Persiapan Ulangan Tengah Semester II

Transkripsi

1 Soal Latihan, Solusi dan Penyelesaian Persiapan Ulangan Tengah Semester II Petunjuk Pengerjaan :. Soal Latihan ini disusun secara urut sesuai sub materi pada modul atau catatan yang diberikan. Jadi sebelum mengerjakan soal-soal ini, pelajari terlebih dahulu sub-sub materi pada setiap bab secara menyeluruh.. Pada Soal Latihan ini terdapat 35 soal, terdiri atas soal pilihan ganda dan 3 soal uraian. Kerjakan semua soal dengan urut, jangan lupa untuk memberi batasan waktu pengerjaan. (Waktu pengerjaan yang direkomendasikan adalah 0-50 menit.) Usahakan tidak melihat modul atau catatan lainnya saat mengerjakan soal. 3. Setelah selesai mengerjakan, tulis jawaban akhir Anda pada kolom yang tersedia di Tabel Evaluasi, lalu bandingkan jawaban Anda dengan solusi yang ada. Jika ada jawaban yang masih belum tepat, pelajari penyelesaian soal tersebut (bila ada) atau pelajari kembali sub materi terkait pada modul atau catatan lainnya, lalu kerjakan kembali soal tersebut. Jika semua jawaban sudah tepat, itu berarti Anda sudah siap untuk menempuh Ulangan Tengah Semester II. S E L A M A T M E N G E R J A K A N atatan :. Sediakan kertas corat-coret untuk membantu pengerjaan.. Tabel Evaluasi terdapat di halaman Penyelesaian terdapat di halaman 8. Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y.

2 Bab I Polinomial Bagian A Dasar-dasar Polinomial Soal. Jika P(x, y) = x 3 3x y + xy + 3, nilai dari P(, ) A. 35 B D. E. 5 Soal. Jika f(x) = ax 3 + x + 3x + dan f() = 0, maka nilai dari f() adalah A. 0 B D. E. 70 Soal 3. Derajat dari polinomial (x y y 3 )(x + 3xy ) A. 3 B.. 5 D. 6 E. 7 Soal. Perhatikan kesamaan polinomial berikut. (x x + 3)(x + a) bx 3 + 7x + cx + Jika kesamaan di atas berlaku, nilai a + b + c A. 9 B D. 3 E. Bagian B Pembagian Polinomial dan Teorema Sisa Soal 5. Hasil bagi dari pembagian x 3 6x + x 6 dengan x + adalah A. x + x + 3 B. x + x 3. x x 3 D. x x + 3 E. x 8x + 7 Soal 6. Sisa dari pembagian x + x 3 + 7x + 7x + dengan (x + )(x + ) A. x B. x. x + 8 D. x + 8 E. 0 Soal 7. Diberikan sebuah polinomial berderajat empat P(x). Ketika P(x) dibagi dengan x sisanya. Ketika P(x) dibagi dengan x +, sisanya. Tentukan sisanya jika P(x) dibagi dengan x + x. Soal 8. Sisa pembagian polinomial f(x) dengan x adalah 3x dan polinomial yang sama memberikan sisa x 3 ketika dibagi dengan x + x. Tentukan sisanya jika polinomial tersebut dibagi dengan x + x. Bagian Pemfaktoran (Teorema Faktor) dan Teorema Vieta Soal 9. Berikut ini yang bukan akar bulat dari persamaan x x 3 3x + x + = 0 A. 0 B.. D. 3 E. Soal 0. Salah satu faktor dari x 3 6x x + A. x + B. x. x + D. x E. x Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y.

3 Soal. Hasil kali semua akar yang mungkin dari persamaan x + x 3 3x + x = 0 A. B.. 0 D. E. Soal. Tentukan akar-akar rasional dari persamaan 9x 3 6x 6x + = 0. Soal 3. Diketahui bahwa akar-akar dari persamaan x 3 x + = 0 adalah α, β dan γ, maka tentukan nilai dari ( α)( β)( γ). Soal. Diketahui bahwa persamaan x 3 + ax + bx = 0 mempunyai tiga akar rasional. Akar pertama dan kedua kembar, sedangkan akar ketiganya kebalikan dari akar pertama. Tentukan nilai b. Bagian D Soal Tambahan I Soal 5. Tentukan nilai eksak dari Soal 6. Jika x = + 5, tentukan nilai eksak dari x 3 x x. Bab II Komposisi dan Invers Fungsi Bagian E Dasar-dasar Fungsi Fungsi-fungsi berikut ini digunakan untuk menjawab Soal 7 sampai Soal 9. f: R R, f(x) = x g: R R, g(x) = x + 3 h: R R, h(x) = x p: R R, p(x) = x 5 q: R R, q(x) = Soal 7. Banyaknya fungsi injektif di atas A. 0 B.. D. 3 E. Soal 8. Di antara pernyataan berikut ini, manakah yang benar? A. Fungsi bukan fungsi bijektif. B. Fungsi adalah fungsi bijektif.. Fungsi 3 bukan fungsi bijektif. D. Fungsi adalah fungsi bijektif. E. Fungsi 5 adalah fungsi bijektif. Soal 9. Yang merupakan fungsi genap adalah fungsi A. saja B. dan 3. 3 dan D. 3,, dan 5 E., 3, dan 5 Soal 0. Berikut ini yang tidak mungkin menjadi hasil dari fungsi f(x) = x A. B.. D. E. 0 Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y. 3

4 Soal. Jika f(x 3 + 3) = (x + 3) 3 + 3, maka f() + f(3) + f() = A. 693 B D. 55 E. 08 Soal. Domain dari f(x) = x adalah. x A. {x x R} B. {x x R, x }. {x x R, x } D. {x x R, x, x } E. {x x R, x, x } Soal 3. Range dari fungsi f(x) = x 3x + A. {y y R} B. {y y R, y }. {y y R, y > } D. {y y R, y } E. {y y R, y < } Bagian F Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi Soal. Diketahui bahwa f(x) = x + dan g(x) = x. Nilai dari (g f)(x) adalah A. x + 9 B. x 9. x 9 D. x x + 5 E. x x + 3 Soal 5. Diketahui bahwa f(x) = x dan (f g)(x) = x x +. Nilai dari g() adalah A. x + B. x. D. 0 E. tidak bisa dijawab Soal 6. Jika f(x) = x + x +, maka f (x) = A. ± x B. ± x +. ± x + D. E. (± x 3 ) (± x 3 + ) Soal 7. Invers fungsi dari f(x) = x, 3x+ x 3 A. B.. D. E. 3x+ x+ x+ 3x 3x x+ x+ 3x+ x 3x Soal 8. Invers fungsi dari f(x) = x, x A. x B. x +. (x ) D. (x + ) E. x Soal 9. Jika f(x) = x dan g(x) = x + 3, maka (f g) (x) = A. x+3 B. log y + 3. log y 3 D. log (y + 3) E. log (y 3) Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y.

5 Untuk mengerjakan Soal 30 sampai Soal 3, gunakan informasi berikut ini. Diketahui bahwa : f(x) = x 3 g(x) = x h(x) = f(x) + g(x) + dimana f, g, h R R. Soal 30. Tentukan domain dan range dari (f g)(x). Soal 3. Tentukan nilai x yang memenuhi sehingga (f h)(x) =. Soal 3. Tentukan nilai (g f h)(). Bagian G Soal Tambahan II Ilustrasi berikut digunakan untuk menjawab Soal 33 dan Soal 3. Profesor Jevon sedang meneliti pertumbuhan bakteri tertentu di laboratorium. Pertama dia meletakkan satu bakteri di media A, lalu melakukan pengamatan. Hasilnya diperoleh bahwa fungsi yang menyatakan pertumbuhan bakteri adalah A(t) = t, dimana t menyatakan lama pengamatan dalam jam. Setelah beberapa saat, dia memindahkan semua bakteri di media A ke media B lalu mengamati pertumbuhan bakteri tersebut. Hasilnya, jumlah bakteri menjadi tiga kali jumlah bakteri yang dimasukkan ke media B mula-mula. Soal 33. Tuliskan fungsi yang menyatakan pertumbuhan bakteri di media B. Gunakan bentuk B(x) untuk menyatakan fungsi pertumbuhan bakteri di media B, dimana x menyatakan banyak bakteri yang dimasukkan ke media B mula-mula. Soal 3. Setelah melalui tahap pengamatan, Profesor Jevon menemukan bahwa jumlah bakteri tersebut adalah 96. Berapa lama, dalam jam, pengamatan di media A dilakukan? Soal 35. Diketahui f(3) = 6 dan f(n + ) = f(n) + n + untuk setiap bilangan bulat n. Tentukan nilai f() + f(5). Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y. 5

6 Tabel Evaluasi SOAL SUB MATERI Menentukan hasil polinomial. (Variabel yang diberikan ada dua) Menentukan koefisien suku dalam polinomial berdasarkan hasilnya. TINGKAT KESULITAN SOLUSI 3 Menentukan derajat suatu polinomial. Kesamaan Polinomial 5 Pembagian Polinomial (Menentukan hasil pembagian dua polinomial) E 6 Pembagian Polinomial (Menentukan sisa pembagian dua polinomial) A 7 Teorema Sisa 3x Teorema Sisa x 3 9 Pemfaktoran (Teorema Faktor) (Menentukan bilangan yang termasuk dan tidak A termasuk akar persamaan derajat ) 0 Pemfaktoran (Teorema Faktor) B Teorema Vieta (Menentukan hasil kali akar-akar suatu persamaan derajat ) Pemfaktoran (Teorema Faktor) Teorema Vieta (Menyelesaikan operasi hitung berdasarkan akar-akar suatu persamaan derajat 3) Teorema Vieta (Menyelesaikan operasi hitung akar-akar persamaan derajat 3 dimana akar-akar tersebut tidak biasa) Soal Tambahan (Memanipulasi bentuk aljabar menjadi bentuk yang lebih sederhana) Soal Tambahan (Memanipulasi bentuk aljabar menjadi bentuk yang lebih sederhana dan mensubstitusikan bilangan dengan tepat) Jenis-jenis Fungsi (Fungsi Injektif) Jenis-jenis Fungsi (Fungsi Bijektif) Jenis-jenis Fungsi (Fungsi Genap) Menentukan hasil suatu fungsi. (Mencari nilai yang tidak mungkin menjadi hasil suatu fungsi modulus) Menentukan hasil suatu fungsi. (Memanipulasi bentuk aljabar dan mensubstituskan bilangan dengan tepat) Domain dan Range Fungsi (Menentukan domain fungsi pecah) Domain dan Range Fungsi (Menentukan range fungsi kuadrat) B Komposisi Fungsi E Komposisi Fungsi (Menentukan salah satu fungsi jika diketahui komposisi fungsi dan fungsi lainnya) Invers Fungsi (Menentukan invers fungsi kuadrat) Invers Fungsi (Menentukan invers fungsi pecah) Invers Fungsi (Menentukan invers fungsi pangkat) E E B E B A D B JAWABAN ANDA B / S Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y. 6

7 Invers Fungsi (Menentukan invers fungsi eksponensial) Komposisi Fungsi (Menentukan domain dan range suatu komposisi fungsi) Komposisi Fungsi (Menentukan nilai variabel yang memenuhi suatu komposisi fungsi) Komposisi Fungsi (Menentukan komposisi dari 3 fungsi) Soal Tambahan (Merumuskan fungsi berdasarkan kejadian tertentu) Komposisi Fungsi (Menentukan nilai variabel yang memenuhi suatu komposisi fungsi) Soal Tambahan (Menentukan hasil suatu fungsi rekursif) D x = {x x R} R f = {y y R, y } atau B(x) = 3x 5 6 Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y. 7

8 Penyelesaian Penyelesaian 3. (x y y 3 )(x + 3xy ) = x y + 6x 3 y 3 x y 3 3xy 5 Untuk menentukan derajat polinomial di atas, kita hanya perlu melihat pangkat tertinggi dari salah satu variabel. Pada soal ini, pangkat tertinggi x adalah, sedangkan pangkat tertinggi y adalah 5. Jadi derajat dari polinomial tersebut adalah 5. () Penyelesaian 8. Faktor dari x adalah x (x = ) dan x + (x = ). Substitusikan ke 3x, diperoleh f() = dan f( ) =. Faktor dari x + x adalah x (x = 0) dan x + (x = ). Substitusikan ke x 3, diperoleh f(0) = 3 dan f( ) = 5. Perhatikan bahwa faktor dari x + x adalah x (x = 0) dan x + (x = ). Sehingga, hasil fungsi yang digunakan adalah f(0) = 3 dan f( ) =. Perhatikan juga bahwa sebuah polinomial memberikan sisa ax + b ketika dibagi dengan polinomial lain yang berderajat. Diperoleh f(0) = b = 3 f( ) = a + b = a = Sehingga, sisa f(x) ketika dibagi x + x adalah x 3. Penyelesaian 9. Untuk menyelesaikan soal-soal seperti ini, kita cukup mensubstitusikan bilangan pada masing-masing pilihan jawaban dan mengecek kebenarannya. Jika x = 0, pernyataan pada soal salah, karena 0. (A) Penyelesaian 0. Untuk menyelesaikan soal-soal seperti ini, kita cukup mensubstitusikan bilangan yang merupakan pembuat nol pada masing-masing pilihan jawaban dan mengecek kebenarannya. Jika x =, x 3 6x x + = = 0 Jadi, salah satu faktor dari x 3 6x x + adalah x. (B) Penyelesaian. 9x 3 6x 6x + = (3x )(3x ) Karena 3x tidak mempunyai akar rasional, jadiakar rasional dari persamaan pada soal hanya 3. Penyelesaian 3. Dari soal, diketahui bahwa α + β + γ = 0, αβ + βγ + αγ =, dan αβγ =. ( α)( β)( γ) = (α + β + γ) + (αβ + βγ + αγ) αβγ = 0 + ( ) ( ) = 0. Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y. 8

9 Penyelesaian. Misalkan akar pertama dari persamaan tersebut adalah p. Maka, akar keduanya adalah p dan akar ketiganya adalah p. Dari soal, diketahui bahwa hasil kali ketiga akar persamaan adalah, sehingga p p p = Diperoleh p = p p + p p + p p = b 9 = b b = 9 Penyelesaian 5. Misalkan 9 = a. Perhatikan bahwa a 3 = (a )(a + a + ) Dari soal diperoleh 9 6 = a3 = 9 a a + a + = Penyelesaian 6. Jika x = + 5, maka x x = 0. Jadi, x 3 x x = x(x x ) = 0. Fungsi-fungsi berikut ini menjadi dasar dari Penyelesaian 7 dan Penyelesaian 8. f: R R, f(x) = x Fungsi linier termasuk fungsi bijektif. g: R R, g(x) = x + Fungsi kuadrat termasuk fungsi injektif. h: R R, h(x) = x 3 Fungsi modulus termasuk fungsi injektif. 5 p: R R, p(x) = x Fungsi pecah, jika tidak ada pengecualian nilai x, tidak termasuk fungsi injektif, surjektif, maupun bijektif. (Jika ada pengecualian nilai x, termasuk fungsi injektif.) q: R R, q(x) = Fungsi konstan termasuk fungsi injektif. Penyelesaian 7. Perhatikan bahwa fungsi bijektif juga termasuk fungsi injektif, jadi fungsi juga termasuk fungsi injektif. (E) Penyelesaian 8. () Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y. 9

10 Fungsi-fungsi berikut ini menjadi dasar dari Penyelesaian 9. f: R R, f(x) = x Bukan fungsi ganjil maupun genap. g: R R, g(x) = x + Fungsi genap. h: R R, h(x) = x 3 Fungsi genap. 5 p: R R, p(x) = x Fungsi ganjil. q: R R, q(x) = Fungsi genap. Penyelesaian 9. (E) Penyelesaian. f() + f(3) + f() = f( 3 + 3) + f( ) + f(( ) 3 + 3) = ( + 3) (0 + 3) ( + 3) = 08 (E) Penyelesaian 3. Koefisien x pada soal bernilai positif, maka grafik menghadap ke atas. Koordinat titik puncak dari grafik f(x) adalah ( 3, ). Karena grafik menghadap ke atas dan koordinat-y titik puncaknya adalah, range fungsi f(x) selalu lebih besar sama dengan. Jadi, range fungsi f(x) adalah {y y R, y }. (B) Penyelesaian 5. (f g)(x) = g(x) = x x + g(x) = x x + g(x) = x g(x) = x Jika g(x) = x, maka g() =. Jika g(x) = x, maka g() =. Karena pada opsi jawaban hanya ada dari kemungkinan hasil g(), maka jawabannya. () Penyelesaian 6. y = x + x + y = x + x y = x + x y + = x + x + y = (x + ) ± y = x + ± y = x Jadi, f (x) = ± x. (A) Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y. 0

11 Penyelesaian 8. y = x y = x y + = x Jadi, invers fungsi dari f(x) adalah x +. (B) Penyelesaian 33. Pada soal diketahui bahwa jumlah bakteri di media B setelah pengamatan 3 kali jumlah bakteri sebelum pengamatan. Jadi, fungsi yang menyatakan pertumbuhan bakteri di media B adalah B(x) = 3x. Penyelesaian 3. Untuk menyelesaikan soal seperti ini, kita akan mencari komposisi fungsi yang menyatakan pertumbuhan bakteri di media A dan media B sekaligus. Pengamatan dilakukan di media A terlebih dahulu, sehingga fungsi A(t) akan dikomposisikan dengan fungsi B(x). Diperoleh (B A)(p) = 3 p dimana p menyatakan lama waktu pengamatan di media A. Sehingga 3 p = 96 p = 5 Jadi, lama waktu pengamatan di media A adalah 5 jam. Penyelesaian 35. f(3) = f() = f() + 3 f() = 3 f() = f() = f() + f() = f() = f(3) f() = 6 + f() = 0 f(5) = f() + + f(5) = f(5) = 5 Jadi, f() + f(5) = 6. Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y.