BAB 9 DERET TAK HINGGA

Transkripsi

1 BAB 9 DERET TAK HINGGA

2 9.1 BARISAN TAK HINGGA

3 Barisan Tak Hingga Barisan tak hingga adalah fungsi yang domainnya merupakan himpunan bilangan bulat positif dan rangenya merupakan himpunan bilangan real. Barisan dinotasikan dengan a 1, a 2, dengan a n = f(n) atau a n atau a n Dalam barisan yang didefinisikan secara rekursif, suku barisan ditentukan oleh suku sebelumnya. a n = f(a n 1 )

4 Contoh 1. a n = 1 1 n 2. b n = 1 ( 1) n1 n 3. c n = ( 1) n + 1 n 4. d n = 0,99 Apa yang terjadi pada suku barisan jika n?

5 Konvergen atau Divergen? Barisan {a n } konvergen ke L jika lim n a n = L. Definisi lim n a n = L jika untuk setiap ε bilangan positif, terdapat N bilangan positif sehingga n N a n L < ε Barisan yang tidak konvergen ke bilangan hingga manapun disebut divergen. Contoh. Tunjukan a n = 1 1 konvergen ke 1. n

6 Sifat Limit Barisan Misalkan a n dan b n dua barisan konvergen dan k suatu konstanta. i. lim k = k n ii. lim ka n = k lim a n n n iii. lim a n ± b n = lim a n ± lim n n iv. lim a n. b n = lim a n. lim b n n n n a v. lim n n n = lim a n b n lim n b n n b n dengan syarat lim n b n 0

7 Beberapa Sifat Penting Misalkan a n = f(n). Jika lim x f(x) = L maka lim n a n = L. Teorema Apit Misalkan a n dan c n dua barisan yang konvergen ke L dan a n b n c n untuk n K. Maka b n juga konvergen ke L Jika lim n a n = 0 maka lim n a n = 0

8 Contoh 1. Tentukan a) lim 1 n n b) lim n p, dengan p bilangan bulat positif. 3n2 7n 2 +1 ln n c) lim n e n d) lim n sin3 n n 2. Misalkan 1 < r < 1, tunjukan lim n r n = 0. Bagaimana jika r 1?

9 Teorema Barisan Monoton Jika {a n } barisan tak turun dan a n U, untuk n N, maka lim n a n = A, untuk suatu A U. Jika {b n } barisan tak naik dan b n L, untuk n M, maka lim n b n = B, untuk suatu B L. Contoh Buktikan barisan {a n } dengan a n = n2 n konvergen. 2

10 9.2 Deret Tak Hingga

11 Deret Tak Hingga Deret tak hingga adalah jumlahan dari suku-suku barisan tak hingga. a 1 + a 2 + = Jumlah parsial adalah jumlahan sejumlah berhingga suku-suku barisan tak hingga. a n S n = a 1 + a a n = Suatu deret tak hingga konvergen dengan jumlah S, jika barisan jumlah parsialnya juga konvergen ke S. n k=1 a n = S lim n S n = S Jika barisan jumlah parsial divergen, maka deretnya juga divergen. Suatu deret yang divergen tidak memiliki jumlah. a k

12 Deret Geometri a + ar + ar 2 + ar 3 + = a dinamakan suku pertama dan r rasio (pengali) ar n 1 Jika r < 1, deret geometri konvergen. Selain itu, deret geometri divergen. Contoh. ar n 1 = Tentukan nilai deret a 1 r r < 1

13 Uji Kedivergenan HANYA untuk menguji kedivergenan, BUKAN kekonvergenan. Contoh. lim a n 0 σ n a n divergen Periksa kekonvergenan σ n 3 2n 3 +2n

14 Deret Harmonik = n Apakah Uji Kedivergenan dapat digunakan? σ 1 n divergen

15 Deret Kolaps 1 a 1 1 a a 2 1 a a 3 1 a 4 + = 1 1 a n a n+1 Contoh. Periksa kekonvergenan deret 1 (n + 2)(n + 3)

16 Sifat Sifat Linear Jika σ a n dan σ b n adalah deret yang konvergen dan c konstanta real, maka: 1. σ ca n = c σ a n 2. σ (a n +b n ) = σ a n + σ b n Jika σ a n divergen dan c 0 konstanta real tak nol maka σ ca n juga divergen.

17 Pengelompokan Suku-Suku Deret Bolehkah suku-suku deret dikelompokkan? Pandang ( 1) n 1 = ( 1) n 1 + i=1 Sifat Deret yang konvergen suku-sukunya dikelompokkan tanpa mengubah jumlahannya.

18 9.3 Deret Positif: Uji Integral

19 Uji Jumlah Terbatas Misalkan σ a n adalah deret dengan suku-suku tak negatif. σ a n konvergen jika dan hanya jika S n U, untuk n N. Contoh Tunjukkan 1 1! + 1 2! + 1 3! + konvergen.

20 Uji Integral Misalkan f fungsi kontinu, positif, dan tak naik pada selang [1, ). Misalkan a k = f(k) untuk semua bilangan bulat positif k. Maka σ konvergen Contoh a n konvergen jika dan hanya jika 1 f x dx 1. Tentukan kekonvergenan deret σ 1 n=2 n n ln n 2. Deret σ en diaproksimasi dengan menggunakan 5 suku pertama dari deret. Aproksimasi galat yang terjadi dengan menggunakan integral tak wajar.

21 Deret-p 1 n p = p p + Deret-p konvergen jika p > 1 dan divergen jika p 1. Contoh Tentukan kekonvergenan deret σ 1 n 0,001.

22 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya

23 Uji Banding Misalkan 0 a n b n untuk n N. i. Jika σb n konvergen maka σa n juga konvergen. ii. Jika σa n divergen maka σb n juga divergen. Contoh Periksa kekonvergenan 1. σ 2. σ n 5n 2 4 n 2 n (n+1) 3. σ n=3 1 (n 2) 2

24 Uji Banding Limit a Misalkan a n 0, b n > 0, dan lim n = L. n b n i. Jika 0 < L <, maka σa n and σb n konvergen atau divergen bersama-sama. ii. Jika L = 0 dan σb n konvergen, maka σa n juga konvergen. Contoh Periksa kekonvergenan 1. σ 3n 2 n 3 2n σ 1 n 2 +19n 3. σ ln n n 2

25 Uji Hasil Bagi a Misalkan σa n deret positif dan lim n+1 n a n i. Jika ρ < 1, maka σa n konvergen. ii. iii. Jika ρ > 1, maka σa n divergen. = ρ. Jika ρ = 1, maka tidak ada kesimpulan. Contoh Periksa kekonvergenan deret berikut. 1. σ 2. σ 3. σ 2n n! 2n n 100 n! n n

26 Bagaimana Menguji Kekonvergenan Deret Positif? Misalkan σ a n deret positif. 1. Jika lim a n 0 maka σ a n divergen (Uji Kedivergenan n Deret) 2. Jika a n memuat n!, r n, atau n n, gunakan Uji Hasil Bagi. 3. Jika a n hanya melibatkan pangkat konstan dari n, gunakan Uji Banding Limit. 4. Jika f x dx diketahui, di mana f n = a n yang memenuhi prasyarat Uji Integral, gunakan Uji Integral. 5. Jika uji-uji di atas gagal, cobalah Uji Banding atau Uji Jumlah Terbatas. 6. Jika masih gagal, carilah formula untuk S n dan kemudian hitung limitnya.

27 9.5 Deret Ganti Tanda, Kekonvergenan Mutlak dan Bersyarat

28 Uji Deret Ganti Tanda Misalkan a 1 a 2 + a 3 a 4 + deret ganti tanda dengan a n > a n+1 > 0. Jika lim n a n = 0, maka deret tersebut konvergen. Jika deret tersebut diaproksimasi oleh S n maka galatnya a n+1. Contoh Periksa kekonvergenan deret berikut. 1. σ ( 1) n 11 n (deret harmonik ganti tanda) 2. σ ( 1) n 1n2 2 n

29 Uji Kekonvergenan Mutlak Bagaimana kekonvergenan deret berikut? Jika σ a n konvergen, maka σ konvergen. a n juga Jika σ a n konvergen, σ konvergen mutlak. a n dikatakan

30 Kekonvergenan Bersyarat Kekonvergenan TIDAK mengakibatkan kekonvergenan mutlak. σ 1 n 1 konvergen, tetapi σ 1 n divergen. n Dalam kasus seperti ini, σ a n dikatakan konvergen bersyarat. Contoh. Tentukan apakah deret berikut konvergen multak, konvergen bersyarat, atau divergen. 1. σ ( 1) n 1n2 2 n 2. σ ( 1) n+1 1 n 3. σ 4. σ 5. σ ( 1)n+1 n+1+ n 4n 3 +3n n 5 4n 2 +1 cos(n!) n 2

31 Uji Rasio Mutlak Misalkan σ a a n deret (sebarang) dan lim n+1 n a n i. Jika ρ < 1, maka σa n konvergen mutlak. ii. iii. Jika ρ > 1, maka σa n divergen. Jika ρ = 1, maka tidak ada kesimpulan. = ρ. Contoh. Periksa kekonvergenan deret berikut. ( 1) n+13n n!

32 Teorema Penukaran Tempat Suku-suku dalam deret yang konvergen mutlak boleh ditukar tanpa mengubah kekonvergenan dan jumlahan deret tersebut.

33 9.6 Deret Pangkat

34 Deret Pangkat Deret pangkat dalam x adalah a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + n=0 Dua pertanyaan: 1. Untuk nilai x berapa saja suatu deret pangkat konvergen? 2. Jika suatu deret pangkat konvergen, berapa jumlahannya? Contoh. a + ax + ax 2 + ax 3 + yang merupakan deret geometri dengan pengali x. Diketahui bahwa a + ax + ax 2 + ax 3 + = a 1 x x < 1

35 Himpunan Kekonvergenan Himpunan kekonvergenan adalah himpunan semua nilai x yang mengakibatkan suatu deret pangkat konvergen. Contoh. Tentukan himpunan kekonvergenan dari deret berikut. 1. σ n=0 2. σ n=0 3. σ n=0 x n (n+1)2 n xn n! n! x n Himpunan kekonvergenan deret pangkat merupakan salah satu dari: 1. {0} (jari-jari kekonvergenan 0). 2. Selang ( R, R) yang dapat ditambah dengan salah satu atau kedua titik ujungnya (jari-jari kekonvergenan R). 3. Himpunan bilangan real (jari-jari kekonvergenan ).

36 Deret Pangkat dalam (x a) Deret pangkat dalam (x a) adalah a n (x a) n = a 0 + a 1 (x a) + a 2 (x a) 2 + a 3 (x a) 3 + n=0 Contoh. Tentukan himpunan dan jari-jari kekonvergenan dari deret berikut. (x 1) n (n + 1) 2 n=0

37 9.7 Operasi pada Deret Pangkat

38 Misalkan σ n=0 Turunan dan Integral a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + = S x untuk x di dalam suatu selang I. Maka, untuk x di dalam selang I berlaku: i. σ n=0 D x (a n x n ) = σ n=0 na n x n 1 = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + = S x ii. σ n=0 x an 0 t n dt = σ n=0 a n n+1 xn+1 = x a 0 x + a 1 2 x2 + a 2 3 x3 + = න 0 S t dt

39 Contoh 1. Turunkan dan integralkan deret pangkat 1 + x + x 2 + x 3 + = 1, untuk 1 < x < 1, 1 x untuk memperoleh dua deret pangkat baru. 2. Lakukan substitusi x = t 2 pada deret pangkat 1 dari, kemudian integralkan untuk memperoleh 1 x deret pangkat untuk tan 1 x. 3. Pandang deret pangkat 1 + x + x2 + x3 + = S(x) 2! 3! untuk x R. Turunkan untuk memperoleh S(x).

40 Operasi Aljabar Dua deret pangkat yang konvergen dapat dijumlahkan dan dikurangkan suku per suku. Dua deret pangkat yang konvergen dapat dikalikan dan dibagi, seperti pada perkalian dan pembagian polinom.

41 9.8 Deret Taylor & Maclaurin

42 Deret Taylor & Maclaurin Diberikan fungsi f dan bilangan real a. Akan dicari c 0, c 1, c 2, sehingga: f x = c 0 + c 1 x a + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) 3 + Teorema Ketunggalan Taylor Misalkan fungsi f dapat diturunkan secara terus-menerus, maka fungsi tersebut dapat dinyatakan secara tunggal dalam deret pangkat f a + f a x a + f a (x a) 2 + f a (x a) 3 + 2! 3! + f(n) a (x a) n + n! Deret pangkat tersebut dinamakan Deret Taylor dari f di sekitar x = a. Dalam hal a = 0 deret dinamakan Deret MacLaurin.

43 Teorema Taylor Misalkan f dapat diturunkan terus-menerus pada selang (a r, a + r). Deret Taylor f a + f a x a + f a (x a) f(n) a (x a) n + 2! n! merepresentasikan f(x) pada selang tersebut tersebut jika dan hanya jika lim R n x = 0, dengan R n x = f(n+1) c (x a) n+1, untuk c n (n+1)! (a r, a + r). Contoh. 1. Tentukan deret Maclaurin dari f(x) = sin(x) dan tunjukkan hasilnya berlaku untuk semua x R. 2. Carilah deret Maclaurin untuk ln(x + 1), kemudian gunakan 5 suku pertama deret untuk mengaproksimasi 0 1 ln x + 1 dx.

44 Beberapa Deret Maclaurin

45 9.9 Aproksimasi Taylor

46 Aproksimasi Taylor Aproksimasi linear untuk f di sekitar a adalah P(x) = f(a) + f (a)(x a) Untuk memperoleh aproksimasi yang lebih baik, digunakan polinom dengan derajat yang lebih tinggi. Aproksimasi ini dinamakan polinom Taylor derajat n di sekitar a. p n x = f a + f a x 1 + f a (x a) f(n) a (x a) n 2! n!

47 Contoh

48 Contoh

49 Contoh

50 Contoh

51 Rumus Sisa Taylor Misalkan f dapat diturunkan sampai n + 1 kali di sekitar a. Maka f x = f a + f a dengan R n x = f(n+1) c (n+1)! x a + f a 2! n (x a) 2 f a + + n! (x a) n+1, untuk c di antara x dan a. x a n + R n x, Contoh. 1. Hampiri nilai ln(0, 9) dengan polinom Taylor derajat empat dan taksirlah batas galatnya. 2. Tuliskan polinom Maclaurin derajat n dari f(x) = e x. Lalu hampiri e 0.8 dengan galat tidak melebihi 0, Galat suatu hasil perhitungan numerik adalah E = c2 sin c c 4. Tentukan maksimum galat tersebut. c dengan 2