05. Fungsi Dua Peubah

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "05. Fungsi Dua Peubah"

Transkripsi

1 05. Fungsi Dua Peubah EXPERT COURSE #bimbelnyamahasiswa

2 Sistem Koordinat Kuadran II y Kuadran I x P(x,y) y z P(x,y,z) x Kuadran III Kuadran IV R 2 (Bidang) x Oktan 1 R 3 (Ruang) y 2

3 Permukaan di Ruang (R 3 ) Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain : Bola, mempunyai bentuk umum : x 2 y 2 z 2 a 2, a 0 Jejak di bidang XOY, z = 0 x 2 Jejak di bidang XOZ, y = 0 x 2 Jejak di bidang YOZ, x = 0 y 2 y 2 a, 2 berupa z 2 a, 2 berupa z 2 a, 2 berupa lingkaran lingkaran lingkaran 3

4 Gambar Bola Z y x 4

5 Permukaan di Ruang Elipsoida, mempunyai bentuk umum 2 x 2 z 2 y 1, a, b, c > 0 a 2 b 2 c x y Jejak di bidang XOY, z = 0 1, berupa Ellips a 2 b x z Jejak di bidang XOZ, y = 0 1, berupa Ellips a 2 c 2 Jejak di bidang YOZ, x = 0 z y 1, berupa Ellips c 2 b

6 Gambar Ellipsoida Z y x 6

7 Permukaan di R 3 Hiperboloida berdaun satu, mempunyai bentuk umum: z 2 2 x y 2 a 2 b 2 c 2 1, a, b, c > 0 Jejak di bidang XOY, z = 0 x 2 y 2 1, berupa a 2 b 2 Ellips Jejak di bidang XOZ, y = x z 1, berupa a 2 c 2 Hiperbolik Jejak di bidang YOZ, x = y z 1, berupa b 2 c 2 Hiperbolik 7

8 Gambar Hiperbolik Berdaun Satu Z y x 8

9 Permukaan di R 3 Hiperboloida berdaun dua, mempunyai bentuk umum: 2 x y 2 z 2, a, b, c > 0 1 a 2 b 2 c y z x 1, maka terdefinisi saat x - a atau x a b 2 c 2 a x y Jejak di bidang XOY, z = 0 1, berupa Hiperbolik a 2 b x z Jejak di bidang XOZ, y = 0 1, berupa Hiperbolik a 2 c z Jejak di bidang YOZ, x = 0 y 1, tidak ada jejak b 2 c 2 x = k (konstanta), k > a atau k < - a, berupa ellips

10 Gambar Hiperbolik Berdaun Dua Z y x 10

11 Permukaan di R 3 Paraboloida eliptik, mempunyai bentuk umum: x 2 y 2 z a 2 b 2 c, a, b, c > 0 Paraboloida hiperbolik, mempunyai bentuk umum: x 2 y 2 z a 2 b 2 c, a, b, c > 0 Kerucut eliptik, mempunyai bentuk umum: x y z 0 a 2 b 2 c 2 Bidang, mempunyai bentuk umum: Ax By Cz D 11

12 Gambar Z Z x Paraboloida Eliptik z y x Paraboloida Hiperbolik z y y x Kerucut Eliptik x Bidang y 2/11/

13 Latihan: Gambarkan 1. x 2 + y 2 = 4 2. y = x x + 2y + 4z = 8, di oktan z 2 + 9x 2 + 4y 2 = z =4 6. x 2 + y 2 + z 2 2x 2y 4z = 3 13

14 Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y) Notasi : f : A R ( A C R 2 ) Contoh: (x,y) z = f(x,y) 1. f(x,y) = x y 2 2. f(x,y) = x 2 4y f(x,y) = 2y x 2 x 2 y

15 Daerah Asal (D f ) dan Daerah Nilai (R f ) D f (x,y) R f (x, y) R 2 f (x, y) (x, y) D f R f Contoh. Tentukan dan gambarkan D f dari 1. f(x,y) = x y 2 2. f (x, y) x 2 4y 2 3. f (x,y) x(1 y) 15

16 Contoh (Jawab) 1. D f ={(x,y) R 2 x y 2 R} y = {(x,y) R 2 } x D f (x,y) R 36 9x 4y R 3 = {(x,y) R x 2 4y 2 0} = {(x,y) R 2 9x 2 + 4y 2 36} (x, y) R x y y 3 2 x 16

17 Contoh (Jawab) 3. D f (x, y) R x(1 y) 0 2 = {(x,y) R 2 x(1 y) 0} = {(x,y) R 2 x 0 dan (1 y) 0 atau x 0 dan (1 y) 0} = {(x,y) R 2 x 0 dan y 1 atau x 0 dan y 1} y x 17

18 Latihan Tentukan dan Gambarkan D f dari 1. f(x,y) = 2. f(x,y) = 2y x 2 x 2 y 2 2 x 1 y y 3. f(x,y) = 2 x 4. f(x,y) = 5. f(x,y) = 16 x 2 y 2 ln(x y) ln(x y 1) y x 1 18

19 Grafik Fungsi Dua Peubah Grafiknya berupa permukaan di ruang z Z=f(x,y) y D f x Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan tepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sb z akan memotong grafik tepat di satu titik. 19

20 Contoh Gambarkan Grafik 1. f(x,y) = 2 x 2 + 3y 2 Z z = 2 x 2 + 3y 2 z x 2 y Paraboloida eliptik x Z y 3 2. f(x,y) = 3 x 2 y 2 z-3 = x 2 y 2 3 y x 20

21 Contoh 3. f(x,y) = x2 4y 2 Z 2 9z 2 = 36 9x 2 4y 2 9x 2 + 4y 2 + 9z 2 = x y z 1 Elipsoida x y 4. f(x,y) = 16 x 2 y 2 Z 2 z 2 = 16 x 2 y 2 z 0 x 2 + y 2 + z 2 = y Bola x 2 21

22 Kurva Ketinggian z = f(x,y) z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proyeksi perpotongan grafik z = f(x,y) dengan bidang z =k pada bidang XOY. Contoh: Gambarkan kurva ketinggian z = k dari 1. f(x,y) = x 2 + 2y 2, k = 0, 1, 2, 4 2. f(x,y) = x y 2, k = -2, 0, 2, 4 22

23 Contoh (Jawab) 1. f(x,y) = x 2 + 2y 2, k = 0, 1, 2, 4 Untuk k = 0 x 2 +2 y 2 = 0 x = 0, y = 0 titik (0, 0) Untuk k = 1 x 2 +2 y 2 = elips Untuk k = 2 x 2 +2 y 2 = 2 x 2 y 2 y 1 x 2 2 elips Untuk k = 4 x 2 +2 y 2 = x y 1 elips 2 y k=1 k= 2 k=4.k=0 x 23

24 Contoh (Jawab) 2. f(x,y) = x y 2 Untuk k = -2 Untuk k = 0 Untuk k = 2 Untuk k = 4, k = -2, 0, 2, 4 x y 2 = -2 x = y 2 2 x y 2 = 0 x = y 2 x y 2 = 2 x = y parabola y parabola parabola x 2 +2 y 2 = 4 x = y parabola k=0 k=2 k=-2k=4 x 24

25 Latihan Gambarkan kurva ketinggian z = k dari 1. f(x,y) = x 2 /y, k = -4, -1, 0, 1, 4 2. f(x,y) = x 2 +y 2, k = 0, 1, 4, 9 3. f(x,y) = xy, k = -4, -1, 0, 1, 4 4. f(x,y) = y 2 x 2, k = 1, 2, 3, 4 KONTUR??? 25

26 Limit Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi f(x,y) mempunyai limit L untuk (x,y) mendekati (a,b) ditulis lim ( x,y) (a,b) Jika ε > 0 > 0 f (x, y) L f (x, y) L 0 x a 2 y b 2 L+ε L L ε z Z =f(x,y) berlaku x (a,b) y 26

27 Catatan lim (x,y) (a,b) f (x, y) L ada jika lim f (x, y) L untuk sembarang (x,y) (a,b) kurva yang melalui (a,b). Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R 2 yang melalui (a,b) dengan nilai lim (x,y) (a,b) kurva, maka dikatakan f (x, y) berbeda untuk masing-masing lim (x,y) (a,b) f (x, y) tidak ada.. (a,b) 27

28 Contoh Buktikan bahwa limit Jawab f(x, y) x 2 xy y 2 lim (x,y ) (0,0) xy x 2+ y 2 berikut tidak ada terdefinisi di D f = R 2 {(0,0)} Di sepanjang garis y=0, kecuali x =0, maka nilai f adalah x.0 f(x,0) 0 x Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = 0 adalah lim f (x,0) lim x.0 (x,0) (0,0) (x,0) (0,0) 0 x

29 Contoh (Lanjutan) Di sepanjang garis y=x, maka nilai f adalah x.x f(x, x) 1 x 2 x 2 2 Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = x adalah x.x lim f (x, x) lim 1 (x,x) (0,0) (x, x) (0,0) x 2 x 2 2 lim (x, x) (0,0) Karena lim f(x,0) f(x, x) maka (x,0) (0,0) xy lim tidak ada (x,y ) (0,0) x 2 y 2 29

30 Latihan Buktikan bahwa limit berikut tidak ada x 1. lim 2 y 2 x 3. lim 3 y 4 ( x,y) (0,0) x 2 y 2 ( x,y) (0,0) x 2 y 6 2. x 2 y lim ( x,y) (0,0) x 4 y 2 30

31 Kekontinuan Definisi: Fungsi dua buah f(x,y) kontinu dititik (a,b) jika i. f(a,b) terdefinisi ii. lim f (x,y) ada iii. Teorema: (x,y) (a,b) lim (x,y) (a,b) f (x, y) f (a, b) 1. Polinom dengan m peubah kontinu di R m 2. Fungsi rasional m peubah f(x,y) = p(x,y)/q(x,y) kontinu pada D f,asal q(x,y) 0 3. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f fungsi satu peubah kontinu di g(a,b) maka f0g kontinu di (a,b) didefinisikan f0g (x,y) = f(g(x,y)) 31

32 Contoh Kekontinuan Selidiki kekontinuan fungsi berikut: 2x 3y 1. f(x,y) = (y 2 4x) 2. Kontinu dimana-mana (R 2 ) kecuali di parobola y 2 =4x f(x,y) = cos(x 2 4xy y 2 ) f(x,y) = h(g(x,y)) : fgs komposisi h o g (x,y) Misal g(x,y) = x 2-4xy+y 2 (Polinom) g kontinu dimana- mana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R. Maka f(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang 32

33 Turunan Parsial Definisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y. 1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut f (x, y) lim x h 0 f (x h, y) f (x, y) h 2. Turunan parsial pertama dari f terhadap y (x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut f (x, y h) f (x, y) f (x, y) lim y h 0 h 33

34 Contoh: Tentukan f x dan f y 1. f (x, y) x 3 y 4xy Jawab f x (x,y) = 3 x 2 y + 4 y 2 f y (x,y) = x xy f (x, y) ycos(x 2 y 2 ) Jawab f x (x,y) = 2xy cos(x 2 + y 2 ) f y (x,y) = cos(x 2 +y 2 ) 2y 2 sin(x 2 +y 2 ) y f (x, y) lnsin t dt x Jawab f x (x,y)=0. ln(siny) 1. ln(sinx) f x (x,y) = ln(sinx) f y (x,y)=1. ln(siny) 0. ln(sinx) f y (x,y) = ln(siny) 34

35 Latihan Tentukan f x dan f y 1. f (x, y) x 3 cos(x y) y sin2xy 2. y f (x, y) x e cos t dt 3. f (x, y) x 3 cos(x y) y sin(2xy) Tentukan f x, f y dan f z 1. f (x, y, z) xy y 2 z 3xz 2. f (x, y, z) x cos(y z) 2xy 35

36 Turunan Parsial Kedua f 2 f f xx (x, y) x x x 2 f 2 f f yy (x, y) y y y 2 f xy (x, y) f y x 2 f y x f yx (x,y) f f 2 x y x y 36

37 Contoh Tentukan f xx, f yy,f xy, f yx 1. f(x,y)= x y 3 + y 3 x 2 Jawab f x (x,y) = y 3 + 2xy 3 f y (x,y) = 3xy 2 + 3x 2 y 2 f xx (x,y) =2y 3 f xy (x,y) = 3y 2 + 6xy 2 f yy (x,y) = 6xy + 6x 2 y f yx (x,y) = 3y 2 + 6xy 2 37

38 Contoh 2. f(x,y) = xy sin(x 2 +2xy+y 3 ) Jawab f x (x,y)= y sin(x 2 +2xy+y 3 )+ xy(2x+2y) cos(x 2 +2xy+y 3 ) f y (x,y) = x sin(x 2 +2xy+y 3 )+xy(2x+3y 2 ) cos(x 2 +2xy+y 3 ) f xx (x,y)=y(2x+2y)cos(x 2 +2xy+y 3 )+(4xy+2y 2 )cos(x 2 +2xy+y 3 ) xy(2x+2y) 2 sin(x 2 +2xy+y 3 ) f xy (x,y) = sin(x 2 +2xy+y 3 )+y(2x+3y 2 )cos(x 2 +2xy+y 3 ) +(2x 2 +4xy)cos(x 2 +2xy+y 3 ) xy(2x+2y)(2x+3y 2 )sin(x 2 +2xy+y 3 ) f yy (x,y)=(2x+3y 2 )sin(x 2 +2xy+y 3 )+(2x 2 +9xy 2 )sin(x 2 +2xy+y 3 ) xy(2x+3y 2 ) 2 sin(x 2 +2xy+y 3 ) f yx (x,y) =sin(x 2 +2xy+y 3 )+x(2x+2y)cos(x 2 +2xy+y 3 ) +(4xy+3y 3 )cos(x 2 +2xy+y 3 ) xy(2x+2y)(2x+3y 2 )sin(x 2 +2xy+y 3 ) 38

39 Latihan Tentukan f xx, f yy,f xy, f yx 1. f(x,y) = x cos(xy) + xy e x+y 2. f(x,y) = ln(x xy + y 3 ) 3. f(x,y) = tan -1 (y 2 /x) 4. f(x,y) =ln(x 2 +2xy+y 2 ) 5. f(x,y) = (2x-y)/(xy) 39

40 Arti Geometri Turunan Parsial x z (a, b) s y Perpotongan bidang y = b dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x di titik (a,b) (fx(x,y)) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu x. 40

41 Arti Geometri Turunan Pertama (2) x s z (a, b) y Perpotongan bidang x = a dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y di titik (a,b) (fy(x,y)) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu y. 41

42 Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan 1.36 z= 4x 2 + 9y 2 dengan x = 3 di titik (3,2,2) Jawab: Turunan parsial terhadap y adalah f y(x, y) z 1 y y 2 Sehingga didapat f (3,2) z 1. Bilangan ini adalah y y menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (3,2,2)yaitu 1/1 (dx =0, dy=1, dz=1). Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (0,1,1) dan melalui titik (3,2,2), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah x = 3, y = 2 + t, z = 2 + t 42

43 Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan 2. 2z = (9x 2 +9y 2-36) dengan bidang y=1 di titik (2, 1,(3/2)) Jawab: Turunan parsial 18x 9x f (x, y) z terhadap x adalah x x 4 9x 2 9y x 2 9y 2 36 Sehingga didapat f (2,1) z 3. Bilangan ini adalah x x menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (2,1,(3/2))yaitu 3/1 (dx =1, dy=0, dz=3). Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan melalui titik (2,1,(3/2)), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah x = 2+t, y = 1, z = 3/2 + 3 t 43

44 Latihan Cari kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung kurva perpotongan 1. 3z = (36-9x 2-4y 2 ) dengan bidang x = 1 di titik (1, 2, 11/3) 2. 4z =5 (16-x 2 ) dengan bidang y=3 di titik (2, 3, 5 3/2) 44

45 Vektor Gradien Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D R 2 Definisi Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) D, didefinisikan sebagai ˆi,ˆj r f (x, y) f x (x, y)ˆi f y (x, y)ˆj adalah vektor satuan di arah sumbu x,y positif Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y) Definisi Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah x y z r f (x, y, z) f (x,y, z)ˆi f (x, y, z)ˆj f (x, y, z)kˆ ˆi, ˆj, kˆ adalah vektor satuan di arah sumbu x,y,z positif 45

46 Contoh Tentukan Jawab f x (x, y) e r f(x, y) xy 2 xy f y (x, y) x e xye dan r f ( 1, 1) xy Sehingga diperoleh: dari f (x, y) x e xy f x ( 1, 1) e e 2e f y ( 1, 1) e r r f (x, y) e x y xye xy ˆi x 2 e xyˆj f ( 1, 1) 2e ˆi e ˆj 46

47 Latihan I. Tentukan r f dari 1. f(x, y) 2 x y x y 2. f(x, y) ln x 2 y 2 3. f (x, y) sin3 x 2 y 4. f(x, y) xy ln(x y) 5. f (x, y, z) x 2 y e x z 6. f (x, y) x e 2y sec z II. Tentukan r f di titik yang diberikan 1. f (x, y) x 2 y xy 2 di P ( 2,3) 2. f (x, y) ln(x 3 xy 2 4y 3 ) di P ( 3, 3) 3. f (x, y) x 2 y di P (2, 1) 47

48 Aturan Rantai Misalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t dan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t)) Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagai dz z x z y dt x t y t Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka i dz z x z y ds x s y s ii dz z x z y dt x t y t 48

49 Contoh 1. Misalkan w = x 2 y 3 dengan x = t 3 dan y = t 2, tentukan Jawab: dw dt dw w x w y dt x t y t = 2x y 3 (3t 2 )+3 x 2 y 2 (2t) = 2t 3 (t 2 ) 3 (3t 2 )+3 (t 3 ) 2 (t 2 ) 2 (2t) = 2t 3. t 6. 3t 2 +3 t 6.t 4. 2t = 6t t 11 = 12 t 11 49

50 Contoh 2. Misalkan z = 3x 2 y 2 dengan x = 2 s+7 t dan y = 5 s t, tentukan dz dz dan dt ds Jawab: dz z x z y dt x t y t = 6x. 7 + ( 2y) 5 s = 42 (2s +7t) 50 s 2 t dz z x z y ds x s y s = 6x. 2 + ( 2y) 5 t = 12 (2s +7t) 50 s t 2 50

51 Latihan dw 1. Tentukan (dalam t) dt a. w = x 2 y y 2 x ; x = cos t, y = sin t b. w = e x siny e y sin x ; x = 3t, y = 2t c. w = sin(xyz 2 ) ; x = t 3, y = t 2, z =t dw 2. Tentukan dt (dalam t dan s) a. w = x 2 y lnx ; x = s/t, y = s 2 t 2 2 b. w = e x y ; x = s sin t, y = t sin s 51

52 Turunan Berarah Andaikan f dapat didiferensialkan di (a, b), maka turunan berarah di (a, b) pada arah vektor satuan u u ˆi u ˆj 1 2 adalah hasilkali titik antara vektor gradien dengan vektor satuan tersebut. Dengan demikian dapat ditulis : D u f (p) f (p) u atau D u f(a, b) = f x (a, b)u 1 + f y (a, b)u 2 Perhatikan bahwa r r r r r D u f (p) f (p) u f (p) u cos f (p) cos Sehingga, Turunan berarah akan bernilai maksimum ( =0)jika u r f(p) r f(p) Sebaliknya akan minimum jika u r f (p) r f(p) 52

53 Contoh 1.Tentukan turunan berarah dari f(x,y) = 4x 3 y pada titik r P(2,1) dalam arah vektor a 4ˆi 3 ˆj Jawab: D r f uf (2,1) f x (2,1)u 1 y(2,1)u 2 Vektor u diperoleh r dengan menormalkan vektor a r u a r 4 ˆi 3ˆj 4 ˆi a 3 ˆj f x (x,y)= 12 x 2 y f x (2, 1)= =48 f y (x,y)= 4 x 3 f x (2, 1)= =32 Sehingga D r uf (2,1) fx (2,1)u 1 f y (2,1)u 2 =48. (4/5) (3/5) = 288/5 53

54 Contoh 2. Tentukan turunan berarah dari f(x,y,z) = xy sinz pada r titik P(1,2, /2) dalam arah vektor a ˆi 2 ˆj 2 kˆ Jawab: (1,2, D r )u uf (1,2, ) fx 1 f y (1,2, ) u f z (1,2, ) 2 u 3 Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a r r ˆi 2ˆj 2kˆ u r î ĵ kˆ a f x (x,y,z)= y sinz f x (1,2, /2)= 2 sin( /2) =2 f y (x,y,z)= x sinz f x (1,2, /2)= 1.sin( /2) =1 f z (x,y,z)= xy cosz f z (1,2, /2)= 1.2 cos( /2) =0 2/11/

55 Contoh (Lanjutan) Sehingga (1,2, D r )u uf (1,2, ) fx 1 f y (1,2, ) u f z (1,2, ) u 3 2 =2. (1/3) + 1. (2/3) + 0. (2/3) = 4/3 55

56 Latihan 1. Tentukan turunan berarah fungsi f pada titik P yang diberikan dalam vektor a a. f(x,y) = y 2 lnx, P(1, 4), a = -3 i + 3 j b. f(x,y) = xe y ye x, P(0, 0), a = 5 i 2 j c. f(x,y) = e xy, P(1, 1), a = i + 3 j d. f(x,y) = x/(x+y), di P(1, 1) dalam arah ke titik Q(-1,-1) e. f(x,y) = xy+z 2, di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3) 2. Tentukan suatu vektor satuan u dalam arah mana f bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah ini a. f(x,y) = x 3 y 5, P(2, 1) d. f(x,y) = 1 x 2 y 2, P( 1,2) b. f(x,y) = e y sin x, P(5 /6,0) c. f(x,y) = 4x 3 y 2, P( 1,1) 56

57 Latihan (lanjutan) 3. Misal f (x, y) y x y.tentukan u sehingga D f (2,3) u r 0 r 4. Jika f (x 0, y 0 ) ˆi 2ˆj,Tentukan u sehingga Dr u f (x 0, y 0 ) 2 r 5. Diketahui D u r f (1, 2) 5 jika u 3 ˆ i 4 ˆ j dan 5 5 r D 4 v r f (1,2) 10 jika v ˆ i 3 ˆ j 5 5 a. Tentukan f x (1,2) dan f y (1,2) b. Tentukan turunan berarah f di (1,2) dalam arah ke (0,0) 57

58 Bidang Singgung Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik P o (a,b,c) adalah r sebuah bidang yang melalui P o dan tegak lurus pada f (a, b,c) Teorema: Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan bidang singgung di titik (a, b, c) adalah : F x (a,b,c) (x a) + F y (a,b,c) (y b) + F z (a,b,c) (z c) = 0 Jika permukaan z = f(x, y) maka persamaan bidang singgung di (a, b, f(a, b)) adalah : z f(a,b) = f x (a,b) (x a) + f y (a,b) (y b) 58

59 Contoh 1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan x 2 + y 2 + 2z 2 = 23 di titik (1, 2, 3) Jawab: Misalkan F(x,y,z) = x 2 + y 2 + 2z 2 r f(x, y, z) 2x ˆi 2y ˆj 4z kˆ f(1,2,3) 2ˆi 4 ˆj 12 kˆ Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah 2(x 1) + 4(y - 2) + 12 (z 3) = 0 2x + 4y + 12 z = 46 59

60 Contoh (Lanjutan) Jadi persamaan parameter garis normal adalah x = 1+2t, y = 2 + 4t, z = t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal x 1 y 2 z

61 Contoh 2. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan z = f(x,y)=x 2 +2xy-3xy 2 +2 di titik (1, 2, -5) Jawab: f x (x,y) 2x 2y 3y f y (x, y) 2x 6xy 2 Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, -5) adalah (z + 5) = 6(x 1) 10(y 2) 6x + 10y + z = 21 f x (1,2) f y (1,2)

62 Contoh Jadi persamaan parameter garis normal adalah x = 1+6t, y = t, z = 5 + t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal x 1 y 2 z

63 Latihan 1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan a. x 2 + y 2 3z = 2 di titik (-1, -4, 6) b. y = e x cos z di titik (1, e, 0) c. x 1/2 + y 1/2 + z 1/2 = 4 di titik (4, 1, 1) d. z= 2e 3y cos 2x di titik ( /3, 0, -1) 2. Tentukan semua titik pada permukaan z=x 2 2xy y 2 8x+4y dimana bidang singgungnya mendatar (sejajar bidang XY) 3. Perlihatkan bahwa permukaan x 2 +4y+z 2 =0 dan x 2 +y 2 +z 2 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2). yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama 4. Tentukan sebuah titik pada permukaan x 2 +2y 2 +3z 2 =12 di mana bidang singgungnya tegak lurus garis dengan persamaan parameter: x=1+2t, y=3+8t, z=2 6t 63

64 Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah Definisi Misalkan (x 0,y 0 ) D f, maka f(x 0,y 0 ) adalah nilai maksimum global dari f pada D f, jika f(x 0,y 0 ) f(x,y), (x,y) D f f(x 0,y 0 ) adalah nilai minimum global dari f pada D f, jika f(x 0,y 0 ) f(x,y), (x,y) D f f(x 0,y 0 ) adalah nilai ekstrim global dari f pada D f, jika ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global. Definisi yang sama berlaku dengan kata global diganti dengan lokal, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan bahwa pertidaksamaan berlaku pada N S, dengan N suatu daerah di sekitar (x 0, y 0 ). 64

65 Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu Titik-titik batas D f Titik Stasioner Titik Singular 65

66 Uji Nilai Ekstrim Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu: Misalkan f(x,y) mempunyai rturunan parsial kedua yang kontinu di sekitar (x 0,y 0 ), f (x 0, y 0 ) 0 dan maka D D(x 0, y 0 ) f xx (x 0, y 0 ).f yy (x 0, y 0 ) f xy (x 0, y 0 ) 2 1. f(x 0,y 0 ) nilai maksimum lokal jika D>0 dan f xx (x 0, y 0 ) 0 2. f(x 0,y 0 ) nilai minimum lokal jika D>0 dan 3. f(x 0,y 0 ) titik pelana jika D<0 4. Jika D=0, tidak dapat ditarik kesimpulan f xx (x 0, y 0 ) 0 66

67 Contoh 1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari Jawab f x (x,y) = 8x 3 2x f xx (x,y) = 24x 2 2 f xy (x,y) = 0 f(x,y) = 2x 4 x 2 +3y 2 f y (x,y) = 6y f yy (x,y) = 6 Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan f x (x,y) = 0 dan f y (x,y)=0, yaitu 8x 3 2x=0 6y =0 y = 0 2x (4x 2 1)=0 x=0, x =± ½ Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0), (½, 0) dan (-½,0) 67

68 Contoh (lanjutan) Mengenai jenis titik kritisnya, bisa dilihat pada tabel berikut: f xx f yy f xy D Keterangan (0,0) Titik pelana (½, 0) Titik Minimum (-½, 0) Titik Minimum Jadi nilai minimum lokal = -1/8 dicapai pada (½,0) dan (-½,0), sedangkan (0,0) merupakan titik pelana. 68

69 Contoh 2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari f(x,y) =x 2 y 2 +1 pada S={(x,y) x 2 + y 2 1} Jawab f x (x,y) = 2x f xx (x,y) = 2 f y (x,y) = 2y f yy (x,y) = 2 f xy (x,y) = 0 Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan f x (x,y) = 0 dan f y (x,y)=0, yaitu didapat (0,0) Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0)( terletak di dalam S), sedangkan jenisnya titik pelana (nilai D < 0) Untuk titik-titik batasnya, misalkan x=cos t dan y=sint (karena S adalah lingkaran satuan), sehingga didapat f(t)=cos 2 t sin 2 t+1 (untuk mencari maks/min dari f(x,y) pada S) 69

70 Contoh (lanjutan) Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, yaitu: f (t)= 2 cos t sint 2 sint cost = 0 4 cos t sint= 0 sin2t= 0 2t= 0,, 2, 3 t= 0, /2,, 3 /2 Untuk t = 0 x = 1, y = 0 f(1, 0) = 2 Untuk t = /2 x = 0, y = 1 f(0, 1) = 0 Untuk t = x = -1, y = 0 f(-1, 0) = 2 Untuk t = 3 /2 x = 0, y = -1 f(0, -1) = 0 Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1) 70

71 Latihan 1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya, dari a. f(x,y) = x 3 +y 3-6xy e. f(x, y) xy 2 4 x y b. f(x,y) = xy 2 6 x 2 6y (x y 4y ) f. f(x, y) e c. f(x,y) = x 2 +4 y 2 2x+8y 1 d. f(x,y) = 3x 3 +y 2 9x + 4y 2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari a. f(x,y) =x 2 6x+y 2 8y+7 pada S={(x,y) x 2 + y 2 1} b. f(x,y) =3x+4y pada S={(x,y) 0 x 1, 1 y 1} 71

72 Metode Lagrange g (x, y) = 0 Untuk mencari nilai ektrim terkendala Misalkan z =f(x,y) dengan kendala g(x,y) = 0. Akan dicari ektrim f terhadap kendala (batas) g. Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi f (x,y) = 9 x 2 y 2 berikut : Untuk memaksimumkan f thd kendala g(x,y) =0 sama dengan mencari perpotongan kurva ketinggian f (x, y) = k dengan fungsi kendala g (x, y) = 0 sehingga diperoleh k f (x, y) untuk setiap x, y D f sepanjang g (x, y) = 0 Karena kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung garis r tegak lurusnya sama karena kurva ketinggian f dan kurva kendala r r maka f (x, y) g(x, y) 72

73 Metode Lagrange Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x 0,y 0 ) terhadap kendala g(x 0,y 0 )=0, selesaikan r r f (x 0, y 0 ) g(x 0, y 0 ) dan g(x 0, y 0 ) 0 dengan (x 0,y 0 ) titik kritis, pengali lagrange Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x 0,y 0 ) terhadap kendala g(x 0,y 0 )=0 dan h(x 0,y 0 )=0, selesaikan r r r f (x 0, y 0 ) g(x 0, y 0 ) h(x 0, y 0 ), g(x 0,y 0 )=0, h(x 0,y 0 )=0 dengan (x 0,y 0 ) titik kritis, pengali lagrange 73

74 Contoh Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari 1. f(x,y)= x 2 y pada lingkaran x 2 +y 2 =1 Jawab: r r g(x, y) 2x ˆi 2y ˆj f (x, y) 2x ˆi 2y ˆj Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut r r f (x, y) g(x, y) yaitu: 2x = 2x.(1) 2y = 2y.(2) x 2 +y 2 = 1..(3) dan g(x, y) 0 74

75 Contoh (lanjutan) Dari persamaan (3), nilai x dan y tidak mungkin samasama nol, sehingga Untuk x 0, dari (1) di dapat = 1, kemudian dari (2) di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x 2 =1 x = ± 1 Untuk y 0, dari (2) di dapat = -1, kemudian dari (1) di dapat x = 0, dan dari (3) di dapat y 2 =1 y = ± 1 Titik-titik kritis yaitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1) Untuk (1,0) f(1, 0) = 2, untuk (-1,0) f(-1, 0) = 2 Untuk (0,1) f(0, 1) = 0, untuk (0,-1) f(0,-1) = 0 Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1) 2/11/

76 Contoh 2. f(x,y,z)= x + 2y+3z pada elips yang merupakan perpotongan x 2 +y 2 =2 dan bidang y + z = 1 Jawab: r r r f (x, y) ˆi 2 ˆj 3 kˆ g(x, y) 2x ˆi 2y ˆj h(x, y) ˆj kˆ Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut r r r f (x, y, z) g(x, y, z) h(x,y, z), g(x, y, z) 0 dan h(x, y,z) 0 yaitu: 1 = 2 x (1) 2 = 2 y +.(2) 3 =.(3) x 2 +y 2 = 2...(4) y + z = 1....(5) 76

77 Contoh (lanjutan) Dari (1), x = 1/(2 ), dari (2) dan (3), y = -1/(2 ). Jadi dari (4), didapat = ± ½. Untuk = ½, didapatkan titik kritis (1, -1, 2). Untuk = -½, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0). Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,2), Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (-1,1,0) 2/11/

78 Latihan Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun atau minimun dari 1.f(x,y) = x 2 + y 2 pada kendala g(x,y)= xy 3 = 0 2.f(x,y) = xy pada lingkaran x 2 + y 2 = 1 3.f(x,y) = 4x 2 4xy+ y 2 pada kendala x 2 +y 2 = 1 4.f(x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2 pada kendala x + 3y 2z = 12 78

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007

Lebih terperinci

Pertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange

Pertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z

Lebih terperinci

BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi

Lebih terperinci

Open Source. Not For Commercial Use

Open Source. Not For Commercial Use Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati

Lebih terperinci

Kalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n

Kalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1

Lebih terperinci

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215

Lebih terperinci

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar

Lebih terperinci

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih Warsoma Djohan Prodi Matematika, FMIPA - ITB March 11, 2011 Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 1 / 34 Fungsi

Lebih terperinci

1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih

1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih ] 1 Pada Bab 1 ini akan dibahas antara lain sebagai berikut. 1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih Tema sentral dari bab ini adalah kalkulus dari fungsi peubah

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar

Lebih terperinci

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua

Lebih terperinci

Pertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai

Pertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).

Lebih terperinci

GEOMETRI ANALIT DI R3

GEOMETRI ANALIT DI R3 GEOMETRI ANALIT DI R3 1. Persamaan berderajat pertama dengan tiga variabel di Persamaan yang berbentuk Ax + By + Cz + D = 0, (3*) dengan A, B, C, D merupakan bilangan real dan A, B, C tak bersama-sama

Lebih terperinci

Turunan dalam Ruang berdimensi n

Turunan dalam Ruang berdimensi n Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah October 13, 2011 Andaikan f adalah fungsi dengan peubah x dan y. Jika y dijaga agar tetap konstan, misalkan y = y 0 maka f(x, y 0 ) adalah fungsi dengan peubah tunggal

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 April 2014

Hendra Gunawan. 4 April 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 4 April 2014 Kuliah yang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah

Lebih terperinci

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70 Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline

Lebih terperinci

Kalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran. January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd

Kalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran. January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd Kalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. A l f i a n i A t h m a P u t r i R

Lebih terperinci

Pengoptimalan fungsi dua peubah Secara geometri diferensial

Pengoptimalan fungsi dua peubah Secara geometri diferensial Pengoptimalan fungsi dua peubah Secara geometri diferensial Drs. Johannes P. Mataniari FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Suatu peubah

Lebih terperinci

BAB VI INTEGRAL LIPAT

BAB VI INTEGRAL LIPAT BAB VI INTEGRAL LIPAT 6.1 Pendahuluan Pada kalkulus dan fisika dasar, kita melihat sejumlah pemakaian integral misal untuk mencari luasan, volume, massa, momen inersia, dsb.nya. Dalam bab ini kita ingin

Lebih terperinci

Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576

Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576 Pembahasan SNMPTN 011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 011 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e.

Lebih terperinci

Materi UTS. Matematika Optimisasi. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi

Materi UTS. Matematika Optimisasi. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi Materi UTS Matematika Optimisasi Semester Gasal 6-7 Pengajar: Hazrul Iswadi Daftar Isi Pendahuluan...hal Pertemuan...hal - Pertemuan...hal - 9 Pertemuan...hal - 5 Pertemuan 4...hal 6 - Pertemuan 5...hal

Lebih terperinci

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5.

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5. 6. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. dx = x + c. a dx = a dx = ax + c. x n dx = n+ x n+ + c. sin ax dx = a cos ax + c 5. cos ax dx = a sin ax + c 6. sec ax dx = a tan ax + c 7. [ f(x) ± g(x) ] dx = f(x)

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial

Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial Irisan Kerucut, Permukaan Definisi fungsi dua peubah Turunan Parsial Maksimum dan Minimum Handout Matematika Teknik, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 1 Irisan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

FUNGSI DUA VARIABEL (TURUNAN PARSIAL) Kus Prihantoso Krisnawan. January 2, Yogyakarta. Pertemuan 7. Krisnawan. Fungsi. Diferensial Partial

FUNGSI DUA VARIABEL (TURUNAN PARSIAL) Kus Prihantoso Krisnawan. January 2, Yogyakarta. Pertemuan 7. Krisnawan. Fungsi. Diferensial Partial FUNGSI DUA VARIABEL (TURUNAN PARSIAL) Kus Prihantoso January 2, 2012 Yogyakarta 2 Variabel fungsi 2 variabel: f (x, y) = x 2 + y 2 f (x, y) = cos x sin y f (x, y) = x 2 y + 3y 3 f (x, y) = x 2 sin(xy 2

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 10 Maret 01 Kuliah ang Lalu 10.1- Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem

Lebih terperinci

TAHUN PELAJARAN 2003/2004 UJIAN NASIONAL. Matematika (D10) PROGRAM STUDI IPA PAKET 2 (UTAMA) SELASA, 11 MEI 2004 Pukul

TAHUN PELAJARAN 2003/2004 UJIAN NASIONAL. Matematika (D10) PROGRAM STUDI IPA PAKET 2 (UTAMA) SELASA, 11 MEI 2004 Pukul DOKUMEN NEGARA SANGAT RAHASIA UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 00/004 SMA/MA Matematika (D0) PROGRAM STUDI IPA PAKET (UTAMA) SELASA, MEI 004 Pukul 07.0 09.0 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL Hak Cipta pada

Lebih terperinci

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I dan Fungsi Implisit dan Fungsi Implisit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Fungsi Implisit Ingat kembali aturan rantai pada fungsi satu peubah! Jika y = f (x(t)), di mana baik f maupun t

Lebih terperinci

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 578 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus

Lebih terperinci

Ilustrasi Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit.

Ilustrasi Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit. Koko Martono FMIPA - ITB 77 Fungsi dua peubah, permukaan ruang, dan kurva ketinggian Fungsi dua peubah mempunai aturan = f (,) dengan daerah asal dan daerah nilai D f = {(,) : f (,) } dan R f = { : = f

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul

Lebih terperinci

Matematika Dasar NILAI EKSTRIM

Matematika Dasar NILAI EKSTRIM NILAI EKSTRIM Misal diberikan kurva f( ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien

Lebih terperinci

D. 90 meter E. 95 meter

D. 90 meter E. 95 meter 1. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah... A. x² + 7x + 10 = 0 B. x² - 7x + 10 = 0 C. x² + 3x + 10 = 0 Kunci : E Rumus : (x - x 1 ) (x - x 2 ) = 0 dimana x 1 = 5, dan x 2 = -2 (x - 5) (x

Lebih terperinci

Matematika Ujian Akhir Nasional Tahun 2004

Matematika Ujian Akhir Nasional Tahun 2004 Matematika Ujian Akhir Nasional Tahun 00 UAN-SMA-0-0 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan adalah x + x + 0 = 0 x + x 0 = 0 x x + 0 = 0 x x 0 = 0 x + x + 0 = 0 UAN-SMA-0-0 Suatu peluru ditembakkan ke

Lebih terperinci

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan

Lebih terperinci

UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I

UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 9 April 001 Waktu :,5 jam 1. Tentukan dy dx jika (a) y 5x (x + 1) (b) y cos x.. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 (x) untuk fungsi f berikut f (x)

Lebih terperinci

KALKULUS MULTIVARIABEL II

KALKULUS MULTIVARIABEL II Definisi KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-7) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Definisi 1 Definisi 2 ontoh Soal Definisi Integral Garis Fungsi f K R 2 R di Sepanjang Kurva

Lebih terperinci

15. TURUNAN (DERIVATIF)

15. TURUNAN (DERIVATIF) 5. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:. y = u + v, y = u + v. y = c u, y = c u. y = u v, y = v u

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 8 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1

Lebih terperinci

1. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah... D E

1. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah... D E 1. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah... A. 3-3 + 21-7 21-21 + 7 2. Persamaan (2m - 4)x² + 5x + 2 = 0 mempunyai akar-akar real berkebalikan, maka nilai m adalah... A. -3-3 6 Kunci

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I Keterdiferensialan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi y = f (x) terdiferensialkan di titik x 0 jika f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) h 0 ( h ) f (x0 + h) f (x 0 ) lim f (x 0 ) = 0 h

Lebih terperinci

Kurikulum 2013 Antiremed Kelas 11 Matematika

Kurikulum 2013 Antiremed Kelas 11 Matematika Kurikulum 03 Antiremed Kelas Matematika Turunan Fungsi dan Aplikasinya Soal Doc. Name: K3ARMATPMT060 Version: 05-0 halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f (x). (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui

Lebih terperinci

ANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor

ANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran

Lebih terperinci

RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA)

RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) Matematika15.wordpress.com NAMA: KELAS: RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) PENGERTIAN IRISAN KERUCUT Bangun Ruang Kerucut

Lebih terperinci

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab

Lebih terperinci

Matematika Dasar INTEGRAL PERMUKAAN

Matematika Dasar INTEGRAL PERMUKAAN Matematika asar INTEGRAL PERMUKAAN Misal suatu permukaan yang dinyatakan dengan persamaan z = f( x,y ) dan merupakan proyeksi pada bidang XOY. Bila diberikan lapangan vektor F( x,y,z ) = f( x,y,z ) i +

Lebih terperinci

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang

Lebih terperinci

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit. FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel

Lebih terperinci

Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti

Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti Kuliah 3: TURUNAN Indah Yanti Turunan Parsial DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Untuk setiap x = (x 1,..., x n ) A dan setiap j = 1,..., n limit f x j x 1,, x n f x 1,,

Lebih terperinci

PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.

PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78. PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.CO MAT 4 materi78.co.nr Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN

Lebih terperinci

7. Himpunan penyelesaian. 8. Jika log 2 = 0,301 dan log 3 = 10. Himpunan penyelesaian

7. Himpunan penyelesaian. 8. Jika log 2 = 0,301 dan log 3 = 10. Himpunan penyelesaian 1. Persamaan kuadrat yang akarakarnya 5 dan -2 x² + 7x + 10 = 0 x² - 7x + 10 = 0 x² + 3x + 10 = 0 x² + 3x - 10 = 0 x² - 3x - 10 = 0 2. Suatu peluru ditembakkan ke atas. Tinggi peluru pada t detik dirumuskan

Lebih terperinci

UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM)

UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM) Tentukan (jika ada) UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM) 1. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 () bila f() = 2 + 4. 2. Tentukan: (a) d d (p + sin

Lebih terperinci

1. Himpunan penyelesaian adalah {(x, y, z)}. Nilai dari y + z adalah... D. -4 E. -5

1. Himpunan penyelesaian adalah {(x, y, z)}. Nilai dari y + z adalah... D. -4 E. -5 1. Himpunan penyelesaian adalah {(x, y, z)}. Nilai dari y + z adalah... A. 5 3 2 Kunci : C 3x + y = 5 y - 2z = -7-3x + 2z = 12 2x + 2z = 10 - x = 2-4 -5 x + z = 5 2 + z = 5 z = 3 3x + y = 5 3. 2 + y =

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian

Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian Modul 1 Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian Drs. Sardjono, S.U. M PENDAHULUAN odul 1 ini berisi uraian tentang persamaan diferensial, yang mencakup pengertian-pengertian dalam

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1991

Matematika EBTANAS Tahun 1991 Matematika EBTANAS Tahun 99 EBT-SMA-9-0 Persamaan sumbu simetri dari parabola y = 8 x x x = 4 x = x = x = x = EBT-SMA-9-0 Salah satu akar persamaan kuadrat mx 3x + = 0 dua kali akar yang lain, maka nilai

Lebih terperinci

SANGGAR 14 SMA JAKARTA TIMUR

SANGGAR 14 SMA JAKARTA TIMUR SANGGAR 4 SMA JAKARTA TIMUR SOAL TRY OUT BERSAMA KE- Selasa, 0 Januari 05. Diketahui dua premis: Premis : Jika Romeo sakit maka Juliet menangis Premis : Juliet tersenyum-senyum Negasi dari kerimpulan yang

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

LEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah

LEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah BAB V T U R U N A N 1. Menentukan Laju Perubaan Nilai Fungsi. Menggunakan Aturan Turunan Fungsi Aljabar 3. Menggunakan Rumus Turunan Fungsi Aljabar 4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva 5. Fungsi

Lebih terperinci

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan

Lebih terperinci

bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c

bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '( c ) didefinisikan sebagai: ( ) ( ) f x f '( c) = lim f c x c x c bila limitnya ada.

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 19 Maret 2014

Hendra Gunawan. 19 Maret 2014 MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 19 Maret 014 Kuliah ang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1

Lebih terperinci

BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia

BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Kemonotonan dan Kecekungan Maksimum dan Minimum Lokal Masalah Maksimum dan Minimum

Lebih terperinci

f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a

f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL (TURUNAN) Nama Siswa : y f(a h) f(a) x (a h) a Kelas : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.21 Memahami konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau konteks

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

f(-1) = = -7 f (4) = = 3 Dari ketiga fungsi yang didapat ternyata yang terkecil -7 dan terbesar 11. Rf = {y -7 y 11, y R}

f(-1) = = -7 f (4) = = 3 Dari ketiga fungsi yang didapat ternyata yang terkecil -7 dan terbesar 11. Rf = {y -7 y 11, y R} 1. Persamaan (m - 1)x 2-8x - 8m = 0 mempunyai akar-akar real, maka nilai m adalah... -2 m -1-2 m 1-1 m 2 Kunci : C D 0 b 2-4ac 0 (-8)² - 4(m - 1) 8m 0 64-32m² + 32m 0 m² - m - 2 0 (m - 2)(m + 1) 0 m -1

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :

TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah : TURUNAN FUNGSI dy (y atau f () atau ) d Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :. ( a + b) = ( a + ab + b ). ( a b) = ( a ab + b ) m n m n. a = a 4. a m = a m m m.

Lebih terperinci

D. (1 + 2 ) 27 E. (1 + 2 ) 27

D. (1 + 2 ) 27 E. (1 + 2 ) 27 1. Nilai dari untuk x = 4 dan y = 27 adalah... A. (1 + 2 ) 9 B. (1 + 2 ) 9 C. (1 + 2 ) 18 D. (1 + 2 ) 27 E. (1 + 2 ) 27 2. Persamaan 2x² + qx + (q - 1) = 0, mempunyai akar-akar x 1 dan x 2. Jika x 1 2

Lebih terperinci

TIM MATEMATIKA DASAR I

TIM MATEMATIKA DASAR I MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan

Lebih terperinci

PAKET 3 LATIHAN UJIAN NASIONAL SMA/MA TAHUN 2009 MATA PELAJARAN MATEMATIKA

PAKET 3 LATIHAN UJIAN NASIONAL SMA/MA TAHUN 2009 MATA PELAJARAN MATEMATIKA Kumpulan Soal - Soal Latihan UN Matematika IPA SMA dan MA 009. (Suprayitno) 33 PAKET 3 LATIHAN UJIAN NASIONAL SMA/MA TAHUN 009 MATA PELAJARAN MATEMATIKA PETUNJUK UMUM. Kerjakan semua soal - soal ini menurut

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 1 Maret 017 Bab Sebelumnya 9.1 Barisan Tak Terhingga 9. Deret Tak Terhingga 9.3 Deret Positif: Uji Integral 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya 9.5 Deret

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1986

Matematika EBTANAS Tahun 1986 Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim 0 f ( x ) f( x) KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Taun Pelajaran 04-05 XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami

Lebih terperinci

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum

Lebih terperinci

INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP

INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP A. Soal dan Pembahasan. ( x ) dx... Jawaban : INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP ( x) dx x dx x C x C x x C. ( x 9) dx... x Jawaban : ( x 9) dx. (x x 9) dx x 9x C x x x. (x )(x + ) dx =.

Lebih terperinci

f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a

f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a Nama Siswa Kelas : : aasdaa. PENGERTIAN DIFERENSIAL (TURUNAN) Turunan fungsi atau diferensial didefinisikan sebagai laju perubahan fungsi sesaat dan dinotasikan f (x). LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL

Lebih terperinci

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika Dasar

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika Dasar Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika Dasar Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan

Lebih terperinci

Permukaan Standard di Ruang

Permukaan Standard di Ruang Permukaan Standard di Ruang Warsoma Djohan Prodi Matematika, FMIPA - ITB February 19, 011 Kalkulus / MA-ITB / W.D. / 011 (ITB) Permukaan Standard di Ruang February 19, 011 1 / 13 Permukaan di Ruang: Bidang

Lebih terperinci

1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6 B. -2 C. -4 Kunci : E Penyelesaian : D. -6 E.

1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6 B. -2 C. -4 Kunci : E Penyelesaian : D. -6 E. 1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6-2 -4 Kunci : E -6-8 2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan Nilai 6x 0.y 0 =... A. 1 Kunci : C 6 36 3. Absis titik

Lebih terperinci

PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL. (,, ) dan (,, ). Dan misalkan

PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL. (,, ) dan (,, ). Dan misalkan PERSAAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORAL Bila terdapat tiga titik yang tidak kolinear maka ketiga titik itu menentukan sebuah bidang rata. dan. Dan misalkan isalkan ketiga titik itu masing-masing vector-vektor

Lebih terperinci

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 2A TAHUN 2010

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 2A TAHUN 2010 TRY OUT MATEMATIKA PAKET A TAHUN 00. Diketahui premis premis () Jika hari hujan terus menerus maka masyarakat kawasan Kaligawe gelisah atau mudah sakit. () Hujan terus menerus. Ingkaran kesimpulan premis

Lebih terperinci

FUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks

FUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.

Lebih terperinci

K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika

K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika K3 Revisi Antiremed Kelas Matematika Turunan - Latihan Soal Doc. Name: RK3ARMATWJB080 Version: 06- halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f'(x) =. (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui y = sin ( π x),

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI

Lebih terperinci

MATERI KALKULUS. y' = F'(x) = f(x), y'' = F''(x) = f'(x), y'''=f'''(x) = f''(x)= g'(x)= h(x) y1= f(x) y2 = g(x) y3 = h(x)

MATERI KALKULUS. y' = F'(x) = f(x), y'' = F''(x) = f'(x), y'''=f'''(x) = f''(x)= g'(x)= h(x) y1= f(x) y2 = g(x) y3 = h(x) Universitas Muhammadiyah Sukabumi Artikel Kalkulus Oleh : ardi meridian herdiansyah MATERI KALKULUS KALKULUS 1 MODUL 6 V. MAKSIMUM / MINIMUM ( EKSTREM FUNGSI ) 5.1. Pengertian Diketahui y = F(x) suatu

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 008/009. Perhatikan premis premis berikut! - Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara - Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 9/. Diberikan premis sebagai berikut : Premis : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik. Premis : Jika harga bahan pokok naik maka

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

SISTEM KOORDINAT. Berikut ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan sistem koordinat dibidang dan diruang.

SISTEM KOORDINAT. Berikut ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan sistem koordinat dibidang dan diruang. 1 KEGIATAN BELAJAR 1 SISTEM KOORDINAT Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini, mahasiswa diharapkan mampu menggambarkan dan membedakan sebuah titik yang terletak di bidang dan Berikut ini kita akan

Lebih terperinci

Integral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan

Integral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f

Lebih terperinci

DIFERENSIAL TOTAL. 1 Kalkulus Lanjut Blog: aswhat.wordpress.com. dz dx dy x y dx x y dy. dz , ,04 0,65

DIFERENSIAL TOTAL. 1 Kalkulus Lanjut   Blog: aswhat.wordpress.com. dz dx dy x y dx x y dy. dz , ,04 0,65 DIFERENSIAL TOTAL 1. Pendahuluan Ingat kembali konsep diferensial pada fungsi satu variabel y = f(x). suatu diferensial dx terhadap variabel bebas didefinisikan sebagai: dy = f (x) dx selanjutnya, misalkan

Lebih terperinci

DERIVATIVE Arum Handini primandari

DERIVATIVE Arum Handini primandari DERIVATIVE Arum Handini primandari INTRODUCTION Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan) Calculus dikembangkan

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan

Lebih terperinci

(b) M merupakan nilai minimum (mutlak) f apabila M f(x) x I..

(b) M merupakan nilai minimum (mutlak) f apabila M f(x) x I.. 3. Aplikasi Turunan a. Nilai ekstrim Bagian ini dimulai dengan pengertian nilai ekstrim suatu fungsi yang mencakup nilai ekstrim maksimum dan nilai ekstrim minimum. Definisi 3. Diberikan fungsi f: I R,

Lebih terperinci