HASIL DAN PEMBAHASAN

Transkripsi

1 IV. 4.1 Sifat-Sifat Bilangan Kompleks HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam bab ini, akan dikemukakan beberapa sifat tentang bilangan kompleks yang dapat digunakan untuk membuktikan kembali dan atau menemukan fakta baru tentang sifat-sifat bangun segiempat. Sifat-sifat yang dimaksud adalah [4]: 1. Setiap bilangan kompleks z dapat dikaitkan dengan vektor posisi OZ di bidang kompleks dengan titik pangkal di O dan titik ujung di Z. Dengan perkataan lain setiap bilangan kompleks dapat dipikirkan sebagai suatu vektor. Ini berarti penjumlahan dua bilangan kompleks itu sama persis dengan penjumlahan dua vektor dibidang. 2. Misalkan dan dua bilangan kompleks yang tidak segaris maupun tidak sejajar yang memiliki sifat adalah dua bilangan real, maka pastilah dan. dengan x dan y 3. Syarat cukup dua garis tegak lurus adalah merupakan bilangan imajiner murni. Di sini a, b, c dan d adalah bilangan-bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik A, B, C dan D. 4. Syarat cukup agar ketiga titik A, B, dan C segaris adalah merupakan bilangan imajiner murni. Di sini a, b, dan c adalah bilanganbilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik A, B, dan C. 5. Syarat cukup titik A, B, C, dan D membentuk segiempat talibusur adalah merupakan bilangan real. Di sini a, b, c dan d adalah bilanganbilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik A, B, C dan D. 6. Misalkan titik A terletak diluar lingkaran satuan S, AE dan AF adalah dua garis singgung pada lingkaran tersebut yang ditarik dari titik A sebagai mana terlihat pada Gambar 1. 19

2 Gambar 4.1. Sepasang Garis Singgung yang Ditarik dari Titik A maka berlaku Bukti fakta ini bisa dilihat di [4]. 4.2 Penerapan Bilangan Kompleks Untuk Mengeksplorasi Sifat-Sifat Segiempat Berikut ini, disajikan soal-soal penerapan bilangan kompleks untuk mengeksplorasi sifat-sifat segiempat. Soal-soal yang dipilih dianggap dalam penyelesaian dengan konsep dan sifat bilangan kompleks lebih mudah dibandingkan menggunakan hukum-hukum geometri Euclid Soal 1 : Soal ini merupakan contoh soal yang diambil dalam artikel Geometric Aplication of Complex Number hal. 5 [1]. Misalkan ABCD adalah jajar genjang dan E, F, G, H adalah titik tengah dari masing-masing garis AB, BC, CD, DA. Tunjukkan bahwa dan dan EFGH adalah jajar genjang. Gambar ABCD adalah Jajar Genjang dengan E, F, G, H adalah Titik-Titik Tengah Setiap Sisinya. Penyelesaian: Perhatikan Gambar Misalkan a, b, c dan d berturut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, C, dan D. Menggunakan sifat 20

3 1, bilangan kompleks mewakili titik tengah E sedangkan bilangan kompleks mewakili titik tengah G. Jadi,. Diketahui ABCD adalah jajar genjang, maka dan. Sehingga Jadi, EG dan BC sejajar dan sama panjang. Selanjutnya, analog dengan cara di atas diperoleh Jadi, HF dan DC sejajar dan sama panjang. Perhatikan segiempat EFGH. dan. Oleh karena itu, EF dan GH sejajar dan sama panjang, sehingga EFGH adalah jajar genjang. Q. E. D. Soal 2: Soal ini merupakan soal no. 1.8 buku M. R. Spigel, [10] Complex Variables hal. 24. Buktikan bahwa kedua diagonal dalam jajar genjang saling potong memotong ditengah-tengah. Gambar Kedua Diagonal dalam Jajar Genjang Saling Potong-Memotong Ditengah-Tengah Penyelesaian: Perhatikan Gambar Misalkan OABC adalah jajar genjang dengan diagonal berpotongan di P. Misalkan pula dan. Jadi,. 21

4 Karena,, maka dengan. Dengan cara yang sama diperoleh dengan. Selanjutnya, akan ditunjukkan. Tetapi merupakan bilangan imajiner murni, sehingga atau ( ) Dengan demikian menurut sifat 2 diperoleh ( ) dan. Ini berarti,. Jadi, terbukti P adalah titik tengah dari diagonal tersebut. Q. E. D. Soal 3 : Bukti Varignon s theorem [2]. Titik tengah sisi segiempat sembarang membentuk jajar genjang. Gambar Varignon s Theorem penyelesaian: Misalkan a, b, c, d, k, l, m dan n bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, C, D, K, L, M dan N. Diberikan titik tengah K, L, M, dan N, seperti Gambar Menggunakan sifat 1, bilangan kompleks mewakili titik tengah garis AB. Dengan cara yang sama untuk menunjukan hasil l, m dan n. Oleh karena itu Dan 22

5 Sehingga, jadi garis oleh karena itu KLMN adalah jajarangenjang. Q. E. D. Soal 4 : Bukti Van Aubel s theorem [2]. Jika pada suatu segiempat di sebelah kanan panjang sisi segiempat diletakan sebuah persegi yang bersesuaian dengan panjang sisi segiempat tersebut, maka dua garis yang terhubung dengan titik tengah pusat persegi adalah sama panjang dan tegak lurus. Gambar Van Aubel s Theorem Penyelesaian: Misalkan a, b, c, d, t, u, v dan w bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, C, D, T, U, V dan W. Perhatikan segiempat ABCD dan titik-titik pusat persegi T, U, V, W, seperti yang ditunjukkan pada gambar selanjutnya, ketiga titik A, T, B membentuk vertex sebuah persegi. Jadi, dengan menggunakan sifat 1 diperoleh Dengan cara yang sama 23

6 Sehingga Dan Terbukti, UW dan TV tegak lurus dan sama panjang. Q. E. D Soal 5 : Bukti Thebault s first theorem [7] Jika pada setiap sisi suatu jajar genjang dibentuk persegi maka pusat dari keempat persegi tersebut akan berupa persegi. Gambar Thebault s First Theorem Penyelesaian: Misalkan dan masing-masing menyatakan bilangan kompleks yang bersesuaian dengan DC dan CB. 24

7 Misalkan pula M 1, M 2, M 3, dan M 4 adalah tititk dari persegi sebagaimana terlihat pada gambar jadi, Analog diperoleh Dari hasil di atas diperoleh Dengan demikian, Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan. Soal 6: Berikut akan dibuktikan bahwa di dalam belah ketupat diagonalnya tegak lurus satu sama lain. Gambar Diagonal Belah Ketupat Tegak Lurus Satu Sama Lain 25

8 Penyelesaian Perhatikan Gambar Misalkan OABC adalah belah ketupat dengan dan. Ini berarti dan. Jadi,. Akan ditunjukkan. Menggunakan sifat 3, cukup ditunjukkan bahwa ( ( )( ) ) Terbukti. Q. E. D. Soal 7: Jika masing-masing diagonal dari segiempat membagi dua sama panjang, maka terjadilah jajar genjang [1]. Gambar Diagonal Jajar Genjang Membagi Dua Sama Panjang Penyelesaian: Perhatikan Gambar Misalkan dan adalah tititk sudut dari segiempat yang kedua diagonal potong memotong ditengah-tengah. Misalkan pula E adalah titik potong dari AC dan BD. Diketahui dan. Karena E titik tengah dari AC, maka menggunakan sifat 1 diperoleh. Tetapi E juga titik tengah dari BD jadi. Ini berakibat Atau 26

9 Ini berarti AD dan BC sama panjang dan sejajar. Analog diperoleh AD dan BC sama panjang dan sejajar. Dari bukti-bukti tersebut dapat diketahui bahwa gambar tersebut adalah jajar genjang. Soal 8 [5]: Diberikan tiga titik A, B dan C yang tak segaris, seperti Gambar Misalkan Z adalah pencerminan dari C pada garis AB. Maka, z dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Gambar Z adalah hasil pencerminan titik C terhadap garis AB Penyelesaian: Perhatikan Gambar 4.2.8, misalkan a, b, c dan z bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, C dan Z. Misalkan pula M adalah titik tengah dari ZC. Jadi, Karena Z adalah hasil pencerminan dari C terhadap garis AB, maka M pasti terletak pada garis AB. Sehingga menurut sifat 3 diperoleh Karena maka 27

10 ( ) Demikian pula karena ZC tegak lurus terhadap garis AB Selanjutnya, diperoleh ( ) dan Kedua persamaan (1) dan (2) dapat dipikirkan sebagai sistem persamaan dalam z dan. Sistem persamaan z dan dapat disajikan dalam bentuk sebagai berikut: dengan Apabila sistem persamaan (3) dan (4) diselesaikan untuk sistem persamaan untuk z diperoleh ( ) Q. E. D. Soal 9: Diketahui a, b, dan c adalah bilangan kompleks yang terletak pada lingkaran satuan di bidang kompleks dan h adalah bilangan kompleks 28

11 . Jika A, B, C dan H berturut turut adalah titik-titik pada bidang yang bersesuaian dengan bilangan kompleks a, b, c dan h, maka buktikan bahwa titik H merupakan titik potong dari garis tinggi segitiga ABC [5]. Gambar Titik H Merupakan Titik Potong Garis Tinggi Segitiga ABC Penyelesaian: Perhatikan Gambar Untuk membuktikan H adalah titik tinggi segitiga ABC, ditunjukkan. Jadi, menurut sifat 3 akan ditunjukkan bahwa bilangan adalah bilangan imajiner murni. Perhatikan bahwa Dengan demikian Oleh karena itu, terbukti k adalah bilangan imajiner murni, sehingga. Analog di atas. Jadi, dapat disimpulkan bahwa dan. Sehingga, H adalah titik potong dari garis tinggi segitiga Q. E. D., terbukti. Soal 10: Soal berikut ini adalah soal no. 2 dari soal Olimpiade Matematika USAMO 2015 [5]. 29

12 Pada Gambar Terlihat segiempat APBQ terletak pada lingkaran dengan dan. X adalah sembarang titik pada segmen garis PQ dan S adalah titik potong garis AX dengan lingkaran. Titik T terletak pada busur AQB pada lingkaran sehingga XT tegak lurus AX dan M adalah titik tengah segmen garis ST. Gambar Ilustrasi Latar Belakang Soal USAMO 2015 No. 2 Jika X bergerak sepanjang segmen garis PQ, maka tunjukkan bahwa M bergerak sepanjang lingkaran. Penyelesaian: Perhatikan Gambar Gambar a, b, m, o, p, q, s, t dan x bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, M, O, P, Q, S, T dan X. 30

13 Misalkan a, b, s, t dan x bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, S, T dan X. Tanpa mengurangi keumumannya dimisalkan merupakan lingkaran satuan dan O sebagai titik pusat lingkaran tersebut, maka. Karena AB merupakan diameter dari, maka dan. Selanjutnya, perhatikan bahwa APBQ adalah layang-layang. Jadi,. Tetapi AB berimpit dengan sumbu real, sehingga semua titik pada segmen garis PQ tegak lurus terhadap sumbu real. Ini berarti semua titik pada segmen garis PQ memiliki bagian real yang sama. Oleh karena itu, konstan. Karena A, X, dan S segaris. Maka menurut sifat 4: Sedangkan XT tegak lurus terhadap AB, maka menurut sifat 2: Apabila kedua persamaan (5) dan (6) diselesaikan untuk x dan, akan diperoleh dan Perhatikan bahwa Karena titik Z terletak terletak pada lingkaran satuan, maka, sehingga Terbukti bahwa M terletak pada lingkaran dengan pusat Z dan jari-jari Q. E. D. 31

14 Soal 11 : Soal ini merupakan salah satu soal seleksi tingkat kabupaten/kota OSN 2009 bidang matematika SMA [13]. Diberikan segitiga ABC lancip. Lingkaran dalam segitiga ABC dengan titik pusat I menyinggung sisi-sisi BC, CA, dan AB berurut-turut di D, E, dan F. Garis bagi sudut A memotong DE di K. a) Buktikan bahwa BK tegak lurus garis bagi sudut BAC. b) Buktikan bahwa CL tegak lurus garis bagi sudut BAC, dimana L adalah titik potong garis bagi sudut A dan garis DF. c) Tunjukkan bahwa A 1 KML adalah segiempat talibusur, jika AA 1 adalah garis tinggi dan M titik tengah BC. Ilustrasi soal di atas diperlihatkan pada Gambar Gambar OSN SMA 2009 BK Tegak Lurus AK, CL Tegak Lurus AL dan A 1 KML adalah Segiempat Talibusur. Penyelesaian: Tanpa mengurangi keumumannya lingkaran dalam segitiga ABC dipikirkan sebagai lingkaran satuan dibidang kompleks dengan pusat koordinat di I dan sumbu realnya berimpit dengan garis bagi sudut A sebagaimana terlihat pada Gambar

15 Gambar Titik I Merupakan Pusat Koordinat dan Garis Bagi Merupakan Sumbu Real. Jadi, persamaan garis bagi adalah. Karena EF tegak lurus AI dan E terletak pada lingkaran satuan, maka atau. Selanjutnya, menggunakan sifat 6 diperoleh Mengunakan sifat 2 diperoleh Misalkan z sembarang titik yang terletak pada garis DE, maka z segaris dengan garis DE. Oleh karena itu berdasarkan sifat 4 persamaan garis DE adalah atau Bentuk persamaan tersebut dapat disederhakan menjadi ( ) atau. Jadi, persamaan garis DE adalah.. Dengan cara yang sama persamaan garis DF adalah 33

16 Misalkan z sembarang titik pada BC dan, maka berdasarkan sifat 3 diperoleh Karena I adalah titik pusat koordinat dan titik D terletak pada lingkaran satuan, maka diperoleh atau Jika persamaan (8) disederhanakan akan diperoleh. Jadi, persamaan garis BC adalah. Dengan cara serupa di atas, persamaan garis AA 1 diperoleh dari: atau Dengan menyederhanakan persamaan (9), maka persamaan garis akhir dapat ditulis dalam bentuk. Selanjutnya, dengan memotongkan garis DE dan sumbu real AI diperoleh titik K yaitu Demikian pula dengan memotongkan garis DF dan sumbu real AI diperoleh titik L yaitu Sementara itu dengan memotongkan garis AA 1 dan garis BC diperoleh titik A 1 yaitu dengan mensubtitusikan persamaan garis BC pada AA 1. Oleh karena itu, 34

17 diperoleh persamaan garis A 1 yaitu. Sehingga, hasil akhir persamaan garis A 1 adalah 1. Untuk membuktikan cukup ditunjukkan bernilai imajiner. Sehingga Jadi, terbukti bernilai imajiner, sehingga terbukti pula. 2. Untuk membuktikan bahwa dapat dilakukan dengan komputasi a). 3. Untuk membuktikan A 1 KML adalah segiempat talibusur, perhatikan Gambar Cukup ditunjukkan Gambar A 1 KML adalah segiempat talibusur. bernilai real. Perhatikan bahwa 35

18 dan Sehingga Akibatnya Jadi, terbukti bahwa Y adalah real, maka terbukti A 1 KML adalah segi empat tali busur. Q. E. D. 36