Penerapan Kombinatorial dan Probabilitas pada permainan Truf

Transkripsi

1 Penerapan Kombinatorial dan Probabilitas pada permainan Truf Willsen Sentosa Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia @std.stei.itb.ac.id Abstract Permainan Truf adalah permainan dengan menggunakan kartu remi yang cukup terkenal di Indonesia. Sistem permainan truf mirip dengan bridge. Pada makalah kali ini, akan dibahas penerapan kombinatorial untuk mengitung peluang pada permainan Truf. Sejak jaman dahulu, manusia bertanya bahwa bagaimana jika saya dapat melihat apa yang akan terjadi di masa depan?. Tentunya mengetahui masa depan adalah sebuah keuntungan yang sangat besar. Manusia dapat menentukan jalan terbaik yang dapat ditempuhnya. Tetapi tentu saja melihat masa depan dapat dibilang tidak mungkin terjadi. Tetapi ada sebuah cara untuk memprediksi masa depan dengan cara menghitung peluang terjadinya sebuah kejadian. Peluang juga sangat berkaitan dengan teori kombinatorial. Jika teori ini diaplikasikan, maka manusia dapat memutuskan peluang terbesar dan dapat memprediksi apa yang akan terjadi, walaupun tidak ada cara pasti untuk membuktikannya. Teori peluang sangat berhubungan dengan kartu, karena teori ini berasal dari sebuah meja di sebuah kasino. Untuk memprediksi peluang kemenangan, maka dirumuskanlah teori peluang ini. Permainan kartu juga berbagai jenis macam, terutama pada kartu remi (playing cards). Ada berbagai jenis permainan yang dapat dimainkan. Permainan berbasis kartu juga sangat terkenal dan diminati di kalangan masyarakat Indonesia karena mudah untuk dibawa kemana-mana dan hanya membutuhkan sebuah dek kartu dan juga pemain, apalagi permainan ini dapat dimainkan secara bersama-sama yang menambah keseruan dari permainan berbasis kartu ini. Kartu remi (playing cards) biasa terdiri dari 52 kartu dengan 4 tanda, yaitu,,, dan tiap tanda memiliki 13 kartu yang dapat diurutkan dari As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K. Karena jumlah kartu yang cukup banyak ini, kartu remi dapat dimainkan dengan variasi permainan mulai dari permainan seperti Blackjack, Bridge, Capsa, Poker, dll. Salah satu permainan yang terkenal di Indonesia adalah permainan bernama Truf, yang diambil dari Bahasa Belanda Troef yang berarti Trump. Permainan truf merupakan adaptasi dari permainan Knockout Whist di Britania. Permainan yang mirip dengan bridge ini adalah permainan yang cukup menantang dan diperlukan strategi untuk memenangkan permainan ini. Keywords kombinatorial, truf, peluang, kombinasi, trick. I. PENDAHULUAN Gambar 1.1 Contoh kartu remi Sumber: Cards_p_2523.html A. Aturan Permainan II. DASAR TEORI Permainan Truf adalah permainan beranggotakan 4 orang. Permainan ini menggunakan playing cards (Kartu remi) dengan total 52 kartu dalam deknya tanpa menggunakan kartu joker. Urutan nilai tertinggi pada pemainan ini adalah A-K-Q-J dengan urutan tanda,,,. Permainan dimulai dengan mengacak urutan kartu (shuffle) lalu dibagikan secara merata sehingga tiap pemain memiliki total 13 kartu pada tangannya. Pemain lalu menawar (bid) secara bersamaan dengan cara menutup kartu yang ingin ditawar. Saat semua pemain siap, kartu yang ditawar akan dibuka secara bersamaan dan akan dilihat nilai yang paling tinggi beserta dengan tandanya (misalkan ada 5 dan 5 pada penawaran, maka penawaran dimenangkan oleh 5 ). Nilai pada kartu merepresentasikan jumlah set permainan yang ingin dimenangkan. Tanda pada kartu yang memenangkan tawaran akan menjadi Truf. Setelah penentuan kartu truf. Akan dilihat jumlah tawaran. Jika jumlah tawaran melebihi 13, maka main atas akan dilakukan. Jika kurang dari 13, maka main bawah akan dilakukan. Jika tepat 13, maka pemain yang memenangkan

2 tawaran dapat menambahkan atau mengurangi bid setiap pemain sebesar 1. ( main atas dan main bawah akan dibahas di bagian penghitungan nilai) Contohnya jika terdapat 5, 4, 2, 2, maka tanda akan menjadi truf. Karena total nilai tawaran adalah 13, maka pemain yang menawar 5 dapat mengubah tawaran menjadi: 4, 3, 1, 1 dan main bawah akan dimainkan dengan tanda menjadi truf. 6, 4, 2, 2 dan main atas akan dimainkan dengan tanda menjadi truf. Setelah penentuan kartu truf, pemain mengambil kembali kartunya dan permainan dimulai. Masing-masing pemain akan mengeluarkan sebuah kartu tiap set-nya secara bergilir secara terbuka. Giliran pertama dilakukan oleh pemain yang memenangkan tawaran, pemain ini akan mengeluarkan suatu kartu dengan tanda tertentu. Tanda kartu tersebut akan menjadi trick pada set permainan tersebut. Jika kartu truf belum pernah dikeluarkan, maka Truf tidak boleh dijadikan trick. (misalkan pemain pertama mengeluarkan K, maka tanda akan menjadi trick pada set tersebut). Semua pemain maka harus mengeluarkan kartu yang bertanda sama dengan trick jika memungkinkan pada set tersebut. Jika tidak memungkinkan dikeluarkannya kartu yang bertanda sama dengan trick, maka kartu truf atau kartu lainnya dapat dikeluarkan). Tiap set akan dimenangkan oleh pemain yang mengeluarkan kartu bertanda sama dengan trick dengan nilai paling tinggi jika kartu truf tidak dikeluarkan. Jika kartu truf dikeluarkan, maka pemain yang mengeluarkan truf akan memenangkan set tersebut. (Jika ada 2 pemain atau lebih mengeluarkan truf, maka akan dilihat nilai dengan kartu truf yang paling tertinggi). Kartu truf yang dimainkan harus selalu ditutup. Setelah ada pemain yang memenangkan set, maka set baru akan dimulai dengan pemain yang memenangkan set sebelumnya akan menjadi pemain dengan giliran pertama dan juga pemain tersebut akan mengeluarkan kartu yang akan menjadi trick pada set tersebut. Permainan akan terus berlanjut sampai semua kartu pemain telah habis, atau lebih tepatnya 13 set karena jumlah kartu ditangan pemain saat pertama kali permainan dimulai adalah 13 kartu. Gambar 1.2 Contoh sebuah set yang dimainkan dan dimenangkan dengan kartu truf Sumber: Untuk lebih mengerti, misalkan pemain1 mengeluarkan K, pemain2 mengeluarkan A, pemain3 mengeluarkan 2, pemain 4 mengeluarkan 4, maka set akan dimenangkan oleh pemain2. Jika pemain4 tidak memiliki kartu yang merupaka trick pada set tersebut, pemain4 dapat mengeluarkan kartu lain. Andaikan truf adalah kartu bertanda dan pemain4 mengeluarkan 2, maka set akan dimenangkan oleh pemain4. Setelah 13 set berlalu dan kartu pada pemain habis, maka akan dilakukan penghitungan nilai. Perhitungan nilai itu sendiri memiliki banyak cara. Cara Pertama: Jika main bawah dimainkan, maka: bid 1 (perbedaan bid dengan set yang bid 2 (perbedaan bid dengan set yang ditawarnya akan mendapat skor sesuai dengan bid pemain tersebut. Jika main atas dimainkan, maka:

3 bid 2 (perbedaan bid dengan set yang bid 1 (perbedaan bid dengan set yang ditawarnya akan mendapat skor sesuai dengan bid pemain tersebut. Pemain dengan skor paling tertinggi akan memenangkan permainan. Cara 2: Jika main bawah dimainkan, maka: 1 (perbedaan bid dengan set yang -1 (perbedaan bid dengan set yang ditawarnya akan mendapat 0 skor Jika main atas dimainkan, maka: 1 (perbedaan bid dengan set yang 1 (perbedaan bid dengan set yang ditawarnya akan mendapat 0 skor. Pemain dengan skor paling tertinggi akan memenangkan permainan. Cara 3: Cara 3 sama dengan cara ke 2, tetapi perbedaannya adalah jika main atas dimainkan, maka pemain yang bid-nya 0 dan tidak memenangkan set sama sekali mendapat 5 poin. Cara 4: Cara 4 sama dengan cara ke 2, tetapi pada awal permainan, sebuah konstanta ditentukan, misalnya 2. Nilai positif akan dikalikan dengan konstanta tersebut. Misalkan, main atas diberlakukan dan pemain menawar sebanyak 3 set. Maka pemain akan mendapat -3 poin jika menang 0 set, -2 poin jika menang 1 set, -1 poin jika menang 2 set, 0 poin jika 3 set, 2 poin untuk 4 set, 4 poin untuk 5 set dan seterusnya. Jika main bawah diberlakukan, pemain yang menawar 4 set akan mendapat 8 poin jika 0 set dimenangkan, 6 poin untuk 1 set, 4 poin untuk 2 set, 2 poin untuk 3 set, 0 poin untuk 4 set, -1 untuk 5 set, -2 untuk 6 set, dan seterusnya. Cara ini juga dapat digabungkan dengan cara ke 3 dimana pemain yang menawar 0 set dan memenangkan 0 set mendapat 5 poin tanpa pengkalian dengan konstanta yang sudah disepakati bersama. Karena banyaknya variasi pada perhitungan nilai akhir tiap pemain, maka diambil perhitungan dengan cara paling umum, yaitu cara 1. B. Teori Kombinatorial Kombinatorial adalah sebuah ilmu dalam bidang matematika yang mempelajari mengenai berapa banyak cara yang dapat dilakukan untuk menyusun sebuah kejadian. Kombinatorial memiliki dua perhitungan yang mendasar yang jika digunakan, dapat memecahkan banyak sekali masalah. 2 perhitungan tersebut adalah Rule of Product (kaidah perkalian) dan Rule of Sum (kaidah penjumlahan). 1. Rule of Product Rule of Product adalah perhitungan dengan cara mengkalikan kedua kejadian. Kejadian tersebut akan terjadi secara bersamaaan. Misalkan: Eksperimen 1: p cara Eksperimen 2: q cara Maka Eksperimen 1 dan 2 : p q cara 2. Rule of Sum Rule of Sum adalah perhitungan dengan cara menjumlahkan kedua cara pada 2 buah eksperimen. Eksperimen tersebut hanya salah satu yang akan terjadi. Misalkan: Eksperimen 1 : p cara Eksperimen 2 : q cara Maka Eksperimen 1 atau 2 : p + q cara C. Teori Permutasi Permutasi merupakan bentuk khusus perkalian yang dapat menentukan banyaknya penyusunan sebuah objek tanpa adanya pengulangan. Permutasi menggunakan prinsip rekursif dimana urutannya dipilih dari n buah dan terus dikurangi sampai 1 objek yang tersisa. Permutasi juga menghitung urutan kemunculan dari suatu objek Permutasi biasanya dilambangkan dengan P. P(n,r) adalah jumlah banyaknya cara urutan r dapat dipilih dari n buah elemen. P(n,r) = n! (n r)!

4 Gambar 2.1 Contoh Penerapan Permutasi pada urutan pengambilan bola Sumber: Diakses pada 9 Desember 2018 D. Teori Kombinasi Kombinasi adalah bentuk khusus permutasi. Jika permutasi menghitung urutan kemunculan, kombinasi tidak menghitung urutan kemunculan. Kombinasi biasanya dilambangkan dengan huruf C. n! C(n,r) = (n r)!r! Gambar 2.3 Blaise Pascal Sumber: Teori peluang sangat sering sekali digunakan dan jika diperhatikan, teori ini dapat diaplikasikan kepada semua bidang. Contohnya adalah pelemparan koin, peluang munculnya sebuah angka, sampai pengunaan oleh perusahaan asuransi. Terminologi dasar dari teori peluang adalah 1. Ruang Sampel Ruang sampel adalah berupa himpunan dari semua kejadian yang dapat terjadi pada sebuah percobaan. Contoh: Pelemparan dadu. Ruang Sampel = {1,2,3,4,5,6} 2. Peluang Diskrit Peluang diskrit merupakan representasi dari peluang terjadinya suatu kejadian. Biasa disimbolkan sebagai p(x). Aturan dari peluang diskrit yaitu: 0 p(x) 1 Gambar 2.2 Contoh perbedaan Permutasi dan Kombinasi Sumber: Diakses pada 9 Desember 2018 E. Teori Peluang Teori peluang pertama kali ditemukan sekitar abad 17 yang dimulai dari pertanyaan Chevalier de Mere kepada Blaise Pascal. Teori ini akhirnya dikembangkan dan dikemukakan oleh Pascal dan Fermat ( ). 3. Frekuensi Harapan Frekuensi harapan kejadian A adalah banyaknya harapan kejadian A akan terjadi jika dilakukan sebanyak n percobaan. Rumus dari frekuensi harapan adalah sebagi berikut: F(A) = P(A) n Dimana P(A) adalah peluang diskrit kejadian A dan n adalah banyak percobaaan. 4. Titik Contoh Titik Contoh berupa hasil percobaan pada ruang sampel yang dimana hasil percobaaannya adalah saling terpisah. 5. Kejadian Kejadian berupa kondisi objek. Kejadian berupa himpunan dari ruang sampel. Biasanya kejadian dinotasikan dengan huruf E.

5 maka peluang untuk main atas sangat besar. C. Penerapan Probabilitas dan Kombinatorial dalam Permainan Gambar 2.4 Dadu yang sering digunakan untuk persoalan probabilitas Sumber: III. PEMBAHASAN A. Penerapan Kombinatorial pada pembagian kartu Setiap pemain akan mendapatkan 13 kartu dari 52 kartu pada deck, maka menurut prinsip kombinatorial, maka banyaknya cara kartu yang didapat oleh setiap pemain adalah sebagai berikut: C(52,13) = 52! (52 13)!13! = Banyak sekali kemungkinan cara pembagian kartu terhadap setiap pemain. Kartu remi memiliki 4 tanda dan setiap tanda memiliki 13 kartu dalam 1 deck. Maka rata-rata jumlah kartu bertanda sama adalah 13/4 yang jika dimutlakan menjadi 3. B. Penerapan Probabilitas pada bidding Pada proses permainan truf, sangat penting untuk mendapatkan kartu truf yang banyak. Maka kartu yang cenderung akan di bid adalah kartu dengan jumlah tanda yang paling banyak dan dengan nilai tinggi. Dianggap bahwa kartu bernilai tinggi adalah J, Q, K, A. Untuk proses bidding, dianggap pemain bid bernilai n. rata-rata pemain dapat memenangkan suatu set adalah 3 set. Hampir dapat dipastikan jika mendapat As, maka set akan dimenangkan oleh pemain tersebut. Maka perlu diperhitungkan dengan melihat kartu yang ada, Dengan memperhatikan kondisi kartu pada tangan, jika terdapat banyak kartu berjenis sama dengan nilai yang tinggi, maka peluang untuk menang akan bertambah. Karena walaupun bid terlalu rendah, kartu bernilai tinggi yang bukan truf dapat disimpan sampai akhir sehingga kemenangan set sesuai dengan yang di bid. Untuk main atas dan main bawah, karena pemain akan cenderung ingin merebut truf dan melakukan giliran pertama, Diketahui jika pemain melakukan giliran pertama. Peluang harapan setiap pemain untuk jumlah tanda di tangannya adalah 13/4 yang jika dimutlakan adalah 3. Dengan angka ini, maka peluang pemain memiliki kartu dengan tanda yang sama berjumlah 3 besar. Maka dari itu, setiap tanda kartu rata-rata dapat dimainkan 3 kali sebelum kartu truf keluar. Starategi yang tepat adalah dengan cara mengeluarkan kartu terbesar pertama kali sehingga kartu tersebut tidak dikalahkan oleh kartu truf. Pada giliran pertama, banyak cara susunan kartu pemain yang tidak memiliki kartu bertipe trick sehingga perlu dikeluarkan kartu truf adalah 39! C(39,13) (39 13)! = Sehingga jika dijadikan peluang, maka peluang bahwa pemain tidak mempunyai suatu tanda adalah C(39,13) C(52,13) = 0, Karena probabilitas yang sangat kecil, maka strategi untuk mengamankan sebuah set diawal permainan sangat berpengaruh kepada hasil dari permainan. Jika pemain sudah mengeluarkan 3 kartu berjenis sama, besar kemungkinan bahwa truf akan dimainkan. Tentunya truf terdiri dari 13 kartu. Secara logika, jika seseorang mengeluarkan truf disaat trick bukanlah truf, dapat dipastikan bahwa truf tersebut bernilai rendah. Selain itu, pemain juga harus memperhatikan kartu yang sudah dikeluarkan sehingga pemain dapat mengetahui kartu bernilai berapa yang paling tertinggi yang belum dimainkan. IV. KESIMPULAN Aplikasi kombinatorial dan peluang dapat banyak digunakan. Dalam permainan kartu, jika seseorang menggunakan prinsip peluang, peluang kemenangan dapat meningkat. Permainan kartu pun bukan hanya dapat digunakan untuk hiburan saja, tetapi permainan berbasis kartu ini juga merupakan sumber nafkah dari pegawai kasino. Tentunya kasino juga menggunakan prinsip sedemikian untuk meningkatkan tingkat kemenangan dari bandar. Pengunaan kombinatorial dan peluang bukan hanya terbatas pada permainan kartu saja, semua permainan tentunya dapat diaplikasikan dengan teori ini. Bahkan bukan hanya dalam bidang permainan saja, dalam bidang ekonomi seperti bursa saham dan juga dalam penentuan asuransi seseorang. Dengan berkembangnya ilmu pengetahuan, seseorang dapat menentukan pilihan terbaik dan juga dapat memprediksi apa yang mungkin terjadi dengan tingkat akurasi yang cukup tepat.

6 Tetapi bagaimanapun, peluang hanyalah peluang dan sehebat apapun manusia, manusia tidak dapat menentukan secara pasti apa yang akan terjadi di masa yang akan dating. V. UCAPAN TERIMA KASIH Penulis berterima kasih kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah berkat-nya sehingga penulis dapat menuliskan makalah ini. Penulis juga berterima kasih kepada Bapak Judhi Santoso selaku dosen pengajar dan Bapak Rinaldi Munir selaku dosen pengampu mata kuliah Matematika Diskrit yang telah mengajar dan membimbing penulis. REFERENSI [1] Diakses pada 9 Desember 2018 [2] AL_JUPRI/Teori_Peluang_Al_Jupri.pdf Diakses pada 9 Desember 2018 [3] Diakses pada 9 Desember 2018 PERNYATAAN Dengan ini saya menyatakan bahwa makalah yang saya tulis ini adalah tulisan saya sendiri, bukan saduran, atau terjemahan dari makalah orang lain, dan bukan plagiasi. Bandung, 9 Desember 2018 Willsen Sentosa