Masalah Maksimum dan Minimum

Transkripsi

1 Masalah Maksimum dan Minimum 1

2 Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah Definisi Misalkan (x 0,y 0 ) D f, maka f(x 0,y 0 ) adalah nilai maksimum global dari f pada D f, jika f(x 0,y 0 ) f(x,y), (x,y) D f f(x 0,y 0 ) adalah nilai minimum global dari f pada D f, jika f(x 0,y 0 ) f(x,y), (x,y) D f f(x 0,y 0 ) adalah nilai ekstrim global dari f pada D f, jika ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global. Definisi yang sama berlaku dengan kata global diganti dengan lokal, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan bahwa pertidaksamaan berlaku pada N S, dengan N suatu daerah di sekitar (x 0, y 0 ).

3 Titik pelana

4 Dimana nilai ekstrim muncul? Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis Titik kritis ada 3 (tiga), yaitu Titik-titik batas D f (x f 0, y0) = 0 Titik Stasioner (bidang singgung datar) Titik Singular titik dalam S ketika f tidak dapat didiferensialkan

5 Uji Nilai Ekstrim Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu: Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang f (x0, y0) = 0 kontinu di sekitar (x 0,y 0 ) dan Jika maka D = D(x ( f (x, y ) 2 0, y0) = fxx(x0, y0).fyy(x0, y0) xy 0 0) 1. f(x 0,y 0 ) nilai maksimum lokal jika D > 0 dan (x, y ) 0 fxx f(x 0,y 0 ) nilai minimum lokal jika D > 0 dan (x, y ) 0 3. f(x 0,y 0 ) titik pelana jika D < 0 4. Jika D = 0, tidak dapat ditarik kesimpulan fxx 0 0

6 Contoh 1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari Jawab f(x,y) = 2x 4 x 2 +3y 2 f x (x,y) = 8x 3 2x f y (x,y) = 6y f xx (x,y) = 24x 2 2 f yy (x,y) = 6 f xy (x,y) = 0 Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan f x (x,y) = 0 dan f y (x,y)=0, yaitu 8x 3 2x=0 2x (4x2 1)=0 6y =0 y = 0 Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0), (½, 0) dan (-½,0) x=0, x =± ½

7 Contoh (lanjutan) Mengenai jenis titik kritisnya, bisa dilihat pada tabel berikut: f xx f yy f xy D Keterangan (0,0) Titik pelana (½, 0) Titik Minimum (-½, 0) Titik Minimum Jadi nilai minimum lokal = -1/8 dicapai pada (½,0) dan (-½,0), sedangkan (0,0) merupakan titik pelana.

8 Contoh 2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari f(x,y) = x 2 y 2 +1 pada S = {(x,y) x 2 + y 2 1} Jawab f x (x,y) = 2x f y (x,y) = 2y f xx (x,y) = 2 f yy (x,y) = 2 f xy (x,y) = 0 Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan f x (x,y) = 0 dan f y (x,y)=0, yaitu didapat (0,0) Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0)( terletak di dalam S), sedangkan jenisnya titik pelana (nilai D < 0) Untuk titik-titik batasnya, misalkan x = cos t dan y = sint (karena S adalah lingkaran satuan), sehingga didapat f(t)=cos 2 t sin 2 t +1 (untuk mencari maks/min dari f(x,y) pada S)

9 Contoh (lanjutan) Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, yaitu: f (t)= 2 cos t sint 2 sint cost = 0-4 cos t sint = 0 Sin2t = 0 2t = 0,, 2, 3 Untuk t = 0 x = 1, y = 0 Untuk t = x = -1, y = 0 Untuk t = /2 x = 0, y = 1 Untuk t = 3/2 x = 0, y = -1 t = 0, /2,, 3/2 f(1, 0) = 2 f(0, 1) = 0 f(-1, 0) = 2 Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0), f(0, -1) = 0 Sedangkan nilai minimun global = 0 pada titik (0,1) dan (0,-1)

10 Latihan 1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya, dari a. f(x,y) = x 3 +y 3-6xy b. f(x,y) = xy 2 6 x 2 6y 2 c. f(x,y) = x 2 +4 y 2 2x+8y 1 d. f(x,y) = 3x 3 +y 2 9x + 4y 2 e. f( x, y) = xy + + x 2 2 ( x + y 4 f. f( x, y) = e y) 4 y 2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari Tugas: salah satu dari no1 dan salah satu dari no 2 a. f(x,y) =x 2 6x+y 2 8y+7 pada S={(x,y) x 2 + y 2 1} b. f(x,y) =3x+4y pada S={(x,y) 0 x 1, 1 y 1}

11 Metode Lagrange Untuk mencari nilai ekstrim terkendala Misalkan z =f(x,y) dengan kendala g(x,y) = 0. Akan dicari ekstrim f terhadap kendala g. Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi f (x,y) = 9 x 2 y 2 berikut : g (x, y) = 0 Untuk memaksimumkan f thd kendala g(x,y) = 0 sama dengan mencari perpotongan kurva ketinggian f (x, y) = k dengan fungsi kendala g (x, y) = 0 sehingga diperoleh k f (x, y) untuk setiap x, y D f sepanjang g(x, y) = 0 Karena kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung garis tegak lurusnya sama karena kurva ketinggian f dan kurva kendala, maka f (x, y) = g(x, y)

12

13 Metode Lagrange Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x 0,y 0 ) terhadap kendala g(x 0,y 0 )=0, selesaikan (x0, y0) = g(x0, y0) dan g(x0, y ) = 0 f 0 dengan (x 0,y 0 ) titik kritis, pengali langrange Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x 0,y 0 ) terhadap kendala g(x 0,y 0 )=0 dan h(x 0,y 0 )=0, selesaikan f x, y ) = g( x, y ) + h( x, ), g(x 0,y 0 )=0, h(x 0,y 0 )=0 ( y0 dengan (x 0,y 0 ) titik kritis, pengali Lagrange

14 Contoh Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari 1. f(x,y) = x 2 + 2y 2 pada lingkaran x 2 + y 2 =1 Jawab: f ( x, y) = 2xiˆ+ 4y ˆj g( x, y) = 2x ˆi + 2y ˆj Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut f ( x, y) = g( x, y) dan g( x, y) = yaitu: 2x = 2x. (1) 4y = 2y. (2) x 2 + y 2 = 1..(3) 0

15 Contoh (lanjutan) Untuk x 0 dari (1), didapat = 1, kemudian dari (2) di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x 2 =1 x = ± 1 Untuk y 0, dari (2), didapat = 2, maka dari (1), diperoleh x = 0, dan dari (3), that y 2 =1 y = ± 1 Titik-titik kritis yaitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1) Untuk (1,0) f(1, 0) = 1, f(-1,0) = 1 Untuk (0,1) f(0, 1) = 2, Untuk (0,-1) f(0,-1) = 2 Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (0,1) dan (0,-1), Sedangkan nilai minimun global =1 pada titik (1,0) dan (-1,0)

16 Contoh 2. f(x,y,z)= x + 2y + 3z pada elips yang merupakan perpotongan x 2 + y 2 = 2 dan bidang y + z = 1 Jawab: f ( x, y, z) = iˆ + 2 ˆj + 3kˆ Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan Lagrange berikut f ( x, y, z) = g( x, y, z) + h( x, y, z) ; dan h( x, y, z) = 0 yaitu: g( x, y, z) = 0 1 = 2x.(1) 2 = 2y +. (2) 3 = (3) x 2 + y 2 = (4) y + z = (5) g( x, y, z) = 2xiˆ + 2y ˆj h ( x, y, z) = ˆj + kˆ

17 Contoh (lanjutan) Dari (1), x = 1/(2), dari (2) dan (3), y = -1/(2). Jadi dari (4), didapat = ± ½. Untuk = ½, didapatkan titik kritis (1, -1, 2). Untuk = -½, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0). Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,2), Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (-1,1,0)

18 Latihan Gunakan metode lagrange untuk mencari nilainilai maksimun dan minimun dari 1.f(x,y) = x 2 + y 2 pada kendala g(x,y)= xy 3 = 0 2.f(x,y) = xy pada lingkaran x 2 + y 2 = 1 3.f(x,y) = 4x 2 4xy+ y 2 pada kendala x 2 +y 2 = 1 4.f(x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2 pada kendala x + 3y 2z = 12