PENDAHULUAN PENDUGAAN PARAMETER 1

Transkripsi

1 Pertemuan 4 PENDUGAAN PARAMETER Arisbudi, Riskayanto dan sembber relevan lainnya PENDAHULUAN Teori inferensia statistik mencakup semua metode yang digunakan dalam penarikan kesimpulan atau generalisasi mengenai suatu populasi. Suatu penarikan contoh memungkinkan kita mengaitkan suatu taraf kepercayaan tertentu dengan setiap kesimpulan statistik yang kita buat, sebagai suatu ukuran seberapa jauh kita menaruh kepercayaan pada ketepatan statistik dalam menduga parameter populasinya. Inferensia statistik dapat dikelompokkan ke dalam bidang utama, yaitu: pendugaan dan pengujian hipotesis.

2 PENDUGAAN KLASIK Sebuah nilai bagi suatu statistisk disebut suatu nilai dugaan bagi parameter populasi Θ. Statistik yang digunakan untuk memperoleh sebuah nilai dugaan disebut sebagai penduga atau fungsi keputusan. Ruang Keputusan: Himpunan semua kemungkinan nilai dugaan yang dapat diambil oleh suatu penduga Penduga Tak Bias: Statistik dikatakan sebagai penduga tak bias bagi parameter Θ bila = E( ) = Θ. ˆ 3 PENDUGAAN KLASIK Bila dan keduanya adalah penduga tak bias bagi parameter populasi Θ yang sama, ita akan memilih penduga yang sebaran penarikan contohnya mempunyai ragam terkecil. Bila σ < σ,kita katakan bahwa merupakan penduga bagi Θ yang lebih efisien dari pada. Penduga paling efisien: Di antara semua kemungkinan penduga tak bias bagi parameter Θ, yang ragamnya terkecil adalah penduga paling efisien bagi Θ. 4

3 ESTIMATOR YANG BAIK ) Tidak bias; rata-rata estimator adalah nilai parameter populasi yang diestimasi. ) Efisien; varians lebih kecil dibanding estimator lain yang digunakan pada ukuran sampel yang sama. 3) Konsisten; nilai estimator akan semakin mendekati parameter populasi, bila ukuran sampel diperbesar. 5 PRINSIP PENDUGAAN Untuk sebaran normal dapat diperlihatkan bahwa baik maupun, keduanya merupakan penduga tak bias bagi nilai tengah populasi µ. Tetapi ragam X lebih kecil dari pada ragam X ~. Namun sebenarnya bahkan penduga tak bias yang paling efisien pun, kecil sekali kemungkinannya menduga parameter populasi secara tepat. Salah satu jalan pemecahannya adalah dengan menggunakan pendugaan selang (interval estimation) bagi parameter populasi Θ, yaitu suatu selang yang berbentuk Θ < Θ < Θ dengan Θ dan Θ bergantung pada nilai statistik untuk suatu contoh tertentu dan juga pada sebaran penarikan contoh bagi. X X ~ 6 3

4 JENIS PENDUGAAN Pendugaan Titik (poin estimation): adalah nilai tunggal yang dihitung dari sampel dan digunakan untuk membuat inferensi terhadap nilai parameter populasi (Θ). Pendugaan Selang (interval estimation): adalah range nilai yang dihitung dari sampel dan digunakan untuk membuat inferensi terhadap nilai parameter populasi (Θ). 7 HIRARKI PENDUGAAN 8 4

5 KONSEP PENDUGAAN SELANG Bila ukuran contoh (n) naik, maka = σ X /n akan menurun, sehingga nilai dugaan kita kemungkinannya lebih mendekati nilai parameter µ, dan ini pada akhirnya mengakibatkan selang tersebut menjadi lebih pendek. Bila kita dapat menentukan dan, sehingga: P( < Θ < ) = α Untuk 0 < α <, maka kita memiliki peluang α untuk memperoleh suatu contoh acak yang akan menghasilkan suatu selang yang mengandung Θ. 9 KONSEP PENDUGAAN SELANG Terminologi Selang < Θ <, yang dihitung dari contoh terpilih, disebut selang kepercayaan ( α) 00%. Nilai α disebut koefisien kepercayaan atau derajat kepercayaan. Kedua titik ujung dan masing-masing disebut batas kepercayaan sebelah atas dan bawah. 0 5

6 PENDUGAAN RATA-RATA Salah satu penduga titik bagi nilai tengah (rata-rata) populasi µ adalah statistik. X Sebaran penarikan contoh X berpusat di µ, dan dalam sebagian besar penerapannya, ragamnya lebih kecil dari pada ragamragam penduga-penduga lainnya. PENDUGAAN SELANG RATA-RATA α/ α/ α z Z α/ 0 Z α/ Gambar: P( z α/ < Z < z α/ ) = α 6

7 Istilah Penting Istilah Penting 7

8 Istilah Penting Istilah Penting 8

9 Istilah Penting Dengan melambangkan z α/ bagi nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normalnya adalah α/, maka dapat dilihat bahwa: P( z α/ < Z < z α/ ) = α Sedangkan dalam hal ini demikian P( z α/ < Z = X Z = / n X / < z α/ ) = α, sehingga dengan Dengan beberapa manipulasi aljabar diperoleh: P( X z α/ < µ < X + z α/ ) = α n n n PENDUGAAN SELANG RATA-RATA 8 9

10 Selang kepercayaan bagi µ; σ diketahui _ Bila x adalah nilai tengah contoh acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi dengan ragam σ diketahui, maka selang kepercayaan ( α) 00% adalah: Sedangkan z α/ adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal baku adalah α/. Untuk asumsi σ tidak diketahui, maka simpangan baku populasi dapat diganti dengan s, asalkan n Contoh Suatu contoh acak 36 mahasiswa tingkat II memberikan nilai tengah/rata IPK dan dan simpangan baku berturutturut sebesar,6 dan 0,3. Buatlah selang kepercayaan 95% dan 99% untuk nilai rata dari IPK seluruh mahasiswa tingkat II tsb 0 0

11 Jawab GALAT PEDUGAAN _ Selang kepercayaan ( α) 00% memberikan ukuran sejauh mana x ketelitian atau akurasi nilai dugaan titiknya. Kecil sekali kemungkinannya akan tepat sama dengan µ, sehingga nilai dugaan itu akan mesti mempunyai galat (error). _ Bila x digunakan untuk menduga µ, kita percaya ( α) 00% bahwa galatnya (errornya) tidak akan melebihi z α/. n

12 _ n PADA PENDUGAAN µ Bila x digunakan untuk menduga µ, kita boleh percaya ( α) 00% bahwa galatnya tidak akan melebihi suatu nilai tertentu e bila ukuran contohnya (n) diambil sebesar: n = z e / Sebenarnya rumusan di atas hanya dapat digunakan bila kita mengetahui ragam populasi (σ ) yang akan diambil contohnya. Jika tidak diketahui, maka suatu contoh awal berukuran n 30 dapat diambil untuk memberi dugaan bagi σ. 3 4

13 PENDUGAAN SELANG RATA-RATA, DARI SAMPEL KECIL dimana n < 30 Pada kondisi ragamnya tidak diketahui dan ukuran contohnya kecil (n < 30), maka: Jika populasi kira-kira berbentuk genta, selang kepercayaan masih bisa diperoleh meskipun σ tidak diketahui, dan n kecil. Memanfaatkan sebaran penarikan contoh bagi t, yang dalam hal ini: t = X S Prosedurnya sama seperti pada contoh besar, kecuali bahwa di sini digunakan sebaran sebagai pengganti sebaran normal baku. n 5 Dapat digambarkan sebarannya dengan: α/ α/ α t α/ t α/ t Gambar: P( t α/ < T < t α/ ) = α 3

14 Dengan substitusi nilai t, maka diperoleh: P( t α/ < X S n < t α/ ) = α Melalui beberapa manipulasi aljabar diperoleh: S P( X t α/ < µ < X + t α/ ) = α n S n 7 Selang kepercayaan bagi µ untuk contoh berukuran kecil; σ tidak diketahui _ x Bila dan s adalah nilai tengah dan simpangan baku contoh berukuran n < 30, yang diambil dari populasi berbentuk genta yang ragamnya σ tidak diketahui, maka selang kepercayaan ( α) 00% bagi µ diberikan oleh: Sedangkan dalam hal ini t α/ adalah nilai t dengan v = n derajat bebas yang di sebelah kanannya terdapat daerah seluas α/. 8 4

15 CONTOH 9 pipa saluran air rata-rata mengalamikebocoran sebanyak 0 liter/tahun dengan standar deviasi.8 liter. Buat selang kepercayaan 95 % bagi rata-rata banyaknya kebocoran setiap tahun untuk seluruh pipa yang ada! Contoh untuk PR / Latihan: Isi 7 kaleng Coba-Coba adalah 9,8; 0,; 0,4; 9,8; 0,0; 0,; dan 9,6 ml. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah (rata-rata) seluruh kaleng yang demikian ini, jika isi kaleng-kaleng tersebut diasumsikan menyebar normal. 30 5

16 PENDUGAAN SELANG ǀµ - µ ǀ Menurut teori penarikan contoh untuk beda dua nilai tengah (rata-rata), kita dapat mengharapkan bahwa sebaran penarikan contoh bagi X X kira-kira akan menyebar normal dengan nilai tengah x x = µ µ dan simpangan baku sebesar = x x + n n Dengan demikian kita dapat menyatakan dengan peluang α bahwa peubah acak normal baku: ( X X ) ( ) Z = ( / n ) + ( / n ) 3 Selang kepercayaan bagi ̵ µì; diketahui dan Bila x dan x masing-masing adalah nilai tengah contoh acak bebas berukuran n dan n yang diambil dari populasi dengan ragam dan diketahui, maka selang kepercayaan ( α) 00% bagi ǀµ µ ǀ adalah: Sedangkan dalam hal ini z α/ adalah nilai peubah normal z yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar α/. 6

17 CONTOH Contoh untuk PR / Latihan Suatu ujian kimia diberikan kepada 50 siswa perempuan dan 75 siswa laki-laki. Siswa perempuan mencapai nilai rata-rata 76, dengan simpangan baku 6. Siswa laki-laki mendapat nilai rata-rata 8 dengan simpangan baku 8. Tentukan selang kepercayaan 96% bagi beda ǀµ µ ǀ, dalam hal ini µ adalah nilai tengah skor semua siswa laki-laki dan µ adalah nilai te-ngah skor semua siswa perempuan yang mungkin mengambil ujian ini. 34 7

18 Jika dimisalkan dan tidak diketahui, serta n dan n kecil (n < 30). Apabila, kita mendapatkan peubah normal baku dalam = = bentuk: ( X X ) ( ) Z = ( / n ) + ( / n ) Sementara itu σ harus diduga dengan cara menggabungkan ragam kedua contoh. Pendugaan gabungan ( S p ) diperoleh melalui rumus berikut: n ) S + ( n ) S S p = ( n + n 35 PENDUGAAN SELANG ǀµ - µ ǀ Dengan mensubstitusi S bagi σ p dan memperhatikan bahwa pembagi dalam adalah n +n maka akan didapatkan statistik: S p T = ( X S X ) ( ) ( / n ) ( / n ) p + Yang menyebar menurut sebaran t dengan v = n +n derajat bebas. Selanjutnya, melalui beberapa manipulasi aljabar, diperoleh selang kepercayaan ( α) 00% bagi ǀµ µ ǀ. 36 8

19 Selang kepercayaan bagi ̵ µì; untuk contoh berukuran kecil = tetapi nilai tidak diketahui Bila x dan x masing-masing adalah nilai tengah contoh acak bebas berukuran kecil n dan n yang diambil dari populasi yang hampir normal dengan ragam sama tetapi tidak diketahui nilainya, maka selang kepercayaan ( α) 00% bagi ǀµ µ ǀ diberikan oleh rumus: Dalam hal ini S p adalah nilai dugaan gabungan bagi simpangan baku populasi dan t α/ adalah nilai t dengan v = n +n derajat bebas yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar α/. Contoh 5: Suatu pelajaran matematika diberikan pada siswa dengan metode pengajaran yang biasa. Pelajaran yang sama diberikan pula pada 0 siswa, tetapi dengan metode pengajaran yang menggunakan bahan yang telah diprogramkan. Pada akhir semester pada tiap kelas diberikan ujian yang sama. Kelas yang pertama mencapai nilai rata-rata 85 dengan simpangan baku 4, sedangkan kelas yang kedua mencapai nilai rata-rata 8 dengan simpangan baku 5. Tentukan selang kepercayaan 90% bagi selisih antara kedua nilai tengah populasi, bila diasumsikan kedua populasi menyebar mendekati normal dengan ragam yang sama. 38 9

20 Untuk contoh yang kecil, bila kedua ragam populasi yang tidak diketahui tersebut kecil sekali kemungkinannya untuk sama, dan kita tidak mungkin mengambil contoh yang sama, maka statistik yang digunakan adalah: ( X X ) ( ) T' = ( S / n ) + ( S / n ) Statistik t sebarannya menghampiri sebaran t dengan v derajat bebas, yang dalam hal ini: ( s n + s n ) v = ( s n ) ( n ) + s n n ( ) ( ) 39 Selang kepercayaan bagi ̵ µì; untuk contoh berukuran kecil tetapi nilai tidak diketahui s s Bila x dan, serta x dan masing-masing adalah nilai tengah contoh dan ragam contoh bebas berukuran kecil n dan n yang mendekati normal dengan ragam tidak sama dan tidak diketahui nilainya, maka selang kepercayaan ( α) 00% bagi ǀµ µ ǀ yang merupakan dhampiran diberikan oleh rumus: Sedangkan dalam hal ini t α/ adalah nilai t dengan derajat bebasbas yang di sebelah kanannya terdapat daerah seluas α/. 40 0

21 CONTOH Contoh untuk PR /Latihan Catatan selama 5 tahun terakhir menunjukkan bahwa curah hujan di suatu daerah rata-rata selama bulan Mei adalah 4,93 cm dengan simpangan baku,4 cm. Di daerah lain, catatan serupa selama 0 tahun terakhir menunjukkan bahwa curah hujan rata-rata di bulan Mei adalah,64 cm dengan simpang-an baku 0,66 cm. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi selisih curah hujan rata-rata yang sebenarnya selama bulan Mei di kedua daerah itu, bila diasumsikan bahwa pengamatan-pengamatan itu berasal dari dua populasi normal dengan ragam yang berbeda. 4

22 CONTOH

23 JAWAB Bila kedua contoh tidak bebas dan ragam kedua populasi tidak dapat dianggap sama hal ini terjadi bila pengamatan dalam kedua contoh saling berpasang-pasangan, sehingga kedua pengamatan itu berhubungan. Selang kepercayaan ( α) 00% bagi µ D dapat diperoleh dengan menyatakan: P( t α/ < T < t α/ ) = α Sedangkan dalam hal ini, D T = D S n d 46 3

24 CONTOH 4