Bab 1. Fungsi, Grafik, dan Limit
|
|
- Ari Tanudjaja
- 5 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Bab 1 Fungsi, Grafik, dan Limit MA1103 Matematika Bisnis I Semester I Tahun 2018/2019 SBM K- Dosen: Dr. Rinovia Simanjuntak rino@math.itb.ac.id CAS Lt. 3
2 1.1 Fungsi 2
3 Fungsi Fungsi adalah aturan yang mengaitkan setiap obyek di himpunan A ke tepat satu obyek di himpunan B. Himpunan A disebut domain fungsi, dan himpunan obyek hasil pengaitan di B disebut daerah hasil range). 3
4 Pengaitan mana yang merupakan suatu fungsi? f A B A f B A f B 4
5 Relasi dalam fungsi dinotasikan dengan y = f), di mana dan y disebut variabel: y adalah variabel tak bebas dan adalah variabel bebas. Contoh. y = f ) = Perhatikan bahwa dan y dapat diganti dengan huruf lain. Sebagai contoh, fungsi di atas dapat ditulis sebagai s = t
6 Fungsi dalam Tabel Data Tabel 1.1 Rata-rata Tuition and Fees untuk Universitas Swasta di Amerika Serikat Tahun akademik n $1, $2, $4, $7,048 Tuition and Fees $10, $13, $18,273 6
7 Data dapat dinyatakan sebagai fungsi fn)= [rata-rata tuition and fees pada awal periode 5 tahunan ke-n] Dengan demikian, f 1) = 1,898, f 2) = 2,700,, f 7) = 18,273 Domain dari f adalah himpunan bilangan bulat A ={1,2,...,7} 7
8 Kadangkala suatu fungsi didefinisikan melalui lebih dari satu formula, di mana setiap formula mendeskripsikan fungsi pada suatu subhimpunan dari domain. Contoh. f ) = if if 1 1 Tentukan f-1/2), f1), dan f2). 8
9 Domain Alami Domain alami dari fungsi f adalah himpunan semua bilangan real di mana f) terdefinisi dengan baik. Terdapat 2 hal yang sering dipertimbangkan: 1) pembagian dengan 0 2) akar genap dari bilangan negatif Contoh. Tentukan domain alami dan daerah hasil fungsi berikut f ) = g u) = u + 2 9
10 Fungsi yang digunakan di Ekonomi Fungsi permintaan demand function) p = D) adalah fungsi yang menghubungkan harga satuan p dari suatu komoditas terhadap banyaknya permintaan konsumer ). Fungsi penghasilan total revenue function) adalah R = banyak unit terjual harga satuan = p = D) Jika C) adalah biaya produksi unit, maka fungsi keuntungan profit function) adalah P) = R) C) = D) C) 10
11 Contoh Hasil penelitian menunjukkan bahwa consumer akan membeli ribu unit mesin kopi tertentu pada saat harga satuan adalah p = dolar. Ongkos produksi dari ribu unit adalah C = ribu dollar. a. Tentukan fungsi penghasilan dan keuntungan, R) and P), untuk proses produksi ini? b. Nilai manakah yang memberikan keuntungan bagi proses produksi ini? 11
12 Fungsi Komposisi Diberikan dua fungsi fu) dan g), fungsi komposisi fg)) adalah fungsi dari yang diperoleh dengan mensubstitusi u = g) dalam formula fu). Contoh. Tentukan fungsi komposisi fg)), dengan f u = u dan g) = + 1. Bagaimana dengan gf))? Secara umum, fg)) dan gf)) tidak sama. 12
13 1.2 Grafik Fungsi 13
14 Grafik Grafik fungsi f memuat semua titik, y) dengan merupakan anggota domain f dan y = f). Sistem koordinat, sumbu horisontal, sumbu vertikal. f ) 2 = f)
15 Titik potong Titik potong terhadap sumbu : y = 0 Titik potong terhadap sumbu y: y 0 = f 0. Contoh. Tentukan titik potong terhadap sumbu dan y untuk fungsi f ) 2 =
16 Uji Garis Vertikal Suatu kurva adalah grafik dari fungsi jika dan hanya jika tidak ada garis vertikal yang memotong kurva lebih dari satu kali. 16
17 Parabola Merupakan grafik dari persamaan kuadrat y = A 2 + B + C, dengan A 0. Parabola berbentuk U dan membuka ke atas jika A > 0 dan ke bawah jika A < 0. Titik maksimum atau minimum dari parabola disebut verteks, dan terjadi pada = B 2A. 17
18 Contoh. Pada suatu pabrik, suatu komoditas dapat dijual seharga p = 60 dollar jika komoditas terebut diproduksi sebanyak ratus unit. Kapankah perhasilan akan mencapai nilai maksimum? Dan berapakah penghasilan maksimum tersebut? 18
19 Fungsi Pangkat, Polinom, dan Rasional Fungsi pangkat: f = n, di mana n bilangan real. Fungsi polinom: p = a n n + a n 1 n a 1 + a 0, di mana n adalah bilangan tak negative dan a 0, a 1,, a n konstanta. Jika a n 0, n disebut derajat dari polinom. Fungsi rasional: Hasil bagi p) q) dari dua polinom p) dan q). 19
20 Perpotongan Dua Grafik Kadangkala perlu ditentukan kapan dua fungsi memiliki nilai yang sama. Sebagai contoh, seorang ekonom mungkin ingin menghitung harga pasar pada saat banyaknya permintaan demand) konsumen sama dengan banyaknya penawaran supply). 20
21 1.3 Fungsi Linear 21
22 Fungsi Linear Fungsi linear adalah fungsi yang berubah dengan laju konstan terhadap variabel bebasnya. Grafik dari fungsi linear adalah suatu garis lurus. Fungsi linear dapat dituliskan dalam persamaan y = m + b, dengan m dan b konstanta. 22
23 Kemiringan Garis Kemiringan dari garis bukan garis vertical) yang melalui titik 1, y 1 ) dan 2, y 2 ) adalah perubahan dalam y = y = y 2 y 1 perubahan dalam
24 Persamaan Garis Bentuk kemiringan titik potong: Persamaan y = m + b adalah persamaan garis dengan kemiringan m dan perpotongan dengan sumbu-y adalah 0, b). Bentuk titik kemiringan: Persamaan y y 0 = m 0 ) adalah persamaan garis yang melalui titik 0, y 0 dengan kemiringan m. m = ) 1.5 0) = 1 3 Bentuk kemiringan titik potong y 1 = Bentuk titik kemiringan yang melalui titik 1.5,0) 1 y 0 = + 1.5) 3 24
25 Tabel berikut memberikan prosentase dari pengangguran selama dekade Gambarkan grafik dengan tahun setelah tahun 1991) pada sumbu- dan prosentase pengangguran pada sumbu-y. Apakah titik-titik tersebut memiliki pola? Berdasarkan data ini, dapatkah prosentase pengangguran di tahun 2005 diperkirakan? Number of Years Percentage of Year from 1991 Unemployed
26 Garis Paralel dan Tegak Lurus Misalkan m 1 dan m 2 adalah kemiringan dari dua garis tak vertical L 1 dan L 2. L 1 dan L 2 sejajar jika dan hanya jika m 1 = m 2. L 1 dan L 2 tegak lurus jika dan hanya jika m 1 m 2 = 1. 26
27 Contoh. Misalkan L adalah garis 4 + 3y = 3. a. Tentukan persamaan garis L 1 yang sejajar dengan garis L dan melalui titik P 1,4). b. Tentukan persamaan garis L 2 yang tegak lurus dengan garis L dan melalui titik Q2, 3). 27
28 1.4 Model Fungsional 28
29 Model Fungsional Untuk menganalisa masalah dunia nyata, prosedur yang sering dilakukan adalah membuat asumsi yang menyederhanakan masalah sehingga diperoleh deskripsi matematika. Proses ini disebut pemodelan matematika dan masalah yang telah dimodifikasi berdasarkan asumsi yang menyederhanakan disebut model matematika. adjustments Testing Prediction Real-world problem Interpretation Formulation Mathematical model Analysis 29
30 Einasi Variabel Kadang fungsi dapat disederhanakan dengan mengeinasi suatu variabel. Jika fungsi pada awalnya merupakan fungsi dengan 2 variabel, setelah dieinasi akan menjadi fungsi dengan 1 variabel. Contoh. Suatu rest area akan dibangun di suatu jalan tol. Area tersebut berbentuk persegi panjang dengan luas 5,000 meter persegi dan akan dipagari pada 3 sisi yang tidak terletak pada jalan tol. Ekspresikan panjang pagar yang diperlukan sebagai fungsi dari panjang sisi yang tidak dipagari. 30
31 31
32 Pemodelan dalam Bisnis dan Ekonomi Suatu pabrik memproduksi CD kosong dengan biaya produksi $2 per CD. CD tersebut telah terjual dengan harga $5 per buah, pada saat konsumen membeli 4000 CD setiap bulan. Pabrik tersebut merencanakan untuk menaikkan harga CD dan memperkirakan bahwa setiap kenaikan harga $1 akan mengurangi penjualan sebanyak 400 CD per bulan. a. Ekspresikan keuntungan bulanan dari pabrik sebagai fungsi dari harga jual CD. b. Sketsa grafik fungsi keuntungan. Berapakah harga yang berkorespondensi dengan keuntungan maksimum? Berapakah keuntungan maksimum? 32
33 33
34 Kesetimbangan Equilibrium) Pasar Hukum Permintaan Demand) dan Penawaran Supply) Dalam pasar bebas, penawaran biasanya akan menyamai permintaan, dan pada saat hal tersebut terjadi, pasar dikatakan berada dalam keadaan setimbang equilibrium). Fungsi permintaan: p = D) Fungsi penawaran: p = S) Harga kesetimbangan: p e = D e) = S e) Kekurangan Shortage): D) > S) KelebihanSurplus): S) > D)
35 Contoh. Suatu riset pasar menemukan bahwa pabrik akan menawarkan unit dari suatu komoditas ke pasar ketika harga komoditas tersebut adalah p = S) dolar per unit. Sebanyak unit yang sama akan diminta konsumen ketika harganya adalah p = D) dolar per unit, dengan fungsi permintaan dan penawaran sebagai berikut. S = D = a. Pada level produksi dan harga satuan p berapakah titik kesetimbangan terjadi? b. Sketsa grafik penawaran dan permintaan, p = S) dan p = D), dan berikan interpretasi Anda. 35
36 36
37 Analisa Impas Break-Even) Pada tingkat produksi yang rendah, produsen biasanya merugi, namun pada tingkat produksi yang lebih tinggi, produsen bias meraup keuntungan. Titik impas break-even point): Titik pada saat penghasilan total revenue) sama dengan biaya produksi total cost). 37
38 Contoh 1. Suatu produsen menjual produk dengan harga $110 per unit. Biaya produksi terdiri dari overhead seharga $7500 ditambah biaya produksi $60 per unit. a. Berapa unit yang harus dijual agar tercapai titik impas? b. Berapakah keuntungan atau kerugian yang diperoleh jika dijual 100 unit. c. Berapa unit yang harus dijual agar tercapai keuntungan $1250? 38
39 Contoh 2. Suatu perusahaan penyewaan mobil memberikan harga $25 ditambah 60 sen setiap mil yang ditempuh. Sedangkan perusahaan kedua memberikan harga $30 ditambah 50 sen per mil. Perusahaan manakah yang memberikan penawaran terbaik? 39
40 1.5 Limit 40
41 Limit Apa yang terjadi pada f) pada saat mendekati suatu bilangan c yang bisa jadi tidak terletak pada domain f? Ilustrasi. Pada suatu pabrik, jika persen dari kapasitas digunakan, maka biaya produksi adalah C = ratus ribu dolar Agar dapat dilakukan perawatan, perusahaan pemilik pabrik tersebut memiliki kebijakan agar tidak lebih dari 80% kapasitas pabrik digunakan pada waktu tertentu. Berapakah biaya produksi yang akan terjadi jika pabrik tersebut digunakan kapasitasnya secara penuh dalam batas yang diperbolehkan? 41
42 Apakah jawaban pertanyaan ini adalah dengan memberikan nilai C80)? Namun demikian, dapat dievaluasi nilai C) untuk yang mendekati 80 dari sebelah kiri < 80) dan kanan > 80): approaches 80 from the left approaches 80 from the right C) Terlihat bahwa C) akan semakin dekat ke 7 pada saat semakin dekat ke 80. Ini dapat dituliskan sebagai C =
43 Limit Jika f) mendekati bilangan L pada saat semakin mendekati c dari kedua arah, maka L adalah it dari f) pada saat mendekati c. Ini dinotasikan dengan c f = L 43
44 Contoh Gunakan tabel untuk menduga nilai Misalkan f = dan akan dihitung nilai f) untuk beberapa 1 nilai yang mendekati 1 dari kiri maupun kanan f) Dari tabel, terlihat bahwa f) mendekati 0.5 pada saat mendekati 1. Atau, =
45 Perlu diingat bahwa it memberikan sifat fungsi di sekitar titik tertentu, namun belum tentu pada titik itu sendiri. Tiga fungsi dengan 3 f = 4. 45
46 Apa yang terjadi pada fungsi berikut pada saat mendekati 2? Gambar a): Fungsi tidak memiliki it pada saat mendekati 2. Gambar b): Fungsi tidak memiliki it yang hingga pada saat mendekati 2. Ini dinamakan it tak hingga. 46
47 Sifat Limit ) ) )] ) [ g f g f c c c + = + ) ) )] ) [ g f g f c c c = for any constant ) ) k f k kf c c = 47 )] )][ [ )] ) [ g f g f c c c = 0 ) if ) ) ] ) ) [ = g g f g f c c c c eists )] [ if )] [ )] [ p c p c p c f f f = Jika c f dan c g ada, maka
48 Untuk sebarang konstanta k, c k = k. = c. c 48
49 Contoh Tentukan a) ) b)
50 Limit Fungsi Polinom dan Rasional 50 Jika p) dan q) adalah fungsi polinom, maka dan ) ) c p p c = 0 ) if ) ) ) ) = c q c q c p q p c Contoh. Tentukan
51 Bentuk Tak Tentu Jika f) = 0 dan g) = 0, maka dikatakan c c g) memiliki bentuk tak tentu. c f) Contoh. Tentukan a. b
52 Limit yang Melibatkan Ketakhinggaan Limit di Tak Hingga Jika f) makin mendekati L pada saat membesar tanpa batas, kita tulis f = L. Jika f) makin mendekati L pada saat mengecil tanpa batas, kita tulis f = L. 52
53 Untuk konstanta A dan k, dengan k > 0, A A = 0 and = 0 + k k Contoh. 1. Tentukan Tentukan
54 Limit Tak Hingga Jika f) membesar atau mengecil tanpa batas pada saat mendekati c, maka kita tulis f ) = + c or f ) = c Contoh. Tentukan 2 )
55 1.6 Limit Sepihak dan Kekontinuan 55
56 Limit Sepihak Jika f) mendekati L pada saat mendekati c dari kiri < c), kita tulis f) = L c dan L disebut it kiri. Jika f) mendekati M pada saat mendekati c dari kanan > c), kita tulis f) = M c dan M disebut it kanan. 56
57 Contoh. Untuk fungsi evaluasi it sepihak dan 57 + = 2 if if 1 ) 2 f ) 2 f ) 2 f +
58 Eksistensi Limit Limit c + f ) c dan f ) ada jika dan hanya jika kedua it sepihak c f ) ada dan bernilai sama, sehingga f ) = f ) = c + c c f ) Contoh. Tentukan
59 1 f ) tidak ada! Pada = 1: f ) = ) f = 1 + f 1) = 1 it kiri it kanan nilai fungsi 59
60 2 f ) ada! Tapi tidak sama dengan f2)! Pada = 2: 2 ) f = 1 2 ) f = 1 + f 2) = 2 it kiri it kanan nilai fungsi 60
61 3 f ) ada! Pada = 3: 3 ) f = 2 3 ) f = 2 + f 3) = 2 it kiri it kanan it fungsi 61
62 Ketidakadaan Limit Sepihak Pandang fungsi f ) = sin1/ ) Pada saat mendekati 0 dari kiri atau kanan, f) berosilasi di antara 1 dan 1. Akibatnya kedua it sepihak di sekitar 0 tidak ada. 62
63 Kekontinuan Suatu fungsi dikatakan kontinu jika grafiknya dapat digambarkan dalam satu tarikan tidak ada lubang atau loncatan). 63
64 Lubang pada = c 64
65 Lompatan pada = c 65
66 Fungsi f kontinu di c jika ketiga kondisi berikut terpenuhi: a. fc) terdefinisi b. c f) ada c. c f) = fc) Jika f tidak kontinu di c, maka f diskontinu di titik tersebut. 66
67 f kontinu pada = 3. Pada = 1: 1 + f ) 1 f ) diskontinu Pada = 2: 2 + f ) = 2 f ) f 2) diskontinu Pada = 3: 3 + f ) = 3 f ) = f 3) kontinu 67
68 68 Kekontinuan Fungsi Polinom dan Rasional Jika p) dan q) polinom, maka ) ) c p p c = 0 ) if ) ) ) ) = c q c q c p q p c Fungsi polinom dan rasional kontinu pada daerah definisinya.
69 Contoh. + 1 = 1. Tunjukkan bahwaf ) kontinu pada 2 = Tentukan di mana fungsi berikut tidak kontinu. 69
70 70 Contoh. Diskusikan kekontinuan dari fungsi-fungsi berikut. + = + = = 1 if 2 1 if 1 ). 1 1 ). 1 ). 2 h c g b f a
71 Contoh. 1. Untuk nilai A berapa saja, fungsi berikut akan kontinu untuk semua bilangan real? A + 5 if 1 f ) = if 1 2. Tentukan nilai a dan b sehingga fungsi berikut kontinu di mana-mana. a if -1 2 f ) = + a b if 1 1 b if 1 71
72 Kekontinuan pada Selang Fungsi f dikatakan kontinu pada selang buka a < < b jika f kontinu pada setiap titik = c dalam selang tersebut. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tutup a b, jika f kontinu pada selang buka a < < b, a + f = fa) dan f = fb). b Contoh. f = 1 2 kontinu pada 1,1. 72
73 Contoh. Diskusikan kekontinuan fungsi f ) pada selang buka 2 < < 3dan pada selang tutup =
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciSRI REDJEKI KALKULUS I
SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinci6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciLIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:
LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat
Lebih terperinciDefinisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Lebih terperinciKONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag
KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciFungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil
Lebih terperinci1 Sistem Bilangan Real
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak
Lebih terperinciBAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar:
BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar:. Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi. Menentukan invers suatu
Lebih terperinciBAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI
BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Pembahasan pada bab ini dibagi dalam dua bagian. Pada bagian pertama dibahas it fungsi yang meliputi pengertian, sifat, dan penghitungan nilai it suatu fungsi. Pada
Lebih terperinciKomposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers
Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperinciFUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap
Lebih terperinciKELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM
KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA BAHAN AJAR FUNGSI LINIER & KUADRAT SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB FUNGSI A. FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
Lebih terperinciPERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana
Lebih terperinciPengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2
Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat
Lebih terperinciFungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat
Lebih terperinciFUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4
Lebih terperinciMatematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan
Lebih terperinciTurunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.
Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim
Lebih terperinciFUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)
FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bagian ini diberikan beberapa konsep dasar yang menjadi landasan berpikir dalam penelitian ini, seperti fungsi nonlinier, fungsi smooth, fungsi nonsmooth, turunan fungsi smooth,
Lebih terperinciFungsi. Pengertian Fungsi. Pengertian Fungsi ( ) ( )
Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan/ mengkaitkan/ menugaskan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Fungsi 2.1.1 Pengertian Sebuah fungsi adalah suatu kaidah yang menghasilkan korespondensi di antara dua himpunan. Jika pada setiap nilai yang dapat diambil oleh sebuah variabel
Lebih terperinciSilabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.
Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3
Lebih terperinciHendra Gunawan. 13 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 13 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) sin t 1. Menggunakan fakta bahwa lim 1, t0 hitunglah: t 2 sin( 2 ) a. limsin t.cot 2t b. lim t 0 0
Lebih terperinciMatematika
Fungsi dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain,
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya
Lebih terperinciMAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
Lebih terperincifungsi Dan Grafik fungsi
fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan
Lebih terperinciF U N G S I A R U M H A N D I N I P R I M A N D A R I
F U N G S I A R U M H A N D I N I P R I M A N D A R I DEFINISI Fungsi adalah suatu aturan yang memetakan setiap anggota himpunan A pada tepat satu anggota himpunan B. Dimana: Himpunan A disebut domain
Lebih terperinciF U N G S I A R U M H A N D I N I P R I M A N D A R I
F U N G S I A R U M H A N D I N I P R I M A N D A R I DEFINISI Fungsi adalah suatu aturan yang memetakan setiap anggota himpunan A pada tepat satu anggota himpunan B. Dimana: Himpunan A disebut domain
Lebih terperinciBAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5
BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan
Lebih terperinciMBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari
MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciFungsi Grafik Fungsi. Kalkulus 1. Fungsi dan Grafik Fungsi. Atina Ahdika, S.Si, M.Si. Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Kalkulus 1 Fungsi dan Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS
Modul Mata Kuliah MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS WIJAYA PUTRA SURABAYA 014/015 Erik Valentino, S.Pd., M.Pd DAFTAR ISI BAB I Barisan dan Deret... BAB II Fungsi... 10 BAB III
Lebih terperinciNughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Lecture 3. Function (A) A. Definition of Function Definisi. f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B yang ditulis dengan f: A B, yaitu merupakan suatu aturan yang memetakan (mengawankan) setiap xεa
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Bab 6 Fungsi 2 Rene Descartes (1596-1650) Rene Descartes adalah seorang filsuf & matematikawan Perancis, penemu sistem
Lebih terperincifungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum,
fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum, Fungsi Rasional Fungsi rasional adalah fungsi yang memiliki bentuk Dengan p dan d merupakan polinomial dan d(x) 0. Domain dari V(x) adalah
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi
Lebih terperinciLimit Fungsi. Bab. Limit fungsi Pendekatan (kiri dan kanan) Bentuk tentu dan tak tentu Perkalian sekawan A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Bab Limit Fungsi A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran it fungsi, siswa mampu: 1. menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab, konsisten
Lebih terperinci5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi
5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal
Lebih terperinciKelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika
Lebih terperinciFUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan
FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR TEORI FUNGSI Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel (terikat dan bebas), koefisien dan
Lebih terperinciBEBERAPA FUNGSI KHUSUS
BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Pengertian dan notasi dari it suatu fungsi, f() di suatu nilai = a diberikan secara intuitif berikut. Bila nilai f() mendekati L untuk nilai mendekati a dari arah kanan maka dikatakan
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciDefinisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan dari f (derivative of f).
Lecture 5. Derivatives C A. Turunan (derivatives) Sebagai Fungsi Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah f ()() (x) = lim. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan
Lebih terperinciBAB 3 LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI
Diktat Kuliah TK Matematika BAB LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Limit Fungsi Pengantar Limit Tinjau fungsi yang didefinisikan oleh f ( ) Perhatikan bahwa fungsi ini tidak terdefinisi pada = karena memiliki
Lebih terperinciMateri Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier
Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi
Lebih terperinciFungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan
Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait
Lebih terperinciKALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana. Bagian 3. Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR
KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR Topik yang dibahas A. Limit Fungsi B. Perhitungan Limit (menggunakan hukum
Lebih terperinciPENGGUNAAN FUNGSI LINEAR DALAM EKONOMI
PENGGUNAAN FUNGSI LINEAR DALAM EKONOMI Agar fungsi permintaan dan fungsi penawaran dapat digambarkan grafiknya, maka faktor-faktor selain jumlah yang diminta dan harga barang dianggap tidak berubah selama
Lebih terperinciBAB 6 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi
BAB 6 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi A. Fungsi dan Macam-macam Fungsi Pada saat di Sekolah Lanjutan Pertama (SMP) telah dipelajari
Lebih terperinciBAB 3 FUNGSI. f : x y
. Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada
Lebih terperinciLimit Fungsi. semua x bilangan real, kecuali x = 2
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) LIMIT FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Created By Ita Yuliana 27 Limit Fungsi Kompetensi Dasar
Lebih terperinciKelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan
Lebih terperinci(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8
. Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +
Lebih terperinciDEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR
DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR A. Pengertian Turunan dari fungsi y f () Laju rata-rata perubahan fungsi dalam interval antara a dan a h adalah : y f( a h) f( a) f ( a h) f( a) = = (dengan syarat
Lebih terperinciBAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
Lebih terperinciTurunan Fungsi dan Aplikasinya
Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan
Lebih terperincia home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 TIU : Mahasiswa dapat memahami dasar-dasar Kalkulus TIK : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu
Lebih terperinciFungsi Linear dan Fungsi Kuadrat
Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI
SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Lebih terperinciTEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1
TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk
Lebih terperinciA. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT
A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT STANDAR KOMPETENSI Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat KOMPETENSI DASAR Menggunakan sifat dan aturan
Lebih terperinciPertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.
Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716
MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,
Lebih terperinciMatematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Lebih terperinciFUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. Relasi dan Fungsi Pada saat di Sekolah Lanjutan Pertama (SMP) telah dipelajari tentang topik Relasi, Fungsi dan Grafik. Pada materi relasi ini selain menggunakan istilah
Lebih terperinciBAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
Lebih terperinciLEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah
BAB V T U R U N A N 1. Menentukan Laju Perubaan Nilai Fungsi. Menggunakan Aturan Turunan Fungsi Aljabar 3. Menggunakan Rumus Turunan Fungsi Aljabar 4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva 5. Fungsi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2
Lebih terperinciII. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x)
II. TINJUAN PUSTAKA 2.1. Limit Definisi lim f(x) = L, dan mengatakan limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, jika dapat dibuat nilai f (x) sebarang yang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai
Lebih terperinciKURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP)
KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) PERANGKAT PEMBELAJARAN PROGRAM TAHUNAN ( PROTA ) Mata Pelajaran : Matematika Program : IPA Satuan Pendidikan : SMA / MA Kelas/Semester : XI / 2 Nama Guru NIP/NIK
Lebih terperinciPenerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co.
Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN Turunan dapat digunakan untuk: 1) Perhitungan nilai limit dengan dalil l Hôpital 2) Menentukan persamaan fungsi kecepatan dan percepatan dari persamaan fungsi posisi )
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
PERSAMAAN GARIS LURUS ( PERSAMAAN LINEAR ) Indikator :. Siswa dapat contoh persamaan garis lurus dalam berbagai bentuk dan variabel.. Siswa dapat menusun tabel pasangan dan menggambar grafik pada koordinat
Lebih terperinciLOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K.
LOGO MAM 4121 KALKULUS 1 Dr. Wuryansari Muharini K. BAB I. PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK PERTAKSAMAAN SISTEM KOORDINAT GRAFIK PERSAMAAN SEDERHANA www.themegallery.com
Lebih terperinciMODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA
KERJASAMA DINAS PENDIDIKAN KOTA SURABAYA DENGAN FAKULTAS MIPA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA Bilangan dan Aljabar untuk kegiatan PELATIHAN PENINGKATAN MUTU GURU DINAS PENDIDIKAN
Lebih terperinciKalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
Lebih terperinciMATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN
BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA
K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan
Lebih terperinciMatematika Dasar NILAI EKSTRIM
NILAI EKSTRIM Misal diberikan kurva f( ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien
Lebih terperinci19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang
Lebih terperinciUJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM)
Tentukan (jika ada) UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM) 1. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 () bila f() = 2 + 4. 2. Tentukan: (a) d d (p + sin
Lebih terperinciGambar 1. Kurva Permintaan
APLIKASI FUNGSI PADA MATEMATIKA EKONOMI. Fungsi Permintaan dan Penawaran Hukum permintaan menyatakan bahwa semakin tinggi harga barang (P) maka permintaan barang tersebut () akan menurun. Semakin rendah
Lebih terperinciModul Matematika 2012
Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar
Lebih terperinciI. SISTEM BILANGAN RIIL, PERTIDAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK. 3. Selesaikan pertidaksamaan berikut dan gambarkan solusinya pada garis bilangan.
I. SISTEM BILANGAN RIIL, PERTIDAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK. Buatlah diagram sistem bilangan riil.. Buktikan bahwa rata-rata dua buah bilangan terletak di antara kedua bilangan itu. a b a b a b. Selesaikan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Fuzzy Tidak semua himpunan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari terdefinisi secara jelas, misalnya himpunan orang miskin, himpunan orang pandai, himpunan orang tinggi,
Lebih terperinci