BAB 11 GEOMETRI DI BIDANG DAN RUANG

Transkripsi

1 BAB 11 GEOMETRI DI BIDANG DAN RUANG

2 11.1 Koordinat Kartesius di Ruang

3 Koordinat Kartesius di Ruang Sistem koordinat 3 dimensi dengan sumbu x, y, z. Setiap titik dalam bentuk (x, y, z).

4 Bidang dan Oktan

5 Rumus Jarak Pandang dua titik P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) dan P 2 = x 2, y 2, z 2. Jarak antara P dan Q adalah PQ = x 2 x y 2 y z 2 z 1 2 Bola adalah himpunan semua titik di ruang yang memiliki jarak konstan (jari-jari) ke suatu titik tertentu yang disebut pusat. x x y y z z 1 2 = r 2

6 11.2 Vektor

7 Vektor Suatu vektor u memiliki besar (panjang) u dan arah. Titik awal suatu vector biasa disebut ekor, sedangkan titik akhir disebut kepala. Vektor di bidang dituliskan sebagai u = u 1, u 2, dengan u = u u 2 2 dan di ruang sebagai u = u 1, u 2, u 3, dengan u = u u u 3 2.

8 Operasi pada Vektor: Jumlah Misalkan u = u 1, u 2, u 3 Ԧv = v 1, v 2, v 3. dan Maka u + Ԧv = u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3

9 Operasi pada Vektor: Perkalian Skalar Misalkan u = u 1, u 2, u 3 dan c suatu konstanta real. Maka cu = cu 1, cu 2, cu 3

10 Contoh 1. Jika AB = 2 3 AC, nyatakan m dalam u dan Ԧv. 2. Tentukan tekanan di setiap tali.

11 Sifat Penjumlahan dan Perkalian Skalar Misalkan u, Ԧv, w tiga buah vektor dan a, b R, maka: 1. u + Ԧv = Ԧv + u (komutatif) 2. (u + Ԧv) + w = u + ( Ԧv + w) (asosiatif) 3. u + 0 = u dengan 0 =< 0, 0 > 4. u + ( u) = 0 5. a(bu) = (ab)u = b(au) 6. a(u + Ԧv) = au + a Ԧv (distributif) 7. (a + b)u = au + bu (distributif) 8. 1u = u

12 Vektor Satuan dan Vektor Basis Vektor dengan panjang 1 disebut vector satuan. Jika Ԧs adalah vector satuan dari u maka Ԧs = u u. Vektor satuan yang standar disebut vektor basis: Di bidang: Ԧi =< 1,0 >, Ԧj =< 0,1 > Di ruang: Ԧi =< 1,0,0 >, Ԧj =< 0,1,0 >, k =< 0,0,1 > Semua vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor basis. Di bidang:< u 1, u 2 >= u 1 Ԧi + u 2 Ԧj Di ruang:< u 1, u 2, u 3 >= u 1 Ԧi + u 2 Ԧj + u 3 k

13 11.3 Hasil Kali Titik

14 Hasil Kali Titik Hasil kali titik adalah hasil kali dua vektor dengan hasil skalar (BUKAN vektor). Misalkan u dan Ԧv dua vektor. Di bidang: u =< u 1, u 2 > dan Ԧv = < v 1, v 2 > u Ԧv = u 1 v 1 + u 2 v 2 Di ruang: u =< u 1, u 2, u 3 > dan Ԧv = < v 1, v 2, v 3 > u Ԧv = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3

15 Sifat Hasil Kali Titik Misalkan u, Ԧv, w tiga buah vektor dan c R, maka: 1. u Ԧv = Ԧv u (komutatif) 2. u ( Ԧv + w) = (u Ԧv) + (u w) (distributif) 3. c(u Ԧv) = (cu) Ԧv = u (c Ԧv) 4. 0 u = 0 5. u u = u 2 6. u Ԧv = u v cos θ, dengan θ sudut terkecil di antara u dan Ԧv. Dua vektor dikatakan saling tegak lurus (ortogonal), jika sudut di antara mereka adalah π u Ԧv u Ԧv = 0

16 Vektor Proyeksi dari u pada Ԧv Vektor proyeksi dari u pada Ԧv, pr v u, adalah vektor w. u Ԧv pr v u = Ԧv 2 Ԧv

17 Contoh 1. Tentukan b sehingga 8,6 dan 3, b saling tegak lurus. 2. Jika A = (4,3), B = (1, 1), C = (6, 4), gunakan konsep vektor untuk menentukan sudut ABC. 3. Cari vektor proyeksi u =< 1, 5 > pada Ԧv = < 3, 3 >. 4. Cari vektor proyeksi u =< 4,5,3 > pada Ԧv = < 2, 2, 6 >.

18 Persamaan Bidang di Ruang Titik P = (x 0, y 0, z 0 ) terletak pada bidang v. Vektor n =< A, B, C > tegak lurus terhadap bidang v dan biasa disebut sebagai vektor normal. Apakah persamaan untuk bidang v? A x x 0 + B y y 0 + C z z 0 = 0

19 Contoh 1. Misalkan P = (1, 2, 3) dan Q = (4, 4, 2). Tentukan persamaan bidang yang melalui titik P dan tegak lurus terhadap vektor PQ. 2. Tentukan sudut antara bidang 3x 4y + 7z = 5 dan bidang 2x + 4y + 3z = Buktikan jarak dari titik (x 0, y 0, z 0 ) ke bidang Ax + By + Cz = D adalah Ax 0+By 0 +Cz 0 D A 2 +B 2 +C 2.

20 11.4 Hasil Kali Silang

21 Hasil Kali Silang Hasil kali silang dari u dan Ԧv didefinisikan sebagai: u Ԧv = (u 2 v 3 u 3 v 2 )Ԧi (u 1 v 3 u 3 v 1 )Ԧj + (u 1 v 2 u 2 v 1 )k

22 Sifat Hasil Kali Silang Misalkan u dan Ԧv vektor di ruang dan θ sudut terkecil di antara u dan Ԧv. Maka: 1. (u Ԧv) u dan (u Ԧv) Ԧv 2. u, Ԧv, dan (u Ԧv) membentuk right handed triple 3. u Ԧv = u Ԧv sin θ 4. u sejajar dengan Ԧv u Ԧv = 0

23 Sifat Aljabar Hasil Kali Silang Misalkan u, Ԧv, w tiga buah vektor dan c R, maka: 1. u Ԧv = ( Ԧv u) 2. u ( Ԧv + w) = (u Ԧv) + (u w) (distributif) 3. c(u Ԧv) = (cu) Ԧv = u (c Ԧv) 4. 0 u = u 0 = 0 5. u u = 0

24 Contoh 1. Cari persamaan bidang yang melalui tiga titik (1, 2, 3), (4, 1, 2), dan ( 2, 3, 0). 2. Bagaimana cara memeriksa bahwa tiga vektor u, Ԧv, w terletak di bidang yang sama? 3. Tunjukkan bahwa u Ԧv adalah luas jajar genjang berikut. 4. Tunjukkan bahwa w u Ԧv adalah volume parallelepiped berikut.

25 11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva

26 Gerak Sepanjang Kurva Sebuah titik P yang bergerak di ruang sepanjang kurva. Posisi titik P pada saat t dinyatakan oleh vektor yang berekor di titik asal dan berkepala di titik P. Posisi tersebut dapat ditulis sebagai Ԧr t =< f t, g t, h t >. Ԧr merupakan fungsi dengan variabel t dan bernilai vektor. Fungsi demikian disebut fungsi bernilai vektor.

27 Fungsi Bernilai Vektor Secara umum, fungsi bernilai vektor adalah: Di bidang: ԦF t = f t Ԧi + g t Ԧj =< f t, g t > dengan t R Di ruang: ԦF t = f t Ԧi + g t Ԧj + h t k =< f t, g t, h t > dengan t R

28 Kalkulus Fungsi Bernilai Vektor Misalkan ԦF t =< f t, g t, h t >. Maka lim t c ԦF t =< lim t c f t, lim t c g t, lim t c h t > ԦF ԦF t + Δt ԦF t t = lim Δt 0 Δt ԦF t =< f t, g t, h t >.. ԦF t dt =< f t dt, g t dt, h t dt >.

29 Aturan Turunan Misalkan ԦF t, ԦG t fungsi bernilai vektor, h(t) fungsi bernilai real, dan c R, maka: 1. D t [ ԦF t + ԦG t ] = ԦF t + ԦG t 2. D t [c ԦF t ] = c ԦF t 3. D t [h(t) ԦF t ] = h(t) ԦF t + h (t) ԦF t 4. D t [ ԦF t ԦG t ] = ԦF t ԦG t + ԦF t ԦG t 5. D t [ ԦF h(t) ] = ԦF h(t) h (t) (Aturan Rantai)

30 Contoh Diberikan ԦF t = t 2 + t Ԧi + e t Ԧj a) Tentukan ԦF t dan ԦF" t b) Tentukan sudut di antara ԦF 0 dan ԦF" 0. c) Tentukan D t t 3 ԦF t d) Tentukan 1 0 ԦF t dt.

31 Gerak Sepanjang Kurva Misalkan t menyatakan waktu dan titik P memiliki koordinat x = f t, y = g(t), z = h(t). Vektor posisi: Ԧr t =< f t, g t, h t > Vektor kecepatan: Ԧv t = Ԧr t =< f t, g t, h t > Laju: Ԧv t = f t 2 + g t 2 + h t 2 Vektor percepatan: Ԧa t = Ԧr" t =< f" t, g" t, h" t >

32 Contoh 1. Sebuah titik P bergerak berlawanan arah jarum jam sepanjang lingkaran berjari-jari r dengan laju ω rad/detik. Bila kedudukan awalnya di (r, 0), tentukan dan sketsa kecepatan dan percepatan titik pada saat t = 0,5. 2. Sebuah titik P bergerak dengan posisi setiap saat (x, y) = (3 cos t, 2 sin t). a) Gambarkan grafik lintasan titik P dan arahnya. b) Tentukan kecepatan, laju, dan percepatan titik. c) Tentukan saat di mana laju titik maksimum dan laju pada saat tersebut. d) Tunjukkan bahwa vektor percepatan titik selalu menuju titik asal.

33 Contoh (2) 3. Sebuah titik P bergerak sepanjang kurva yang didefinisikan melalui persamaan parameter x = cos t, y = sin t, z = t untuk 0 t 2π. π a) Sketsalah lintasan pergerakan titik. b) Tentukan kecepatan, laju, dan percepatan titik pada saat t.

34 11.6 Garis di Ruang

35 Persamaan Garis di Ruang Diberikan titik P = (x 0, y 0, z 0 ) dan vektor Ԧv =< a, b, c > yang biasa disebut vektor arah. Apakah persamaan garis yang melalui titik P dan sejajar dengan vektor Ԧv? Persamaan parameter: x = x 0 + at, y = y 0 + bt, z = z 0 + ct, t R Persamaan simetrik: x x 0 = y y 0 a b = z z 0 c

36 Contoh 1. Cari persamaan simetrik dari garis yang melalui titik (2, 5, 1) dan sejajar vektor < 4, 3, 2 >. 2. Cari persamaan garis yang tegak lurus bidang 4x + 5y + 4z = 28 dan melalui titik (0, 0,0). 3. Cari persamaan garis yang merupakan perpotongan antara dua bidang: 2x y 5z = 14 dan 4x + 5y + 4z = Diberikan sebuah kurva di ruang dengan persamaan Ԧr t =< t, t2, t3 >. Carilah persamaan garis singgung 2 3 pada kurva pada saat t = 2.

37 11.8 Permukaan di Ruang

38 Permukaan di Ruang Grafik persamaan dalam 3 variabel biasanya merupakan suatu permukaan. Suatu permukaan dapat disketsa dengan menggambarkan irisan dengan ketiga bidang koordinat terlebih dahulu.