OPERATIONS RESEARCH I

Transkripsi

1 OPERATIONS RESEARCH I MODEL-MODEL DETERMINISTIK Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Pasundan Tjutju T Dimyati

2 PEMROGRAMAN LINIER 1. Konsep Pemodelan dalam Penelitian Operasional 2. Formulasi Model Pemrograman Linier 3. Konsep Primal-Dual

3 Tujuan Pembelajaran Menguasai perumusan model matematis untuk persoalan Pemrograman Linier

4 Capaian Pembelajaran Di akhir perkuliahan mahasiswa: Dapat mendefinisikan persoalan LP Dapat merumuskan variabel dan parameter persoalan LP Mampu memformulasikan model persoalan LP Mampu memformulasikan bentuk dual dari formulasi persoalan LP

5 PEMROGRAMAN LINIER (Linear Programming, LP) LP adalah suatu alat untuk menyelesaikan persoalan optimasi yaitu persoalan yang berkaitan dengan penentuan rancangan dan pengoperasian terbaik dari suatu sistem dengan sumber yang terbatas

6 Sumber Terbatas Waktu Dana Tenaga Kerja Minyak Bumi Sumber-sumber lain

7 Karakteristik Persoalan Pemrograman Linier Keputusan (Decisions) Pembatas (Constraints) Tujuan (objective)

8 DEFINISI Fungsi Tujuan Merupakan fungsi linier dari variabel-variabel keputusan yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan Fungsi Pembatas Merupakan persamaan atau pertaksamaan linier, dan akan membatasi nilai dari seluruh variabel keputusan Pembatas Tanda Menyatakan nilai dari setiap variabel keputusan

9 TERMINOLOGI Koefisien dari variabel keputusan pada fungsi tujuan disebut koefisien fungsi tujuan Koefisien dari variabel keputusan pada fungsi pembatas disebut koefisien teknologikal Nilai di ruas kanan dari setiap fungsi pembatas disebut ruas kanan

10 ASUMSI PERSOALAN LP Seluruh persamaan, baik fungsi tujuan maupun fungsi pembatas, merupakan fungsi linier. Asumsi ini dikenal sebagai asumsi Linieritas Seluruh koefisien berharga konstan Peningkatan output bersifat proporsional terhadap peningkatan input. Asumsi ini dikenal sebagai asumsi Proporsionalitas

11 ASUMSI PERSOALAN LP Total ongkos atau keuntungan (nilai fungsi tujuan) adalah jumlah dari ongkos atau keuntungan individual, sedangkan total kontribusi terhadap pembatas adalah jumlah kontribusi individual dari kegiatan individual. Asumsi ini dikenal sebagai asumsi Aditivitas

12 ASUMSI PERSOALAN LP Seluruh variabel keputusan dapat berupa bilangan bulat ataupun bilangan pecahan. Asumsi ini dikenal sebagai asumsi Divisibilitas Seluruh parameter model merupakan konstanta yang sudah diketahui. Asumsi ini dikenal sebagai asumsi Deterministik

13 Bentuk Umum Persoalan LP MAX (or MIN): c 1 X 1 + c 2 X c n X n Subject to: a 11 X 1 + a 12 X a 1n X n <= b 1 : a k1 X 1 + a k2 X a kn X n >=b k : a m1 X 1 + a m2 X a mn X n = b m

14 FORMULASI PERSOALAN LINEAR PROGRAMMING

15 Contoh 1 Persoalan LP Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis produk, A dan B, yang masing-masing dapat memberikan keuntungan per unit sebesar $5 dan $14. Setiap unit produk A membutuhkan 1 m2 bahan fiber dengan 1 jam pengerjaan, sedang setiap unit produk B membutuhkan 2 m2 bahan fiber dengan 4 jam pengerjaan. Pada setiap hari kerja perusahaan itu hanya dapat membeli paling banyak 6 m2 bahan fiber dan bekerja selama 8 jam. Bagaimanakah formulasi LP untuk rencana produksi anda?

16 5 Langkah Memformulasikan 1. Pahami persoalan. Model LP 2. Tentukan variabel keputusan X 1 =jumlah produk A yang diproduksi X 2 =jumlah produk B yang diproduksi 3. Nyatakan fungsi tujuan sebagai suatu kombinasi linier dari variabel-variabel keputusan MAX: 5X X 2

17 5 Langkah Memformulasikan Model LP 4. Nyatakan fungsi-fungsi pembatas sebagai suatu kombinasi linier dari variabel-variabel keputusan 1X 1 + 2X 2 <= 6 1X 1 + 4X 2 <= 8 } fiber } jam kerja 5. Tentukan batas atas dan batas bawah dari nilai-nilai variabel keputusan. X 1 >= 0 X 2 >= 0

18 Model LP untuk Contoh Soal 1 MAX: 5X X 2 S.T.: 1X 1 + 2X 2 <= 6 1X 1 + 4X 2 <= 8 X 1 >= 0 X 2 >= 0

19 Contoh 2 Persoalan LP Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis tabung panas, yaitu jenis Aqua-Spas & Hydro-Luxes. Data yang terkait dengan kegiatan ini adalah: Aqua-Spa Hydro-Lux Pompa 1 1 Waktu proses 9 hours 6 hours Tabung 12 feet 16 feet Profit/unit $350 $300 Tersedia 200 pompa, 1566 jam kerja, dan 2880 feet tabung. Bagaimana formulasinya?

20 5 Langkah Memformulasikan 1. Pahami persoalan. Model LP 2. Tentukan variabel keputusan X 1 =jumlah Aqua-Spas yang diproduksi X 2 =jumlah Hydro-Luxes yang diproduksi 3. Nyatakan fungsi tujuan sebagai suatu kombinasi linier dari variabel-variabel keputusan MAX: 350X X 2

21 5 Langkah Memformulasikan Model LP 4. Nyatakan fungsi-fungsi pembatas sebagai suatu kombinasi linier dari variabel-variabel keputusan 1X 1 + 1X 2 <= 200 9X 1 + 6X 2 <= X X 2 <= 2880 } pompa } jam kerja } tabung 5. Tentukan batas atas dan batas bawah dari nilai-nilai variabel keputusan. X 1 >= 0 X 2 >= 0

22 Model LP untuk Persoalan Tabung Panas MAX: 350X X 2 S.T.: 1X 1 + 1X 2 <= 200 9X 1 + 6X 2 <= X X 2 <= 2880 X 1 >= 0 X 2 >= 0

23 KONSEP PRIMAL - DUAL Setiap formulasi persoalan LP mempunyai bentuk Dual Jika fungsi tujuan Primal adalah Maks maka fungsi tujuan Dual adalah Min dan sebaliknya Dual dari Dual adalah Primal Solusi optimal persoalan Primal (jika ada) adalah sama dengan solusi optimal persoalan Dual Jika persoalan Primal tidak fisibel maka Dual akan unbounded dan sebaliknya

24 KONSEP PRIMAL - DUAL Jumlah baris pada Primal sama dengan jumlah kolom pada Dual dan sebaliknya Ruas kanan pada Primal akan menjadi koefisien fungsi tujuan pada Dual dan sebaliknya Jika pembatas Primal normal maka variabel Dual akan normal dan sebaliknya Jika pembatas Primal bertanda = maka variabel Dual akan tidak terbatas dalam tanda dan sebaliknya

25 Contoh Soal Bagaimanakah bentuk Dual dari: Maks Z = 3 X X 2 dengan pembatas X X 2 = 12 3 X X 2 18 X 1 URS, X 2 0