Fungsi EXPERT COURSE. #bimbelnyamahasiswa

Transkripsi

1 Fungsi EXPERT COURSE #bimbelnyamahasiswa

2 Pengertian Fungsi Misalkan A dan B adalah himpunan. Sebuah fungsi f dari A ke B adalah penugasan setiap elemen di A dengan tepat satu elemen di B. Ditulis f(a)=b jika b elemen tunggal dari B yang dikaitkan oleh fungsi f ke a A. Kode dan nama MK 2

3 Istilah tepat satu menyatakan bahwa anggota A tidak boleh mempunyai kaitan dengan anggota himpunan B, kurang dari satu (berarti tidak mempunyai) atau mempunyai kaitan lebih dari satu (dua, dst). Harus persis satu dan satu-satunya, tidak kurang, tidak lebih. Lambang yang digunakan untuk menyatakan f fungsi dari A ke B ditulis f: A B 3

4 A disebut domain, istilah lain yang muncul adalah: A himpunan daerah asal, atau A himpunan prapeta dari B. B disebut kodomain. Jika b=f(a), maka b disebut peta dari a, dan a disebut prapeta dari b 4

5 Jangkauan f atau range f atau biasa ditulis R f adalah sub himpunan dari kodomain B yang anggotanya mempunyai prapeta di domain, ditulis dalam notasi himpunan: R f = {b B ada a A sehingga b=f(a)}. Kata ada dalam definisi range f ini, menyatakan minimal satu anggota A yang dikaitkan dengan b. 5

6 Ilustrasi Gambar a dan b adalah fungsi karena setiap anggota himpunan domain dikaitkan dengan tepat satu anggota himpunan kodomain. Gambar c bukan fungsi, karena ada satu anggota himpunan domain yang dikaitkan ke dua anggota himpunan kodomain. Gambar d bukan fungsi, karena ada satu anggota di himpunan domain yang tidak dikaitkan ke anggota himpunan kodomain. 6

7 Cara menyatakan sebuah fungsi 1. Dengan diagram venn 7

8 2. Menggunakan Rumus (Ciri Khas Fungsi Tersebut) 8

9 3. Menggunakan himpunan pasangan terurut 9

10 Contoh 1 Fungsi panjang string, yang dinyatakan sebagai LEN($kata). Sehingga LEN(dua)=3, LEN(Bandung)=7, LEN(BAJIGUR)=7. f: dengan rumus f(x) = -3x +5 Sehingga f(1)=-25, f()=5, f(-5)=2, namun f(.5) tidak ada, karena.5. 1

11 Peta dari Subhimpunan Definisi: Misalkan f fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan misalkan pula S sub himpunan dari A. Peta dari S adalah sub himpunan dari B yang berisikan seluruh peta dari anggota S. Ditulis peta dari S atau f(s), yang memenuhi: f(s)={f(x) x S} 11

12 Contoh 2 Misalkan A = {a, b, c, d, e} dan B = {-2, -1,, 1, 2}, didefinisikan fungsi f: A B, dengan rumus f(a)=- 2, f(b)=1, f(c)=, f(d)=1, dan f(e) =. Peta dari S = {a, b, c} adalah himpunan f(s)={-2, 1, } Misalkan A={ x N x 1}, dan B = {y N 3 y 23}, didefinisikan fungsi f: A B, dengan rumus f(x) = 2x + 3. Peta dari S = {x N 3 x 6} adalah himpunan f(s) = {9, 11, 13, 15} 12

13 Sifat-sifat Fungsi Fungsi Injektif (satu-satu) Fungsi f:a B disebut fungsi satu-satu, jika untuk setiap x 1, x 2 A dan x 1 x 2, maka f(x 1 ) f(x 2 ). Kalimat ini ekivalen (contrapositive dari implikasi p q not q not p) dengan: Jika untuk setiap x 1, x 2 A, f(x 1 )=f(x 2 ), maka x 1 =x 2 13

14 Ilustrasi 1 a 1 1 a -1 b -1 b -1 b c (a) (b) (c) 1 a 1 a -1 b -1 b (d) (e) 14

15 Pada Gambar 2-4 (a) fungsi satu-satu, karena setiap prapeta yang berbeda mempunyai peta yang berbeda pula; (b) bukan fungsi satu-satu, karena ada prapeta yang berbeda, yaitu 1 dan tetapi memiliki peta yang sama, yaitu ; (c ) fungsi satu-satu, karena setiap prapeta yang berbeda memiliki peta yang berbeda pula, sekalipun ada anggota kodomain yang tidak memiliki prapeta; (d) bukan fungsi satu-satu (karena ada dua prapeta yang berbeda yaitu 1 dan yang mempunyai peta yang sama); (e) bukan fungsi satusatu, karena bukan fungsi (ada anggota domain yaitu yang memiliki peta dua yaitu dan b). 15

16 Contoh 3 Jika f: apakah fungsi-fungsi berikut merupakan fungsi satu-satu? a. f(x)=2x+1 b. f(x)=x 2 +1 c. f(x)= x d. f(x)= 2x 3 + x 2 f. f(x)= 2x 3 6x 2 16

17 Jawab: Perhatikan dalam soal di atas, berlaku domain dan kodomain dalam himpunan bilangan asli, bukan pada bilangan riil. Harus diperhatikan karakter dari bilangan asli tersebut! a. Karena untuk setiap x 1, x 2 bilangan asli dan x 1 x 2, maka didapat f(x 1 ) = 2x 1 + 1, dan f(x 2 ) = 2x dengan demikian f(x 1 ) f(x 2 ). Sehingga fungsi tersebut termasuk fungsi satu-satu. b. Karena untuk setiap x 1, x 2 dan x 1 x 2, maka didapat f(x 1 ) = x , dan f(x 2 ) = x , dengan demikian f(x 1 ) f(x 2 ). Mungkin akan ada yang mempertanyakan, bukankah ada f(-1) = f(1)? Hal ini benar, karena f(-1)=2, dan begitupun f(1) = 2 juga, namun ingat -1bukan bilangan asli! 17

18 c. Untuk setiap x 1, x 2 bilangan asli dan x 1 x 2, maka didapat f(x 1 ) = x 1, dan f(x 2 ) = x 2, dengan demikian f(x 1 ) f(x 2 ). Mungkin akan ada pertanyaan, bukankah ada f(-3) = f(3)? Hal ini benar, karena f(-3) = 3, dan begitupun f(3) = 3 juga, namun ingat -3 bukan bilangan asli! 18

19 d. Jelas soal ini agak sulit, jika dikerjakan secara langsung, karena itu bisa digunakan konsep turunan pertama yang menghasilkan f (x)=6x 2 + 2x, karena domain bilangan asli berarti f (x) >, monoton naik, akibatnya setiap prapeta yang berbeda akan dikaitkan dengan peta yang berbeda pula. 19

20 Untuk soal no. e, seperti pada soal no. d, gunakan konsep turunan untuk menentukan kemonotonan fungsi. Turunan pertama dihasilkan, f (x) = 6x 2 12x, dengan memperhatikan domain berupa bilangan asli, maka didapat: f (1) = -6, namun f (2) =, begitupun f (3) = 18, selanjutnya f (4) = 48, dan terus positif. Dapat diambil kesimpulan fungsi f(x) = 2x 3 6x 2 tidak monoton, namun pernah turun dan selanjutnya naik, karena itu f(x) = 2x 3 6x 2 bukan fungsi satu-satu. 2

21 Fungsi Pada (onto) Fungsi f : A B disebut dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap anggota himpunan B merupakan peta dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain seluruh anggota B merupakan range dari f. 21

22 Ilustrasi 1 a 1 a -1 b -1 b Gambar (a) menyatakan fungsi pada, gambar (b) bukan fungsi pada karena (b) (a) ada anggota kodomain yang bukan peta dari anggota domain, gambar (c) dan (d) menyatakan fungsi pada 1 a 1 a -1 b -1 (c) (d) 22

23 Contoh 4: Jika f: pada? a. f(x)=2x+1 apakah fungsi-fungsi berikut merupakan fungsi f(x)=2x + 1 bukan fungsi pada karena ada contoh penyangkal, yaitu 2 yang anggota kodomain, tetapi persamaan 2=2x+1 hanya mempunyai solusi ½ 23

24 b. f(x)=x 2 +1 f(x)=x bukan fungsi pada karena ada contoh penyangkal yaitu 3 yang anggota kodomain, tetapi persamaan 3= x mempunyai solusi x= 2 c. f(x)=2x f(x)=2x bukan fungsi pada karena anggota kodomain yang berupa bilangan ganjil tidak mempunyai prapeta 24

25 c. f(x) = x fungsi pada karena x dan f(x), maka berapun anggota kodomain, selalu mempunyai prapeta di pula. d. Untuk f(x)=x maka berapapun anggota kodomain pada selalu ada prapetanya yang juga anggota itu sendiri, yaitu bilangan tersebut. 25

26 Fungsi Bijektif (Fungsi Korespondensi satu-satu) Fungsi korespondensi satu-satu adalah fungsi yang bersifat satu-satu dan sekaligus bersifat pada. Contoh 5: Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada. Fungsi f(x) = x 1 dengan f: Z Z merupakan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada. 26

27 1 a 1 1 a -1 b -1 b -1 b c (a) (b) (c) 1 a 1 a -1 b -1 b (d) (e) (a) Adalah fungsi bijektif, (b) bukan fungsi bijektif karena tidak bersifat satu-satu, (c) dan (d) bukan fungsi bijektif karena tidak bersifat pada, bukan fungsi 27

28 Operasi-operasi pada Fungsi Penjumlahan dan Perkalian Fungsi (f 1 +f 2 )(x) = f 1 (x) + f 2 (x) {nilai fungsi dari fungsi tambah fungsi adalah nilai fungsi ditambah nilai fungsi} (f 1 f 2 )(x) = f 1 (x) f 2 (x) {nilai fungsi dari fungsi kali fungsi adalah nilai fungsi dikali nilai fungsi} 28

29 (f 1 - f 2 )(x) = f 1 (x) - f 2 (x) {nilai fungsi dari fungsi kurang fungsi adalah nilai fungsi dikurang nilai fungsi} atau (f 1 /f 2 )(x) = f 1 (x)/f 2 (x), jika f 2 (x) {nilai fungsi dari fungsi bagi fungsi adalah nilai fungsi dibagi nilai fungsi, sepanjang pembagi tidak sama dengan nol} 29

30 Contoh 6 Misalkan f dan g fungsi dari R ke R sedemikian sehingga f(x)=x dan g(x)=x 2 x. Apa fungsi dari f+g dan fg? Dan berapakah (f+g)(3), (fg)(-1), (f-g)(), (f/g)(2), (f/g)(1)? Jawab (f+g)(x)= f(x) + g(x) = x + (x 2 x) = x 2 (fg)(x)= f(x)g(x)=x(x 2 x)=x 3 x 2 (f+g)(3)=f(3) + g(3) = (3) + (3 2 3)= = 9 (fg)(-1) = f(-1) + g(-1) = (-1)((-1) 2 (-1))= -2 (f-g)() = f() g() = ( 2 - ) = (f/g)(2) = 2/ (2 2 2) = 2/ 2 = 1 (f/g)(1) = tidak ada, karena g(1) = 3

31 Invers dari Fungsi Jika f adalah sebuah fungsi berkorespondensi satu satu (bijektif) dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f. Invers fungsi f dilambangkan dengan f 1. Misalkan x adalah anggota himpunan A dan y adalah anggota himpunan B, maka f -1 (y) = x jika f(x) = y. 3/6/216 :53:27

32 INVERS DARI FUNGSI Fungsi bijektif sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan atau mempunyai invers), karena kita dapat mendefinisikan fungsi inversnya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkanatau tidak mempunyai invers) jika ia bukan fungsi bijektif, karena fungsi balikannya tidak ada. 3/6/216 :53:27

33 Contoh 7 fungsi f = {(1, a), (2, b), (3, c)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {a, b, c} adalah fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah f -1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)} Jadi, f adalah fungsi invertible. 3/6/216 :53:27

34 Contoh 8 Tentukan invers fungsi f(x) = x + 2. Penyelesaian: Fungsi f(x) = x + 2 adalah fungsi yang berkoresponden satu-satu (bijektif), jadi invers fungsi tersebut ada. Misalkan f(x) = y, sehingga y = x + 2, maka x = y - 2. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f -1 (y) = y 2 atau f -1 (x) = x 2 3/6/216 :53:27

35 Contoh 9 Tentukan balikan fungsi f(x) = x Penyelesaian: f(x) = x bukan fungsi yang berkoresponden satu-satu (buktikan!). Sehingga fungsi inversnya tidak ada. Jadi, f(x) = x adalah fungsi yang not invertible. 3/6/216 :53:27

36 Komposisi dari dua buah fungsi. Misalkan g : A B, dan f : B C adalah fungsi. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh (f g)(a) = f(g(a)) dengan syarat D f R g bukan himpunan kosong 3/6/216 :53:27

37 Contoh 1 Diberikan fungsi g = {(1, a), (2, a), (3, b)} yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {a, b, c}, dan fungsi f = {(a, u), (b, v), (c, w)} yang memetakan B = {a, b, c} ke C = {u, v, w}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah f g = {(1, u), (2, v), (3, w) } 3/6/216 :53:27

38 Contoh 11 Diberikan fungsi f(x) = 2x + 2 dan g(x) = x Tentukan f g dan g f. Penyelesaian: (i) (f g)(x) = f(g(x)) = f(x 2 + 4) = 2(x 2 + 4) + 2 = 2x 2 +1 (ii) (g f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 2) = (2x + 2) = 4x 2 + 8x = 4x 2 + 8x /6/216 :53:27

39 Beberapa Fungsi Khusus 1. Fungsi Floor dan Ceiling Misalkan x adalah bilangan real Fungsi floor dari x: x menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x Fungsi ceiling dari x: x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x 3/6/216 :53:27

40 Contoh 12 Beberapa contoh fungsi floor dan ceiling 7.6 = = 4.8 =.7 = = = 8.6 = 1.5 = 3.7 = = 4 3/6/216 :53:27

41 Beberapa Fungsi Khusus 2. Fungsi modulo Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan b adalah bilangan bulat positif. a mod b memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan b a mod b = c sedemikian sehingga a = bq + c, dengan c < m. 3/6/216 :53:27

42 Contoh 13 Beberapa contoh fungsi modulo 29 mod 7 = 1 18 mod 6 = 3612 mod 45 = mod 7 = 3 (sebab 25 = 7 ( 4) + 3 ) 3/6/216 :53:27

43 Beberapa Fungsi Khusus 3. Fungsi Faktorial 1, a a! 1 2. ( a 1) a, a 4. Fungsi Eksponensial a n 1 a a a n, n, n Untuk pangkat negatif, a n 1 a n 3/6/216 :53:27

44 Beberapa Fungsi Khusus 5. Fungsi Logaritmik Fungsi logaritmik berbentuk y a logb b = a y 3/6/216 :53:27

45 Beberapa Fungsi Khusus Fungsi Rekursif Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri. Contoh: a! = 1 2 (a 1) a = (a 1)! a. 1, a a! a ( a 1)!, a 3/6/216 :53:25