Estimasi Fungsi Regresi Dalam Model Regresi Nonparametrik Birespon Menggunakan Estimator Smoothing Spline dan Estimator Kernel

Transkripsi

1 Vol.15, No., 0-4, Jauary 019 Estimasi Fugsi Regresi Dalam Model Regresi Noparametri Birespo Megguaa Estimator Smoothig Splie da Estimator Kerel 1 Budi Lestari, Nur Chamidah, da 3 Toha Saifudi Abstract Regressio model of bi-respod oparametric is a regressio model which is illustratig of the coectio patter betwee respod variable ad oe or more predictor variables, where betwee first respod ad secod respod have correlatio each other. I this paper, we discuss the estimatig fuctios of regressio i regressio model of bi-respod oparametric by usig differet two estimatio techiques, amely, smoothig splie ad erel. This study showed that for usig smoothig splie ad erel, the estimator fuctio of regressio which has bee obtaied i observatio is a regressio liier. I additio, both estimators that are obtaied from those two techiques are systematically oly differet o smoothig matrices. Keywords: erel estimator, smoothig splie estimator, regressio fuctio, bi-respod oparametric regressio model. Abstra Model regresi oparametri birespo adalah suatu model regresi yag meggambara pola hubuga atara dua variabel respo da satu atau beberapa variabel preditor dimaa atara respo pertama da respo edua berorelasi. Dalam maalah ii dibahas estimasi fugsi regresi dalam model regresi oparametri birespo megguaa dua tei estimasi yag berbeda, yaitu smoothig splie da erel. Hasil studi ii meujua bahwa, bai megguaa smoothig splie maupu megguaa erel, estimator fugsi regresi yag didapata merupaa fugsi liier dalam observasi. Selai itu, edua estimator fugsi regresi yag didapata dari edua tei estimasi tersebut secara matematis haya dibedaa oleh matris peghalusya. Kata Kuci : Estimator Kerel, Estimator Smoothig Splie, Fugsi Regresi, Model Regresi Noparametri Birespo. 1. Pedahulua Misal diberia pasaga data ( y i, ti ), 1,. ; i 1,,..., megiuti model regresi oparametri birespo sebagai beriut: yi f ( ti ) i, a t b (1) dega adalah meyataa bayaya respo, da betu fugsi regresi f da f 1 m tida dietahui da diasumsia mulus termuat dalam ruag Sobolev W [ a, b ], serta 1 Jurusa Matematia, Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Jember Jala Kalimata 37 Kampus Tegal Boto, Jember 6811, Idoesia. 1 budi.fmipa@uej.ac.id,3 Departeme Matematia, Faultas Sais da Teologi, Uiversitas Airlagga, Surabaya, Jala Mulyorejo Kampus C UNAIR, Surabaya Idoesia. i ( 1,. ; i 1,,..., ) adalah error radom idepedet dega mea ol da

2 1 variasi (Lestari et al., 01). Tujua medasar dari regresi oparametri birespo i adalah utu megestimasi fugsi regresi yag tida dietahui, f m [, ] W a b, dalam model (1). Dalam maalah ii diperhatia embali model regresi oparametri birespo yag dibahas oleh Wag et al., (000). Selajutya berdasara model tersebut, dibahas estimasi fugsi regresi berdasara dua estimator berbeda, yai estimator smoothig splie da estimator erel. Chamidah da Lestari (016) megguaa pedeata estimator splie utu megestimasi fugsi regresi, tetapi utu asus variasi sama (homosedasti). Mesipu Aydi (007) telah membahas tetag dua tei estimasi fugsi regresi, yai estimator smoothig splie da estimator erel, tetapi Aydi (007) megguaa estimator smoothig splie ad estimator erel tersebut haya utu megestimasi fugsi regresi dalam model regresi oparametri uirespo saja. Jadi Aydi (007) belum membahas edua tei estimasi fugsi regresi tersebut utu model regresi oparametri birespo. Sedaga Wag et al., (000) belum membahas estimator erel utu megestimasi fugsi regresi dalam model regresi oparametric birespo. Oleh area itu, dalam maalah ii aa dibahas dua tei estimasi fugsi regresi, yai estimator smoothig splie da estimator erel, dalam model regresi oparametri birespo utu asus variasi tida sama (yai, i, i 1,,..., ; i 1, ). Pembahasa estimasi fugsi regresi dalam model (1) megguaa estimator smoothig splie da estimator erel berturut-turut disajia dalam bab da bab 3.. Estimasi Fugsi Regresi Berdasara Estimator Smoothig Splie. Misala y ( y1, y), f ( f1, f), ( 1, ), da t ( t1, t) dega y ( y1, y,..., y ), f ( f ( t1), f ( t ),..., f ( t )), ( 1,,..., ), t ( t1, t,..., t ), 1, ; i 1,,...,. Oleh area itu, model (1) dapat diyataa dalam otasi vetor sebagai beriut: y f () 1 dega E( ) 0, da Cov( ) [ W ( )] diag( W ( ), W ( )) (Lestari et al. (01), 1 1 da Lestari et al. (017)). Estimasi fugsi f dalam model () berdasara estimator smoothig splie diperoleh dari peyelesaia masalah memiimuma weighted least-square (PWLS), yai meetua ˆf yag memiimuma PWLS: 1 Mi {( ) ( y1 f1) W 1( y1 f1) ( y f) W ( y f) f1, fw 1 b1 b () () 1 1 a 1 a pealized ( f ( t)) dt ( f ( t)) dt} (3) utu ilai ( 1, ) 0. Kompoe pertama dalam (3) meyataa jumlah uadrat residual yag merupaa uura goodess of fit, sedaga ompoe dalam (3) yag diboboti oleh, meyataa uura emulusa (smoothess) estimasi fugsi regresi f. Nilai ( 1,) dalam (3) dieal sebagai parameter peghalus (smoothig parameter). Jia ilai bervariasi dari 0 sampai, maa solusi juga bervariasi dari iterpolasi e suatu model liier. Utu, pealty emulusa medomiasi dalam (3), da estimasi splie medeati osta. Utu 0, pealty emulusa tida mucul dalam (3), da estimasi splie megiterpolasi data. Jadi parameter

3 peghalus memaia peraa petig dalam megotrol trade-off () atara goodess of fit yag diyataa oleh: da emulusa estimasi diuur dega: 1 ( ) ( y1 f1) W 1( y1 f1) ( y f) W ( y f) 1 b 1 () () ( f ( t)) dt ( f ( t)) dt a. 1 a 1 1 Selesaia berdasara smoothig splie utu masalah memiimuma (3) adalah dieal sebagai atural cubic splie dega ots t 1, t,..., t ( 1, ). Bertola dari hal ii, suatu iterpolasi splie terstrutur husus yag bergatug pada suatu ilai yag dipilih merupaa suatu pedeata yag sesuai utu fugsi-fugsi f ( 1, ) dalam model regresi oparametric birespo (1). Selajutya, misala f ( f1, f) dega f ( f ( t 1), f ( t ),..., f ( t )), 1, adalah vetor dari lai-ilai fugsi f ( 1, ) pada titi-titi ot t1, t,..., t ( 1, ). Estimator smoothig splie ˆf dari vetor atau ilai estimasi utu data y ( y1, y) dega y ( y1, y,..., y ), 1, dapat diperoleh dari Lestari et al. (01), da Lestari et al. (017): fˆ 1, 1 fˆ ˆ y H ( ) y fˆ, dega ˆf adalah suatu atural cubic splie dega ot-ot pada t 1, t,..., t ( 1, ) utu suatu parameter peghalus ( 1, ) 0, da H( ) dieal sebagai matris peghalus defiit-positif (simetri) yag bergatug pada da titi-titi ot t, t,..., t ( 1, ), tetapi tida bergatug pada y. Utu referesi umum tetag 1 smoothig splie, dapat ditemua pada Wahba (1990), Gree da Silverma (1994), da Euba (1999). 3. Estimasi Fugsi Regresi Berdasara Estimator Kerel. Filosofi utama dari model regresi oparametri adalah utu megestimasi fugsi regresi f megguaa suatu rata-rata terbobot dari data metah dimaa bobotbobotya merupaa suatu fugsi dari jara dalam ruag-t. Secara husus, bobot tersebut adalah suatu fugsi turu dari jara. Utu model regresi oparametri uirespo, suatu sema pembobota dari tipe ii diberia oleh Nadaraya-Watso (1964) yai bobot yag beraita dega observasi y j, utu predisi di t i diberia oleh persamaa sebagai beriut: ti tj K h Ku ( ) wij (5) ti tj K Ku ( ) j1 h j1 dega Ku () adalah suatu fugsi turu dari u, da h 0 disebut badwidth atau parameter peghalus. Ku (), fugsi erel yag didapata merupaa fugsi epadata probabilitas, misal Gaussia. Fugsi erel tersebut adalah simetris (Yatchew, 003 da Wad & Joes, 1995). b (4)

4 3 Selajutya, berdasara persamaa (5) da dega memperhatia model regresi oparametri birespo yag diberia dalam (1), maa bobot beraita dega observasi dari respo e-, y, utu predisi di t i diberia oleh: j ti tj K h K ( u) w( ) ij, 1,. (6) ti tj K K ( u) j1 h j1 Berdasara pada persamaa (6), diperoleh estimasi erel dari fugsi f dalam model regresi oparametri birespo (1) pada suatu titi pegepasa t i sebagai beriut: fˆ ( t ) yˆ w y w y, i 1,,...,, 1,. (7) i i ( ) ij j j j1 Setiap titi-titi data diberia suatu bobot berbeda w ( ) ij, j 1,,..., utu sembarag titi pegepasa t i. Dalam otasi matris, persamaa (7) dapat diyataa sebagai beriut: ˆf Wy (8) dega W diag W, W,..., W, ad 1 w( )11 w( )1 w( )1 w( )1 w( ) w( ) Wi, 1,. w( ) 1 w( ) w ( ) Matrix W meotasia erel hat atau matris peghalus erel. Seperti halya pada ordiary least square (OLS) dimaa hat matrix diguaa utu metrasformasia y e y ˆi, hat matrix erel diguaa utu metrasformasia y j e y ˆi. Predisi erel pada suatu titi, t i, diperoleh dega megguaa persamaa (7), da dega peggatia i dega 1. Jadi predisi erel pada suatu titi t i dapat ditulis sebagai beriut: y1 y ˆ f ( t1 ) w 1 y w( )11, w( )1,..., w ( )1, 1,. (9) y Ahirya, dega cara sama seperti pada estimasi smoothig splie dalam persamaa (4), da dega memperhatia persamaa (8) da (9), maa estimasi fugsi regresi dari model regresi oparametri birespo dalam (1) berdasara estimator erel diberia oleh: j

5 4 W1 0 0 fˆ 1 ( t1 ) 0 W 0 y1 ˆ f, 1,. (10) fˆ ( t ) y 0 0 W 4. Kesimpula Berdasara persamaa (4) da (10), estimator smoothig splie ( ˆf ), da estimator erel ( ˆf ) adalah estimator-estimator yag liier dalam observasi, da edua estimator tersebut adalah bias utu f. Hasil estimasi yag diperoleh dega megguaa estimator smoothig splie ad estimator erel secara tampila formula atau persamaa memilii emiripa, sedaga secara matematis eduaya haya dibedaa oleh matris-matris peghalusya, yai oleh suatu matris peghalus defiit-positif (simetri) yag bergatug pada da pada titi-titi ot utu pedeata estimator smoothig splie, da suatu hat matrix erel atau matris peghalus erel utu pedeata estimator erel. Ucapa Terima Kasih Maalah ii merupaa sebagia dari hasil peelitia PDUPT (Peelitia Dasar Uggula Pergurua Tiggi) Lajuta (Tahu e- dari recaa tahu). Utu itu ami megucapa terima asih epada Diretur DRPM-DIKTI yag telah medaai peelitia ii melalui Hibah Peelitia PDUPT (Lajuta) Tahu Aggara 018. Daftar Pustaa [1]. Aydi, D., 007. A compariso of the oparametric regressio models usig smoothig splie ad erel regressio. World Acad. Sci. Eg. Techol., 6, []. Chamidah, N. da Lestari,B., 016. Splie Estimator i Homoscedastic Multi- Respose Noparametric Regressio Model i Case of Ubalaced Number of Observatios. Far East Joural of Mathematical Scieces (FJMS), 100(9), [3]. Euba, R.L., Noparametric Regressio ad Smoothig Splie, Marcel Deer, New Yor. [4]. Gree, P.J. da Silverma, B.W Noparametric Regressio ad Geeralized Liear Models. Chapma Hall. New Yor. [5]. Hardle, W., Applied Noparametric Regressio. Cambridge Uiversity Press. Cambridge. [6]. Lestari, B., Budiatara, I.N., Suaryo, S., da Mashuri, M., 01. Splie smoothig for multi-respose oparametric regressio model i case of heteroscedasticity of variace. J. Math. ad Stat. 8, [7]. Lestari, B., Fatmawati, da Budiatara, I. N., 017. Estimasi Fugsi Regresi Noparametri Multirespo Megguaa Reproducig Kerel Hilbert Space Berdasara Estimator Smoothig Splie. Proceedig of Natioal Semiar o Mathematics ad Its Applicatios (SNMA) 017, Airlagga Uiversity, Surabaya, pp [8]. Nadaraya, E. A., O Estimatig Regressio. Theory Prob. Applicatios, 10,

6 [9]. Schime, M. G., 000. Smoothig ad Regressio. Joh Wiley & Sos, New Yor. [10]. Wad, M. P. da Joes, M.C., Kerel Smoothig. Chapma Hall, New Yor. [11]. Wag, Y., W. Guo da Brow, W.B., 000. Splie smoothig for bivariate data with applicatios to associatio betwee hormoes. Staistica Siica. 10, [1]. Watso, G. S., Smooth Regressio Aalysis. Sahya Series A. 6, [13]. Yatcchew, A., 003. Semiparametric Regressio for the Applied Ecoometricia. Cambridge Uiversity Press, Cambridge. 5