ω(x) = αx + β, x R, γx+ δ 0,

Transkripsi

1 GAZETA MATEMATIC SERIA A REVIST DE CULTUR MATEMATIC ANUL XXV(CIV) Nr. / 007 Asupra aproxim rii func iilor trigonometrice de Eugen P lt nea ) Abstract The aim of this paper is to give some rational approximation of the function Arctan in the interval (0, ). These approximations are obtained by using homographic functions. Key words: rational functions, homographic functions, Arctan M.S.C.: 4A0. Introducere În lucrarea de fa ne propunem s indic m aproxim ri de tip ra ional ale func iei arctg pe intervalul (0, ). Aproxim rile respective sunt ob inute prin considerarea succesiv a unor încadr ri optime de tip omografic. Inegalit ile respective pot servi determin rii unor majoran i i minoran i convenabili ai func iilor trigonometrice tg, sin i cos. Defini ia. Prin func ie omografic în elegem o func ie ra ional ω de tipul: ω(x) = αx + β, x R, γx+ δ 0, γx + δ unde α, β, γ, δ R, cu αδ βγ. Vom preciza no iunile de majorant omografic, minorant omografic i respectiv încadrare omografic. Pentru un interval I i func iile f,g : I R, vom nota f(x) g(x), orice x I, prin f g, subîn elegând faptul c intervalul I este fixat. Defini ia. Fie I =(a, b) un interval deschis de numere reale, unde a<b. Consider m o func ie f : I R.. Numim majorant omografic al func iei f pe intervalul I o func ie omografic ω, definit pe I, cuproprietatea f ω.. Numim minorant omografic al func iei f pe intervalul I o func ie omografic ω, definit pe I, cuproprietatea ω f. 3. O încadrare omografic a func iei f pe intervalul I se ob ine prin considerarea simultan a unui minorant omografic i a unui majorant omografic pe intervalul respectiv. ) Rezultatele din prezenta lucrare au fost prezentate, par ial, în cadrul celei de a XXXIII-a Sesiuni de comunic ri metodico- tiin ifice desf urate la Sinaia în octombrie 006. (N.R.)

2 Desigur c ne preocup determinarea,,celei mai bune încadr ri omografice a unei func ii pe un interval deschis. Evident, prezen a celui mai mic majorant omografic, respectiv a celui mai mare minorant omografic, ar conferi optimalitate major rii, respectiv minor rii, de acest tip. De regul îns, existen a acestor margini omografice nu este asigurat. Din acest motiv vom defini accep iuni noi ale conceptului de m rginire omografic optimal. Astfel, este rezonabil s prefer m majoran i sau minoran i omografici care au acelea i limite în capetele intervalului ca i func ia aproximat. De asemenea, vom considera optime acele borne omografice care minimizeaz distan a (m surat cu ajutorul integralei) la func ia considerat. Pentru dou func ii f i g, continue pe I, vom nota: f g = v sup f(x) g(x) dx [0, ) { }. [u,v] I u Men ion m c m rimea definit mai sus extinde no iunea de distan a dintre func ii, considerat de regul în spa iul vectorial L (I) al func iilor absolut integrabile pe I. Defini ia 3. Fie I =(a, b) un interval deschis de numere reale i f : I R.. Spunem c func ia omografic ω este un majorant (respectiv minorant) omografic condi ionat al func iei f pe intervalul I dac f ω (respectiv ω f) i exist urm toarele limite laterale: lim (f(x) ω(x)) = 0, x a x>a lim(f(x) ω(x)) = 0. Func ia f va admite o cea mai bun majorare omografic condi ionat dac exist un cel mai mic majorant omografic condi ionat ω al func iei f pe intervalul I, deci exist o func ie ω care satisface condi iile urm toare: ω este func ie omografic, definit pe I; f ω; x b x<b lim (f(x) ω(x)) = lim (f(x) ω(x)) = 0; x a, x>a x b, x<b pentru oricare majorant omografic condi ionat ω al func iei f pe I avem ω ω. În mod similar, f va admite o cea mai bun minorare omografic condi ionat dac exist un cel mai mare minorant omografic condi ionat ω al func iei f pe intervalul I. În cazul când func iile ω i ω exist ( i vor fi evident unice), spunem c dubla inegalitate: ω(x) f(x) ω(x), x (a, b), reprezint cea mai bun încadrare omografic condi ionat a func iei f pe intervalul I =(a, b).. Spunem c majorantul omografic ω al func iei f, continu pe I, realizeaz cea mai fin majorare omografic dac ω f < i pentru oricare alt majorant omografic ω al func iei f avem ω f ω f. Similar definim cea mai fin minorare (respectiv încadrare) de tip omografic.

3 Men ion m c pe parcursul lucr rii vom considera I =(0, ). Argumentul principal în favoarea studiului aproxim rii func iei arctg prin func ii ra ionale îl constituie derivata sa ra ional. De asemenea existen a asimptotei orizontale spre infinit, monotonia i respectiv convexitatea func iei constituie premize ale ob inerii unor încadr ri fine de tip ra ional. Utilizarea unui procedeu iterativ de încadr ri omografice optimale reprezint o alternativ la aproximarea clasic de tip taylorian. Pe de alt parte, încadrarea de tip ra ional a func iei arctg permite ob inerea unor încadr ri comode ale func iilor trigonometrice sin, cos, tg. Metoda pe care o propunem în lucrarea de fa se înscrie printre numeroasele preocup ri recente pe plan interna ional privind eviden ierea unor inegalit i trigonometrice. În finalul articolului vom face scurte referiri la rezultate de actualitate în domeniu.. Aproximarea omografic de ordinul Consemn m la început câteva rezultate utile. Lema. Au locinegalit ile: x arctg x> π x, x (0, ) () + x arctg x< π x, + x (, ) () arctg x arctg x < π x x, + x (0, ). (3) Demonstra ie. Pentru ob inerea primelor dou inegalit i, consider m funcπx ia f : [0, ) R definit prin f(x) = arctgx, (x x 0. Derivata +) func iei, f (x) = x πx + (x +), admite r d cinile pozitive x = π π 4 < i x = π + π 4 >. Avem f(0) = f() = lim f(x) =0. Atunci, analizând x semnul derivatei, deducem c func ia f este strict pozitiv pe intervalul (0, ) i respectiv strict negativ pe intervalul (, ). Astfel, inegalit ile () i () sunt dovedite. Fie acum func ia g :(0, ) R definit prin: g(x) = π x x + arctg x arctg x =arctg x + π ( ) x x + arctg x, x > 0. Avem g (x) =(x +) f(x), x>0. Din inegalit ile () i () rezult c func ia g este strict cresc toare pe (0, ) i respectiv strict descresc toare pe (, ). Cum lim g(x) = lim x g(x) =0, ob inem g(x) > 0, pentru orice x>0, deci inegalitatea x 0 (3) este satisf cut. Lema. Func ia θ :(0. ) R definit prin: θ(x) = ( π ) x arctg x, x > 0, arctg x 3

4 ( este strict descresc toare, convex i are ca imagine intervalul π, π ). În plus: lim x 0,x>0 θ (x) = ; lim x θ (x) =0. (4) Demonstra ie. Utiliz m rezultatul (3) al lemei precedente. Astfel, avem: arctg x + π ( ) x θ x (x) = + arctg x arctg < 0, x>0. (5) x Atunci func ia θ este strict descresc toare pe intervalul (0, ). regula lui l'hospital, ob inem lim θ(x) = π x 0 π <θ(x) < π sa este intervalul Aplicând i lim θ(x) =. Ca urmare, avem x π,pentru orice x>0. Din continuitatea func iei θ rezult c imaginea ( π, π ). Avem, apoi: θ (x) = π(x arctg x) (x +) arctg 3 x, x > 0. Din inegalitatea binecunoscut arctg x < x, pentru orice x > 0, ob inem θ (x) > 0, oricare ar fi x>0, deci func ia θ este convex pe (0, ). În sfâr it, prima limit de la (4) se calculeaz pornind de la rela ia (5) prin regula lui l'hospital, iar cea de a dou limit se ob ine în mod direct. Teorema urm toare eviden iaz faptul remarcabil c func ia arctg admite o cea mai bun încadrare omografic condi ionat i un cel mai fin majorant omografic pe intervalul (0, ). Teorema.. Urm toarele inegalit i asigur cea mai bun încadrare omografic condi ionat a func iei arctg pe intervalul (0, ): π x x + π. Func ia ω :(0, ) R, definit prin: π < arctg x< x x +, x>0. (6) π π ω(x) = x x +, x > 0, π reprezint cel mai fin majorant omografic al func iei arctg pe (0, ). 3. Func ia arctg nu admite un cel mai mic majorant omografic pe (0, ). Demonstra ie.. Conform lemei avem π <θ(x) < π, oricare ar fi x>0. Dar: 4 arctg x = π x x + θ(x), x > 0.

5 Astfel, inegalit ile (6) sunt demonstrate. Fie ω un majorant (respectiv minorant) omografic condi ionat al func iei arctg pe intevalul I =(0, ). Din condi ionarea la extremit i impus prin defini ia 3, deducem c ω este de forma urm toare: π ω(x) = x x + c, x > 0, unde c este o constant strict pozitiv. Atunci ω arctg dac i numai dac c θ(x), pentru orice x>0, ceea ce este echivalent cuc i respectiv ω arctg, π dac i numai dac c θ(x), oricare ar fi x>0, ceea ce este echivalent cuc π. Atunci marginile omografice indicate de rela ia (6) reprezint cel mai mare minorant omografic condi ionat i respectiv cel mai mic majorant omografic condi ionat pentru func ia arctg pe intervalul (0, ).. Pentru t>0 avem: t 0 ( π ) ( ω(x) arctg x)dx = t arctg t +ln t + t + +ln π. π Dar: ( π ) lim t t arctg t = i lim ln t t + t + π =0. Atunci: ω arctgx = lim t t 0 ( ω(x) arctgx)dx =ln e π, deci avem ω arctg <. Fie ω un majorant omografic arbitrar al func iei arctg, ω(x) = αx + β γx + δ, x > 0, unde α, β, γ, δ R, astfel încât αδ βγ, γδ 0 i γ + δ > 0. Este necesar s analiz m trei situa ii. Cazul i) γ =0. Atunci αδ 0=βγ. Din condi ia ω(x) arctg x, pentru orice x>0, rezult α > 0. În acest caz ob inem lim (ω(x) arctg x) =, de unde δ x rezult ω arctgx =. Cazul ii) γ 0 i α/γ > π/. Atunci lim (ω(x) arctg x) =α/γ π/ > 0. x Ob inem de asemenea ω arctg =. Cazul iii) γ 0 i α/γ π/. Trecând la limit la în inegalitatea ω(x) arctg x, pentru orice x>0, ob inem α/γ π/. Rezult α/γ = π/, deci func ia ω poate fi reprezentat sub forma: π ω(x) = x + a x + b, x > 0, 5

6 cu b 0 i a π b. Din ipotez ob inem lim ω(x) lim arctg x, deundea 0. De x 0 x 0 asemenea, vom ar ta, prin reducere la absurd, c are loc inegalitatea b (a +). π S presupunem b> (a +). Fie :(0, ) R, (x) =ω(x) arctgx. Avem: π ( π ) ( π ) (x) = b a x bx + b a b (x + b) (x, x > 0. +) Cum π b a > 0, exist x 0 0 astfel ca (x) > 0, pentru orice x (x 0, ), deci este strict cresc toare pe intervalul (x 0, ). Dar lim (x) =0. Rezult x (x) < 0, oricare ar fi x>x 0, sau ω(x) < arctg(x), pentru orice x>x 0, ceea ce constituie o contradic ie. Avem deci b (a +). Atunci: π arctg x ω(x) π x + a x + π (a +) ω(x), x>0. Rezult ω arctg ω arctg. Astfel, ω este cel mai fin majorant omografic al func iei arctg pe R Presupunem, prin reducere la absurd, c arctg ar admite un cel mai mic majorant omografic ω. Atunci arctg ω ω. Dac exist x 0 > 0 astfel ca ω(x 0 ) < < ω(x 0 ), atunci ob inem ω arctg < ω arctg, ceea ce constituie o contradic ie. Avem deci ω = ω. Consider m func ia: ω 0 (x) = x x +, x > 0. Constat m cu u urin c ω 0 este un majorant al func iei arctg. Atunci, prin presupunerea f cut, avem ω ω 0. Dar: ( π ) 8 ω 0 (x) < ω(x), x 0,, π(4 π) ceea ce constituie o contradic ie. Remarc. Din monotonia func iei θ deducem c are loc inegalitatea dubl : π x < arctg x< x + θ(u +0) π x, x (u, v) (0, ). (7) x + θ(v) Imparitatea func iei arctg permite extinderea inegalit ilor (6) la intervalul (, 0). Corolarul. Are loc inegalitatea dubl : 6 π x π x < arctg x< π π x x, x<0. (8)

7 ( De asemenea, pe baza monotoniei stricte a func iei tg pe intervalul ( rela ia () conduce, prin,,inversare, la încadrarea func iei tg pe 0, π imparitate, se ob ine încadrarea func iei tg pe ( π ), 0. Corolarul. Func ia tg admite urm toarele încadrari omografice: π t π < tg t< t π t π + t < tg t< π t π t, t ( 0, π ) ), 0, π ). Apoi, prin (9) π t π ( + t, t π ), 0. (0) Pornind de la inegalit ile eviden iate anterior, ob inem majoran i i minoran i ra ionali ai func iilor trigonometrice sin i cos. Propozi ia. Auloc urm toarele inegalit i trigonometrice: t(π t) sin t [0, (π t) + t, t π ] () [ ] t(π t) π sin t π (π t) + π, t 0, () +π/ t π (π t) π t (π t) t π (π t) + π cos t [0, (π t) + t, t π ]. (3) t Demonstra ie. Constat m, pentru început, c avem θ() =. Atunci, din inegalitatea (7) rezult : π x x + π arctg x π x, x [0, ]. x + Ca urmare, utilizând monotonia func iei tg, ob inem: π t π t tg t t [0, π t, t π ]. (4) S observ m îns c func ia h(z) = z este strict cresc toare pe [0, ]. +z tg t/ Atunci din inegalit ile (4), conform rela iei trigonometrice sin t= +tg t/, ob inem inegalit ile () i (). Din rela ia (4), pe baza monotoniei descresc toare a func iei k(z) = z +z pe [0, ) i a identit ii trigonometrice cos t = tg t/ +tg t/, ob inem rela ia (3). 7

8 3. Aproximarea omografic de ordinul Pentru a rafina încadrarea (6) a func iei arctg, vom proceda la încadrarea omografic optimal condi ionat a func iei θ pe intervalul (0, ). Teorema. Urm toarea dubl inegalitate reprezint cea mai bun încadrare omografic condi ionat a func iei θ pe intervalul (0, ): π 4 x + π 4 π(π <θ(x) < 4) x π 4 x + π π π 4 x +, x>0. (5) Rela ia (5) este echivalent cu urm toarea încadrare de ordin a func iei arctg pe intervalul (0, ): π x + π 4 x 4 x + π x + π 4 4 < arctg x< π 4 π 4 x + x π 4 x 4 + π, x > 0. (6) x + Demonstra ie. Pentru comoditatea redact rii demonstra iei, vom conveni s not m r = π. Vom observa la început c r (, ) i r (, 3). Definim func ia θ :(0, ) R prin θ (x) = r θ(x), x > 0. (7) x (rθ(x) ) Conform lemei, lim θ(x) =r, lim θ(x) x 0 x =r i θ este strict descresc toare, deci func ia θ este corect definit i strict pozitiv pe(0, ). Apoi, prin aplicarea regulii lui l'hospital i a rela iilor (4) i (5), ob inem: i: Rezult : i respectiv: 8 r θ(x) lim = lim ( θ (x)) = x 0 x x 0 rθ(x) θ (x) lim x (rθ(x) ) = lim x x x = r lim x x = θ (x) = r lim x x 3 = x arctg x r lim x ( + x ) arctg 3 x = r. lim θ r θ(x) (x) = lim x 0 x 0 x lim θ (x) = lim x x Vom demonstra acum inegalitatea dubl : lim x 0 rθ(x) = r x (rθ(x) ) lim r θ(x) = r. x r <θ (x) <r, x>0, (8)

9 ceea ce este echivalent cu afirma ia ( c func ia continu ) θ are imaginea: r,r. Întrucât avem θ(x) = xθ (x)+r, x>0, iar func ia ϕ(z) := xz + r rxθ (x)+ rxz +, cu x > 0 fixat, este strict descresc toare în variabila z (0, ), rela ia (8) este echivalent cu încadrarea (5) din enun ul teoremei. Îns, pe baza rela iei arctg x = rx =, x > 0, încadrarea (5) a func iei θ este echivalent cu încadrarea (6) x + θ(x) a func iei arctg, pe care o scriem conven ional: rx +(r )x x + rx + r < arctg x< r(r )x + x (r )x + rx +, x>0. Pentru a dovedi inegalit ile de mai sus, consider m func iile f, g :(0, ) R definite prin: Avem: f(x) =arctgx rx +(r )x x + rx + r, g(x) = r(r )x + x (r )x arctg x. + rx + f (x) = x [ (r )(4 r ) r(r )x ] (x +)(x + rx + r ), g (x) = x [ r(r ) (r )(4 r )x ] (x +)[(r )x + rx +]. ( Rezult c f este strict cresc toare pe 0, (r )(4 r ] ) i strict descresc toare [ r(r ) (r )(4 r ) ( ) r(r ] ) pe r(r,, iar g este strict cresc toare pe 0, i ) [ (r )(4 r ) r(r ) ) strict descresc toare pe (r )(4 r ),. Cum îns f i g au limite nule în origine i la infinit, deducem f(x),g(x) > 0, pentru orice x > 0. Astfel, inegalit ile (6), (5) i (8) sunt dovedite. R mâne s prob m optimalitatea în sens condi ionat a încadr rii omografice (5). Not m ω : (0, ) R, ω(x) = (r ) x + r, majorantul omografic r(r ) x + condi ionat dat de rela ia (5). Fie ω un alt majorant omografic condi ionat al func iei θ. Atunci lim ω(x) =r i lim ω(x) x 0 x =r. Rezult c ω este de forma ω(x) = cx + r, unde c este o constant pozitiv. Atunci, conform reprezent rii lui crx + θ în raport cu θ, a rela iei (8) i a monotoniei func iei ϕ, ob inem: ω θ c θ c r ω ω. Rezult c ω este cel mai bun majorant omografic condi ionat al func iei θ. Analog demonstr m c minorarea lui θ dat de rela ia (5) este cea mai bun minorare omografic condi ionat a func iei θ. 9

10 Astfel teorema este demonstrat. Corolar. Din (6) se ob ine urm toarea încadrare a func iei tg: rt + (rt ) +4t(r )(r t) (r < tg t< )(r t) < rt + r + (rt + r ) +4t(r )(r t), t (0,r), (9) (r t) unde r = π. Aproximarea ( omografic ) optimal a func iei θ, func ie a c rei imagine este intervalul r,r va conduce la o aproximare de ordinul 3 pentru func ia arctg. Procedelul indicat în lucrare poate astfel continua. 4. Comentarii bibliografice. Trebuie remarcat faptul c, în ultimii ani, studiul inegalit ilor a luat o amploare deosebit, stimulat mai ales de circula ia informa iei matematice pe cale electronic. În leg tur cu problematica încadr rii func iei tangent, prezent m rezultatul remarcabil datorat lui M. Becker i E. I. Stark (978): sau, echivalent: π 8t π < tg t< π 4t t (0, π 4t, t π ), π 4 x + π4 64 π 8 < arctg x< 4 x +, x>0. x x Remarc m faptul c încadrarea de mai sus este mai fin decât încadrarea omografic (), dar nu este mai bun decât încadrarea,,de ordinul dat de rela ia (5). Aceast ultim observa ie se bazeaz pe constatarea c limita în origine a majorantului Becker-Stark este π >, în timp ce limita în origine a majorantului 8 indicat de rela ia (5) este. Men ion m de asemenea c, într-o lucrare recent, C.-P. Chen i F. Qi (004) amelioreaz (prin utilizarea rafinat a numerelor lui Bernoulli i Euler) rezultatul lui M. Becker i E. I. Stark. Bibliografie [] M. Becker, E. L. Stark, On a hierachy of quolynomial inequalities for tan x, Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz., No (978), pp [] C.-P. Chen, F. Qi, Inequalities of some trigonometric functions, Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. 5 (004), pp [3] M. Nicolescu, N. Dinculeanu, S. Marcus, Analiz matematic, Vol. I, Editura Didactic i Pedagogic, Bucure ti, 97. [4] C. P. Niculescu, An Introduction to Mathematical Analysis, Editura Universitaria, Craiova, 005. Facultatea de Matematic i Informatic Universitatea Transilvania din Bra ov 0

11 Constante de tip Euler generalizate de Andrei Vernescu Abstract In this note the author surveys some results about generalized Euler's constants and makes some historical remarks concerning this topic. Key words: Euler's (generalized) constants, Stieltjes constants. M.S.C.: 0-99, 40A5. Fie un num r real s>0, fixat. Considerând seria armonic generalizat, este binecunoscut c : ns n= (a) dac s (, ), atunci seria este convergent ) ; (b) dac s (0, ], atunci seria are suma. n Utilizând nota iile uzuale ζ n (s) = i k s H n = ζ n (), reamintim c au loc k= rela iile: H n lim n ln n =, lim ζ n (s) n n s = (s (0, )), () /( s) cunoscute deja de Euler ) i care arat echivalen ele asimptotice: H n ln n; ζ n (s) n s s (s (0, ). 3) () Dar faptul c limita raportului a dou iruri care tind c tre este egal cu nu asigur c limita diferen ei, dac exist, este finit, dup cum se poate constata n + n din exemple triviale de tipul lim =, cât i din cel netrivial al formulei lui n n n! ( Stirling lim n n n e n =,unde lim n! n n e n πn ) =. 4) πn n Euler a aprofundat situa ia legat de rela iile () i (), ar tând c limitele: lim ( n ) ln n (3) n ) Suma acestei serii convergente define te func ia zeta a lui Riemann de variabil real, care, extins la variabila complex, joac un rol important în teoria analitic a numerelor. (N.A.) ) Ast zi, ob inerea lor este imediat, de exemplu, cu ajutorul lemei lui Stolz-Cesàro. Euler a folosit alt metod, bazat pe ceea ce se nume te ast zi formula de însumare a lui Euler-MacLaurin. (N.A.) 3) Reamintim c (a n) n i (b n) n sunt asimptotic echivalente (notat a n b n) dac exist lim an/bn, finit i nenul. De i primele defini ii sistematice din domeniul analizei asimptotice au fost introduse în 886 de c tre Stieltjes i Poincaré i completate de Landau, se admite în n mod unanim c Euler a fost un precursor (a se vedea monografiile lui Van der Corput, De Bruijn, Copson, Erdély). (N.A.) 4) Rela ia se ob ine cu u urin din partea stâng a inegalit ii: πnn n e n exp ( /(n +) ) <n! < πnn n e n exp ( /(n) ). (N.A.)

12 i: lim (+ n ) 3 n n s s s s s (4) exist i sunt finite; limita (3) se nume te constanta lui Euler (sau înc a lui Euler- Mascheroni) i se noteaz γ sau C. Mai mult, Euler a ar tat c, în anumite condi ii, pentru o func ie f :(0, ) R, limita: lim n f() + f() + f(3) f(n) n f(x)dx (5) exist i este finit ; limitele (4) i (5) se numesc constantele de tip Euler generalizate.. În secolul al XIX-lea s-a mers mai departe cu generalizarea constantelor de tipul celor ale lui Euler, extinzându-se nu numai func ia f, ci i intervalul de integrare ini ial. Astfel, s-au definit constantele: γ(n 0,f) = lim n ( n ) f(k) k=n 0 n n 0 f(x)dx (n 0 N ). (6) Câteva din aceste constante sunt prezentate în tabelul urm tor. Nr. crt n 0 f(x) γ(n 0,f) /x 0, = γ 0 = γ / ln x 0, /(x ln x) 0, /x s ζ(s)+/( s) 5 / x 0, = ζ(/) + 6 (ln x)/x 0, = γ 7 (ln x) /x 0, = γ 8 (ln x) 3 /x 0, = γ 3 9 (ln x) 4 /x 0, = γ 4 0 (ln x) 5 /x 0, = γ 5 La cea de a patra constant, ζ(s) este considerat în sensul prelungirii analitice (prin intermediul func iei zetaaluiriemann, de variabil complex s ζ(s), cu s = σ + it, Re(s) =σ>, care, dup definirea sa în semiplanul Re(s) >, prin egalitatea ζ(s) =, se prelunge te analitic în tot planul complex, cu excep ia ns n= polului de ordinul întâi s = i astfel cap t sens ζ(s) cu s (0, ) R C). Se ob in astfel constantele ζ(s)+ (a se vedea i [4] pp i 49-57). În ( ) s particular, ζ de la cea de a cincea constant este, de asemenea, considerat în sensul explicat anterior.

13 (ln x)r În cazul n 0 = i f(x) = (r =0,,,...) se ob in cele mai importante x constante de tip Euler generalizate, notate γ r,anume: ( n (ln k) r γ r = lim n k k= ) (ln n)r+ r + (r =0,,,...). (7) Acestea se numesc constantele lui Stieltjes i importan a lor const în faptul c ele intervin în expresiile coeficien ilor dezvolt rii în serie Laurent a func iei ζ într-o vecin tate (din C) a polului simplu z 0 =,anume: ζ(z) = z + n=0 ( ) n γ n (z ) n. n! Faptul c aceste constante erau binecunoscute în secolul al XIX-lea se poate constata i consultând periodicul,,l'intermédiaire des mathématiciens, vol. IV, unde, la pagina 7, este scris,,il est facile de démontrer que l'expression: ( log log n log + 3log ), n log n croissante avec n, tend vers une limite finie et determinée lorsque n augumente indéfiniment. De asemenea, convergen a constantelor lui Euler generalizate a fost extins i pentru func iile cu valori complexe, de c tre Hardy (a se vedea [3], [4], pp , [6], pag. 53, citat i în [9], pag, 07 precum i [8], pp ). 3. Prezentarea expunerii de pân acum, cât i a aprofund rii care va urma, are, în afar de interesul propriu-zis al problemei, i o motiva ie secundar, punctual. Anume, în monografia [9], reamintind pentru irul de termen general a n = = n k= k n inegalitatea original n + <a n a<,cua = lim n a n n (din [7], 99), am men ionat c, de fapt, convergen ele de tipul (4) erau cunoscute mai demult, înaintea lui Ioachimescu, care a considerat doar un caz particular, anume cazul s =. În [5], [6], [6 ], nedispunându-se probabil de bibliografia necesar i doar speculându-se asupra vârstei lui Hardy în 895, precum i c singurele lucr ri citate în aceast problem în [9] (ale lui Verley i Moisotte) erau ulterioare lui Ioachimescu, se contest cunoa terea convergen elor (4) anterior respectatului autor român. Pentru a stabili cât mai exact realitatea de istorie a matematicii în aceast privin, am procurat câteva lucr ri sau extrase care ne-au clarificat pe deplin situa ia. Red m, pe scurt, o selec iune din rezultatele ob inute pân în prezent. a) Cartea [5], având ca autor pe J. Havil, profesor la Winchester (Marea Britanie) este o monografie de peste 50 de pagini, consacrat exclusiv constantei lui Euler i publicat în prestigioasa editur Princeton University Press. La paginile 7 i 8 este scris: 3

14 ,,Euler (naturally) embraced this idea of generalization and did so considering: ( n ) n n lim n r ln n as lim f(r) f(x)dx n r= with f(x) = as just one particular positive decreasing function. From this generalized to f(x) =, where 0 <α<, to produce two divergent components that x xα combine to converge to finite sums known us Euler's generalized constants. (A se vedea i originalul, L. Euler [8], [9], precum i [].) Iat deci c aceste convergen e erau cunoscute nu numai din secolul al XIXlea, ci chiar de însu i Euler! Deci afirma ia noastr din [9] este corect! Binecunoscutul matematician francez Jean Dieudonné în [7], problema 7, pag. 9, ca i profesorul german Karl Knopp în [8], pp i în [9] problema n n α 35, pag. 3, trateaz echivalen a asimptotic dintre i (α (0, )), kα α k= ca pe o problem binecunoscut. b) Marele matematician indian S. Ramanujan, fost profesor la Universitatea din Cambridge, unul dintre cei mai mari descoperitori de formule de dup Euler, nu numai c a luat în considera ie constanta definit ca limit a irului de termen n general a n = n, dar a i stabilit formula: k lim n ( n k= k= ) n k r= ( ) ( = + ) +... =, , (8) care transform limita în suma unei serii alternate, convergente (pentru al c rei calcul se pot aplica metodele clasice de accelerare a convergen ei). A se vedea [3], cât i [4], pp Valoarea expresiei din membrul drept, deci a limitei din membrul stâng, coincide cu cea acceptat ast zi i este în concorda cu valoarea ζ(/) men ionat în tabel. c) Dup Ramanujan, formula (8) a fost extins în mod corespunz tor pentru celelalte valori ale exponentului α (0, ) (prin intermediul prelungirii analitice men ionate), anume: lim n ( n k= ) k α n α = ζ(α) = α α ( ) n (a se vedea [4] i[]). d) Mai men ion m c în,,enciclopedy of Mathematics and its applications, fondat de binecunoscutul matematician american Gian-Carlo Rota, în partea destinat constantelor matematice (vol. 94) [], unde sunt prezentate peste 36 de constante (iar uneori, familii de constante), singura constant a c rei definire este legat i de numele unui matematician român este cea definit de c tre J. Ewing i n= n α 4

15 ( C. Foia, introdus în leg tur cu rela ia de recuren neliniar x n+ = + n, cux = a>0. Exist o unic valoare x = a, pentru care irul (x n ) n tinde la ; pentru toate celelalte valori ale lui a, irul are o limit finit. Valoarea constantei a fost calculat de c tre Clay C. Ross i este a =, (a se vedea [0]). Totodat, în enciclopedia men ionat, în afar de indicele alfabetic de nume, de 33 de pagini, în care nu apare numele lui Ioachimescu, exist i un indice de constante a ezate în ordinea m rimii, de 4 de pagini, în care, în dreptul constantei 0, este scris:,,ζ(/) + ; with Euler-Mascheroni constants. A adar, din nou se confirm c afirma ia din [9] este corect ; convergen ele în care se înscrie irul (a n ) n erau de mult cunoscute chiar de la Euler iarnumele lui Ioachimescu nu se citeaz în literatura de specialitate universal (str in ). Desigur, avem toat determinarea i mândria de a eviden ia rezultatele matematicienilor români, iar nerecunoa terea (chiar temporar!) a unor priorit i române ti nu poate decât s ne nemul umeasc (a se vedea controversa Pompeiu-Zoretti din 905, tran at definitiv în favoarea lui Pompeiu de abia în 909 de c tre Denjoy (a se vedea [], pag. 348). A. G. Ioachimescu este apreciat ca matematician la justa lui importan, dat de valoarea corespunz toare a operei sale matematice (v. [], pp ). În plus, el este respectat cu aleas recuno tin ca fiind unul dintre creatorii Gazetei Matematice, fiind, de asemenea, autorul unei celebre culegeri de probleme de algebr, cât i pentru faptul c a sprijinit din toat inima pe tinerii matematicieni din epoc, atunci când le era mai necesar (sunt cunoscute situa iile lui D. Pompeiu i D. V. Ionescu). Dar, cum i în probleme de istorie a matematicii nu se admite drept principiu fundamental decât respectarea strict a adev rului tiin ific, trebuie s recunoa tem c, de i matematicianul nostru a propus în 895 o problem foarte frumoas (asupra c reia a revenit cu o generalizare în [7]), totu i aceasta se încadra într-o gam de convergen e definite înc de Euler! Pentru indicarea sau procurarea unor valoroase resurse bibliografice legate de problematica acestui articol, adresez calde mul umiri domnilor prof. dr. D. Andrica, prof. dr. S. Gal, prof. dr. A. Lupa, prof. dr. C. P. Niculescu, prof. M. Trifu, prof. dr. B. Vernescu (S.U.A.), prof. dr. M. Vuorinen (Finlanda). Bibliografie [] G. t. Andonie, Istoria matematicii în România, vol.i, Editura tiin ific, Bucure ti, 965. [] D. Andrica, L. Tóth, Ordinul de convergen al unor iruri de tipul ln n, Astra Matematic, vol., nr. 3, pp n [3] D. Andrica, L. Tóth, Some remarks on Stieltjes constants of the zeta function, Stud. Cerc. Mat. 43 (99), pp [4] T. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer Verlag, 976 [5] M. B tine u-giurgiu, Andrei G. Ioachimescu's Sequence at 0 years, Octogon Math. Mag. vol 3, no. (october 005), pp [6] M. B tine u-giurgiu, On some Famous Sequences, Octogon Math. Mag. vol 3, no. (october 005), pp [6 ] M. B tine u-giurgiu, Despre unele iruri celebre, Arhimede, nr. 3-4/005, pp (Este republicarea lucr rii [6]) x n ) n, 5

16 [7] J. Dieudonné: Calcul infinitésimal. Éditions Hermann, Paris, 968 (Ed. a II-a 980). [8] L. Euler, De progressionibus harmonicis observationes, Comentarii Academiae, Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 7(734), pp [9] L. Euler, Opera omnia, seria, vol., Lausanne, 748. [0] J. Ewing, C. Foia, An interesting serendipitous number, în volumul Finite versus infinite: Cotribution to on Eternal Dilemma, Ed. C. Calude and. G. P un, Springer- Verlag, 000, pp [] S. R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge Univ. Press, 003. [] J. W. L. Glaisher, On the history of Euler's constant, Messenger of Math., (87), pp [3] G. H. Hardy, Orders of Infinity, Cambridge Univ. Press, 9. [4] G. H. Hardy, Collected Papers, vol. 4, Oxford University Press, 966. [5] J. Havil, Gamma; exploring Euler's constant, Princeton University Press, Princeton and Oxford, 003. [6] A. G. Ioachimescu, Problema 6, Gaz. Mat. vol. I (895), nr., pag. 39. [7] A. G. Ioachimescu, Asupra valorii asimptotice a unei clase de serii divergente, Gaz. Mat. 6(900-90), pag. 7 i pag. 9. [8] K. Knopp, Infinite Sequences and Series, Dover Publications, Inc. New York, 989. [9] K. Knopp, Theory and Applications of Infinite Series, Dover Publications, Inc. New York, 956. [0] W. Leighton, Remarks on certain Eulerian constants, Amer. Math. Monthly, 75 (968), pp [] A. Lupa, A. Vernescu: Num rul e i matematica exponen ialei, Editura Universit ii din Bucure ti, Bucure ti, 004 (recenzie) Gaz. Mat.(Seria A), 3(0) (005), nr. 3, pp [] L. Moisotte, 850 exercices de mathématiques, Dunod Université, Ed. Bordas, Paris, 978. [3] S. Ramanujan, On the sum of the square roots of the first n natural numbers, J. Indian Math. Soc. 7 (95), pp [4] S. Ramanujan, Collected Papers (edited by G.H.Hardy, P.V. Seshu Aiyar and B. M. Wilson), Cambridge Univ. Press, 97. [5] T. Takasaka, Note on the generalized Euler' constants, Math. J. Okayama, Univ., 36 (994), pp [6] J. L. Verley, Asymptotiques Calculs. Dictionnaire des Mathématiques: algèbre, analyse, géométrie, Enciclopaedia Universalis et Albin Michel, Paris, 997, pp [7] A. Vernescu, Problema 40, Gaz. Mat. 96(99), nr. 6, pag. 3. [8] A. Vernescu, Analiza matematic. vol. I. 440 de probleme cu rezolv ri, edi ia a IV-a, revizuit, Editura Pantheon, Bucure ti, 00. [9] A. Vernescu, Num rul e i matematica exponen ialei, Editura Universit ii din Bucure ti, 004. [30] A. Vernescu, On the similar order of convergence of two adjacent sequences related to ζ(/), WSEAS Transaction on Mathematics ISSUE, vol. 5 (Dec. 006), pp Universitatea Valahia, Catedra de Matematic Bulevardul Unirii, nr Târgovi te avernescu@clicknet.ro 6

17 O metod a lui Liouville de demonstrare a inegalit ilor de Dorin M rghidanu Abstract The author presents some proofs which are based on a method due to Liouville for the arithmetic-geometric mean inequality, for a particular case of Cauchy- Buniakowski-Schwarz inequality, for two inequalities of Weierstrass and for Hua's inequality. Keywords: Liouville's method, Liouville's method associated with a inequality, arithmetic-geometric mean inequality, Weierstrass's inequality, Hua's inequality. M.S.C.: 6D5. Introducere. Vom desemna prin termenul de metoda lui Liouville o metod inductiv-analitic de demonstrare a unor inegalit i ce depind de n argumente numere reale. Propunem acest denumire în memoria marelui matematician Joseph Liouville, care în 839, publica în,,journal de mathématiques pures et appliquées (numit i,,journal de Liouville ), [8], o demonstra ie elegant a inegalit ii mediilor. Aceasta metod, de mare valoare euristic, va fi luat drept prototip pentru demonstrarea unor inegalit i. Mai precis, dac avem de demonstrat o inegalitate de forma: F (a,a,...,a n ) ( )G(a,a,...,a n ), () unde a,a,...,a n I R, iar F, G sunt func ii de n argumente, F, G : I n R, atunci inegalit ii () i se asociaz o func ie de o singur variabil L : I R, în care unul din argumentele a k I, k =,n, se înlocuie te cu variabila x, ca de exemplu: sau: L(x) =F (a,a,...,a n,x) G(a,a,...,a n,x), L(x) =F n (a,a,...,a n,x) G n (a,a,...,a n,x), Apoi, dac prin metode algebrico-analitice se dovede te c L(x) ( )0, pentru orice x I, rezult în particular i L(a n ) ( )0, adic tocmai inegalitatea (), de demonstrat. Func ia L asociat inegalit ii o vom numi func ie (de tip) Liouville.. Dou demonstra ii pentru inegalitatea mediilor. Vom urm ri în continuare dou demonstra ii ale inegalit ii mediilor prin metoda lui Liouville. Prima dintre ele de mare rafinament stiin ific este chiar demonstra ia original a lui Liouville (cu u oare adapt ri i prelucr ri). Ea a urmat la relativ pu in timp de la demonstra ia prin induc ie,,înainte - înapoi a lui Cauchy [5] (cu bogate referin e în []- [4], [6], []). În cele ce urmeaz utiliz m nota iile: pentru a i > 0, i =,n: A n (a,a,...,a n ):= a + a a n (media aritmetic ); n G n (a,a,...,a n ):= n a a... a n (media geometric ) (sau atunci când nu exist posibilitatea de confuzie, simplu A n sau G n ). etc. 7

18 Propozi ia (inegalitatea mediilor, inegalitatea AM-GM, inegalitatea lui Cauchy). Dac a,a,...,a n R +, atunci are locinegalitatea: A n (a,a,...,a n ) G n (a,a,...,a n ), () pentru orice n N, n, cu egalitate dac i numai dac a = a =...= a n. Demonstra ia (Liouville) ([8], [3], [4]). Pentru n =, evident. Presupunem adev rat inegalitatea (), pentru cazul a n numere, cu egalitate dac a = a =... = a n (= a) i o vom demonstra pentru cazul a n numere, cu egalitate dac a = a =...= a n. Consider m urm toarea func ie Liouville, asociat inegalit ii (): L(x) ( =A n n (a,a,...,a n,x) ) G n n (a,a,...,a n,x)= n a + a a n + x = a a... a n x. n (3) Avem: ( ) n L a + a a n + x (x) =n n n a a... a n = = A n n (a,a,...,a n,x) G n n (a,a,...,a n )= [ n = A n (a,a,...,a n )+ x ] n G n n n n (a,a,...,a n ). (4) Cum L (x) = n A n n (a,a,...,a n,x) 0, rezult c L este func ie n convex. Ecua ia derivat, L (x) =0, conform cu (4), are r d cina: x = n G n (a,a,...,a n ) (n ) A n (a,a,...,a n )= = n G n (n ) A n, care este abscisa punctului de minim pentru func ia L. În urma unui calcul de rutin, g sim c acest minim este: L min = L(x )=(n ) G n n (A n G n ). (5) Cu ipoteza de induc ie avem: L(x ) 0. Deci L(x) L(x ) 0, pentru orice x R +. În particular L(a n ) 0, adic tocmai inegalitatea (). Cazul de egalitate în (5) (deci L min =0) are loc atunci când a = a = =...= a n (= a), i este atins când avem: a n = x = n G n (a,a,...,a) (n ) A }{{} n (a,a,...,a)=a, }{{} n ori n ori ceea ce încheie complet argumenta ia prin induc ie. 8

19 Observa ia. În [0], D. P. Minassian (probabil far s tie de demonstra ia lui Liouville) i P. S. Bullen, în [4], consider ca func ie (Liouville) asociat inegalit ii mediilor, func ia: f(x) =n n [A n n (a,a,...,a n,x) G n n (a,a,...,a n,x)] = n n L(x). Observa ia. În demonstra ia lui Liouville, func ia asociat este de fapt func ia Liouville pentru inegalitatea A n n(a,a,...,a n ) G n n(a,a,...,a n ), Minassian [0] observ c inegalitatea mediilor scris sub acesta form este adev rat pentru orice numere reale a,a,...,a n (nu doarpentru cele pozitive, impuse de existen a radicalului în forma standard!), dup cum se poate u or observa urm rind demonstra ia de mai sus. Demonstra ia ([], [9]) este de asemenea o demonstra ie inductiv-analitic. În aceea i ipotez de induc ie, alegem acum urm toarea func ie Liouville, asociat inegalit ii (): L :[0, ) R, dat de: L(x) =n [A n (a,a,...,a n,x) G n (a,a,...,a n,x)], (6) care se mai poate scrie: Avem: L(x) =a + a a n + x n n a a... a n x = =(n ) A n + x n n G n n x. L (x) = n n G n n n G n n x n. n (G = n n x) n Deci, L (x) =0atunci i numai atunci când x = G n. Aceast valoare este abscisa punctului de minim al func iei L. Sintetiz m varia ia func iei L în tabelul de mai jos: x 0 G n L (x) L(x) (n ) A n (n )(A n G n ) + Avem, într-adev r: L(G n )=(n ) A n + G n n n G n n G n =(n ) (A n G n ) 0 (conform ipotezei de induc ie!). Prin urmare L este pozitiv pe[0, ). Rezult c i pentru a n 0 avem L(a n ) 0, deci (). Egalitate avem dac a n = G n (în punctul de minim al func iei) echivalent cu (folosind ipoteza de induc ie asupra egalit ii) a n = n a n, deci dac i numai dac a n = a, ceea ce încheie definitiv demonstra ia. 3. O aplica ie la o inegalitate cunoscut. Urm toarea inegalitate este foarte cunoscut i se cunosc numeroase demonstra ii ale sale. Prezent m în continuare în scop exemplificativ i o demonstra ie prin metoda Liouville. Propozi ia. Dac a,a,...,a n (0, ), atunci: ( (a + a a n ) ) n, (7) a a a n 9

20 pentru orice n N, cu egalitate dac i numai dac a = a =...= a n. Demonstra ie. Luând a n = x (> 0), consider m urm toarea func ie Liouville, asociat inegalit ii (7): L :(0, ) R, dat de: ( L(x) =(a + a a n + x) ) = a a a n x ( =(S n + x) U n + ) (8), x unde am notat: S k = a + a a k, U k = a + a a k. În ipoteza de induc ie S n U n (n ), cu egalitate dac i numai dac a = a =...= a n,avem dou posibili ti de a finaliza demonstra ia. Varianta inductiv - algebric. Scriind (8) sub form echivalent : L(x) =S n U n ++xu n + x S n, (8 ) i folosind inegalitatea mediilor pentru dou numere plus ipoteza de induc ie, ob inem: L(x) S n U n ++ S n U n = = ( S n U n + ) ( (n ) +) = n. Egalitatea se ob ine atunci i numai atunci când avem a = a =... = a n (= a) i xu n = x S n, ceea ce este echivalent cux = S n (n )a = U n (n )/a = a, deci când avem i a n = x = a. Varianta inductiv - analitic. Derivând în (8) sau (8 ), ob inem, L (x) =U n x S n = x U n A n x. R d cina convenabil a derivatei, x Sn =, este punct de minim pentru U n func ia L. Avem deci: ( ) ( ) ( ) L min = L(x Sn Sn Un )=L = S n + U n + = U n U n = ( S n U n + ), S n i ca mai sus, cu ipoteza de induc ie, rezult L(x) L min n, (oricare ar fi x (0, )), cu egalitate dac a = a =...= a n = a n. 4. Dou inegalit i ale lui Weierstrass. Urm toarele dou inegalit i sunt datorate lui K. Weierstrass (v. []- p. 0, [] - p. 9) i sunt demonstrate de obicei prin induc ia clasic. În continuare vor fi demonstrate prin metoda inductivanalitic specific metodei lui Liouville. Propozi ia 3 (inegalit ile lui Weierstrass). a) Dac a,a,...,a n [0, ), atunci: n n ( + a k ) + a k (9); 0 k= k=

21 b) dac a,a,...,a n [0, ], atunci: n ( a k ) k= n a k. (0) Demonstra ie. Pentru n =, inegalit ile se verific cu egalitate. m m a) Cu nota iile P m := ( + a k ), S m := a k i a n = x, consider m k= urm toarea func ie Liouville asociat inegalit ii (9): L :[0, ) R, L(x) =P n ( + x) (S n + x). Avem L (x) =P n 0, deci func ia L este cresc toare, adic pentru orice x 0, avem L(x) L(0) = P n S n (cu ipoteza de induc ie). În particular i L(a n ), deci are loc inegalitatea (9). m m b) Cu nota iile, R m := ( a k ), S m := a k i a n = x, consider m acum k= urm toarea func ie Liouville asociat inegalit ii (0): L :[0, ] R, L(x) =R n ( x)+(s n + x), pentru care avem L (x) = R n + 0. Rezult c func ia L este cresc toare, deci pentru orice x 0, avem L(x) L(0) = R n + S n (cu ipoteza de induc ie). În particular avem i L(a n ), deci are loc inegalitatea (0). 5. O demonstra ie pentru inegalitatea lui Hua. Foarte interesanta inegalitate a lui Lo Keng Hua, descoperit în 959 ( i cu multiple aplica ii în teoria numerelor), a suscitat ulterior interesul matematicienilor, cunoscând mai multe demonstra ii i extinderi (v. [7], [], []). În cele ce urmeaz vom oferi o demonstra ie prin metoda lui Liouville. Propozi ia 4 (inegalitatea lui L. K. Hua). Dac α, β >0 i a,a,...,a n R, atunci: ( ) n n α a i + β a i α α + n β, () i= cu egalitate dac i numai dac a = a =...= a n = β/(α + n). p Demonstra ie. Luând a n = x i notând S p := a k, T p := p a k, consider m func ia Liouville asociat inegalit ii (): L : R R, definit prin: i= k= k= k= k= L(x) =α(t n + x )+(β S n x) = =(α +)x (β S n )x + αt n +(β S n ). Pentru cazul n =,avem L(x) =α x +(β x), care are într-adev r minimul α egal cu α + β i se realizeaza pentru x = a = β α +. Derivând în (), ob inem: L (x) = [(α +)x (β S n )]. Ecua ia L (x) =0are solu ia x = β S n, care este i abscisa punctului de minim al α + func iei L. Pentru aceast valoare, avem dup calcule simple: L(x )= α α + [(α +)T n +(β S n ) ]. (3) k= ()

22 Aplicând ipoteza de induc ie, αt n +(β S n ) α α + n β, cu egalitate dac i numai dac a = a =... = a n =, dar înlocuind α cu β α + n α + în (3), ob inem L min = L(x ) α α + α + (α +)+(n ) β = α α + n β,cu egalitate atunci i numaiatuncicânda = a =... = a n = = β α + n. β (α +)+(n ) = În aceste condi ii de egalitate, minimul este atins atunci i numai atunci când avem: β α + n a n = x = β S β (n ) n = = β α + α + α + n, ceea ce încheie definitiv demonstra ia prin induc ie. Într-o maniera similar, se poate demonstra urm toarea generalizare a inegalit ii lui Hua, dat de c tre Wang în 99 (vezi [3]). Propozi ia 5 (inegalitatea lui Hua-Wang). a) Dac α, β > 0 i a,a,...,a n R, p>, atunci: n α p a i p + β p ( ) p α a i β p ; (4) α + n i= i= b) dac α, β > 0, 0 <p<, a,a,...,a n 0, cu n a i β, atunci sensul în inegalitatea (4) este inversat. În ambele cazuri, egalitatea în rela ia (4) are loc dac i numai dac a = a =...= a n = β α + n. Cititorul interesat este invitat s încerce metoda lui Liouville i pentru demonstrarea altor inegalit i. Bibliografie [] L. Aram, T. Morozan, Probleme de calcul diferen ial i integral, Editura Tehnic, Bucure ti (964, 967, 978). [] E.F. Beckenbach & R. Bellman, Inequalities, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New- York, 96. [3] P.S. Bullen, D.S. Mitrinovi & P.M. Vasi, Means and Their Inequalities, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht/Boston, 988. [4] P.S. Bullen, Handbook of Means and Their Inequalities, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 003. [5] A.-L. Cauchy, Cours d'analyse de I'Ecole Royale Polytechnique, première partie, Analyse algébrique, Paris, 8. (The proof of the inequality of arithmetic and geometric means can be found on pages 457ff). Online: [6] G.H. Hardy, J.E. Littlewood & G. Pólya, Inequalities, -nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, England, 988. i=

23 [7] L.K. Hua, Additive Primzahlentheorie, Satz 4, Teubner, Leipzig, (959). English translation Additive Theory of Prime Numbers, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, (965). [8] J. Liouville, Sur la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de plusieurs quantités positives, Journal de mathématiques pures et appliquées: ou recueil mensuel de me moires sur les diverses parties des mathématiques / publié par Joseph Liouville, t.4, (839), pp , visite online, [9] D. M rghidanu, O demonstra ie inductiv-analitic a inegalit ii mediilor, R.M.C., nr. 7, an VII, 006. [0] D. P. Minassian, The arithmetic-geometric mean inequality revisited: elementary calculus and non-negative numbers, Amer. Math. Monthly, 94, (987), pp [] D. S. Mitrinovi (in cooperation with P. M. Vasi ), Analytic Inequalities, Band 65, Springer-Verlag, Berlin, 970. [] H. Takagi, T. Miura, T. Kanzo, S.-E. Takahasi, A reconsideration of Hua's inequality, Journal of inequalities and applications, Hindawi Publ. Co., no., (005), pp.5-3. [3] C.L. Wang, Lo Keng Hua inequality and dynamic programming, J. Math. Anal. Appl., 66, no. (99), pp Colegiul Na ional A. I. Cuza din Corabia d.marghidan@gmail.com Generaliz ri ale no iunii de punct de optim: Puncte eficiente; puncte slab eficiente i puncte ideale de Eugenia Duca i Dorel I. Duca Abstract The author presents a long list of results concerning some generalizations of the notion of optim point (Pareto point, Slater point etc.). Key words: optim point, Pareto point, Slater point. M.S.C.: 58E7. Introducere Dac dintr-o colectivitate de oameni putem spune imediat care este cel mai înalt, cel mai vârstnic etc., nu putem spune tot la fel de,,convin i, de exemplu, care este cel mai bun. De ce? Pentru c, în timp ce în l imea, ori vârsta sunt caracterizate de un num r real, bun tatea nu este caracterizat de un singur num r real; fiecare dintre noi suntem buni în felul nostru, aceast bun tate ne caracterizeaz, dar nu este caracterizat de un singur num r real. Într-o situa ie asem n toare (din punct de vedere matematic) suntem pu i atunci când dorim s r spundem la întrebarea: Num rul complex i(i C, i = ) este pozitiv sau negativ? S ne amintim c un num r complex este caracterizat de dou numere reale (partea real i partea imaginar ) i nu de un singur num r real. S analiz m acum urm torul exemplu: Exemplul. Fie α un plan i d i d dou drepte con inute în planul α. S se determine,,cele mai apropiate puncte P α, simultan fa de dreptele d i d. 3

24 În acest context, problema determin rii,,celor mai apropiate puncte P α, simultan fa de dreptele d i d, poate fi abordat în cel pu in urm toarele trei moduri (interpret ri): ) S se determine punctele P α cu proprietatea c : (d (P, d ),d(p, d )) (d (Q, d ),d(q, d )), Q α. ) S se determine punctele P α cu proprietatea c nu exist puncte Q α astfel încât: d (Q, d ) <d(p, d ), d(q, d ) <d(p, d ). 3) S se determine punctele P α cu proprietatea c nu exist puncte Q α astfel încât: { { d (Q, d ) <d(p, d ) d (Q, d ) d (P, d ) sau d (Q, d ) d (P, d ) d (Q, d ) <d(p, d ). (d (P, d ) noteaz distan a de la punctul P la dreapta d etc.). Aceste trei moduri de abordare se pot face pentru c noi dorim punctele,,cele mai apropiate simultan fa de dou drepte; prin urmare,,func ia pe care dorim s o optimiz m (în acest caz s o minimiz m) are valori în R (nu înr): distan a lui P fa de d i fa de d. În lucrarea de fa, dorim s l murim aceste chestiuni, s facem leg tura între sintagmele,,cele mai apropiate,,,cei mai buni etc. i no iunea de punct de optim (extrem) al unei func ii reale convenabil construite. Într-o lucrare ulterioar vom caracteriza punctele,,cele mai... - numite puncte eficiente, puncte slab eficiente, puncte ideale etc. cu ajutorul derivatelor func iilor care apar în formularea problemei.. Câteva nota ii i defini ii Pe mul imea numerelor reale R, rela ia de ordine,, este total (complet ), adic oricare ar fi numerele reale x i y avem x y sau y x. Aceast proprietate a numerelor reale (cunoscut sub numele de trichotomie) este esen ial pentru definirea no iunii de punct de optim (extrem) al unei func ii reale. Într-adev r, dac D este o mul ime nevid, f : D R este o func ie real i S este o submul ime nevid a lui D, atunci x 0 S se nume te punct de minim al func iei f relativ la S, dac : f (x 0 ) f (x), x S. () Rela ia () cere ca f(x 0 ) s se poat compara cu f(x) pentru fiecare x din S. Rela ia de ordine,,pe componente care se introduce pe R p cu p N, p, nu este o rela ie de ordine total. Prin urmare, afirma ia () nu poate fi folosit pentru a defini un,,punct de minim al func iei vectoriale f =(f,..., f p ):D R p cu p N cu p. Scriem afirma ia () în forma echivalent : nu exist x S cu proprietatea c f (x) <f(x 0 ). () 4

25 Afirma ia () ne permite introducerea a cel pu in dou no iuni distincte de,,punct de minim ale unei func ii vectoriale i aceasta deoarece rela ia de ordine strict,,< din R se poate generaliza la R p în cel pu in dou moduri distincte (generalizarea este în eleas în sensul c dac p =, atunci rela ia nou revine la rela ia,,< din R). Fie u =(u,...,u p ) i v =(v,...,v p ) dou puncte din spa iul R p. Atunci vom scrie c : u v dac i numai dac pentru fiecare j {,...,p} avem u j v j ; u<vdac i numai dac pentru fiecare j {,...,p} avem u j <v j ; u v dac i numai dac u v i u v. Evident u v dac i numai dac pentru fiecare j {,...,p} avem u j v j i exist cel pu in un indice k {,...,p} cu proprietatea c u k <v k. 3. Generaliz ri ale no iunii de punct de optim Reamintim no iunile de punct de optim (extrem) de care avem nevoie în cele ce urmeaz. Defini ia. Fie D o submul ime nevid, f : D R o func ie, S o submul ime nevid a lui D i x 0 S. Spunem c x 0 este: a) punct de minim al func iei f relativ la S, dac pentru orice x S avem f(x 0 ) f(x); b) punct de maxim al func iei f relativ la S, dac pentru orice x S avem f(x) f(x 0 ); c) punct de optim (extrem) al func iei f relativ la S, dac x 0 este punct de minim sau punct de maxim al func iei f relativ la S. Evident, defini ia poate fi reformulat astfel: Defini ia 3. Fie D o submul ime nevid, f : D R o func ie, S o submul ime nevid a lui D i x 0 S. Spunem c x 0 este: a) punct de minim al func iei f relativ la S, dac nu exist x S astfel încât f(x) <f(x 0 ); b) punct de maxim al func iei f relativ la S, dac nuexist x S astfel încât f(x 0 ) <f(x); c) punct de optim al func iei f relativ la S, dac x 0 este punct de minim sau punct de maxim al func iei f relativ la S. inând seama de cele precizate mai sus, putem da urm toarea defini ie: Defini ia 4. Fie D o submul ime nevid, f : D R p o func ie vectorial, S o submul ime nevid a lui D i x 0 S. Spunem c x 0 este: a) punct eficient (sau punct Pareto, sau punct nedominat) de minim al func iei f relativ la S, dac nu exist x S astfel încât f(x) f(x 0 ); b) punct slab eficient (sau punct Slater, sau punct nedominat strict) de minim al func iei f relativ la S, dac nu exist x S astfel încât f(x) <f(x 0 ); c) punct ideal de minim al func iei f relativ la S, dac pentru orice x S are loc inegalitatea f (x 0 ) f(x); d) punct eficient (sau punct Pareto, sau punct nedominat) de maxim al func- iei f relativ la S, dac nuexist x S astfel încât f(x 0 ) f(x); e) punct slab eficient (sau punct Slater, sau punct nedominat strict) de maxim al func iei f relativ la S, dac nu exist x S astfel încât f(x 0 ) <f(x); 5

26 f) punct ideal de maxim al func iei f relativ la S, dac pentru orice x S are locinegalitatea f(x) f (x 0 ); g) punct eficient (sau punct Pareto, sau punct nedominat) al func iei f relativ la S, dac este punct eficient de minim sau punct eficient de maxim al func iei f relativ la S; h) punct slab eficient (sau punct Slater sau nedominat strict) al func iei f relativ la S, dac este punct slab eficient de minim sau punct slab eficient de maxim al func iei f relativ la S; i) punct ideal al func iei f relativ la S, dac este punct ideal de minim sau punct ideal de maxim al func iei f relativ la S. Exemplul 5. Fie α un plan, d i d dou drepte distincte con inute în planul α i f : a R func ia definit prin: f (P )=(d (P, d ),d(p, d )), oricare arfip α. (d (P, d ), respectiv d (P, d ), noteaz distan a de la punctul P la dreapta d, respectiv la dreapta d ). ) Dac dreptele d i d sunt concurente, atunci unicul punct eficient de minim al func iei f relativ la α este punctul de intersec ie al dreptelor d i d. ) Dac dreptele d i d sunt paralele, atunci un punct P α este eficient de minim al func iei f relativ la α dac inumaidac P seafl înbanda determinat de cele dou drepte. 3) Dac dreptele d i d sunt concurente, atunci un punct P α este slab eficient de minim al func iei f relativ la α dac i numai dac P d d. 4) Dac dreptele d i d sunt paralele, atunci mul imea punctelor slab eficiente de minim ale func iei f relative la α este egal cu mul imea punctelor eficiente de minim ale func iei f relative la α. 5) Dac dreptele d i d sunt concurente, atunci unicul punct ideal de minim al func iei f relativ la α este punctul de intersec ie al dreptelor d i d. 6) Dac dreptele d i d sunt paralele, atunci func ia f nu are puncte ideale de minim relative la α. Teorema 6. Fie D o submul ime nevid, S o submul ime nevid a lui D i f : D R p o func ie vectorial. Dac x 0 S este punct eficient de minim (respectiv de maxim) al func iei f relativ la S, atunci x 0 este punct slab eficient de minim (respectiv de maxim) al func iei f relativ la S. Demonstra ie. Demonstra ia este imediat. Observa ia 7. Reciproca teoremei nu este adev rat a a cum ne arat urm torul exemplu: Exemplul 8. Fie f : R R func ia definit prin: f (x) = ( x, 0 ), x R, i S =[, ]. Atunci x =0este unicul punct eficient de minim al func iei f relativ la S, în timp ce orice x S este punct slab eficient de minim al func iei f relativ la S. Teorema 9. Fie D o submul ime nevid, S o submul ime nevid a lui D i f : D R p o func ie vectorial. Dac func ia f are cel pu in un punct ideal de minim (respectiv de maxim) relativ la S, atunci mul imea punctelor eficiente 6

27 de minim (respectiv de maxim) ale func iei f relative la S coincide cu mul imea punctelor ideale de minim (respectiv de maxim) ale func iei f relative la S. Demonstra ie. Vom demonstra teorema numai pentru minim, cazul maxim fiind analog. Evident orice punct ideal de minim al func iei f relativ la S este punct eficient de minim al func iei f relativ la S. Reciproc, s ar t m c orice punct eficient de minim al func iei f relativ la S este punct ideal de minim al func iei f relativ la S. Fie x 0 S un punct ideal de minim al func iei f relativ la S (un astfel de punct exist prin ipotez ). Presupunem, prin absurd, c exist un punct u care este punct ideal de minim al func iei f relativ la S i care nu este punct eficient de minim al func iei f relativ la S. Din faptul c u este punct ideal de minim al func iei f relativ la S, avem: f (u) f (x 0 ), iar din faptul c u nu este punct eficient de minim al func iei f relativ la S deducem c exist cel pu in un punct u S cu proprietatea c : f (u ) f (u). Din ultimele dou inegalit i rezult inegalitatea: f (u ) f (x 0 ), care ne spune c x 0 nu este punct ideal de minim al func iei f relativ la S; contradic ie. Teorema este demonstrat. Observa ia 0. Dac func ia f : D R p nu posed puncte ideale de minim (respectiv de maxim) relative lamul imea S D, nu rezult numaidecât c ea nu posed puncte eficiente de minim (respectiv de maxim) relative las. Exist func ii f : D R p care nu posed puncte ideale de minim relative lamul imea S D, dar posed puncte eficiente de minim relative las (vezi exemplul 5, afirma iile ) i 6)) Defini ia urm toare precizeaz no iunea de eficien local : Defini ia. Fie D o submul ime nevid a mul imii R n, f : D R p o func ie vectorial, S o submul ime nevid a lui D i x 0 S. Spunem c x 0 este: a) punct eficient (sau punct Pareto, sau punct nedominat) de minim local al func iei f relativ la S, dac exist ovecin tate V a punctului x 0 astfel încât x 0 s fie punct eficient de minim al func iei f relativ la S V ; b) punct slab eficient (sau punct Slater, sau punct nedominat strict) de minim local al func iei f relativ la S, dac exist o vecin tate V a punctului x 0 astfel încât x 0 s fie punct slab eficient de minim al func iei f relativ la S V ; c) punct ideal de minim local al func iei f relativ la S, dac exist o vecin tate V a punctului x 0 astfel încât x 0 s fie punct ideal de minim al func iei f relativ la S V ; d) punct eficient (sau punct Pareto, sau punct nedominat) de maxim local al func iei f relativ la S, dac exist ovecin tate V a punctului x 0 astfel încât x 0 s fie punct eficient de maxim al func iei f relativ la S V ; e) punct slab eficient (sau punct Slater, sau punct nedominat strict) de maxim local al func iei f relativ la S, dac exist o vecin tate V a punctului x 0 astfel încât x 0 s fie punct slab eficient de maxim al func iei f relativ la S V ; 7

28 f) punct ideal de maxim local al func iei f relativ la S, dac exist o vecin tate V a punctului x 0 astfel încât x 0 s fie punct ideal de maxim al func iei f relativ la S V ; g) punct eficient (sau punct Pareto, sau punct nedominat) local al func iei f relativ la S, dac x 0 este punct eficient de minim local sau punct eficient de maxim local al func iei f relativ la S; h) punct slab eficient (sau punct Slater sau punct nedominat strict) local al func iei f relativ la S, dac x 0 este punct slab eficient de minim local sau punct slab eficient de maxim local al func iei f relativ la S; i) punct ideal local al func iei f relativ la S, dac x 0 este punct ideal de minim local sau punct ideal de maxim local al func iei f relativ la S. Exemplul. Fie f =(f,f ):R R func ia vectorial definit prin: f (x) =(sinx, cos x), x R, i S =[0, π]. Atunci: a) punctele x = π i x =3π/ sunt puncte eficiente de minim i puncte slab eficiente de minim ale func iei f relative la S; b) punctele x =0,x= π/ i x =π sunt puncte eficiente de maxim i puncte slab eficiente de maxim ale func iei f relative la S; c) orice x [0,π/[ este punct eficient de minim local i punct slab eficient de minim local al func iei f relativ la S; d) orice x [0,π/] este punct eficient de maxim i punct slab eficient de maxim al func iei f relativ la S; e) orice x [π, 3π/] este punct eficient de minim i punct slab eficient de minim al func iei f relativ la S; f) orice x [π, 3π/] este punct eficient de maxim local i punct slab eficient de maxim local al func iei f relativ la S; g) punctul x =π este punct ideal de maxim local al func iei f relativ la S; h) func ia f nu posed puncte ideale de minim relative la S. 4. Condi ii suficiente pentru punctele eficiente, punctele slab eficiente i punctele ideale Fiind dat o mul ime nevid D, o func ie f : D R p i o submul ime nevid S a mul imii D, determinarea punctelor eficiente (respectiv slab eficiente, ideale) de maxim ale func iei f relative la S revine la determinarea punctelor eficiente (respectiv slab eficiente, ideale) de minim ale func iei g = f relative las, deoarece x 0 S este punct eficient (respectiv slab eficient, ideal) de maxim al func iei f relativ la S dac i numai dac x 0 este eficient (respectiv slab eficient, ideal) de minim al func iei g = f relativ la S. De aceea este suficient s neocup mnumai de determinarea punctelor eficiente (respectiv slab eficiente, ideale) de minim ale unei func ii. Teorema 3. Fie D o mul ime nevid, S o submul ime nevid a lui D i f : D R p o func ie. Fie F : f(d) R o func ie cu proprietatea c oricare ar fi u, v f(d) cu u v avem F (u) F (v). Dac func ia F f : D R are un singur punct de minim x 0 S relativ la S, atunci x 0 este punct eficient de minim al func iei f relativ la S. 8

29 Demonstra ie. Folosim metoda reducerii la absurd. Presupunem c punctul de minim x 0 al func iei F f relativ la S nu este punct eficient de minim al func iei f relativ la S. Atunci exist un punct x S cu proprietatea c f (x ) f (x 0 ). De aici deducem c x x 0 i F (f (x )) F (f (x 0 )). A adar exist un punct x x 0 astfel încât (F f)(x ) (F f)(x 0 ), ceea ce contrazice unicitatea punctului de minim al func iei F f relativ la S. Teorema 4. Fie D o mul ime nevid, S o submul ime nevid a lui D i f : D R p o func ie. Fie F : f (D) R o func ie cu proprietatea c oricare ar fi u, v f (D) cu u v avem F (u) F (v). Dac func ia F f : D R are un singur punct de minim x 0 S relativ la S, atunci x 0 este punct slab eficient de minim al func iei f relativ la S. Demonstra ie. Se aplic teoremele 3 i 6. Teorema 5. Fie D o mul ime nevid, S o submul ime nevid a lui D, f =(f,..., f p ):D R p o func ie vectorial i a =(a,..., a p ) R p cu a 0. Dac func ia ϕ = a f a p f p : D R are un singur punct de minim x 0 S relativ la S, atunci x 0 este punct eficient de minim al func iei f relativ la S. Demonstra ie. Se aplic teorema 3 alegând F : R p R func ia definit prin: F (u) =a u a p u p, oricare ar fi u =(u,..., u p ) R p. Teorema 6. Fie D o mul ime nevid, S o submul ime nevid a lui D, f =(f,..., f p ):D R p o func ie vectorial i a =(a,..., a p ) R p cu a 0. Dac func ia ϕ = a f a p f p : D R are un singur punct de minim x 0 S relativ la S, atunci x 0 este punct slab eficient de minim al func iei f relativ la S. Demonstra ie. Se aplic teoremele 5 i 6. Teorema 7. Fie D o mul ime nevid, S o submul ime nevid a lui D, f =(f,..., f p ):D R p o func ie vectorial i k {,..., p}. Dac func ia f k : D R are un singur punct de minim x 0 S relativ la S, atunci x 0 este punct eficient de minim al func iei f relativ la S. Demonstra ie. Se aplic teorema 5, cu a =(a,...,a p ) R p ales astfel: a j = {, dac j = k 0, dac j {,..., p}\{j}. Teorema 8. Fie D o mul ime nevid, S o submul ime nevid a lui D, f =(f,..., f p ):D R p o func ie vectorial i k {,..., p}. Dac func ia f k : D R are un singur punct de minim x 0 S relativ la S, atunci x 0 este punct slab eficient de minim al func iei f relativ la S. Demonstra ie. Se aplic teoremele 7 i 6. Observa ia 9. Unicitatea punctului de minim în teoremele 3-8 este esen ial în sensul c dac punctul de minim x 0 nu este unic, atunci s-ar putea ca x 0 s nu fie punct eficient sau/ i slab eficient de minim al func iei f relativ la S a a cum ne arat urm torul exemplu: Exemplul 0. Fie f : R R func ia definit prin: f (x) = ( x 4 x,x ), x R. 9

30 Punctul x =este punct de minim al func iei f : R R definite prin f (x) =x 4 x, oricare arfix R, dar nu este punct eficient de minim al func iei f relativ la R deoarece: f ( ) = (, ) (, ) = f (). Evident func ia f are dou puncte de minim (x = i x =)relativ la R. Exemplul. La o aplica ie militar, care se desf oar înlocalit ile L i L particip 0 tancuri: 4tancuri în localitatea L i 6 tancuri în localitatea L. Cele 0 tancuri se afl în trei unit i militare UM,UM,UM 3. Unitatea UM particip la aplica ie cu 5 tancuri, unitatea UM particip la aplica ie cu 3 tancuri i unitatea UM 3 particip la aplica ie cu tancuri. Distan ele d ij (i {,, 3}, j {, }) de la unit ile militare UM,UM,UM 3 la localit ile L,L unde se desf oar aplica ia sunt date în tabelul de mai jos: Num rul de tancuri Localitatea L L disponibile UM UM UM Num rul de tancuri necesare 4 6 Punem problema determin rii num rului de tancuri cu care particip unitatea militar UM j (j {,, 3}) în localitatea L i (i {, }) astfel încât urm toarele condi ii s fie satisf cute: a) costul total al deplas rii tancurilor de la unit ile militare UM,UM,UM 3 la localit ile L,L unde se desf oar aplica ia, s fie minim (costul deplas rii este a lei pe or ); b) intervalul de timp, de la darea comenzii de plecare a tancurilor de la unit ile militare pân în momentul sosirii tuturor tancurilor în localit ile de destina ie s fie minim (toate tancurile se deplaseaz cu aceea i vitez i anume b km pe or ). Fie x ij N num rul de tancuri cu care particip unitatea militar UM j (j {,, 3}) în localitatea L i (i {, }) i: X = x x x x. x 3 x 3 Condi iile problemei conduc la rela iile: x + x =5 x + x =3 x 3 + x 3 = x + x + x 3 =4 x + x + x 3 =4 x ij N, (i, j) {,, 3} {, }. (3) 30

31 Fie S mul imea matricelor X M 3 (R) a c ror elemente satisfac rela iile (3). Atunci costul total al deplas rii tancurilor este: f (X) =ad x + ad x + ad x + ad x + ad 3 x 3 + ad 3 x 3 = = a (0x +0x +40x +60x +0x 3 +40x 3 ), oricare ar fi X =(x ij ) S. Intervalul de timp de la darea comenzii de plecare a tancurilor de la unitatea militar pân în momentul sosirii tuturor tancurilor în localit ile de destina ie este: { } dij f (X) =max : (i, j) K, X =(x ij ) S, b unde: K = {(i, j) {,, 3} {, } : x ij > 0}. În concluzie, problema pus revine la determinarea punctelor eficiente de minim ale func iei f =(f,f ):M 3 (R) R relative lamul imea S. Func ia f are un singur punct de minim relativ la S i anume: X = 0 5, 0 cu: cu: ( f X ) = 60a. Func ia f are dou puncte de minim relative las i anume: X = i X = 4 3 0, 0 Avem: f ( X ) = f (X ) =40b. f ( X ) = ( 60a, 60b ),f ( X ) = ( 70a, 40b ),f ( X ) = ( 90a, 40b ). Evident X nu este punct eficient de minim al func iei f relativ la S. În baza teoremelor 7 i 8, punctul X este punct eficient de minim i punct slab eficient de minim al func iei f relativ la S. De asemenea, u or se poate constata c punctul X este punct eficient de minim i punct slab eficient de minim al func iei f relativ la S. În teoremele urm toare se renun la ipoteza unicit ii punctului de minim. Teorema. Fie D o mul ime nevid, S o submul ime nevid a lui D i f : D R p o func ie. Fie F : f(d) R o func ie cu proprietatea c oricare ar fi u, v f(d) cu u v avem F (u) <F(v). 3

32 Dac x 0 S este punct de minim al func iei F f : D R relativ la S, atunci x 0 este punct eficient de minim al func iei f relativ la S. Demonstra ie. Folosim metoda reducerii la absurd. Presupunem c punctul de minim x 0 al func iei F f relativ la S nu este punct eficient de minim al func iei f relativ la S. Atunci exist un punct x S cu proprietatea c f (x ) f (x 0 ). De aici deducem c F (f (x )) <F(f (x 0 )). A adar exist un punct x = x astfel încât (F f)(x ) < (F f)(x 0 ) ceea ce contrazice ipoteza c x 0 este punct de minim al func iei F f relativ la S. Teorema este demonstrat. Teorema 3. Fie D o mul ime nevid, S o submul ime nevid a lui D i f : D R p o func ie. Fie F : f(d) R o func ie cu proprietatea c oricare ar fi u, v f(d) cu u v avem F (u) <F(v). Dac x 0 S este punct de minim al func iei F f : D R relativ la S, atunci x 0 este punct slab eficient de minim al func iei f relativ la S. Demonstra ie. Se aplic teoremele i 5. O consecin important a teoremei este urm toarea afirma ie: Teorema 4. Fie D o mul ime nevid, S o submul ime nevid a lui D, f =(f,..., f p ):D R p o func ie vectorial i a =(a,..., a p ) R p cu a>0. Dac x 0 S este punct de minim al func iei ϕ = a f a p f p : D R relativ la S, atunci x 0 este punct eficient de minim al func iei f relativ la S. Demonstra ie. Se aplic teorema alegând F : R p R func ia definit prin: F (u) =a u a p u p, u =(u,...,u p ) R p. Teorema 5. Fie D o mul ime nevid, S o submul ime nevid a lui D, f =(f,..., f p ):D R p o func ie vectorial i a =(a,..., a p ) R p cu a>0. Dac x 0 S este punct de minim al func iei ϕ = a f a p f p : D R relativ la S, atunci x 0 este punct slab eficient de minim al func iei f relativ la S. Demonstra ie. Se aplic teoremele 4 i 6. Exemplul 6. Fie f : R R func ia definit prin: Fie ϕ : R R func ia definit prin: f (x) = ( x 4 x,x ), x R. ϕ (x) =x 4 x +4x, x R. Deoarece x = este punct de minim al func iei ϕ relativ la R deducem, în baza teoremelor 4 i 5, c x = este punct eficient i punct slab eficient de minim al func iei f relativ la R. Teorema 7. Fie D o mul ime nevid, S o submul ime nevid a mul imii D i f =(f,..., f p ):D R p o func ie vectorial cu proprietatea c f (x) > 0, oricare ar fi x S. Dac r,..., r p sunt p numere reale strict pozitive i x 0 S este punct de minim al func iei: ψ =(f ) r... (f p ) rp : D R, relativ la S, atunci x 0 este punct eficient de minim al func iei f relativ la S. Demonstra ie. Se aplic teorema cu F :(0, + ) R definit prin: F (u) =(u ) r... (u p ) rp, oricare ar fi u =(u,..., u p ) > 0. 3

33 Dac not m cu E(f; S) mul imea punctelor eficiente de minim ale func iei f : D R relative las D i, pentru fiecare a =(a,..., a p ) R p cu M (f; a, S) mul imea punctelor de minim ale func iei ϕ = a f a p f p : D R relative la S, atunci în baza teoremei 4, avem: {M (f; a, S) : a R p, a > 0} E (f; S). (4) Incluziunea (4) poate fi strict, a a cum ne arat urm torul exemplu: Exemplul 8. Fie f : R R func ia definit prin: U or se poate constata c : i: f (x) = ( x, x ), x R. E (f; R) =[0, + ) M (f; a, R) ={a / (a )}, a =(a,a ) > 0. Se observ c 0 E(f; R) i 0 / {M(f; a, S) :a R,a>0}, prin urmare incluziunea (4) este strict. Relativ la punctele ideale putem da urm toarea teorem : Teorema 9. Fie D o mul ime nevid, S o submul ime nevid a lui D, f =(f,..., f p ):D R p o func ie vectorial. Dac x 0 S este punct de minim al func iei ϕ = a f a p f p : D R relativ la S, oricare ar fi a =(a,,a p ) 0, atunci x 0 este punct ideal de minim al func iei f relativ la S. Demonstra ie. Fie k {,..., p} i a =(a,,a p ) dat de: {, dac j = k a j = 0, dac j {,..., p}\{j}. Întrucât x 0 este punct de minim al func iei ϕ = f k, deducem c f k (x 0 ) f k (x), oricare ar fi x S. Cum k {,..., p} a fost ales arbitrar, ob inem c : f(x 0 ) f(x), x S. A adar x 0 este punct ideal de minim al fuc iei f relativ la S. Reciproca teorema 9 este, de asemenea, adev rat ; are loc afirma ia: Teorema 30. Fie D o mul ime nevid, S o submul ime nevid a lui D, f =(f,..., f p ):D R p o func ie vectorial. Dac x 0 S este punct ideal de minim al func iei f relativ la S, atunci x 0 este punct de minim al func iei ϕ = a f a p f p : D R relativ la S, oricare ar fi a =(a,,a p ) 0. Demonstra ie. Din faptul c x 0 este punct ideal de minim al func iei f relativ la S, deducem c : f k (x 0 ) f k (x), x S, k {,..., p}. De aici urmeaz c, pentru orice a =(a,,a p ) 0, avem: ϕ (x 0 )=a f (x 0 ) a p f p (x 0 ) a f (x) a p f p (x) =ϕ (x), 33

34 oricare ar fi x S, ceea ce ne arat c x 0 este punct de minim al func iei ϕ relativ la S, oricare ar fi a =(a,,a p ) 0. Teorema este demonstrat. Într-o lucrare ulterioar vom da condi ii necesare i suficiente pentru punctele eficiente, slab eficiente i ideale ale func iilor derivabile. Bibliografie [] D. Andrica, D. I. Duca, I. Purdea, I. Pop, Matematica de baz, Editura Studium, Cluj-Napoca, 004. [] D. I. Duca, E. Duca, Culegere de probleme de analiz matematic, Editura GIL, Zal u, vol. (996), vol (997). [3] D. I. Duca, E. Duca, Generaliz ri ale no iunii de punct de optim, Didactica matematicii, 4 (998), pp [4] D. I. Duca, E. Duca, Condi ii necesare i condi ii suficiente pentru punctele eficiente i slab eficiente ale func iilor derivabile, Didactica matematicii, 5 (999), pp Universitatea Tehnic, Universitatea Babe -Bolyai, Catedra de Matematic, Facultatea de Matematic i Informatic, Cluj-Napoca, Cluj-Napoca, educa@math.utcluj.ro dorelduca@yahoo.com Câteva probleme cu iruri f r epsilon ) de Cristinel Mortici Abstract This note presents 0 problems (some of them proposed at mathematical contests) concerning various aspects of sequences (periodicity, recursion relations, computation of certain terms, monotony). Key words: sequences, periodicity, recursion relation, monotony. M.S.C.: Se consider irul (a n ) n cu termenul general a n =[(+ 3) n ]. S se determine o rela ie de recuren pentru irul (a n ) n. Cu formula binomului lui Newton, rezult : ( + 3) n +( 3) n = Cn k n k 3 k N. k n De aici observ m c, adunând ( + 3) n cu num rul subunitar, pozitiv ( 3) n, se ob ine un num r natural, deci rezult c : a n =(+ 3) n +( 3) n. Numerele x =+ 3 i x = 3 sunt r d cinile ecua iei de gradul al doilea x 4x +=0. irul (s n ) n cu termenul general s n = x n + x n satisface: s n+ 4s n+ + s n =0. ) Lucrare prezentat de autor în cadrul celei de a XXXIII-a Sesiuni de comunic ri metodico- tiin ifice desf urat la Sinaia în octombrie 006. (N.R.) 34

35 Într-adev r: s n+ 4s n+ + s n =(x n+ + x n+ ) 4(x n+ + x n+ )+(x n + xn )= =(x n+ 4x n+ + x n )+(x n+ 4x n+ + x n )= = x n (x 4x +)+x n (x 4x +)=0, deoarece expresiile din paranteze sunt nule. Cum a n = s n, ob inem: (a n+ ) 4(a n+ ) + (a n ) = 0 a n+ =4a n+ a n.. Se consider irul de numere reale (a n ) n cu termenul general dat prin a n = S se determine o rela ie de recuren pentru irul (a n ) n, C n C n C n n apoi s se demonstreze c irul (a n ) n este descresc tor. Cu formula combin rilor, avem: a n = n k= k!(n k)! n! n =+ k=0 k!(n k)! n! n =+ k=0 (n k)!(k +)!, n! unde ultima sum este ob inut din suma precedent în care am înlocuit k cu n k. Rezult prin adunare i dând factor comun: deci: De aici: n ( k!(n k)! a n =+ + n! k=0 k=0 ) (n k)!(k +)! = n! n k!(n k)!(n k + k +) =+ n! =+ n + n n k=0 k!(n k)! (n )! a n =+ a n a n = n n a n n n = =+ n + n n ( + ) a n. n ( C 0 n + C n C k k=0 n + C n n, ) + Cn n =0. 3. Se consider irul lui Fibonacci, (f n ) n definit prin rela ia de recuren f n+ = f n+ + f n, cu f = f =. S se determine o rela ie de recuren pentru irul (a n ) n cu termenul general a n = f n. Avem: a n = f n =(f n + f n ) = f n + f n +f n f n = 35

36 = a n + a n + (f n + f n ) (f n f n ) = deci: = a n + a n + f n f n 3 = a n + a n + a n a n 3, a n =a n +a n a n Fie a, b numere reale. Se consider irurile de numere reale (x n ) n i (y n ) n date de rela iile de recuren x n+ = y n,y n+ = y n x n x n,x = a, y = b. S se demonstreze c irurile (x n ) n i (y n ) n sunt periodice. Avem: y n+ x n+3 = y n+ x = n+ y n+ x n+ x y n+ = n+ y n+ x n+ = x n+ de unde: deci: = Apoi: y n x n y n x n y n x n y n = y n x n + y n x n y n+5 = x n+3 x n+3 = y n+ = y n+ x n+ = x n+5 = y n+ y n+ = y n y n x n = y n y n y n y n = y n. y n x n y n = x n x n, x n x n x n x n x n = x n. y n y n, 5. Se consider irul de numere reale (a n ) n cu termenul general dat prin a n =( ) [ n]. S se demonstreze c irul (a n ) n nu este periodic. Presupunem, prin absurd, c irul (a n ) n este T -periodic. Atunci, pentru orice n : ( ) [ n] =( ) [ n+t ] i în particular pentru n = T + T +, rezult : ( ) [ T +T +] =( ) [ T +T +] ( ) T =( ) T +, contradic ie. 6. Fie k un num r natural. Se consider irul de numere naturale (a n ) n cu termenul general a n =(+k + k k n ) k n. S se demonstreze c nici un termen al irului (a n ) n nu este num r prim. (Germania 000) 36

37 Avem: ( k n+ ) a n = k n = k = [ (k (k ) n+ ) k n (k ) ] = (k ) [k n+ k n+ + k n (k k +) ] = = kn+ k n+ k n + (k ) = kn+ kn k k, deci a n =(+k + k k n+ )( + k + k k n ). 7. Exist iruri (a n ) n de numere naturale strict pozitive astfel încât a + a a n s fie p trat perfect, oricare ar fi num rul natural n? (Spania 999) R spunsul este afirmativ i vom construi inductiv un astfel de ir. Întâi definim a =3,a =4 i presupunem c sunt defini i a,a,..., a n astfel încât numerele a,a + a,..., a + a a n sunt p trate perfecte. Dac not m k = a + a a n, atunci c ut m a n+ astfel încât: De aici: a + a a n + a n+ = p k + a n+ = p. k = p a n+ k =(p a n+ )(p + a n+ ). În cazul când k este impar, putem alege: { p an+ = p + a n+ = k a n+ = k. În cazul când k este par, k =t, putem alege: { p an+ = p + a n+ =t a n+ = t. 8. Se consider irul de numere întregi (a n ) n cu termenul general dat prin a n = n 3. S se demonstreze c mul imea numerelor prime care divid termeni ai irului (a n ) n este infinit. S presupunem, prin absurd, c divizorii primi ai tuturor termenilor irului (a n ) n sunt în num r finit, s zicem p,p,..., p k. Fie a n,a n,..., a nk termeni ai irului (a n ) n care se divid cu p,p,..., p k respectiv. Cum to i termenii irului nu sedivid cu vreun alt num r prim, exceptând p,p,..., p k, rezult c orice alt termen are factori primi comuni cu cel pu in unul din termenii a n,a n,..., a nk. Vom construi îns un termen al irului care este prim cu fiecare dintre termenii a n, a n,..., a nk i aceast contradic ie rezolv problema. Not m, în acest sens: q = a n a n... a nk. Fie r i s, cu r>, dou puteri ale lui care dau acela i rest la împ r irea cu q. De aici rezult c : q r s q s ( r s ) 37

38 i cum q este impar, rezult q divide r s. Dac h este astfel încât: atunci: sau: qh = r s, a r s+ = r s+ 3=4 r s 3=4(qh +) 3 a r s+ =4qh +, de unde rezult evident c a r s+ i q nu potavea factori primi comuni. 9. Se consider irul de numere reale (a n ) n cu termenul general dat prin n [ n ] a n = i definim irul (b n ) k n prin b n =( ) n. S se calculeze b 006. k= Evident, b[ este egal cu sau cu, dup cum n este par, respectiv impar. n ] Pentru orice k, reprezint num rul numerelor naturale m cu proprietatea k c mk n, deci a n reprezint num rul perechilor (m, k) de numere naturale nenule cu mk n: a n = card {(m, k) mk n, m, k N }. Dintre aceste perechi, num rul acelora cu m k este par, deoarece dac (m, k) este admisibil, atunci i (k, m) este admisibil. Din acest motiv, perechile de forma (k, m) cu m k nu influen eaz paritatea i astfel ne vor interesa doar perechile de forma (m, m) având proprietatea c m m n. Evident, exist [ n] astfel de perechi, iar de aici: b 006 =( ) [ 006] =( ) 44 =. x n = 0. Se consider irul de numere reale (x n ) n cu termenul general dat prin n, unde pentru fiecare num r natural k, a k reprezint cel mai apropiat a k k= num r natural de k. S se calculeze x 980. (Rusia 978, China 980) Pentru orice num r natural m, avem: deci: a k = m m k<m+ m m + 4 k<m + m + 4, a k = m k { m m +,m m +,..., m + m }. Cum 980 = , rezult c : 44 m +m x n = = m= a k k=m m+ 44 m= ( ) m + m =88. }{{ m } m termeni. Fie k, a, b, c numere naturale astfel ca a + b + c = k. Se consider irul ab de numere reale (a n ) n N definit prin rela ia a n+ = a n+ + c, cu a 0 = a, a = b. S se arate c to i termenii irului (a n ) n N sunt numere naturale. (Balcaniad 986) a n 38

39 Rela ia dat se scrie sub forma a n+ a n a n+ = c i inând seama c prin înlocuirea lui n cu n, ob inem a n+ a n a n = c, rezult c : sau: a n+ a n a n+ = a n+a n a n a n(a n+ + a n )=a n+ (a n+ + a n ) a n+ + a n = a n+ + a n. a n+ a n De aici rezult c irul (b n ) n N cu termenul general b n = a n+ + a n a n+ este ir constant, din moment ce egalitatea anterioar se scrie sub forma b n = b n. Avem: b + c b 0 = a + a + a 0 = a = a + b + c = k, a b b deci b n = k. De aici: a n+ + a n = k a n+ = ka n+ a n a n+ i acum rezult inductiv c to i termenii irului (a n ) n N sunt numere naturale. Catedra de Matematic Universitatea Valahia din Târgovi te Premiul Henri Poincaré al colii Politehnice din Paris Fran a, coala Politehnic i... matematica! Îi cunoa te i, f r îndoial, pe Cauchy, Poincaré, Poisson, Chasles, Mandelbrot etc. figuri emblematice din lec iile de matematic. Poate v sunt mai pu ini familiari Jacques-Louis Lions, Laurent Schwartz, Paul Gauduchon sau Jean Pierre Bouriuignon? Totu i, toate aceste mari personalit i din lumea tiin ific, mai vechi sau contemporane, au cel pu in dou elemente în comun: Fran a i coala Politehnic. Mai întai s vorbim despre Fran a. Fran a nu este doar ara artei sau a modei, ci i a înaltei tehnologii i a geniului matematic, recunoscut pe plan mondial. De fapt, ar trebui spus: Parisul este, f r compara ie cu un alt ora al planetei, pe primul loc în lume la matematic ; aceasta este concluzia lui Marcel Berger, specialist recunoscut unanim în lume în geometria diferen ial, i a revistei americane Science Watch. Nu este o întâmplare faptul c un sfert dintre medaliile Fields au fost decernate matematicienilor francezi sau celor care lucreaz în Fran a. i coala Politehnic? Este cea mai prestigioas i una dintre cele mai vechi Mari coli de Ingineri din Fran a. Se afl în regiunea parizian, cu un campus de aproape 00 de hectare, în vecin tatea marilor centre de cercetare. Înc de la înfiin area sa de c tre Monge, la sfâr itul secolului al XVIII-lea, a format cercet tori de reputa ie interna ional în domeniul tiin ific. Profesorii i cercet torii, de vârf în domeniul lor, contribuie la dezvoltarea tiin ific a Fran ei. Majoritatea dintre ei apar in centrului nostru de cercetare în care sunt grupate de laboratoare ce dispun de mijloacele tehnice cele mai avansate. Putem cita spre exemplu, departamentul nostru de matematic, fondat de c tre Laurent Schwartz, care a primit medalia 39

40 Fields în 950 i care azi num r peste 40 de cercet tori; sau departamentul de matematic aplicat, recunoscut în mod special în domeniul matematicii financiare. Fizica, i în special fizica teoretic, se eviden iaz de asemenea în campusul nostru. Absolven ii colii Politehnice se disting i în departamentele de conducere i de administra ie ale marilor intreprinderi (Renault, Alcatel etc.), în dezvoltarea marilor proiecte tehnologice. Oîntâlnire important : Olimpiada de Matematic, Pite ti 007 coala Politehnic dore te s ini ieze o dinamic de anvergur european pentru a promova talentul excep ional al Fran ei în domeniul tiin elor i al educa iei. În acest context, începând din acest an, vom veni în Romania pentru aîntâlni elevi excep ionali care î i doresc o carier tiin ific de înalt nivel. Pentru a v cunoa te mai bine, v vom întâlni la Pite ti, în cadrul organiz rii Olimpiadei de Matematic, în perioada 8-5 aprilie 007; cu aceast ocazie, am creat un premiu care s recompenseze trei dintre elevii care vor ob ine rezultate excelente la acest concurs. Premiul nostru a primit numele Prix Henri Poincaré de l'ecole Polytechnique i este adresat elevilor din clasele a XI-a i a XII-a. Laurea ii acestui premiu vor putea vizita Parisul timp de o s ptamân în perioada mai - iulie 007 (transportul i cazarea fiind asigurate). În timpul acestei c l torii, laurea ii vor putea vizita coala Politehnic (campusul, laboratoarele, putând s discute cu profesorii i cu al i elevi români), precum i alte mari coli pariziene, s viziteze laboratoare de cercetare i mari intreprinderi i, bineîn eles, s profite de curiozit ile turistice i culturale din Paris. Vre i s fi i al turi de noi la coala Politehnic? coala Politehnic admite prin concurs unii dintre cei mai str luci i elevi în domeniul tiin ific; în fiecare an, 500 de elevi intr la coala Politehnic : 400 de studen i francezi i 00 de studen i str ini (printre care întâlnim în fiecare an i elevi români). Dup cum a i în eles, matematica are un rol preponderent la coala Politehnic ; de aceea, selec ia se face, în principal, pe baza cuno tin elor i nivelului la matematic i, de asemenea, la fizic. Cunoa terea limbii franceze nu este o condi ie pentru candida i, c ci probele de concurs pot avea loc i în limba englez, iar dup admitere coala v sus ine cursurile de înv are a limbii franceze. Studiile dureaz 3 ani i îndreapt studen ii spre specializare în una dintre cele 8 mari discipline predate: matematic, matematic aplicat, fizic, informatic, chimie, biologie, mecanic i economie. Studen ii urmeaz, de asemenea, cursuri de tiin e umaniste i sociale, de limb i comunicare, î i pun în aplicare cuno tin ele în cadrul stagiilor din intreprinderi i laboratoare i particip la proiecte în grup. Dup ace ti 3 ani, studen ii interna ionali au posibilitatea s - i continue formarea printr-o specializare profesional de 5 luni într-una din marile coli aplicative sau s continue în domeniul cercet rii (al -lea an de master i apoi teza). La coala Politehnica, via a de student este deosebit prin cazarea în campus, bog ia activit ilor sportive i marea diversitate de activit i de grup. Pentru a ne cunoa te mai bine, vizita i situl iar pentru informa ii privitoare la Premiul Poincaré pute i s ne contacta i la adresa: prixpoincare@polytechnique.fr. Andrei Moroianu 40

41 SUGESTII PENTRU CURSURILE OP IONALE Matematica azi, Curs op ional la clasa a VI-a ) de Dorina Humi a i Mari a Mirulescu Durata cursului: 36 de ore anual Argumente pentru alegerea op ionalului Am ales acest op ional pentru c urm re te: s l rgesc orizontul matematic al elevilor; s m resc paleta de aplica ii pe care elevii le pot rezolva utilizând baza teoretic adunat pân acum; s ob in un alt punct de vedere asupra matematicii, încercând s-o prezint într-o form cât mai accesibil i pl cut. Obiective cadru urm rite în alc tuirea programei I. Dezvoltarea interesului i a motiva iei pentru studiul matematicii. Obiective de referin Activit i de înv are Elevul va fi capabil: analizarea unor probleme a c ror s în eleag importan a studiului rezolvare are la baz observa ii i pentru dezvoltarea ra ionamentului; ra ionamente imediate; s perceap existen a aplicabilit - prezentarea unor probleme cu con- ii practice a matematicii i importan a sa în via a de zi cu inut practic. zi. II. Crearea climatului tiin ific necesar dezvolt rii gândirii Obiective de referin Activit i de înv are Elevul va fi capabil: analizarea rezolv rii unor probleme date; s se mobilizeze pentru a putea în elege i participa la activit i de propunerea de c tre elevi a unor probleme propuse i de creare de exerci ii i probleme. exerci ii i probleme originale. III. Cunoa terea, în elegerea conceptelor, terminologiei i procedeelor de calcul specifice matematicii Obiective de referin Elevul va fi capabil: s - i însu easc noi concepte matematice, terminologia aferent i procedeele de calcul specifice; s - i formeze obi nuin a de a recurge la concepte i metode matematice în abordarea unor situa ii cotidiene sau rezolvarea unor probleme practice. Activit i de înv are analizarea unor probleme; notarea prescurtat a datelor (ce se d, ce se cere); exerci ii de rezolvare a problemelor tip; redactarea rezolv rii unor probleme. ) Programa op ionalului a ap rut în,,revista de matematic a elevilor i profesorilor din jude ul Cara Severin, nr. 7, an VII-006. (N.R.) 4

42 IV. Dezvoltarea capacit ilor de exploatare/investigare i rezolvare de probleme Obiective de referin Elevul va fi capabil: s aleag din multitudinea de ac iuni însu ite i metode studiate, pe acelea care îl vor duce la rezolvarea unei probleme date. Activit i de înv are rezolvarea unor probleme ce implic utilizarea succesiv a mai multor metode i procedee studiate. V. Dezvoltarea capacit ii de a comunica utilizând limbajul matematic Obiective de referin Activit i de înv are Elevul va fi capabil: prezentarea în scris i oral a rezolv rii unor probleme; s argumenteze rezolv rile f cute utilizând limbajul matematic adecvat; elaborarea într-un grup de lucru a s colaboreze în cadrul unei echipe la rezolv rilor unor probleme dificile. activit i specifice disciplinei. Con inuturi. Calculul unor sume.. Probleme de num rare i combinatoric. 3. Problem deosebite de divizibilitate. 4. Exemple i contraexemple în matematic. 5. Metoda reducerii la absurd în aritmetic. 6. Probleme de logic (distractiv ). 7. Lucr ri de verificare. 8. Recapitulare. Modalit i de evaluare. Teste de evaluare a cuno tin elor.. Efectuarea unor lucr ri individuale sau pe grupe cu autoevaluare. 3. Chestionarea oral pe tot parcursul anului. 4. Notarea în cadrul unor activit i practice prin observarea activit ii. SEMESTRUL I Nr. Con inuturi Obiective Nr. S pt mâna Observa ii crt. Opera ionale ore I. Calculul unor sume Elevul va fi capabil: Se calcu-. Suma primelor n numere s recunoasc naturale i aplica ii ale ei tipul de problem () i () leaz suma primelor n. Suma p tratelor (cuburilor) i metoda de abor- (3) i (4) numere pare primelor n numere dare a rezolv rii naturale i aplica ii ale ei impare) 3. Sume în care intervin anumite numere ra ionale s generalizeze metoda înv at i la calcularea altor (5) i (6) 4. Aplica ii sume (7) 5. Lucrare pentru verificarea (8) cuno tin elor 4

43 II. Probleme de num rare i combinatoric Se insist pe compunerea 6. Principiul cutiei s recunoasc problemele în care (9) i (0) de probleme care s se 7. Aplica ii se aplic principiul () i () încadreze în cutiei metoda 8 Lucrare pentru verificarea s poat rezolva (3) studiat cuno tin elor aceste probleme III. Recapitulare s poat propune (4) probleme de acest tip IV. Probleme deosebite de divizibilitate s poat utiliza criteriile de divizi- 9. Criteriul de divizibilitate bilitate cu 7, i (5) i (6) cu 7 3 în rezolvarea 0. Criteriul de divizibilitate unor exerci ii (7) i (8) cu Semestrul al II-lea. Criteriul de divizibilitate Elevul va fi capabil () Se cu 3 s recunoasc calculeaz. Aplica ii numerele perfecte () suma 3. Numere perfecte i numerele (3) primelor n 4. Numere amiabile amiabile (4) numere pare 5. Lucrare pentru verifica- (5) (impare) rea cuno tin elor V. Exemple i contraexemple în matematic s poat construi exemple i contraexemple pornind de Se insist pe construirea de exemple 6. Rolul exemplelor i contraexemplelor în matematic la o no iune dat (6) i (7) i contraexemple pentru 7. Aplica ii (8) anumite 8. Lucrare pentru verificarea cuno tin elor VI. Utilizarea metodei s recunoasc reducerii la absurd problemele ce se 9. Descrierea metodei pot rezolva folosind (0) 0. Aplicarea metodei în rezolvarea metoda reducerii la () i () unor probleme absurd de aritmetic s poat utiliza. Lucrare pentru verificarea cuno tin elor metoda reducerii la absurd (9) probleme date (3) 43

44 VII. Probleme de logic (distractiv ). Rezolvarea unor probleme de logic (4) i (5) VIII.Recapitulare final 3 (6),(7), (8) Standarde curriculare de performan Standarde minimale. S recunoasc suma primelor n numere naturale i s o poat calcula pentru valori particulare ale lui n.. S recunoasc problemele care se pot rezolva utilizând principiul cutiei. 3. S con tientizeze existen a mai multor criterii de divizibilitate fa de cele studiate la clas. 4. S perceap perfect ce înseamn exemplu i ce înseamn contraexemplu în matematic. 5. S cunoasc etapele ce trebuie parcurse în aplicarea metodei reducerii la absurd. 6. S perceap exact datele unei probleme de logic. Standarde optime În plus, fa de standardele minimale, elevul trebuie:. S poat calcula suma numerelor pare (impare) mai mici decât un num r dat.. S rezolve probleme simple de num rare. 3. S poat aplica criteriile de divizibilitate cu 7,, 3 în recunoa terea numerelor divizibile cu ele. 4. S poat construi singur exemple i contraexemple pentru problemele date. 5. S recunoasc problemele ce pot fi rezolvate folosind metoda reducerii la absurd. 6. S poat rezolva problemele de logic (distractiv ) cu grad de dificultate mediu. Standarde de performan În plus, fa de standarde optime, elevul trebuie:. S poat calcula i alte sume în afar de cele relativ imediate.. S rezolve probleme folosind principiul cutiei. 3. S poat rezolva probleme în care intervin criteriile de divizibilitate cu 7,, S utilizeze contraexemple în rezolvarea unor probleme. 5. S opereze concret cu metoda reducerii la absurd. 6. S rezolve probleme de logic (distractiv ) cu grad mai mare de dificultate. 44

45 Bibliografie [] I. P tra cu, C. Preda, Complemente de matematic pentru gimnaziu, Editura Cardinal, Craiova, 994. [] L. Niculescu, Teme de algebr pentru gimnaziu, Editura Cardinal, Craiova, 993. [3] I. D ncil, Matematica gimnaziului între profesor i elev, Editura Corint, Bucure ti, 996. Liceul Pedagogic C. D. Loga din Caransebe NOTE MATEMATICE Unele serii divergente de Gheorghe Costovici Abstract This short note presents some conditions under which certain series is divergent. Key words: divergent series M.S.C.: 40A05 În propozi ia vom eviden ia unele serii divergente. Propozi ia. Dac a>0, k>0 i ak e, atunci avem ln x kxa, cu egalitate numai dac ak = e i x =. (ak) a Demonstra ie. Consider m f(x) =lnx kx a i avem: unde: f (x) = x akxa = x Observ m c : (α) akx a > 0 akx a < x< f(x) <f ( ( ak ) ) ( a ( =ln ak ak x a = x akxa = x x ( akxa ). ( ) a, ceea ce implic f (x) > 0, de ak ) ) a k ak = ( ln ) a ak 0 (deoarece ln ak e, ceea ce este adev rat prin ipotez ). ak Apoi: ( ) /a (β) akx a < 0... x>,ceeaceimplic : ak f (x) < 0, de unde f(x) <f ( ( ) ) a 0 ak 45

46 ( ( ( deoarece f ak ) ) a = ( ln ) a ak 0, cu egalitate numai dac ak = ). e Propozi ia. Dac a>0, k>0, ak ( e, 0 <b, 0 <c k q n = k (ln (n(ln n) c )) a i a n =, atunci seria: n(ln n) +b ) a, a n=3 q ( a ) n n ++b ck a n k a q ( a ) n ++b ck k, este divergent. Demonstra ie. Prin propozi ia, k>0, a>0 i ka e i deci ln(ln n) k(ln n) a pentru to i n>. Atunci: implic ln x kxa n>e ln n> (ln n) c > n(ln n) c >n ln (n(ln n) c ) > ln n q n = k (ln (n(ln n) c )) a >k(ln n) a > ln(ln n) i: q ( a n ) ln(ln n) <q a n (ln n) q( a ) n =e q( a ) n ln(ln n) < e q an =e k a ln(n(ln n) c) =(n(ln n) c ) k a = = n(ln n) +b n (ln n) b n k a (ln n) ck a = a n nk a (ln n) ck a b (ln n) q( a ) ) ln n<a /(q( a n a n ln n = n(ln n) b <a /(q n n ++b ck a <a n nk a n ++b ck a ) n (k a )/(q ( ) a n ++b ck a ) ( a ) n ++b ck a ) n (k a )/(q ( ) a n ++b c k a ). Cu ajutorul criteriului compara iei pentru serii cu termeni pozitivi, ob inem concluzia propozi iei. Observa ie. Pentru b = c = k = i a =/ se ob ine Exemplul din []. Bibliografie [] G. Pataki, On the convergence of the series xn/ ln(+n) an, Bul. tiin. Univ. Baia Mare, Ser. B, Matematic -Informatic, vol. XVIII (00), nr., pp Catedra de Matematic, Universitatea Tehnic Gh. Asachi din Ia i B-dul Carol I, Nr., Ia i, costovic@gauss.tuiasi.ro 46

47 PROBLEME PROPUSE ( 33. S se arate c primitiva func iei f : 0, π ) R, f(x) =sin p x, cu p R +, poate fi redus la primitiva unei func ii ra ionale în sin x dac i numai dac p N. Mai mult, în acest caz, primitiva nu poate con ine decât o combina ie liniar de monoame în puteri naturale ale lui sin x i cos x, precum i un termen în x. c : Constantin P. Niculescu i Andrei Vernescu 34. Fie G un grup aditiv abelian iar f : G R o aplica ie cu proprietatea f(x + y)+f(x y) f(x)+f(y), x, y G. S se arate c oricare ar fi n N, are loc inegalitatea: f(nx) n f(x), x G. În plus, dac orice element al lui G are ordin finit, atunci f este o fun ie pozitiv. Dan Radu 35. S se demonstreze c : a) Polinomul minimal al lui cos π peste Q este: 7 f = X 3 X X + 8. b) Polinomul minimal al lui cos π 7 peste Q este: g = X 3 + X X 8. c) Polinomul minimal al lui cos 3π 7 d) Exist egalit ile: coincide cu f. cos π 7 cos π 7 +cos3π 7 = ; cos π 7 cos π 7 cos 3π 7 = 8. Marcel ena 36. Fie A un inel cu unitatea în care pentru orice dou elemente x i y egalitatea binomial : ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n (x + y) n = x n + x n y xy n + y n 0 n n este adev rat pentru trei valori consecutive ale num rului natural nenul n (nu neap rat acela i pentru orice x i y din A). S se arate c A este comutativ. R mâne concluzia adev rat dac A nu are element unitate? Marian Tetiva 47

48 37. În tetraedrul ortocentric [ABCD] se noteaz cu h A i m A lungimea în l imii, respectiv a medianei tetraedrului duse din vârful A pe fa a BCD ( i analoagele), iar cu r i R razele sferelor înscris, respectiv circumscris tetraedrului. S se arate c au loc urm toarele rafin ri ale inegalit ii lui Durrande în tetraedru (R 3r): a) b) 4r h A + h + B h + C h D 9 4R m + A m + B m + C m D 34 R4 r 6 ; 34 R4 r 6. Marius Olteanu SOLU IILE PROBLEMELOR PROPUSE Dup intrarea la tipar a num rului 4/006 al revistei, am primit pentru problema 09 înc dou solu ii corecte de la domnii Nicu or Minculete profesor la Colegiul Na ional Mihai Viteazul din Sfântu Gheorghe i Marius Olteanu inginer la S. C. Hidroconstruc ia S.A. Bucure ti, sucursala,,olt-superior din Râmnicu-Vâlcea. Facem cuvenita men iune în vederea complet rii listei rezolvitorilor de probleme din anul În R[x] se consider polinoamele: F n(x) =x(x )...(x n +)= n Snx k k unde Sn,...,Sn n Z sunt numerele lui Stirling de ordinul n. a) S se stabileasc orela ie între Sn+ k,sk n i Sk n i apoi s se dea o formul general pentru calculul lui Sn k în func ie de n i k. b) S se arate c orice polinom: k= P n(x) =x n + a x n a n poate fi reprezentat sub forma P n(x) =( ) n D n(x) unde D n(x) este polinomul caracteristic al unei matrici A n M n(r) convenabil aleas. c) S se scrie matricea A n de la punctul b) corespunz toare polinomului: f n(x) =(x )(x )...(x n), s se diagonalizeze aceast matrice iapoi s se deduc o nou metod pentru calculul numerelor lui Stirling Sn+,...,Sn n+. Caz particular: n =4. d) Se consider polinoamele: ϕ n(x) = ( )n n (x )...(x n), πn(x) = x! ( )n x(x )...(x n +). n! S se arate c ϕ n = π n i apoi s se exprime coeficien ii lui ϕ n i π n cu ajutorul numerelor lui Stirling în dou moduri diferite. e) Folosind rezultatele de la punctul d), s se stabileasc egalit ile: S k+ n+ = n! n ( ) n+p Sp k p!, p=k Sn r n =(n )! r ( ) p (n p )! Sn r p=0 n p Ḋan Radu Solu ia autorului. a) Deoarece: F n+ (x) =(x n)f n(x), 48

49 rezult c : i deci: iar: Spre exemplu: n+ k= S k n+ xk = n n Sn k xk+ n Sn k xk k= k= S k n+ = S k n ns k n, k {,,...,n}, S n+ n+ = Sn n =...= S =. S = S =, S =, S 3 =, S 3 = S S = 3, S3 3 =,.... Deoarece F n(p) =0pentru orice p {,...,n }, iarf n(n) =n!, suntem condu i la sistemul: n Sn n k Sn k +...+Sn =0 n Sn n +...+k Sn k +...+S n =0.... (n ) n Sn n +...+(n )k Sn k +...+(n )S n =0 n n Sn n n k Sn k nsn = n! Determinantul sistemului este: n... n n n... = = n!.. =( ) n(n ) [n!(n )!...!!]... n n... n n n... Rezolvând sistemul dup regula lui Cramer, rezult : unde: Sn k =( ) k n! n k+ n n n k+ = =( ) n(n ) +k n k+ n!!...(n )!, n... k+ k (n ) n... (n ) k+ (n ) k...(n ) b) Se consider matricea: A n = M. n(r) a n a n a n... a a i fie D n(x) =det(a n xi n). Vom ar ta, prin induc ie, c P n(x) =( ) n D n(x). Pentru n =, P (x) =x + a ; cum D (x) = (x + R ), rezult c P (x) =( ) D (x). Presupunem proprietatea adev rat pentru n = k, adic faptul c P k (x) =( ) k D k (x). Dezvoltând dup prima coloan determinanul D k+ (x), vom ob ine: i deci: D k+ (x) = xd k (x)+( ) k+ a k+ P k+ (x) =xp k (x)+a k+ =( ) k ( xd k (x)+a k+ = ) =( ) k+ xd k (x)+( ) k+ a k+ =( ) k+ D k+ (x). Conchidem c proprietatea este adev rat pentru orice n N.. 49

50 c) Evident, xf n(x) =F n+ (x) i deci: f n(x) =x n + S n n+x n S n+. Urmeaz c matricea A n corespunz toare dup punctul b) polinomului f n este: A n = Sn+ Sn+... S n n+ Sn+ n Deoarece f n(x) =( ) n D n(x), urmeaz c D n(x) =0dac i numai dac f n(x) =0 i deci valorile proprii ale lui A n sunt x =,...,x n = n. Urmeaz c A n este diagonalizabil, forma sa diagonal fiind: n = n Pentru valoarea proprie x p = p (p {...n}), primele n ecua ii ale sistemului caracteristic sunt: px + x =0 px + x 3 =0... px n + x n =0 Urmeaz atunci c x i = px i =... = p i x,pentru orice i = {,...,n}, deciputem alege ca vector propriu, corespunz tor valorii proprii considerate, vectorul v p =(,p,...,p n ). Deducem atunci, c matricea de trecere de la baza canonic la baza de diagonalizare va fi:... S n =... n... n+ n+... n n inând seama de faptul c A n = S n S, rezult o nou metod de calcul a numerelor lui Stirling prin identificarea ultimei linii din egalitatea matricial anterioar. În cazul n =4,avem: A 4 = S 4 = S5 S5 S5 3 S Conform procedeului descris, rezult :, D = S 4 = S 5 = 0, S 5 =35, S3 5 = 50, S4 5 =4, S5 5 =. d) Evident, ϕ(p) =0pentru orice p {,...,n}. De asemenea, se probeaz cu u urin c π n(p) = 0pentru p {,...,n}. (Se procedeaz, de exemplu, prin induc ie). Pe de alt parte, coeficien ii conduc tori ai lui ϕ n i π n coincid cu ( )n, ceea ce atrage dup sine faptul c ϕ n! n = π n. S observ m acum c : 50 ϕ n(x) = ( )n F n(x) = ( )n n! n! ( S n+x S n+ n+ xn+),,.

51 de unde Pe de alt parte: ϕ n(x) = ( )n n! n k=0 S k+ n+ xk. () i deci: π n(x) =! F (x)+...+ ( )n F n(x) n! n n ( ) p π n(x) = Sp k p! xk. () k=0 p=k e) Deoarece ϕ n = π n, rezult c în reprezent rile () i () coeficien ii lui x k trebuie s coincid pentru orice k {0,...,n} i deci: de unde: ( ) n n S k+ n+ n! = ( ) p Sp k p!, p=k n S k+ n+ = n! ( ) n+p Sp k, (3) p! p=k adic tocmai prima dintre identit ile solicitate. În egalitatea de mai sus s facem schimb rile de indici n +=N, k +=N R. Rezult n = N, n k = R, iar când p parcurge mul imea {k, k +,...,n}, rezult c P parcurge mul imea {0,,...,R}. Cu aceste schimb ri, egalitatea (3) devine: S N R N =(N )! adic tocmai a doua identitate din enun. R P =0 ( ) P (N P )! SN R N P, 3. S se arate c pentru orice n N, n, avem: n (3i +) i=0 n! n (3i +) i=0 + n! n + k= Solu ia autorului. Observ m c suma: n (3i +) i=0 n! n (3i +) i=0 + n! k n k (3i +) (3j +) i=0 n + k= j=0 k!(n k)! k n k (3i +) (3j +) i=0 este coeficientul lui x n în produsul Cauchy al seriilor de puteri: Cum: j=0 k!(n k)! =3 n. n n (3i +) (3i +) i=0 f(x) =+ x n i=0 i g(x) =+ x n. n! n! n= n= a n = n (3i +) i=0 n! n (3i +) i=0 n! =3 n, n N, Róbert Szász 5

52 rezult c seria de puteri f(x) este absolut convergent pentru x <. Seria de puteri f(x) poate 3 fi transcris în urm toarea form : n (3i +) i=0 f(x) =+ x n+ (n +)! n=0 i, dup derivare, ob inem: n (3i +) f i=0 (x) = x n =+ n! n=0 n= n (3n +) i=0 n! (3i +) x n = n n (3i +) (3i +) i=0 =+ (n +)x n i=0 x n =+3(x(f(x) )) f(x)+. n! n! n= n= Astfel rezult problema Cauchy: cu solu ia unic : Analog se arat c : ( 3x)f (x) =f(x), f(0) =, f(x) = g(x) = 3 3x, x < 3., x < ( 3x) 3. 3 Din ultimele dou identit i ob inem c : n n (3i +) (3i +) i=0 f(x)g(x) = + x n i=0 + x n = n! n! 3x = n= n= 3 n x n, n=0 iar de aici, prin identificarea coeficien ilor lui x n, rezult egalitatea dorit. Solu ie dat de Marian Tetiva, profesor la Colegiul Na ional Gheorghe Ro ca-codreanu din Bârlad. S observ m c putem scrie identitatea de demonstrat i în forma: k n k (3i +) (3j +) n i=0 j=0 =3 n, k!(n k)! k=0 dac vom considera egal cu un produs pentru care indicele de sumare variaz de la 0 la. În aceste condi ii, notând cu S n suma din membrul stâng, putem calcula u or: S =! +! =3, S = 4 +!!! + 5 =9,! deci rela ia S n =3 n este adev rat pentru n {, } (nu avem de ce s evit m valoarea ( n =). n Pe de alt parte, folosind recuren a coeficien ilor binomiali (cu conven ia c =0pentru k) n<ksau k<0), putem calcula: = n+ k=0 n+ ( n + ) k n k (n +)!S n+ = (3i +) (3j +)= k k=0 i=0 j=0 ( k n n k (3i +) (3j +)+ k) i=0 j=0 n+ k=0 ( n k ) k n k (3i +) (3j +) i=0 j=0 5

53 i deci, dac facem o mic schimbare a indicelui de sumare în cea de-a doua sum : (n +)!S n+ = n ( k n n k n ( n (3i +) (3j +)+ k) k) k n k (3i +) (3j +)= k=0 i=0 j=0 k=0 i=0 j=0 n = ( n ) k n k (3(n k)++3k +) (3i +) (3j +) = k k=0 i=0 j=0 =3(n +) n ( k n n k (3i +) (3j +)=3(n +)n!s n; k) k=0 i=0 a adar ob inem S n+ =3S n,pentru orice n. Evident, împreun cu S =3, aceast rela ie duce la S n =3 n, oricare ar fi n, ceea ce trebuia demonstrat. Observa ie. În exact acela i fel putem demonstra c, pentru orice iruri (a n) n 0 i (b n) n 0 cu proprietatea a n k + b k = p(n +),pentru orice n 0 i orice 0 k n (unde p este un num r fixat, care nu depinde de n), avem: n k=0 k i=0 j=0 n k a i j=0 k!(n k)! b j = p n, oricare ar fi n (conven ia de mai sus pentru produse r mâne valabil ). Pentru a n =3n + i b n =3n +reg sim enun ul problemei 3. Din p cate generalizarea nu ne duce prea departe de enun ul original, irurile considerate trebuind s fie de forma a n = pn + s, b n = pn + p s, a acum u or se poate vedea, ca s verifice rela iile de mai sus (necesare ob inerii rela iei de recuren ). Solu ie dat de Ioan Ghi, profesor la Colegiul Na ional I. M. Clain din Blaj. Not m cu S suma din enun. Desfacem sumele i produsele pentru o bun observare: S = Avem: Rezult : (3n )! 0! + ( 4) ( (3n 7))!(n )! ( (3n 5)) () (n )!! + + () ( (3n 4))!(n )! ( (3n 8)) ( 5) + (n )!! (3n ) 0!! = n! [C0 n ( (3n )) + C n ( (3n 5)) ()+ +Cn ( (3n 8)) ( 5) Cn n ( 4) ( (3n 7))+ +Cn n () ( (3n 4)) + Cn n ( (3n ))]. Fie func iile f,g :(0, ) R, f(x) =x 3, g(x) =x 3, indefinit derivabile pe (0, ). f (n) (x) =( ) n (3n ) 3 n x 3n+ 3, g (n) (x) = ( ) n (3n ) 3 n x 3n+ 3, ceea ce se verific u or prin induc ie (3n ) = f (n) () 3 n, ( ) n (3n ) = g(n) () 3 n ( ) n i apoi, folosind formula lui Leibniz: S = n! [ C 0 n g() 3n f (n) () ( ) n + Cn 3 n f (n ) () ( ) n 3 g () ( ) + 3 n f (n ) () C n ( ) n 3 g () ( ) + ] Cn n f() g(n) () 3 n 3 n ( ) n = ( ) n n! (f g)n () = 3 n ( ) n n! h(n) (), unde h(x)=f(x) g(x)=x, este o func ie indefinit derivabil pe (0, ) cu derivata de ordinul n: h (n) (x) =( ) n n! x n. = 53

54 Rezult h (n) () = ( ) n n! i apoi: S = 3 n ( ) n n! ( )n n! =3 n. 4. Fie s>0, fixat. F r utilizarea derivatelor, s se determine: ( (trig x) n s+ (trig x) (n ) s+...(trign x) L(s) = lim n lim x 0 x ) s+, unde trig {cos, ch}. (În leg tur cu problema 47 din G.M.-A, nr. /003). Solu ia autorului. S ne ocup m pentru început cu calculul limitei: Nicolae Pavelescu (triga x) bn (triga x) bn... (triga n x) b L n = L n(a,...,a n; b,...,b n) = lim x 0 x, n N. Folosim succesiv o limit cu caracter teoretic, formalizat prin: unde: Avem: L n = lim x 0 = n ln u lim u v v 0 n (triga k x) b n k+ k= x = lim u v 0 b n k+ lim x 0 ln (triga k x) x = u. v = lim x 0 n ( n ) ln (triga k x) b n k+ k= x = b n k+ lim x 0 triga k x x = k= k= n ε cotrig akx n = b n k+ lim x 0 x =ε b n k+ lim x 0 k= k= = ε { +, trig =cos ε =, trig =ch În cazul problemei propuse, avem: L(s) = lim n Ln = ε lim n (n +) n a k b n k+, k= (,,...,n; cotrig a kx a k x { sin, trig =cos, cotrig = sh, trig =ch ) n s+, (n ) s+,..., s+ = n k n (n k +) = ε lim = ε lim n (n k +) s+ n k s+ = k= k= ( n k s+ n n + k s+ + n (n +) k= k= k= { +, trig =cos = ε(+ ) =., trig =ch. a k 4 = ) k s = Comentariu. Problema face parte, în mod evident, din aceea i categorie cu problema nr. 47 din G.M.-A nr. /003, propus de Andrei Vernescu. 54

55 Exceptând regula lui l'hospital, care în enun este declarat prohibit, niciuna din metodele expuse pe larg în G.M.-A nr. /004, pp , nu poate fi folosit aici. Solu ie dat de Ioan Ghi, profesor la Colegiul Na ional I. M. Clain din Blaj. a) Calcul m mai întâi urm toarele limite: ( ( ) ( (cos kx) (n k+) s+ sin kx ) ) (n k+) s+ a) lim x 0 x = lim x 0 x = [ ( sin kx ) ] (n k+) s+ = lim x 0 sin kx ( (ch(kx)) b) lim x 0 x = lim x 0 unde s-a folosit faptul c : sh kx lim x 0 x ) (n k+) s+ [ ( +sh kx ) (n k+) s+ sh kx kx e e kx = lim x 0 x = = lim x 0 ] sin kx k x 4 [ k x 4 x = k (n k +) s+. ( +sh kx ) ] (n k+) s+ x = sh kx 4 x = lim (n k +) s+ x 0 4k (n k +) s+, sh kx x e kx ( e kx ) = lim = lim e kx ekx k = k. x 0 x x 0 kx = De asemenea, s-a utilizat faptul c chx =+sh x. În continuare, presupunem c trigx =cosx i not m cu L n(s) limita dup x. [ ] (cos x) n s+ (cos x) (n+) s+... (cos nx) s+ L n(s) = lim x 0 x = [ ] (cos x) n s+ +(cosx) n s+ (cos x) n s+ (cos x) (n+) s+... (cos nx) s+ = lim x 0 x = [ ] [ ] (cos x) n s+ (cos x) (n ) s+... (cos nx) s+ a) = lim x 0 x + lim (cos x) n s+ x 0 x = [ ] (cos x) (n ) a) s+ +(cosx) (n ) s+ (cos x) (n ) s+... (cos nx) s+ = + lim ns+ x 0 x. Dac se scade i se adaug pe rând câte un (cos kx) (n k+) s, ob inem: Dac trigx =chx, atunci: [ (chx) n s+ +(chx) L n(s) = lim x 0 L n(s) = n s+ + n (n ) s+ s+. n s+ (chx) n s+ (chx) (n ) s+... (chnx) ] s+ x = 55

56 [ (chx) = lim x 0 x ] n s+ + lim x 0 b) 4 = n + lim x 0 [ (chx) n s+ (chx) (n ) s+... (chnx) b) x = [ ] (chx) (n ) s+... (chnx) s+ x. Analog, dac se scade i se adun câte un (chkx) (n k+) s+, rezult : ( L n(s) = 4 n s+ + ) n (n ) s+ s+. Dar n s+ + n (n ) s+ s+ >n i deci: ( Urmeaz c : lim n n s+ + n (n ) s+ s+ L(s) = lim Ln(s) = n ) =. {, dac trig =cos, dac trig =ch. s+ ] Nota redac iei. O solu ie corect a problemei a dat i domnul inginer Marius Olteanu de la S. C. Hidroconstruc ia S.A. Bucure ti, sucursala,,olt-superior din Râmnicu-Vâlcea. 5. Fie x,x,...,x n numere reale pozitive astfel încât x x...x n =. S se arate c pentru n + r<, avem: n x x x n x r + x x n x + x r xn x x n + x r. n Solu ia autorului. Aplicând inegalitatea Cauchy-Schwarz, avem: x x r + x x n (x + x x n) x (x r + x x n). Prin urmare, r mâne s ar t m c : (x + x x n) x (x r + x x n), Vasile Cîrtoaje adic : x + x x n x+r + x +r x +r n. Aceast inegalitate se ob ine pe baza inegalit ii lui Cebâ ev i a inegalit ii mediilor. Astfel, pentru r<, avem: x ( x r n iar pentru n + r<, avem: n n x = x x n n n+ r+ n x )( ) x +r (x x... x n) r n x +r = x +r, ( ) x r (x... x n) n = n n+ r+ (x x... x n) n n x x r = x r+. 56

57 Cu aceasta, inegalitatea este demonstrat. Avem egalitate dac i numai dac x = x = =...= x n =. Nota redac iei. O solu ie partial a problemei a dat i domnul inginer Marius Olteanu de la S.C. Hidroconstruc ia S.A. Bucure ti, sucursala,,olt-superior din Râmnicu Vâlcea. 6. S se arate c exist iruri de func ii (f n) n, f n :[0, ] [0, ], continue, care satisfac simultan urm toarele propriet i: a) f n(x)dx converge la zero; 0 n b) irul (f n(x)) n s nu convearg pentru nici un x (0, ); c) fiecare func ie s ia fiecare valoare strict pozitiv de cel mult dou ori (i.e. fn ({α}) pentru orice α (0, ] i orice n N ). R zvan Iag r Solu ie dat de Marian Tetiva, profesor la Colegiul Na ional Gheorghe Ro ca-codreanu din Bârlad. Fie (a n) n oenumerare standard a numerelor ra ionale din intervalul (0, ): a =,a = 3,a 3 = 3,a 4 = 4,a 5 = 4,a 6 = 3 4,a 7 = 5,a 8 = 5,a 9 = (desigur, unele numere se repet, dar acest lucru nu ne deranjeaz ). Dac, pentru un n N,avem a n = p, unde p i q sunt întregi pozitivi, p<q, definim func ia fn prin: q [ 0, pentru x 0, p ] q ( q x p ) [ p, pentru x, p ] q q q f n(x) = ( ) [ p + p q x, pentru x q q, p + ]. q [ ] p + 0, pentru x, q Continuitatea fiec rei func ii f n se verific imediat, de asemenea faptul c : 0 f n(x)dx = q (de fapt, acestea se v d foarte bine geometric: graficul lui f n este linia frânt OABCD, undeo este originea, iar punctele A,B,C,D au respectiv coordonatele ((p )/q, 0), (p/q,), ((p +)/q, 0) i (, 0); atunci integrala func iei f n pe [0, ] este egal cu aria triunghiului ABC, cu baza de lungime /q i în l imea ). Cum irul numitorilor numerelor a n are limita rezult c este îndeplinit prima condi ie: lim f n n(x)dx =0. 0 De asemenea, graficul fiec rei func ii f n fiind format din dou segmente,,orizontale (OA i CD, a ezate pe axa Ox) i dou,,oblice (AB i BC), este clar c f n ia fiecare valoare pozitiv de cel mult dou ori; de fapt, ia valoarea doar o dat, în p/q, i orice alt valoare din (0, ) exact de dou ori ( i, bineîn eles, ia valoarea 0 de o infinitate de ori). Ne mai r mâne s verific m condi ia b). Fie, pentru aceasta, x (0, ). Dac a n este un num r de forma /q, cuq suficient de mare încât s avem /q < x, rezult c x este în afara intervalului (0, /q), încaref n ia valori nenule. Altfel spus, exist o infinitate de indici n astfel încât f n(x) =0. Pe de alt parte, pentru fiecare întreg pozitiv q putem considera partea întreag s anum ru- lui qx, adic s este acel num r întreg pentru care avem s qx < s +; iar dac q este destul de mare, avem s. Dac s este par, s =p, avem: 57

58 iar pentru s =p (impar): p < p qx < p +, p qx < p <p +; oricum, vedem c pentru orice întreg pozitiv q (suficient de mare) g sim un num r natural p < q astfel încât: p qx < p + p q q x< p q + q. O verificare simpl prin calcul (sau o scurt privire asupra graficului) arat c pentru n astfel încât a n s fie egal cu un asemenea p/q avem f n(x) /. Prin urmare irul (f n(x)) n are atât un sub ir cu to i termenii 0, cât i un sub ir cu to i termenii mai mari sau egali cu /, deci nu are cum s fie convergent (iarastaseîntâmpl pentru un x (0, ) ales arbitrar); astfel i condi ia b) este îndeplinit de irul de func ii pe care l-am construit i problema este rezolvat. 7. Fie x, y, z numere reale astfel încât S = x + y + z>0. S se arate c are loc inegalitatea: 9((x + y + z)(xy + yz + zx) 9xyz) ( )((x + y + z) 3 7xyz), sensul inegalit ii fiind dup cum dou dintre numerele x, y, z sunt mai mici sau egale cu S 3 (respectiv dou dintre numerele x, y, z sunt mai mari sau egale cu S 3 ). Marian Tetiva Solu ia autorului. Este clar c, dac avem x S 3, y S 3, z S 3 (sau x S 3, y S 3, z S 3 ), atunci, în mod necesar, x = y = z (= S ) iîntre cei doi membri ai inegalit ilor din 3 enun avem semnul egal. De aceea, singurele cazuri interesante r mân cele dou din enun ; vom considera unul dintre ele, de pild s presupunem c x S 3, y S 3 i z S 3 S not m: 9 ( (x + y + z)(xy + xz + yz) 9xyz ) ( (x + y + z) 3 7xyz ). i s ar t m c : a = 3x S, b = 3y S, c = 3z. Atunci a + b + c =3, a, b i c. S Inegalitatea de demonstrat este atunci echivalent cu: (( )( as abs ) ) 9 + acs + bcs 9 abcs3 3 + bs 3 + cs (( as 3 + bs 3 + cs ) 7 abcs3 3 7 deci cu (s nu uit m c S>0 i a + b + c =3): ), ab + ac + bc 3abc ( abc) ab + ac + bc +abc. Acum fie A = a, B = b i C = c ; rezult c : iar inegalitatea de demonstrat se transform în: A + B + C =0 i A 0, B 0, C 0, (A +)(B +)+)A +)(C +)+(B +)(C +) +(A +)(B +)(C +) AB + AC + BC +(A + B + C)+3 +ABC + AC + BC + A + B + C + 0 ABC. Inegalitatea la care am ajuns fiind evident, demonstra ia este încheiat în acest caz; dac dou dintre numere sunt S 3 ( i al treilea S )vom avea dou dinte numerele A, B, C pozitive 3 i al treilea negativ, deci produsul ABC 0 i sensul se schimb peste tot. Solu ie dat de Nicu or Minculete, profesor la Colegiul Na ional Mihai Viteazul din Sf. Gheorghe. Fie: E(x, y, z) =((x + y + z) 3 7xyz) 9((x + y + z)(xy + yz + zx) 9xyz). 7 58

59 Cum x + u + z = S, avem E(x, y, z) =S 3 9S(xy + yz + zx)+7xyz, deci: E(x, y, z) = S 3 +3S 3 9S(xy + yz + zx)+7xyz = [ ( ) S 3 ( ) ] S = 7 (x + y + z) +(xy + yz + zx) S xyz = ( )( )( ) S S S = 7 3 x 3 y 3 z. Dac dou dintre numerele x, y, z sunt mai mici sau egale cu S, atunci E(x, y, z) 0, iar dac 3 dou dintre numerele x, y, z sunt mai mari sau egale cu S,atunciE(x, y, z) 0. 3 Observa ii. a) Condi ia S = x + y + z>0 este inutil. b) Egalitatea are loc când unul dintre numerele x, y, z este egal cu S 3. 9((x + y + z)(xy + yz + zx) 9xyz) ( )((x + y + z) 3 7xyz), Nota redac iei. O solu ie asem n toare cu cea de mai sus a dat Ioan Ghi, profesor la Colegiul Na ional I. M. Clain din Blaj. De asemenea, o solu ie corect, dar calculatorie, a dat domnul inginer Marius Olteanu de la S. C. Hidroconstruc ia S.A. Bucure ti, sucursala,,olt- Superior din Râmnicu-Vâlcea. ISTORIA MATEMATICII Tiberiu Popoviciu ( ) ) de Marioara Cost chescu Tiberiu Popoviciu este un savant derenume mondial. Prin lucr rile sale, prin lec iile i seminariile tiin ifice pe care le-a condus, a creat o coal româneasc de Analiz numeric. A fost un mare specialist în Analiza matematic, Teoria aproxim rii, Teoria convexit ii, Analiza numeric, Teoria ecua iilor func ionale, Aritmetic, Teoria numerelor i Teoria calculului. Teza sa de doctorat, elaborat sub îndrumarea profesorului Paul Montel, laparis, con ine bazele Teoriei func iilor convexe de ordin superior. No iunea de func ie convex de ordin superior, apare în teoria lui Tiberiu Popoviciu ca rezultat al studierii comport rii fa de o clas special de func ii, cea a polinoamelor de un grad dat. Acest concept st la baza cercet rilor pe care le-a f cut Tiberiu Popoviciu în: studiul reprezent rii unei func ii liniare A : C[a, b] R de grad de exactitate n care nu se anuleaz pe nici o func ie f C[a, b], convex de ordinul n pe [a, b]; studiul comport rii polinoamelor de cea mai bun aproximare ale func iilor din C[a, b] convexe sau concave de un ordin precizat; studiul restului în procedeele liniare de aproximare. coala întemeiat de Tiberiu Popoviciu a devenit cunoscut i dincolo de hotarele României, nu numai prin numeroasele lucr ri publicate de el i de elevii s i, ci i prin cele 6 colocvii i dou seminarii cu participare interna ional organizate între anii 957 i 975 în cadrul Institutului de Calcul din Cluj al Academiei Române, al c rui fondator a fost. De numele lui Tiberiu Popoviciu se leag prima monografie de teoria convexit ii, cunoscuta carte,,les Fonctions Convexes. Deosebit de valoroase pentru înv mântul românesc au fost: cartea de Analiz numeric i cursurile de Analiz real, de Matematici superioare, de Algebr i de Analiz matematic scrise de Tiberiu Popoviciu. ) Prezentul material ar fi trebuit s apar în mod normal în cadrul rubricii noastre din nr. 4/006, când a avut loc centenarul na terii regretatului academician Tiberiu Popoviciu. Din p cate, ne-a parvenit târziu, dup intrarea la tipar a revistei. Ne facem, totu i, o datorie de onoare în a-l publica, chiar cu întârziere. Profit m de aceast not de subsol pentru a-i adresa doamnei profesoare M rioara Constantinescu mul umirile noastre, pentru frumoasele cuvinte de apreciere a Cursurilor de var organizate de S.S.M.R. la Bu teni con inute în scrisoarea de tr sur a prezentului material. (N.R.) 59

60 Cea mai lung perioad din activitatea sa didactic i de cercetare, Tiberiu Popoviciu a petrecut-o la Cluj. Aici s-a ocupat de cre terea, din rândul tineretului, a unor valoro i cercet tori, un rol important jucându-l,,seminarul de Teoria Aproxim rii cu aplica ii la Analiza Numeric, înfiin at de el, în 946, anul venirii sale la Cluj. Institutul de Calcul din Cluj a luat fiin în 957, în baza Hot rârii Sesiunii Generale a Academiei, ca urmare a demersurilor f cute de Tiberiu Popoviciu, pe care l-a avut ca director pân la desfiin are, în 975, prin decretul care punea cap t activit ii celor trei institute de matematic din ar ale Academiei. Activitatea sa la Institutul de Calcul a avut o puternic influen i asupra muncii didactice. Acest lucru s-a concretizat prin predarea primelor cursuri de Limbaje de programare i Ma ini de Calcul din ar. În leg tur cu rezultatele deosebite ob inute sub conducerea lui Tiberiu Popoviciu în domeniul tehnicii de calcul i informaticii se pot men ion urm toarele: În anul 96, la Institutul de Calcul din Cluj, se termin calculatorul DACICC-l (Dispozitiv Automat de Calcul al Institutului de Calcul din Cluj) care devine un nume cunoscut al primei genera ii de calculatoare române ti. DACICC-l f cea parte din genera ia a doua de calculatoare complet tranzistorizate. În 969 s-a realizat la Cluj cel mai performant calculator de concep ie româneasc din perioada anilor DACICC-00 realiza opera ii aritmetice/secund, ceea ce era o performan la vremea respectiv. Din punct de vedere tehnologic DACICC-00 apar inea genera iei a doua de calculatoare, dar el con inea multe elemente i concepte ale genera iei a treia (lungimea cuvântului era de 3 bi i, memoria era organizat în octe i adresabili cu control de paritate, dispunea de un sistem hardware de tratare aîntreruperilor, de o serie de mecanisme de execu ie paralel a opera iilor printre care preg tirea i execu ia instruc iunilor etc.). Din punct de vedere software, la DACICC-00 apare pentru prima dat la noi în ar, no iunea de sistem de operare pentru un calculator de concep ie proprie. Sistemul de operare al calculatorului DACICC-00, con inea un monitor care realiza gestiunea perifericelor, tratarea întreruperilor precum i gestiunea regimului de lucru multitasking. Sistemul cuprindea de asemenea un compilator FORTRAN, dou asambloare pentru dou limbaje de programare (PAS i MOL), un înc rc tor i un bibliotecar. Un aport deosebit de important în dezvoltarea matematicii clujene l-au avut seminariile de cercetare ale Institutului, seminarii care i-au continuat activitatea i dup desfiin area Institutului. Alt realizare remarcabil a lui Tiberiu Popoviciu a fost reactivarea, în 958, a revistei,,mathematica i înfiin area în 97 a revistei,,revue d'analyse numerique et la Théorie de L'approximation. A înfiin at, în 967,,,Seminarul Itinerant de ecua ii func ionale transformat apoi în,,seminarul Itinerant de ecua ii func ionale, aproximare i convexitate ale c rui sesiuni anuale se desf oar i ast zi. A organizat, în calitatea sa de pre edinte al filialei din Cluj a Societ ii de tiin e Matematice, consf tuiri cu profesorii de liceu, în mai multe ora e din Transilvania (Bra ov, Cluj, Arad, Satu Mare), pentru introducerea elementelor de tehnic de calcul în înv mântul preuniversitar. A fost un matematician activ i creator pân la brusca sa dispari ie, în 975, la nici jum tate de an de la desfiin area Institutului pe care l-a creat i condus. [] [] [3] Bibliografie Liceul cu Program Sportiv din Roman 60

61 DIN VIA A SOCIET II A XXXIII-a Sesiune de comunic ri metodico- tiin ifice a Filialei Prahova a S.S.M.R. Sâmb t octombrie 006 a avut loc a XXXIII-a Sesiune de comunic ri metodico- tiin ifice a Filialei Prahova a S.S.M.R. Ea s-a desf urat, ca i în preceden ii trei ani, pe dou sec iuni, fiind g zduit la hotelul Mara din localitate, în cele dou s li de conferin e ale sale. Sesiunea a avut un caracter comemorativ, marcând cu acest prilej un an de la dispari ia profesorului Adrian Ghioca cel ce a fost, de-a lungul timpului, animatorul entuziast i neobosit al acesteia. Lucr rile au debutat cu o edin în plen, dedicat comemor rii, în cadrul c reia au fost rostite alocu iuni menite s evoce personalitatea profesorului Adrian Ghioca. Printre cei care au vorbit, cu acest prilej, se num r prof. Nicolae Angelescu inspector de specialitate i vicepre edinte al filialei, prof. Petre N chil vicepre edinte al filialei, prof. Mariana Cojoianu directoare adjunct a Colegiului Mihail Cantacuzino din localitate, prof. univ. dr. Miron Oprea, prof. Olimpia Popescu i semnatarul acestor rânduri. În final i-au fost decernate, post mortem, profesorului Adrian Ghioca dou diplome: o diplom de excelen pentru sprijinul acordat în ultimii 0 ani la organizarea Cursurilor la Bu teni pentru perfec ionarea profesorilor de matematic diplom acordat de conducerea central a S.S.M.R., precum i o diplom pentru activitatea depus în cadrul Filialei S.S.M.R. Prahova diplom acordat de conducerea filialei. Diplomele au fost înmânate atât familiei cât i conducerii Colegiului Mihail Cantacuzino al c rui director a fost un mare num r de ani profesorul Adrian Ghioca. În continuare au fost prezentate, în plen, urm toarele comunic ri, dedicate memoriei decedatului:. prof. univ. dr. Horea Banea (Universitatea Transilvania din Bra ov):,,asupra unei probleme a lui Adrian P. Ghioca ;. prof. univ. dr. Miron Oprea (Universitatea Petrol i Gaze din Ploie ti):,,sec iunea de aur între mit i realitate ; 3. conf. univ. dr. Eugen P lt nea (Universitatea Transilvania din Bra ov):,,asupra unor inegalit i trigonometrice ; 4. conf. univ. dr. Andrei Vernescu (Universitatea Valahia din Târgovi te):,,asupra unor integrale. Lucr rile, apoi, s-au desf urat (din cauza num rului mare) pe dou sec iuni. Prima sec iune a avut ca moderatori pe prof. univ. dr. Ion D. Ion, prof. univ. dr. Miron Oprea i conf. univ. dr. Eugen P lt nea; ea a reunit urm toarele comunic ri:. prof. univ. dr. Ion D. Ion (Universitatea din Bucure ti):,,monoidul endomorfismelor unei S-mul imi libere ;. prof. univ. dr. Miron Oprea (Universitatea Petrol i Gaze din Ploie ti):,,asupra unor clase de probleme de geometrie combinatoric ; 3. prof. univ. dr. Constantin Marinescu (Universitatea Transilvania din Bra ov):,,probleme de extrem în geometrie ; 4. conf. univ. dr. Cristinel Mortici (Universitatea Valahia din Târgovi te):,,câteva probleme cu iruri f r epsilon ; 5. prof. Mircea Trifu (secretar general al S.S.M.R, Bucure ti):,,centenar Dumitru Mangeron ; 6. prof. Mihai Gavrilu (Roman):,,Observa ii asupra unei inegalit i din culegerea lui Adrian P. Ghioca ; 7. prof. Alexandru Popescu-Zorica (Bucure ti):,,diverse i altele ; 8. prof. Anghel Dafina (Colegiul Na ional Nicolae Iorga din V lenii de Munte):,,Imagina ia în problemele de loc geometric ; 9. prof. Cristina Dumitrescu (Colegiul Mihail Cantacuzino din Sinaia):,,Proiectarea didactic rigoare i flexibilitate în atingerea idealului educa ional ; 0. prof. Avram Corneliu M nescu (Liceul teoretic din Azuga):,,Asupra formulelor lui Stirling i Wallis ; 6

62 . prof. Radu Vi inescu (Colegiul Na ional I. L. Caragiale din Ploie i):,,considera ii privind teorema lui Lagrange ;. prof. Mihaela Alexandra Ghidu(Liceul Pedagocic din Ploie ti), prof. Maria Ionescu (Colegiul Tehnic Laz r Edeleanu din Ploie ti):,,descentralizarea o provocare a înv mântului preuniversitar românesc ; 3. prof. Ion Nedelcu (Colegiul Na ional Mihai Viteazul din Ploie ti):,,posibilit i de determinare a unor grupuri izomorfe ; 4. Gheorghe Bumb cea ( coala general nr. din Bu teni):,,geometria patrulaterului circumscriptibil i inscriptibil. Profesorul Al. Popescu-Zorica sus inându- i comunicarea prezentat la sesiune. Cea de a doua sec iune a avut ca moderatori pe prof. univ. dr. Constantin Popovici, conf. univ. dr. Cristinel Mortici i conf. univ. dr. Andrei Vernescu. În cadrul ei s-au prezentat urm toarele comunic ri:. prof. univ. dr. Constantin Popovici (Universitatea din Bucure ti):,,algoritm pentru determinarea numerelor perfecte ;. lector univ. dr. Dinu Teodorescu (Universitatea Valahia din Târgovi te):,,inegalit i elementare în probleme de convergen ; 3. prof. Olimpia Popescu (Ploie ti):,,no iunea de modul în matematica gimnazial ; 4. prof. Adrian Lungu (Grupul colar energetic din Câmpina):,,O aplica ie a matematicii existen iale ; 5. prof. Silvia Berbeceanu (Grupul colar din Plopeni), prof. Ion Berbeceanu ( coala general Carol I din Plopeni):,,Curriculum de decizia colii un model de curs op ional pentru clasa a XI-a ; 6. prof. Florin Smeureanu (Inspector colar al jude ului Vâlcea):,,Progresii aritmetice formate din numere prime ; 7. prof. Adrian Stroe (Liceul Mihai Viteazul din Caracal):,,Asupra unui ir remarcabil ; 8. prof. Ioana Cr ciun, prof. Gheorghe Cr ciun ( coala general Carol I din Plopeni)):,,Revista,,Axioma supliment matematic în peisajul publicistic românesc ; 9. prof Radu Simion (Colegiul Na ional Mihai Viteazul din Ploie ti):,,rela ia lui Sylvester în plan, în spa iu i generalizare în R n ; 0. prof. Roxana Soare (Liceul Nichita St nescu din Ploie ti):,,structuri algebrice determinate pe submul imi ale lui C ;. prof. Constantin Soare (Liceul Nichita St nescu din Ploie ti):,,aplica ii ale numerelor complexe în studiul polinoamelor regulate ;. prof. drd. Maria Stoica (Liceul Nichita St nescu din Ploie ti):,,seria armonic. Propriet i ; 3. prof. Roxana Lic (Grupul colar energetic din Ploie ti):,,aplicarea metodelor de predare centrate pe elev în matematic ; 4. prof. Adelina Apostol ( coala general Nicolae Iorga din Ploei ti):,,aplica ii ale rela iilor metrice în triunghi i patrulater. 6

63 Lucr rile sesiunii au reunit un num r foarte mare de participan i credem, peste 0 care au audiat cu deosebit interes comunic rile, luând parte activ la discu ii i având interven ii pertinente. Organizatorii sesiunii au fost, ca de obicei, Inspectoratul colar Jude ean Prahova i Filiala S. S. M. R. Prahova. Din partea conducerii centrale a S.S.M.R. au participat prof. Mircea Trifu secretar general i semnatarul acestor rânduri. În fine, un ultim cuvânt de mul umire trebuie s adres m profesorului Constantin Bucur, directorul Colegiului Mihail Cantacuzino din Sinaia, care s-a dovedit a fi o gazd deosebit de amabil i primitoare. Diplomele de excelen ale S.S.M.R.pe anul 006 Dan Radu Biroul Consiliului S.S.M.R. a instituit acordarea Diplomei de excelen în fiecare an, începând cu anul 006. Aceasta reprezint, potrivit Regulamentului de acordare a diplomei, recunoa terea de c tre Societatea de tiin e Matematice din România (S.S.M.R.) a meritului acelor cadre didactice care, cu talent i perseveren, i-au d ruit întreaga via cultiv rii înv mântului matematic românesc i ale c ror cariere de excep ie constituie modele demne de urmat pentru genera iile urm toare. Comisia, format din patru membri (prof. univ. dr. Dan Brânzei, conf. univ. dr Eugen P lt nea, prof. Nicolae Sanda i prof. dr. Marcel ena) i având ca pre edinte pe prof. univ. dr. Dorin Popescu, a analizat propunerile primite i a decis prin consens ca, pentru anul 006, diploma s fie acordat urm torilor: acad. Petru T. Mocanu, prof. univ. dr. Horea Banea, prof. univ. dr. Alexandru Lupa, prof. univ. dr. Mirela tef nescu, prof. Laura Constantinescu, prof. Liliana Niculescu i prof. Gheorghe Szöllösy. Se cuvine o scurt prezentare a activit ii laurea ilor. Acad. dr. PETRU T. MOCANU Universitatea Babe -Bolyai din Cluj-Napoca S-a n scut la iunie 93, la Br ila, ora în care urmeaz cursurile preuniversitare. Începând cu anul 950 se înscrie la Facultatea de Matematic a Universit ii din Cluj, pe care o absolv în 953. De aceast cetate cultural i tiin ific a Ardealului î i leag definitiv via a i activitatea. Ocup, pe rând, toate func iile unei cariere universitare de excep ie: asistent ( ), lector (957-96), conferen iar (96-970) i, dup 970, profesor universitar. La sugestia i sub îndrumarea maestrului s u, acad. Gh. C lug reanu, î i sus ine, în anul 958, teza de doctorat cu titlul,,metoda varia ional în studiul func iilor univalente. Acestui domeniu al analizei complexe îi dedic cea mai mare parte din activitatea sa tiin ific, devenind specialist de prim rang în domeniu. În perioada i este eful catedrei de teoria func iilor, urma de drept al ilustrului s u înainta, profesorul C lug reanu. A predat Analiz complex (curs de baz ), dar i alte cursuri speciale (Func ii univalente, Teoria geometric a func iilor, Spa ii Hardy etc.). A fost profesor vizitator la Institutul Politehnic din Conakry (Guineea) i la Bowling Green State University, Ohio, S.U.A. A îndeplinit între anii i , func ia de decan al Facult ii de Matematic, iar apoi, în perioada pe aceea de prorector al universit ii clujene. Este Doctor Honoris Causa al Universit ilor din Sibiu i Oradea, este membru corespondent al Academiei Române din 99, membru al Societ ii Americane de Matematic (A.M.S.) i membru al Societ ii de tiin e Matematice din România (chiar de la înfiin area Filialei Cluj a Societ ii 63

64 în 964). A fost pre edintele acestei filiale i apoi, timp de dou legislaturi, între , a fost pre edintele S.S.M.R. Este redactor ef al revistei clujene Mathematica i membru în comitetele de redac ie ale revistelor Studia UBB i Bulletin Mathématique de la Société des Sciences Mathématiques de Roumanie. S-a îngrijit de apari ia volumului,,gheorghe C lug reanu, Opere alese, Editura Academiei, 99. Din anul 97 a fost coordonator a peste 35 lucr ri de doctorat. În reviste interna ionale de prestigiu a publicat un num r de 50 de articole, iar în reviste române ti, 5 de articole. Multe din rezultatele proprii sunt citate, utilizate sau extinse în peste 500 de articole sau teze de doctorat de peste 50 de autori. A r mas legat i de matematicile elementare. Exemplific m prin articolul,,observa ii privind calculul unor integrale în Revista de matematic a elevilor din Transilvania (994) i, mai ales, prin materialele prezentate la seminarul de Didactica Matematicii. În Gazeta Matematic a publicat,,despre o teorem de acoperire în clasa func iilor univalente, pecum i articole comemorative (Gh. C lug reanu) sau aniversare (Cabiria Andreian- Cazacu). Om de o vast cultur în domenii incluzând: matematica, literatura, muzica (este un reputat violonist), profesorul Petru Mocanu este un om de o mare modestie i bun tate. În vara anului 006 a fost s rb torit la cei 75 de ani de via. Au fost de fa persoane reprezentative din conducerea Universit ii i a Facult ii clujene, delega i ai altor universit i din ar, reprezentan i ai Academiei Române. Cu aceast ocazie i s-a înmânat Diploma de excelen a S.S.M.R. Prof. univ. dr. HOREA BANEA Universitatea Transilvania din Bra ov S-a n scut la 7 septembrie 934 în ora ul Cluj. Studiile universitare le urmeaz la Facultatea de Matematic i Fizic a Universit ii din Bucure ti (95-957), iar dup absolvire func ioneaz ca preparator la Catedra de Matematic a Institutului Politehnic din Bra ov ( ). O perioad este profesor la coala tehnic postliceal Steagul Ro u i la Liceul teoretic Andrei aguna din Bra ov (pân în 970), apoi lector la I.C.P.P.D., filiala Bra ov ( ), lector ( ) i conferen iar ( ) la Universitatea Transilvania din acela i ora. În anul 003 este numit, prin ordin al ministrului, profesor universitar onorific. La septembrie 004, Catedra de ecua ii a Facult ii de Matematic -Informatic a universit ii bra ovene îl s rb tore te pe prof. univ. dr. Horea Banea, printr-o sesiune tiin ific jubiliar, cu prilejul împlinirii vârstei de 70 de ani i a ie irii la pensie ( octombrie 004). În anul 974 sus ine teza de doctorat cu titlul,,ecua ii diferen iale de ordin neîntreg. În referatul asupra lucr rii, conduc torul tiin ific, acad. Miron Nicolescu, scria,,... Curentul general al cercet rii matematice apare ca un uvoi puternic care duce cu el aproape întreaga înc rc tur a gândirii matematice. Din loc în loc, totu i, de-a lungul albiei principale a acestui uvoi apar încerc ri de evadare. Unele sunt repede abandonate. Altele sunt continuate, pe linii secundare, între inute de convingerea celor care le efectueaz c va veni vremea în care astfel de cercet ri vor fi integrate în curentul general al cercet rii. Atât intui ia autorului privind alegerea subiectului, cât i aprecierile profesorului Miron Nicolescu au fost confirmate chiar în anul sus inerii tezei (coinciden!) de Conferin a interna ional,,fractional Calculus and its applications desf urat la New York, dar i de lucr ri de mai târziu (a se vedea, de exemplu, monografiile,,integrale i derivate de ordin frac ionar i unele aplica ii ale lor, S.G. Samco, A.A. Kilbas, O. I. Maricev, 688 pag, 987,,,Fractional differential equation, 998). S men ion m aici, ca,,incident amuzant-amar, referatul f cut articolului,,sur l'interpretation de l'operateur de dérivation d'ordre fractionnaire trimis Bulletin-ului editat de S.S.M.R. în 64

65 anul 978:,,... inând seama c observa ia cuprins în articol poate prezenta interes, fie i ca o curiozitate, recomand m publicarea.... Pe lâng aceast tem, activitatea tiin ific a domnului profesor s-a realizat pe alte dou direc ii: Ecua ii diferen iale cu parametru mic pe lâng derivatele de ordin superior i Metodica pred rii matematicii. O bun parte a activit ii este legat de unele aspecte ale înv mântului matematic, fie ele cercet ri de natur metodic, fie de preg tire a elevilor pentru matematica de performan, fie de perfec ionarea profesorilor din înv mântul preuniversitar. A condus peste 00 de lucr ri pentru ob inerea gradului didactic I, unele dintre acestea transformându-se în c r i tip rite (men ion m aici doar lucr rile regreta ilor profesori Oliver Konnerth,,,Gre eli tipice în înv area analizei matematice, 98 i Florin Cârjan,,,S înv m geometrie, 984, la cel din urm fiind cooptat i în comisia de doctorat). A organizat conferin e de matematici pentru profesori, având invita i de seam : Florica Câmpan, Ciprian Foia, Solomon Marcus, N. N. Mih ileanu, Alexandru Popescu-Zorica. A f cut parte din comisiile pentru realizarea programelor în vederea ob inerii gradelor didactice i din cele de examen. În vederea preg tirii elevilor pentru concursurile de matematic a tradus dou c r i de referin :,,Probleme de matematic din revista sovietic Kvant, 983 i,,olimpiadele matematice ruse ti, , 004. De men ionat c volumul al doilea al primei lucr ri nu a mai v zut lumina tiparului. El a circulat pe foi dactilografiate în cadrul taberelor de preg tire a elevilor pentru etapa final a olimpiadei. În prezent este pre edintele concursului,,lauren iu Duican, dincolo de func ie ascuzându-se de fapt (chiar dac nu este singur) responsabilitatea selec ion rii problemelor propuse. A sprijinit publica iile Societ ii, realizând, sub redac ia filialei Bra ov a S.S.M.R., mai multe numere ale Gazetei Matematice, seria B (fiind pân în 996, membru în Comitetul de redac ie al acestei reviste), sau propunând articole metodice pentru Gazeta Matematic, seria A. Este autorul unor lucr ri legate de problemele propuse între anii la examenele profesorilor de matematic sau de metodic (,,Metodica pred rii matematicii, 998). A participat cu lucr ri (referate, comunic ri) la activit ile organizate de filialele S.S.M.R. Bra ov, Sibiu, Sf. Gheorghe, Râmnicu S rat, Prahova, Tulcea. Pân în 99, timp de 5 ani, a de inut func ia de vicepre edinte al Filialei Bra ov a S.S.M.R., iar timp de trei ani ( ) a f cut parte din Consiliul Societ ii. În prezent este pre edinte de onoare al Filialei Bra ov.,,întrucât... am avut mai multe activit i cu profesorii i studen ii (unii au ajuns profesori remarcabili), a putea, for ând lucrurile, s -mi atribui o infim p rticic din succesele avute de elevii lor, despre care unii m-au informat, dar aceast tranzitivitate de merite reprezint doar firul de leg tur între genera iile succesive de dasc li, noteaz undeva, domnul profesor cu fine e i modestie. Diploma de excelen a S.S.M.R. i-a fost înmânat la Sinaia, în cadrul celei de-a XXXIIIa Sesiune metodico- tiin ific organizat de Filiala Prahova a Societ ii. Prof. univ. dr. ALEXANDRU LUPA Universitatea Lucian Blaga din Sibiu S-a n scut la 5 ianuarie 94 în ora ul Arad. Dup absolvirea Facult ii de Matematic a Universit ii din Cluj (964), func ioneaz ca cercet tor tiin ific principal la Institutul de Calcul al Academiei Române, Filiala Cluj, i la Institutul de Tehnic de Calcul din aceea i localitate pân în 976. Devine lector la Institutul de Înv mânt Superior din Sibiu, Facultatea de Mecanic ( ), apoi conferen iar ( ) i profesor la Universitatea Lucian Blaga, Facultatea de tiin e, Catedra de Matematic. De-a lungul anilor, acoper prin preocup rile domniei sale domenii de interes ca: Analiz matematic, Matematici economice, Matematici financiare i actuariale, Teoria aproxim rii, Analiz matematic, Func ii speciale, Securizarea datelor. Prime te titlul de doctor în tiin ele naturii, specializarea matematic (cu distinc ie) la Universitatea din Stuttgart, în 97, iar, în anul 976, titlul de doctor în matematici la Universitatea Babe -Bolyai 65

66 din Cluj, cu lucrarea,,contribu ii la teoria aproxim rii prin operatori liniari. A absolvit Institutul Goethe (97) i a fost bursier Humboldt la Universit ile din Stuttgart i Dortmundt. Activitatea tiin ific se concretizeaz în peste 00 de articole publicate în reviste de prestigiu din ar i str in tate, citate de peste 50 de autori, a ase monografii i a zece cursuri universitare. Din anul 994 este conduc tor de lucr ri de doctorat (8 doctori i 5 doctoranzi). A fost invitat s conferen ieze în Germania, Bulgaria, Suedia. A participat cu lucr ri la Congresul Interna ional al Matematicienilor din 968 de la Moscova. Este referent tiin ific la prestigioasele reviste Mathematical Reviews i Zentralblatt für Mathematik. A organizat Simpozionul Na ional de Inegalit i (4 edi ii, începând din 98), a ini iat i organizat Ro Ger-Seminar (6 edi ii). Activitatea domnului profesor a fost apreciat cu distinc ii ca: Medalia jubiliar a S.S.M.R. (Centenarul Gazetei Matematice 995), Ordinul Meritul pentru înv mânt în grad de ofi er (004), Medalia de argint pentru merite în înv mânt a Rectoratului Universit ii Lucian Blaga din Sibiu (005). Împ timit filatelist i bibliofil, are importante semnal ri la revistele Curierul Filatelic i Filatelia. A îndeplinit importante func ii: rector interimar al Universit ii din Sibiu (990), Decan al Facult ii de tiin e de la aceea i universitate (990-99). A r mas un pasionat al matematicilor elementare, dovad fiind numeroasele note, articole i probleme publicate în Gazeta Matematic (ambele serii), RMT. Este deja foarte cunoscut nota,,asupra problemei 579 din Gazeta Matematic (GMB-8/976) în care d o elegant solu ie problemei lui Traian Lalescu. Mai amintim,,asupra num rului e (GMB-976),,,Câteva probleme deosebite (GMA-999),,,Cum apreciem unele solu ii (GMA-/00). A mai publicat în revistele Astra din Sibiu i Octogon (fost Gamma), Arhimede, dar i în Mat. Vesnik i American Mathematical Monthly. A fost pre edintele Filialei Sibiu a S.S.M.R. (977-99). Diploma de excelen a S.S.M.R. i-a fost înmânat la Universitatea Lucian Blaga din Sibiu în cadrul unei activit i festive. Prof. univ. dr. MIRELA TEFANESCU Universitatea Ovidius din Constan a S-a n scut pe 8 decembrie 94, în com. Ghirdoveni, jud. Dâmbovi a. Studiile preuniversitare le urmeaz la Câmpulung Muscel i Câmpina. În clasele a IX-a i a X-a particip la faza pe ar a Olimpiadei de Matematic, ca reprezentant a regiunii Ploie ti. Este absolvent a Facult ii de Matematic a Universit ii din Ia i, promo ia 964, cu diplom de merit, ceeaceaf cuts fiere inut în facultate, ca preparator. Devine, pe rând, asistent ( ), lector ( ) i conferen iar ( ) la aceea i facultate. În 985 beneficiaz de o burs la Universitatea din Tübingen. Din 993 este profesor universitar la Universitatea Ovidius din Constan a. În 977 î i sus ine teza de doctorat cu tema,,coresponden e între structuri algebrice. A inut cursuri i seminarii de Teoria grupurilor, Aritmetica i teoria numerelor, Teoria categoriilor, Algebre universale, etc. Din 99 este conduc tor de doctorat, cu 0 doctori i 6 doctoranzi. Public unsprezece c r i: Teoria lui Galois, Ex Ponto, 00, Introducere în teoria grupurilor, Algebre Jordan, 00.a. i peste 50 de articole în reviste de prestigiu din ar i str in tate. Particip la peste 40 de conferin e interna ionale. Este membru în colectivele de redac ie ale revistelor,,analele tiin ifice ale Universit ii Ovidius din Constan a, Mathematical Reports, ROMAI Journal. Este organizator al unor importante conferin e de algebr la Ia i i Constan a. A condus, începând cu 970, peste 5 de lucr ri pentru ob inerea gradului I în înv mânt pentru profesori din jude ele Moldovei i Dobrogei. A îndeplinit func ia de inspector colar general la Inspectoratul colar Constan a ( ) i de pre edinte al Consiliului Na ional pentru Aprobarea Manualelor (999-00). 66

67 Pre edintele Emil Constantinescu îi acord medalia,,pentru Merit în grad de comandor (dec. 000). Este membru al S.S.M.R. din 964. A f cut parte din Comitetul Filialei Ia i a Societ ii (pre edinte prof. univ. Adolf Haimovici), ocupându-se de organizarea cursurilor de var pentru profesorii din înv mântul preuniversitar, la Piatra Neam (997, 998), precum i din Consiliul Societ ii, iar, în mai multe rânduri, din Comisia de organizare a Olimpiadei Na ionale de Matematic. Diploma de excelen a S.S.M.R. i-a fost acordat la Universitatea,,Ovidius din Constan a, cu ocazia deschiderii colii Na ionale de Algebr, septembrie 006. Prof. LAURA CONSTANTINESCU Liceul Teoretic Octavian Goga din Sibiu S-a n scut la martie 935, la Sibiu, p rin ii fiind profesori în acela i ora. A urmat coala primar pe lâng coala Normal de fete, trei clase gimnaziale la Liceul Domni a Ileana, iar liceul la coala Medie nr. 3 (actualul Liceu teoretic Octavian Goga) din Sibiu. Pasiunea pentru matematic i-a fost insuflat în liceu de c tre profesoara de excep ie care a fost Maria Vasu. Ca urmare, între , urmeaz cursurile Facult ii de Matematic -Fizic, sec ia matematic a Universit ii din Bucure ti. Aici are ca profesori pe to i marii matematicieni ai timpului Cabiria Andreian-Cazacu, Dan Barbilian, Alexandru Froda, Aristide Halanay, Constantin Ionescu-Tulcea, Mihai Neculce, Octav Onicescu, Miron Nicolescu, Grigore Mosil, Caius Iacob, Nicolae Teodorescu, Victor Vâlcovici, Gheorghe Vr nceanu. Examenul de stat îl sus ine la acad. Nicolae Teodorescu cu lucrarea,,metode func ionale în studiul ecua iilor cu derivate par iale de tip eliptic, apreciat cu calificativul,,foarte bine. Dup absolvire, func ioneaz ca dasc l, la Sibiu, la liceul pe care l-a urmat, de unde se pensioneaz în anul 990. Pentru scurt timp func ioneaz i ca asistent la catedra de matematic la coala Militar Superioar de Ofi eri Nicolae B lcescu din Sibiu. Ob ine gradul I în înv mânt înanul 973, pre edinte de comisie fiind acad. Gheorghe Mihoc. Are o preocupare constant în preg tirea elevilor cu aptitudini deosebite pentru matematic ; astfel elevii Radu Magda, Dumitru Z gan, Petru Stângescu vor face parte din laurea ii olimpiadelor na ionale, iar elevul Ilie Bârz este cooptat în lotul pentru,,interna ional. Al turi de al i distin i profesori de matematic din liceu (Ilie St nescu, Harald Müller, Oliver Konnerth, ca s d m numai câteva exemple) a f cut ca aceast unitate colar s fie men ionat cu rezultate deosebite în activitatea cercurilor de elevi, iar rubrica rezolvitorilor din Gazeta Matematic în care se nominalizeaz elevi sibieni s fie constant substan ial. A prezentat la cercurile pedagogice, la activit ile S.S.M.R. sau la consf turi na ionale materiale legate de teme noi care urmau s fie introduse în programele colare (No iuni de teoria grupurilor, 958, Transform ri geometrice, 96, Bazele program rii linaire, 963, Elemente de teoria probabilit ilor, 964, Structuri algebrice, elemente de logic matematic, 966, Câteva no iuni de lingvistic matematic, 968, Calculatorul i prelucrarea datelor, 97). Tot în acela i cadru a prezentat i multe materiale de metodic (observa ii asupra proiectelor de program de matematic în liceu, 963, Asupra manualului de geometrie, 966, Rolul contraexemplelor în predarea matematicii, 978). A f cut parte din comisiile pentru ob inerea gradelor didactice i a olimpiadelor na ionale de matematic (Bucure ti, Constan a, Gala i). Este autor (în colaborare) a manualului de geometrie pentru clasa a IX-a, ap rut în 964 i folosit, cu revizuiri, pân în 978. De-a lungul anilor a colaborat cu probleme propuse la diferite publica ii, în special la Gazeta Matematic, seria B, unde a publicat peste 00 de probleme. În anul centenarului acestei reviste este premiat pentru cea mai bun problem propus. Colaborarea cu Gazeta Matematic 67

68 a continuat i dup pensionare, cu regretul c geometria plan, domeniu predilect, pierde din ce în ce mai mult teren. A primit, prin decret preziden ial, titlul de Profesor Emerit, în 974. A fost distins, de asemenea, cu Diploma de onoare a S.S.M.R., precum i cu diplomele Liceului Octavian Goga, respectiv Inspectoratului colar Sibiu (00). Diploma de excelen a S.S.M.R. i-a fost înmânat în cadrul unei ac iuni a Filialei Sibiu a Societ ii. Profesor LILIANA NICULESCU Colegiul Na ional Carol I din Craiova S-a n scut la 9 ianuarie 947 la Sibiu, ora ul în care urmeaz toate cursurile preuniversitare. Este absolvent a Facult ii de Matematic -Mecanic, Universitatea din Bucure ti, promo ia 970. Func ioneaz ca profesor de matematic, la început la Liceul Pedagogic din Bucure ti, apoi, cea mai mare parte a timpului, la Colegiul Carol I din Craiova, de unde se pensioneaz în anul 004. Ca elev a colii medii nr. 3 din Sibiu (actualul Liceu Teoretic Octavian Goga) este men ionat în Gazeta Matematic în anul 964 ca având o activitate deosebit la rubrica rezolvitorilor. Un an mai târziu, îi apare în revist prima problem propus. Anul 965 se pare c îi este favorabil: este cooptat în urma barajelor succesive în lotul l rgit i apoi în echipa României, care participa cu 8 elevi la cea de-a VII-a Olimpiad Interna ional de Matematic de la Berlin (devine prima elev selectat în lotul pentru,,interna ionale, performan care va fi reeditat peste mul i ani de eleva Ana Caraiani). Rezultatul la Berlin este pe m sura a tept rilor: o medalie de argint (din cele patru ale României, care ocup un merituos loc trei, dup U.R.S.S. i Ungaria), totodat realizând cel mai bun punctaj din lotul românesc i cel mai mare punctaj dintre toate elevele participante! A fost desemnat s rosteasc, din partea elevilor, cuvântul de închidere la olimpiad. Pasiunea pentru activitatea matematic de perfoman a r mas o constant în preocup rile de mai târziu ale doamnei profesoare. Se poate mândri, în acest sens, cu elevul Mugurel A. Barc u (medalie de aur la Balcaniada de la Sofia, 985, medalie de argint, respectiv de aur, la Olimpiadele Interna ionale de la Helsinki, 985 i Havana, 987), dar i cu înc 3 premian i la fazele finale ale concursului de matematic care, în prezent, sunt doctori sau doctoranzi în matematic. În ultimii cinci ani are apte premian i la faza na ional a concursului de matematic i doi premian i la Concursul Na ional de Matematic din Bulgaria. A f cut parte din Comisia central a olimpiadelor na ionale de matematic de la Râmnicu Vâlcea, Arad, Boto ani, Constan a, Sibiu, Bistri a; a înso it echipa României la Balcaniadele de matematic din Cipru (980) i Iugoslavia (989), a f cut parte din comisiile de coordonare a Balcaniadei de la Constan a (99) i a Balcaniadei de juniori de la Târgu Mure (00). Este autor sau coautor la 3 manuale i 6 culegeri de probleme destinate elevilor din înv mântul preuniversitar i peste 0 note i articole publicate în revistele Gazeta Matematic, Cardinal, i eica, unde face parte i din colegiile redac ionale. De asemenea a f cut parte din Comisia de evaluare a manualelor colare (00). În prestigiosul Colegiu Na ional Carol I din Craiova a participat la preg tirea elevilor în cadrul grupelor de excelen, a contribuit la organizarea celor ase edi ii ale Concursului de matematic,,ion Ciolac, , iar prin Programul Socrates, a participat la programele Funda iei,,n. Vasilescu-Karpen. A primit titlul de profesor eviden iat în anii 98, 983. Este membru al S.S.M.R. din anul 970. Diploma de excelen a S.S.M.R.i-a fost acordat în ambientul deosebit al Casei Universitarilor din Craiova, în cadrul unei activit i organizate de Filiala Craiova a Societ ii. 68

69 Prof. GHEORGHE SZÖLLÖSY Colegiul Na ional Drago Vod din Sighetu Marma iei S-a n scut la 7 septembrie 939, în Oradea. A absolvit Liceul I. Ranghe (în prezent liceul Farca Bolyai) din Târgu Mure în anul 954, apoi Universitatea din Cluj, în anul 958. În continuare func ioneaz ca profesor de matematic la mai multe unit i de înv mânt din Sighetu Marma iei, pensionându-se în anul 998 de la Colegiul Na ional Drago Vod din localitate. În cei 40 de activitate didactic a preg tit sute de absolven i care sunt în prezent profesori, economi ti, ingineri. Printre ace tia, un loc deosebit îl ocup Bogdan i Orest Bucichovski, primul, câ tig tor al Olimpiadei Na ionale, clasa a X-a (979), cel de-al doilea, medaliat cu argint la olimpiadele interna ionale de matematic de la Washington (98), Budapesta (98) i Paris (983). O activitate cu adev rat remarcabil a domnului profesor este aceea de propun tor de probleme. A început s publice probleme din anul 964, în Gazeta Matematic, Revista Matematic din Timi oara (în limba român ), Matlap (în limba maghiar ) i Octogon (în limba englez ). Recent, dup o munc sus inut, a reu it sistematizarea pe teme a problemelor (peste 4500, dintre care 300 publicate), în vederea realiz rii unui volum aflat deja în aten ia unei edituri. S men ion m c mai mult de jum tate dintre problemele propuse au fost,,n scocite dup pensionare... Este membru al filialei Maramure a S.S.M.R., înc de la înfiin are. Este un reputat juc tor de tenis de mas (a fost finalist la campionatul republican din 959) i de ah (finalist la campionatul republican pe echipe), dar i un cunoscut juc tor de bridge (campion al Transilvaniei în 975 la perechi, ob inând i dou medalii de bronz la campionatul na ional pe echipe). Diploma de excelen a S.S.M.R. i-a fost înmânat în cadrul unei edin e festive a filialei Maramure a Societ ii, organizat cu aceast ocazie. Mircea Trifu REVISTA REVISTELOR R. M. M. revista de matematic mehedin ean Domnul profesor Gheorghe C iniceanu din Turnu Severin redactorul ef al publica iei ne-a expediat ultimul num r ap rut al revistei, anume nr. 6 din decembrie 006. Revista dedic un mare num r de pagini Concursului interjude ean,,petre Sergescu, prezentând programul simpoziomului na ional organizat cu aceast ocazie (39 de comunic ri), subiectele de concurs (clasle IV-XII), lista complet de laurea i ai concursului, precum i o selec ie de referate prezentate cu aceast ocazie. De asemenea, în acest num r se inaugureaz i o rubric nou destinat prezent rii unor scurte biografii ale elevilor mehedin eni care s-au realizat profesional cu ajutorul matematicii, fie în ar, fie pe alte meleaguri. Ni se pare benefic i interesant aceast ini iativ, care ar fi bine s fie preluat i de alte publica ii locale, deoarece realizare pe plan profesional a unor membrii ai comunit ii locale poate constitui un real îndemn pentru elevi s se dedice studiului matematicii. În fine, trebuie s men ion m numeroasele materiale grupate sub genericul,,cercul de matematic, precum i iar i ca un fapt pozitiv i cu caracter emulator publicarea unor liste complete a tuturor laurea ilor din jude ai diverselor concursuri locale i na ionale. Oricum, R. M. M. sparge tiparele obi nuite în care sunt concepute publica iile locale de profil ( i care calchiaz, în genere, Gazeta Matematic ) dovedindu-se, în continuare, o apari ie proasp t i interesant. S fie aceasta explicabil i prin caracterul prea pu in mercantil (reflectat i printr-o list redus de rezolvitori) impus publica iei de Colegiul Redac ional? Dan Radu 69