A B) Y 8

9 Ekspektasi Variabel Acak pada Distribusi Gabungan Misalkan h( merupakan fungsi dari x dan y. Kemudian jika variabel X dan Y mempunyai sebuah distiribusi gabungan, nilai ekspektasi dari h(x,y) didefiniskan sebagai berikut: Diskrit E[h(X,Y)] Kontinu x y y x h( h( h( h( p( p( f ( dxdy f ( dydx 9

10 Covariance Covariance: salah satu ukuran yang dapat menunjukkan adanya hubungan (correlation) atau tidak diantara variabel-variabel Definisi: Misalkan X dan Y merupakan variabel acak dengan rata-rata masingmasing X dan Y, maka Covariance X dan Y adalah: Cov( X, Y ) E[( X X )( Y Y )] atau dapat pula dihitung dengan rumus: Cov( X, Y) E( XY) E( X ) E( Y) Tidak ada korelasi: Jika Cov(X,Y) = 0. Hubungan antar variabel akan dibahas dalam Analisis Korelasi 10

11 LATIHAN 1 Misalkan sepasang dadu ditoss. Jika hasilnya didefiniskan sebagai X = mata dadu terbesar, dan Y = jumlah kedua mata dadu tersebut. Tentukan: a. Fungsi Peluang bersama X dan Y b. E(XY) c. Fungsi Distribusi Peluang Marjinal untuk X 11

12 LATIHAN 2 Misalkan variabel acak X dan Y mempunyai distribusi peluang gabunga sebagai berikut: f ( c 0 jika 5 x 10 dan 4 y 9 lainnya Tentukan nilai c sehingga fungsi tersebut merupkan pdf Gabungan! 12

13 LATIHAN 3 Misalkan sebuah eksperimen acak dari pengambilan tiga buah bola secara bersamaan dari sebuah kotak yang berisi dua bola merah, tiga bola putih dan empat bola biru. Misalkan (X,Y) merupakan variabel acak bivariat, dimana X dan Y masing-masing dinotasikan sebagai Jumlah bola merah dan putih yang terambil. Tentukan: a. Range dari (X,Y) b. PMF Gabungan dari (X,Y) c. Marginal PMF dari X dan Y d. Apakah X dan Y independen? e. Apakah X dan Y berkorelasi? 13

14 LATIHAN 4 Misalkan variabel acak kontinu X dan Y mempunyai distribusi gabungan sebagai berikut: f ( 2 xy x 0 1, x y lainnya a. Tentukan apakah fungsi distribusi tersebut merupakan pdf gabungan? b. Hitung nilai E(XY)-nya! c. Hitung Distribusi Peluang Marjinal X dan Y masingmasing! 2 14