Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download ""

Transkripsi

1 Å˹ ½ ¼ Ä Ò Ö Ð Ö Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ 3.5 Ã Ø Ø Ü µ Ü µ Ü µ 3 Ü µ.5 Ø Ü µ 3 Ü µ.5 Ø « Ü Ü ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ ÐÝ ÒÒ ØØÝ Ú Ö Ó ÑÑ Ø Å Ø Ô ÖÙ ÙÖ Ä Ò Ú Ø Ú Ø Ó Ø º ËÝ Ý ¾¼½

2 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ë ÐØ Å Ö ÒØ ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ½º½º Ñ Ö Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ½º¾º È ÖÙ ØØ Ø ¾º Ä Ò Ö Ø Ý Ø Ñ Ø ¾º½º È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ¾º¾º Ä Ò Ö Ò Ò Ú Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý ØÐ ¾º º Ð Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ½ ¾º º Ä Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ð ÙÙ ¾ º Ê Ø ÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ý ØØ ÝÝ ¾ º½º Ñ Ö ¾ º¾º È Ö Ä Ò Ð Ø Ö Ø Ó ¾ º º Â Ø ÙÚ Ö ÔÔÙÚÙÙ Ð Ù Ó Ø ½ º º Ê Ø Ù ÙÚ Ù Ú ÖØ Ù ¾ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ º½º Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓØ º¾º Ö ÒØØ Ý Ø Ñ Ø ¼ º º È Ö Ó Ø Ö Ø ÙØ ½ º ÆÙÑ Ö Ø Å Ò Ø ÐÑØ º½º ÁÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ º¾º Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÑ Ò Ø ÐÑØ º º ÔÐ ØØ Ø ÊÙÒ ÃÙØØ Ñ Ò Ø ÐÑØ º º Ã Ò Ø Ø ØÚØ ÑÔÐ ØØ Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ ¼ º º ÅÓÒ ÐÑ Ò Ø ÐÑØ Î ØØ Ø

3 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ Å Ö ÒØ ÆÓÖÑ Ø Î ØÓÖ Ò x,y C n ØÙÐÓ Ñ Ö ØÒ x,y = y x = n j= x jy j. ÌØ Ú Ø Ú ÒÓÖÑ Ñ Ö ØÒ x = x,x = ( n j= x j ). Å ØÖ Ò A C n n ÒÓÖÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ A = max Ax. x = ÌÐÐ ÔØ Ax A x. AB A B, A k A k. A i,j a ij. ÌÓÔÓÐÓ a R n ¹ Ø ρ ¹ Ø Ø ÚÓ ÒØ ÙÐ ØØÙ Ô ÐÐÓ Ñ Ö ØÒ B ρ (a) = { x R n x a < ρ }, B ρ (a) = { x R n x a ρ }. ÂÓÙ ÓÒ Ω R n ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÒ Ω c = R n \Ω = { x R n } x Ω. Ω ÓÒ ÓÒÚ Ó ÔØ x, y Ω ( t)x+ty Ω t [,]. Ω ÓÒ ÚÓ Ò Ó x Ω ρ > Ø Ò ØØ B ρ (x) Ω. Ω ÓÒ x Ò ÝÑÔÖ Ø Ó Ω ÓÒ ÚÓ Ò x Ω. Ω ÓÒ ÙÐ ØØÙ Ó Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÒ ÚÓ Òº Ω ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ R Ø Ò ØØ Ω B R (). Ω ÓÒ ÓÑÔ Ø Ó ÓÒ ÙÐ ØØÙ Ö Ó Ø ØØÙº Ω ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ó ÓÐ ÓÐ Ñ ÚÓ Ñ ÓÙ Ó U U Ø Ò ØØ U Ω, U Ω, U U = Ω U U. Å ØÖ Ø ÇÑ Ò ÖÚÓØ Å ØÖ Ò A C n n ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ Λ(A) = { λ C det(λi A) = }. ÂÓ A ÓÒ ÖÑ ØØ Ò Ò A = A, Ò Ò Λ(A) R minλ(a) x Ax maxλ(a), ÐÐ x. x x ÐÐ Ò λ A ÐÐ λ Λ(A). ÄÙ Ù ρ(a) = max λ Λ(A) λ ÙØ ÙØ Ò A Ò Ô ØÖ Ð Ø º

4 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Λ(p(A)) = { p(λ) λ Λ(A) } Ó ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ p Λ(A ) = { /λ λ Λ(A) }, Λ(e ta ) = { e tλ λ Λ(A) }. ÈØ A = max { µ µ Λ(A A) }. Ê ÓÐÚ ÒØØ ÇÐ ÓÓÒ A C n n. ÃÓÑÔÐ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø ÓØ λ (λi A) ÙØ ÙØ Ò A Ò Ö ÓÐÚ ÒØ º Ê ÓÐÚ ÒØØ ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÓÙ Ó (C { })\Λ(A) º ÃÙÒ λ > ρ(a) ÔØ (λi A) = λ j= λ j Aj. ÇÐ ÓÓÒ Ω C ÐÙ Ø Ò ØØ Λ(A) Ω f : Ω C Ò ÐÝÝØØ Ò Òº ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ f(a) = f(z)(zi A) dz C n n, πi γ Ñ γ Ω ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð ÂÓÖ Ò¹ ÝÖ Ø Ò ØØ Ó Ó Λ(A) Ò ÔÙÓÐ ÐÐ º Af(A) = f(a)aº ÂÓ A B ÓÚ Ø Ñ Ð Ö Ø B = SAS Ò Ò f(b) = Sf(A)S ÂÓ f ÐÐ ÓÒ Ω ÙÔÔ Ò Ú ÔÓØ Ò Ö f(z) = j= c jz j Ò Ò ÔØ f(a) = j= c ja j º ÃÙÚ Ù Ø º ÇÐ ÓÓÒ f ÙÚ Ù R n R m. f Ò Ó ØØ Ö Ú ØØÓ Ñ Ö ØÒ f/ x i, Ø ÐÝ Ý Ø i f. ÂÓ f ÓÒ Ø ÙÚ ÓÙ Ó Ω, Ò Ò ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ f C(Ω). Î Ø Ú ¹ Ø Ó f Ò Ó ØØ Ö Ú Ø Ø ÖØ ÐÙ ÙÙÒ k Ø ÓÚ Ø Ø ÙÚ Ò Ò Ñ Ö ØÒ f C k (Ω). ÇÐ ÓÓÒ f C (Ω). ÌÐÐ Ò Df(x) = f x (x) R m n Ð f Ò Ö Ú ØØ Ô Ø x ÓÒ f (x) f x... (x) x n Df(x) = º ººº º. f m(x) x... f m(x) x n Ì Ö ÑÑ Ò ÒÓØØÙÒ ØÑÒ Ñ ØÖ Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ð Ò Ö ÙÚ Ù R n R m. ÌØ ÙØ ÙØ Ò ÑÝ Â Ó Ò Ñ ØÖ º ÂÓ f C, Ò Ò f(x) f(x ) = d f(x dθ +θ(x x ))dθ = Df(x +θ(x x ))dθ(x x ),

5 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ó Ø ÐÐ Ò f(x) = f(x )+Df(x )(x x )+o( x x ). ÂÓ f : R R n ÓÒ Ø ÙÚ Ò Ò b f(t)dt b a f(t) dt. Ë ÑÓ Ò Ñ ØÖ Ö¹ a ÚÓ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ º

6 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ½º ÂÓ ÒØÓ ½º½º Ñ Ö Ö ÒØ Ð Ý ØРغ ÌÑ ÑÓÒ Ø ØØ Ð Ø Ú ÐÐ Ø Ò ¹ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ý Ø Ñ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÑ Ò ÙÙ º Ì Ö Ø Ð ÑÑ ÐÙ ÑÙÙØ Ñ Ñ Ö Ó Ò Ô Ð ÑÑ ÑÝ ÑÑ Ò Òº Ñ Ö ½º½ Ê Ä¹Ô Ö µº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÚ Ò ÑÙ Ø Ú ÖØ Ô Ö Ñ e(t) ÓÒ Ò¹ Ò ØØÙ Ý ØØ ÒÒ Ø º Î ØÙ Ò Ò Ù Ø Ò Ò Ô Ø Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ò ÑÙ Ò u R (t) = Ri(t), u L (t) = Li (t), Cu C (t) = i(t). Ã Ö Ó Ò ÒÒ Ø Ð ÒÓÓ u R (t)+u L (t)+u C (t) = e(t). Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ u R u L ÑÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ý Ø Ñ Ò { u C ½º½µ (t) = i(t) C i (t) = u L C(t) R i(t)+ e(t) L L u R R i(t) e(t) L u L C u C ÌÑ ÓÒ ÑÙ Ú Ö Ó ØØ Ú ØÓÖ ÑÙÓ Ó º [ u C (t) i = C (t) L R L uc (t) Ø Ø Ò x(t) =, A = i(t) ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÐÝ Ý Ø Ñ Ö ½º¾º ][ uc (t) i(t) /C /L R/L x (t) = Ax(t)+b(t). ] [ + e(t) L ] b(t) =. e(t), ÓÐÐÓ Ò ½º½µ L ÃÙÚ Ò ÐÙÖ ÐÐ Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ð Ò ÑÙ Ò mv (t) = mgsin(θ(t)) ÓÑ ØÖ Ø v(t) = Lθ (t) ÌØ Ò ÐÙÖ ØÓØ ÙØØ { θ (t) = ½º¾µ v(t) L v (t) = gsin(θ(t)). θ L mg v(t) mg sin θ

7 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ [ θ(t) Å Ö ØÒ x(t) = f(x(t)) = x ] L (t). Æ Ò Ý Ø Ñ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ v(t) gsin(x (t)) ÐÝ Ý Ø x (t) = f(x(t)). Ñ Ö ½º È ØÓ Ð Ñ ÐÐ µº ½ ÇÐ ÓÓÒ s(t) ÓÐÐ Ò ÐÙ ÐÐ ÐÚÒ Ð Ð Ò ÑÙ Ùµ ÔÓÔÙÐ Ø Ó ÐÙ ÙÑÖµ Ø ÐÐ t p(t) Ú Ø Ú Ø Ô ØÓÐ Ò Ù µ ÔÓ¹ ÔÙÐ Ø Óº ÇÐ Ø ÑÑ ØØ ÑÙ Ø ÑÙ ÙÒ Ý ÓÐ º ÇÐ Ø Ø Ò Ð ØØ ÑÙ Ù ÐÐ ÓÒ ÖÙÓ Ò Ö ØØÚ Ø ÓØ Ò Ó Ò Ø Ý Ø Ò Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ð ÒØÝ ÚÙ¹ Ð Ò s (t) = as(t) ÑÙ Ø Ð Ð ÒØÝÑ ÒÓÔ Ù ÓÒ ÙÓÖ Ò Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ÔÓÔÙÐ ¹ Ø ÓÓÒº À Ù Ù Ø Ò Ò ÓÒ Ù Ò ÑÙ ÙÒ Ó Ø Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò s(t)p(t) Òº ÌÑ ÑÙÙØØ ÑÙ ÙÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ý ØÐ Ò ÑÙÓØÓÓÒ s (t) = as(t) bs(t)p(t) Î Ø Ú Ø Ó ÑÙ Ù ÓÐ Ù ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ú Ò Ð Ò p (t) = cp(t) ÑÙ Ø ÑÙØØ ÑÙ ÙØ Ô ØÚØ Ù Ø Ò ÑÑ Ý Ø Ñ Ò ½º µ s (t) = as(t) bs(t)p(t) p (t) = cp(t)+ds(t)p(t), Ñ a,b,c d ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ú Ó Ø º Ã Ö Ó Ø Ø Ò ØÑ Ú ØÓÖ ÑÙÓØÓÓÒ ØØ Ñ ÐÐ x(t) = (s(t),p(t)), ÓÐÐÓ Ò ½º µ x ax (t) bx (t) = (t)x (t) f (x = (t),x (t)) = f(x(t)). cx (t)+dx (t)x (t) f (x (t),x (t)) ½º¾º È ÖÙ ØØ Øº ½º½µ ½º¾µ ½º µ ÓÚ Ø Ñ Ö Ò ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒµ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ý Ø Ñ Ø Ð ÐÝ Ý Ø Ö ÒØ Ð Ý ØРغ ÇÐ ÓÓÒ f Ø ÙÚ Ù¹ Ú Ù R R n R n. ÌÐÐ Ò Ý ØÐ ½º µ x (t) = f(t,x(t)), x(t) R n ÙØ ÙØ Ò n Ñ Ò Ó Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ý Ø Ñ º ÃÓÑÔÓÒ ÒØØ ÑÙÓ Ó Ö Ó ¹ Ø ØØÙÒ ØÑ ÓÒ x (t) = f (t,x (t),x (t),...,x n (t)) ½º µ x (t) = f (t,x (t),x (t),...,x n (t)) º x n (t) = f n(t,x (t),x (t),...,x n (t)). ÂÓ f ÔÐ ØØ Ø Ö ÔÙ t Ø ÙØ Ò Ñ Ö ½º¾ ½º Ð Ý ØÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ x (t) = f(x(t)), Ò Ò Ý ØÐ ÙØ ÙØ Ò ÙØÓÒÓÑ º Ñ Ö ½º½ ÓÐ ÙØÓÒÓÑ Ò Ò Ñ Ð e(t) ÓÐ Ú Óµº Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÓÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ (α,β) R ÑÖ Ø ÐØÝ Ø¹ ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ Ú ØÓÖ ÖÚÓ Ø ÙÒ Ø ÓØ x : R R n, Ó ØÓØ ÙØØ ½º µ Ò ¹ ÐÐ t (α,β). Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò Ô Ð ÓÒ Ö Ø Ù Ñ Ö Ý ØÐ ÐÐ ½ ÎÓÐØ ÖÖ ØØ ØÑÒ Ñ ÐÐ Ò ½ ¾¼ ÐÙÚÙÐÐ Ö ÒÑ Ö Ò ÐÓ Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ò ÓÐÐ Ò ÝØØÝØݹ Ñ Ò Ð ØØÑ º

8 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ x = x ÓÒ Ö Ø ÙØ x(t) = ce t, Ú ÓÒ c C ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ º ÂÓØØ Ø Ò Ý ¹ ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÚÓ Ò ÒØ Ð ØÓ ÓØ ØÓØ ÙØÙÚ Ø Ú Ò Ø ØÝÐÐ Ú ÓÒ ÖÚÓÐÐ º ÌÐÐ ÙÖ ÐÐ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ô Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ Ñ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ý ØÐ ½º µ Ð ÓÐÐ x(t ) = x, Ð ÒÒ Ø ØÒ Ö Ø ÙÒ Ð Ø Ô Ø º Â Ø Ó ØÙÐÐ Ò Ò ÑÒ ØØ ÓÔ Ú Ò ÓÐ ØÙ Ò ØÑ ÝÐ Ò ÑÖ Ö Ø ÙÒ Ý ØØ Ø º ÃÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ÚÓ Ò Ô Ð ÙØØ ½º ÖØ ÐÙÚÙÒ Ý Ø Ñ ÙÖ Ú Ò Ø Ô Òº ØÐ ÐÐ Ø Ø Ò ÓÐÐÓ Ò Ò y (t) = g(t,y(t),y (t),y (t)) x (t) = y(t), x (t) = y (t), x 3 (t) = y (t), x (t) = x (t) x (t) = x 3(t) x 3(t) = g(t,x (t),x (t),x 3 (t)) ( ÅÖ Ø ÐÐÒ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ó f(t,x(t)) = x (t),x 3 (t),g ( t,x (t),x (t),x 3 (t) )), ÓÐÐÓ Ò Ð¹ ÙÔ Ö Ò Ò º ÖØ ÐÙÚÙÒ Ý ØÐ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ½º ÖØ ÐÙÚÙÒ ÑÙÓ Ó ½º µº ÆÙÑ Ö Ø Ò Ö Ø ÙÓ ÐÑ ØÓ Ò ÝØØ ÐÐÝØØ Ù Ò ØØ Ý Ø Ñ ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÑÙÓ¹ Ó ½º µº

9 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾º Ä Ò Ö Ø Ý Ø Ñ Ø ¾º½º È ÖÙ ÓÑ Ò Ù٠غ ÇÐ ÓÓØ A : R R n n b : R R n Ø ÙÚ ØÓ Ò ÒÓ Ò ÙÐÐ Ò t R, A(t) ÓÒ n n Ñ ØÖ b(t) n Ú ØÓÖ Ø Ò ØØ Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø a i,j (t) b i (t) ÓÚ Ø Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó Ø i,j =,...,n. Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ¾º½µ x (t) = A(t)x(t)+b(t) ÙØ ÙØ Ò Ð Ò Ö Ô ÓÑÓ Ò Ý ØÐ Ý Ø Ñ ¾º¾µ x (t) = A(t)x(t) Ð Ò Ö ÓÑÓ Ò Ý ØÐ º ÂÓ A Ö ÔÙ Ø ÓÒ Ý Ú Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý ØÐ º ÂÓ Ý Ø Ñ ÚÓ ØØ ÑÙÓ Ó ¾º½µ Ò Ò Ø ÙØ ÙØ Ò ÔÐ Ò Ö º Ñ Ö Ò ½º½ Ý Ø Ñ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ô ÓÑÓ Ò Ò Òº Ñ Ö Ø ½º¾ ½º Ø ÓÚ Ø ÔÐ Ò Ö º ÃÙØ Ò ÐÐ ÐÙÚÙ Ñ Ò ØØ Ò ÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ½º ÖØ ÐÙÚÙÒ Ý Ø Ñ Òº ÌÐÐ Ò Ó Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ý ØÐ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ò Ò ÑÝ Ú Ø Ú ½º ÖØ ÐÙÚÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Òº Ñ Ö Ý ØÐ ÐÐ y (t)+a (t)y (t)+a (t)y (t)+a (t)y(t) = g(t) Ø Ø Ò x(t) = (y(t),y (t),y (t)) ÓÐÐÓ Ò Ò Ý Ø Ñ x (t) = y (t) y (t) = x(t)+, y (t) a (t) a (t) a (t) g(t) Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ ¾º½µº Ä Ò Ö ÐÐ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÐÐ ÔØ Ä Ù ¾º½º µ ÂÓ x y ÓÚ Ø Ý ØÐ Ò ¾º¾µ Ö Ø Ù α,β R, Ò Ò αx + βy ÓÒ ÑÝ ¾º¾µ Ò Ö Ø Ùº µ ÇÐ ÓÓÒ x p Ó Ò ¾º½µ Ò Ö Ø Ùº ÌÐÐ Ò x p +y ÓÒ ¾º½µ Ò Ö Ø Ù Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ y ÓÒ ¾º¾µ Ò Ö Ø Ùº ÌÓ ØÙ º µ ÇÐ ÓÓØ x y Ý ØÐ Ò ¾º¾µ Ö Ø Ù α,β R. ÌÐÐ Ò d dt (αx(t)+βy(t)) = αx (t)+βy (t) = = αa(t)x(t)+βa(t)y(t) = A(t)[αx(t)+βy(t)]. µ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº Ñ Ö ¾º½º ÇÐ ÓÓÒ Ý ØÐ ½º½µ R = 4, C = /6, L = /4 e(t) = e 4t. Æ ÐÐ Ò Ý Ø Ñ 6 x (t) = x(t) e 4t.

10 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ x p = ( 4e 4t, e 4t) ÓÒ Ò Ö Ö Ø Ù e x 8t = e 8t x = (8t+)e 8t 4te 8t ÓÚ Ø ÓÑÓ Ò Ý ØÐ Ò Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ö Ø Ù ÙØ Ò Ó ØØ Ñ ÐРй ÔÓ Ø ØÓ Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ Ø ØØÚ Ð Ù ÓÒ x() = (, ) ØÓØ ÙØØ Ú Ö Ø Ùº ÐÐ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÙÓØÓ x = x p + c x + c x ÓÐ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø ½º½µ Ò Ö Ø Ù º Ð Ù ØÓ ØÓØ ÙØÙÙ ÙÒ Ú ÑÑ [ 4 ]+c [ ]+c [ ] = [ ], Ó Ø c =, c = x(t) = ( 4e 4t +(8t 3)e 8t, e 4t (4t )e 8t). ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ ÐÐ Ò Ò Ð Ù Ó Ú Ò Ð Ò Ö Ý Ø Ñ º ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ñ ØÒ Ú Ø Ú ÓÐ ÚÓ Ñ º ¾º¾º Ä Ò Ö Ò Ò Ú Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý ØÐ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò ÓÑÓ Ò Ø Ú Ó ÖØÓ Ñ Ø Ý ØÐ ¾º µ x (t) = Ax(t), Ñ A R n n º ÇÐ ÓÓÒ λ A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ v Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø º Av = λv µº Ø ØÒ ¾º µ Ò Ö Ø Ù ÑÙÓ Ó x(t) = η(t)v, Ñ η ÓÒ Ð Ö ÙÒ ¹ Ø Óº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ý ØÐ Ò ÑÑ η (t)v = A ( η(t)v ) = η(t)av = λη(t)v. ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ý ØÐ ØÓØ ÙØÙÙ Ó η ÓÒ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò η (t) = λη(t) Ö Ø Ùº ÌÑÒ Ñ ØÙÒÒ ÑÑ η(t) = ce λt, Ñ c ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ú Óº Ë Ø Ò Av = λv = ce λt v ÓÒ ¾º µ Ò Ö Ø Ùº ÇÐ ÓÓÒ A ÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ,λ,...,λ k ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v,v,...,v k. ÌÐÐ Ò ÙÒ ¹ Ø ÓØ c e λ t v,...,c k e λ kt v k ÓÚ Ø ¾º µ Ò Ö Ø Ù ÓØ Ò Ð Ù Ò ¾º½ ÑÙ Ò ÑÝ ¾º µ x(t) = c e λ t v +c e λ t v + +c k e λ kt v k ÓÒ ¾º µ Ò Ö Ø Ùº ÂÓ ÒÝØ k = n Ó Ú ØÓÖ Ø v,v,...,v n ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑ Ø Ò Ò Ð Ù Ó Ø x() = x Ò Ý ØÐ c v + +c n v n = x Ð c = V x, Ñ c = (c,...,c n ), V = [ v v... v n]. Æ Ò Ò ¾º µ x(t) = V [ e λ ] t... e λnt V x. ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÓØ Ò Ö e z = z k k= ÙÔÔ Ò ÐÐ z C. ÌØ Ò ÚÓ ÑÑ k! ÑÖ Ø ÐÐ e A = e z (zi A) dz, k= k! Ak = πi Ñ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð ÂÓÖ Ò¹ ÝÖ γ ÖØ Λ(A) Òº ÌÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø ØÖ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø γ

11 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ä Ù ¾º¾º ÇÐ ÓÓØ A, B V n n ¹Ñ ØÖ V Ð ÒÒ ÐÐ Ò Òº µ ÂÓ C = V AV, Ò Ò e C = V e A V. µ ÂÓ AB = BA, Ò Ò e A+B = e A e B. µ e A = (e A ). µ e (A ) = (e A ). ÌÓ ØÙ º µ Ó ÒØÝÝ ÔÓØ Ò Ë Ø Ò e V AV = k= k! (V AV ) k, (V AV ) k = V AV V AV V AV = V A k V. lim m m k= k! (V AV ) k = lim V m m k! Ak V = V e A V. µ¹ Ó ÚÓ Ò ÝØØ ÒÓÑ Ú ÔÓØ Ò Ò (A+B) k Ð Ñ Ó A B ÓÑÑÙØÓ Ú Ø k (A+B) k k! = j!(k j)! Aj B k j. ÌØ Ò e A+B = = j= k! (A+B)k = k= ( )( A j j! j= k= B k k! k= ( k k= ) j= A j j! = e A e B. ) B k j (k j)! Î Ñ ÐÐ Ö Ú ÐÐ ÖÖÝØØ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÙÑÑ Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÐÐ ØÙÐÓ Ø Ù ÝÒ ØÙÐÓµ Ó ÚÓ Ò ØÓ Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ º Ë ÔØ Ø ÑÝ Ñ ØÖ Ö Ó ÐÐ Ó A B ÓÑÑÙØÓ Ú Øº µ¹ Ó Ø ÙÖ µ Ø I = e = e A A = e A e A. µ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Å ØÖ Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÒ ÙÔÔ Ò Ú ÑÙØØ ÒÝØØ Ò Ð ÐØ Ð e A ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Øº ÄÚ Ø Ñ ØÖ Ò D = (d,d,...,d n ) ÔÓØ Ò Ø ÓÚ Ø D k = (d k,d k,...,d k n), ÓØ Ò ÐÐ Ò e D = k= k! Dk = k= d k k! ºº º d k n k= k! = e d ºº º e dn ÌØ Ò Ý ØÐ Ø ¾º µ Ò x(t) = V e tλ V x ÐÐ Ò Ó ta = V tλv Ò e ta = V e tλ V Ý ØÐ Ò ¾º µ Ö Ø Ù x(t) = e ta x º Ì ÝØ ØØ Ò ÝÚ A Ò ÓÒ Ð Ó ØÙÚÙÙØØ º ÄÓÔÔÙØÙÐÓ ÔØ Ù Ø Ò Ò ÝÐ Ø.

12 ½¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ä Ù ¾º º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ x(t) = e ta x. x (t) = Ax(t), x() = x ÌÓ ØÙ º ËÙÔÔ Ò Ú ÔÓØ Ò Ö Ó Ö ÚÓ Ø ÖÑ ØØ Ò ÓØ Ò d dt eta = d t (I +ta+ dt! A + t3 3! A3 +...) = = +A+tA + t! A3 + t3 3! A4 + = = A(I +ta+ t! A + t3 3! A3 +...) = Ae ta. Ë Ô ( d dt e ta x ) = ( Ae ta) x = A ( e ta x ). ÌÓ Ò ÒÓ Ò x(t) = e ta x ÓÒ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ö Ø Ùº ÇÐ ÓÓÒ x Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ó Ò Ö Ø Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ y(t) = e ta x(t). Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ò y (t) = Ae ta x(t)+e ta x (t) = Ae ta x(t)+e ta Ax(t) =. Ë y ÓÒ Ú Ó Ð Ù ØÓ ÒØ y(t) = y() = x. à ÖØÓÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ØÓ Ø Ò ØØ x(t) = e ta x, ÓØ Ò Ö Ø Ù ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÓÒ Ð Ó ØÙÚ Ò Ñ ØÖ Ò ÔÓÒ ÒØØ ÓÒ ÐÔÔÓ Ð Ñ Ö ¾º¾º Å ØÖ Ò A = [ ] ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø λ = λ =. Æ Ø Ú Ø Ú Ø ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v = [ ] v = [ ]. Ë Ø Ò A = V ΛV Ñ Λ = [ ], V = [ [ e e ta = V e tλ V t = = e t +e t e t e t e t e t e t +e t = ] ][ e t [ cosht sinht sinht cosht Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ø Ò e ta Ò ÚÓ ÝÐ Ø Ð º Å ØÖ N ÒÓØ Ò Ò ÐÔÓØ ÒØ Ó N l = ÓÐÐ Ò l. Ë ÐÚ Ø ØÐÐ Ò ÑÝ ÓÖ ÑÑ Ø ÔÓØ Ò Ø ÓÚ Ø ÒÓÐÐ º Ë Ø Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ e tn Ö Ø ÓØ Ò e tn = l k= Ñ Ö ¾º º Å ØÖ ÓÒ Ò ÐÔÓØ ÒØØ ÐÐ N = t k k! Nk = I +tn + t N + + tl (l )! Nl. N = N 3 =. Ë Ø Ò e tn = I +tn + t N = [ t t t ]. ] ].

13 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½½ ÂÓ A ÓÐ ÓÒ Ð Ó ØÙÚ Ò Ò ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò Ñ Ð Ö ÑÙÙÒØ ÂÓÖ Ò Ò ÑÙÓ¹ ØÓÓÒ J A. ÆÝØ e tj A ÓÒ ÐÓ ÓÐÚ Ø Ñ ØÖ ÓÒ ÐÓ ÓØ ÓÓ ØÙÚ Ø ÑÙÓØÓ e tj(λ,r) ÓÐ Ú Ø Ñ ØÖ Ø º ÆÑ ÚÓ Ò Ð ÙÖ Ú Ø ÂÓÖ Ò¹ÐÓ Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÐÚ Ø Ñ ØÖ Ò Ò ÐÔÓØ ÒØ Ò Ñ ØÖ Ò ÙÑÑ Ò ] λ λ. J(λ,r) = λi +N = = λ [ λ λ... λ Ñ N r = º ÃÓ λi N ÓÑÑÙØÓ Ú Ø Ò r e tj(λ,r) = e tλi+tn = e tλ j= t j j! Nj. Ñ Ö ¾º º Å ØÖ ÐÐ [ ] A = 3 Ò Ñ Ð Ö ÑÙÙÒÒÓ ÂÓÖ Ò¹ÑÙÓØÓÓÒ º Ð Ò Ö Ð Ö Ò ÑÓÒ Ø µ Æ Ò ÓÐÐ Ò V AV = J A = [ 4 4 ], Ñ V = [ e ta = V e tj A e V t = V e tj(4,) V [ ][ e t ] = e 4t [ t] = e4t (+t) e 4t (+t) e t e 4t e t te 4t e 4t ( t)+e e 4t +e t. te 4t e 4t (t )+e t e 4t +e t ]. À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ ½º Ç Ó Ø ØØ det(e ta ) = e t ØÖ(A). ¾º ÇÐ ÓÓÒ V C n n Ú ÒÓ ÖÑ ØØ Ò Ò V = V. ÆÝØ ØØ e tv ÓÒ ÙÒ Ø Ö Ò Ò ÐÐ t º Î Ø Ú Ø ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ö Ð Ø Ú ÒÓ ÝÑÑ ØÖ Ø Ñ ØÖ ¹ Ø ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Òº Ê Ð ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ A ØØ ÓÐÐ ÓÑÔÐ ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓØ ÒØÝÚØ Ð ØØÓÐÙ¹ ÙÔ Ö Ò α±iβ. ÂÓ w = u+iv ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓ λ = α+iβ Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Aw = λw, ÓØ Ò w = u iv Ú Ø ÓÑ Ò ÖÚÓ λ = α iβ. Ì ØÚÒ x = Ax Ö Ö Ø Ù ÓÒ x(t) = c e λt w +c e λt w. Ð Ò ÐÙØ Ò Ö Ð Ò Ò Ö Ø Ùº ØÐ Ò A(u + iv) = (α + iβ)(u + iv) Ö Ð Ñ Ò Ö Ó Ø Ò Au = αu βv α β ¾º µ Ð A[u v] = [u v]. Av = βu+αv β α

14 ½¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÌØ Ò Ô Ò Ò Ð ÙÒ Ð Ò ÑÑ Ö Ø ÙÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ cos(βt) sin(βt) x(t) = e αt [u v] c. sin(βt) cos(βt) Ã ÙÐÓØØ Ñ Ö º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ØÝÝÔÔ Ø Ô Ù Ý ØÐ Ø x = Ax. Æ Ñ A x(t) Λ(A) ÃÙÚ Ä e t x() {,} Æ ÐÙ e t x() {, } Ë ØÙÐ e t e t x() {,} Ò Öº Ð e t te t e t x() {,} Ã Ù cos(t) sin(t) x() sin(t) cos(t) { i,i} Ô Ø º Ó Ù cos(t) sin(t) e t x() sin(t) cos(t) {±i} ËØ Ð Ó Ù cos(t) sin(t) e t x() { ±i} sin(t) cos(t) Ì Ö Ø ØØ ÒÒ ØÙØ x(t) Ø ÓÚ Ø Ö Ø Ù º

15 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ ÃÚ Ð Ø Ø Ú Ø Ö Ø Ù Ò ÐÙÓÒÒ ÑÖÝØÝÝ A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ø º Ö ØÝ Ø Ê Ð Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÇÚ Ø Ó ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ø Ú Ø Ú Ö Ñ Ö Ø ÇÒ Ó ¹ØÖ Ú Ð ÂÓÖ Ò ÐÓ Ó ÃÓÑÔÐ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÇÒ Ó Ö Ð Ó ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ò Ø Ú Ò Ò Ú ÒÓÐÐ Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ø Ô Ù Ø ÒØÝÚØ Ñ Ò ÚÒÒ ØØÝ Ò Ñ Ö ¾º Ä µº Å ØÖ ÐÐ A = ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ =, λ = ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v = (, ), v = (, ). ÎÓ ÑÑ Ö Ó ØØ A = V ΛV, Ñ Λ =, V = [ v,v ] =, ÓÐÐÓ Ò e e ta = V e Λt V t e t e = e t = t e t e t. Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ x = Ax, x() = x Ö Ø Ù ÓÒ Ø Ò e t e x(t) = t e t a e e t = t (a a )+e t a a e t a Ë ÙÖ Ú ¾º ÙÚ ÓÒ ÑÙÙØ Ñ Ö Ø Ù ÝÖ Ö Ð Ù ÖÚÓ ÐÐ º ÌÐÐ Ý Ø Ñ Ð¹ Ð Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø ÓÖ Ó Ø ÔÓ Ô Òº A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Øº ÌØ ÙØ ÙØ Ò Ð Ø º. x x x x ¾º Ä ¾º Æ ÐÙ Ñ Ö ¾º Æ ÐÙµº Å ØÖ ÐÐ A = ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ = 3 λ = ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v = (, ), v = (, ). ÃÙØ Ò ÐÐ Ñ Ö ÑÑ e e ta 3t / / e = e t = / / t +e 3t e t +e 3t e t +e 3t e t +e 3t -

16 ½ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x = Ax, x() = x Ö Ø ÙÒ x(t) = e t (a a )+e 3t (a +a ) e t (a a )+e 3t (a +a ) ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ò Ø Ú Ø ÓØ Ò Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø ÓÖ ÓÓÒ Ô Ò º ¾º ÙÚ ÝÐеº ÌØ ÙØ ÙØ Ò Ò ÐÙ º. ÃÝ ÝÑÝ Å ÙÚ ¾º ÓÒ ÝÑÑ ØÖ ÑÔ Ù Ò ÙÚ ¾º Î Ø Ù ÃÓ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Øº Ñ Ö ¾º Ë ØÙÐ µº Å ØÖ ÐÐ A = 4 ÓÒ Ö Ñ Ö Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ = λ = 3 ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v = (,4 ) ( ), v =,. ÃÙØ Ò ÐÐ ÑÑ e e ta = t +4e 3t e t e 3t 5 4e t 4e 3t 4e t +e 3t Ð Ù ØÓ x() = x ÒØ Ö Ø ÙÒ e x(t) = t (a +a )+e 3t (4a a ) 5 e t (4a +4a )+e 3t. ( 4a +a ) x x ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø ÓÖ ÓÓÒ Ô Ò v - Ò ÙÙÒØ Ø ÙÓÖ Ô Ø Ò ØÒØݹ ¾º Ë ØÙÐ ÚØ ÝÑÔØÓÓØØ Ø v Ò ÙÙÒØ Òº 9 8 Ñ Ö ¾º Ô Ø Ð Ó Ù µº Å ØÖ ÐÐ A = ÓÒ ÓÑÔÐ Ò Ò ÓÑ ¹ 6 7 [ Ò ÖÚÓÔ Ö λ, = ± 8i. Î ØÓÖ Ø u = v = ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ø ¾º µ ] ÓØ Ò x(t) = e t (c c )cos(8t)+(c +c )sin(8t). c cos(8t)+c sin(8t) Ð Ù ÖÚÓÒ x() = a ØÓØ ÙØØ Ú Ö Ø Ù Ò x(t) = e t a cos(8t)+(a a )sin(8t) a cos(8t)+(a a )sin(8t). -.5 ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø Ô Ö Ð Ñ Ø ÓÖ Ó Ø ÔÓ Ô Òº ËÝ Ø Ñ ÙØ Ù¹ Ø Ò Ô Ø Ð Ó Ù º A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ö Ð Ó Ø ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Øº Ë ÙÖ Ú Ò ¾º ÙÚ Ò ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ø Ö Ð Ù ÖÚÓ Ø Ð Ø ÚØ Ö Ø Ù ÝÖغ

17 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ x x x x ¾º Ô Ø Ð Ó Ù ¾º ËØ Ð Ó Ù [ [ 3 Ñ Ö ¾º ËØ Ð Ó Ù µº Å ØÖ A = Ú ØÓÖ Ø u = v = ] ] ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ø ¾º µ ÓÑÔÐ ÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓÔ Ö ÐÐ λ, = ±i. ÃÙØ Ò ÐÐ Ö Ø Ù x(t) = e t a cost+( a +a )sint a cost+( a +a )sint ØÓØ ÙØØ Ð Ù ÓÒ x() = a. ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø Ô Ö Ð Ñ Ø ÓÖ ¹ ÓÓÒ Ô Òº ËÝ Ø Ñ ÙØ ÙØ Ò Ø Ð Ó Ù º A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ö Ð Ó Ø ÓÚ Ø Ò Ø Ú Øº ÐÐ ÓÐ Ú Ò ¾º ÙÚ Ò ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ½½ Ö Ð Ù ÖÚÓ Ø Ð Ø ÚØ Ö Ø Ù Ý¹ Öغ ÀÙÓÑ ØØ ØÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Imλ / Reλ = / ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ð¹ Ð Ñ Ö Ñ Ú Ø Ú Ù ÓÐ 8. Ì Ø Ó ØÙÙ ØØ Ö Ø ÙØ ÖØÚØ Ú ÑÑÒº - Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÝÐ Ø Ñ ØÖ A. ÌÑÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ Ò Ý ØÐ Ø Ñ λ (a +a )λ+a a a a = Ð λ ØÖ(A)λ+det(A) =, ØÖ(A) = a +a ÓÒ A Ò Ð ØÖ µ = A Ò ÐÚ Ø Ð Ó Ò ÙÑÑ = A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÙÑÑ det(a) = a a a a ÓÒ A Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ = A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ØÙÐÓº ÇÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø λ, = ØÖ(A)± 4 ØÖ(A) det(a). ÇÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÓÑÔÐ Ø ÙÒ Ö Ñ Ò ÒØØ D = 4 ØÖ(A) det(a) ÓÒ Ò Ø ¹ Ú Ò Ò ÑÙÙØ Ò Ö Ð Øº ÇÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ Ò ÖØ Ò Ò ÙÒ D =. Ë ÙÖ Ú ÙÚ ÔÝÖ Ð ØØÑÒ Ò Ò Ý Ø Ý º ËØ Ð Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ö Ø ÙØ ÚØ Ô Ò ÓÖ Ó Ø º Ì Ò Ô Ð ÑÑ ÑÝ ÑÑ Òº

18 ½ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ det(a) D= stabiili fokus epastabiili fokus D< nielu stabiili epastabiili lahde tr(a) D> Ñ Ö ¾º½¼ ËÔ Ö Ð R 3 µº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÓÔÙ ÙÐÓØØ Ø Ñ Ö satula A = ÌÐÐ ÓÒ ÓÑÔÐ Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓÔ ¹ Ö λ, = 6 ± 8i, Ú Ø Ú Ø Ú Ò ¾º µ ÑÙ Ø Ú ØÓÖ Ø u = (,,) v = (,,), Ý Ö Ð Ò Ò ÓÑ Ò ¹ ÖÚÓ λ 3 = 3 Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ w = (,,4). ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ñ ØÖ V = [u v w] =, 4 ÓÐÐÓ Ò A = V BV, Ñ B = x w x 3 v x u ÂÓ y ÓÒ Ý Ø Ñ Ò y (t) = By(t) Ö Ø Ù Ò Ò x = V y ÓÒ Ý ØÐ Ò x (t) = Ax(t) Ö Ø Ùº Ò ÑÑ Ò Ö Ø ÙØ Ð Ù ÖÚÓÐÐ y() = a ÓÚ Ø y(t) = e6t (a cos(8t)+a sin(8t)) e 6t (a cos(8t) a sin(8t)), a 3 e 3t

19 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ ÓØ Ò Ð ÑÑ ÐÐ Ò a e 6t ( cos(8t) sin(8t))+a e 6t (cos(8t) sin(8t)) x(t) = a e 6t (cos(8t) sin(8t))+a e 6t (cos(8t)+sin(8t)) a 3 e 3t. e 6t (a cos(8t)+a sin(8t))+4a 3 e 3t Ì ØÚ ¾º½º ÌÙØ ÙÖ Ú Ø Ò ÖÓ ØÙÒ Ø Ø Ô Ù Ø Ð e ta µ A = µ A = µ A = 4 µ A =. ÌÑ ÓÐ ÓÒ Ð Ó ØÙÚ º Î Ø ÓÑ Ò ÖÚÓ λ, 3 ÓÑ Ò Ú ØÓÖ u Ú ØÓÖ v Ø Ò ØØ Av = λv +u, ÓÐÐÓ Ò A J(λ,). ¾º º Ð Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ º Ë ÖÖÝØÒ ÒÝØ Ø Ö Ø Ð Ñ Ò ÝÐ Ø Ð Ò Ö Ø Ð¹ Ù ÖÚÓØ ØÚ ¾º µ x (t) = A(t)x(t)+b(t), x(t ) = x. Ì Ö Ø ÐØ Ú Ò ÐÑ Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ò ÙÓÖ Ò ØÐÐ Ø ÑÙÓØÓ Ø Ò Ô ÝØÒ Ø Ö¹ Ø Ð Ñ ÐÐ ÝÐ Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò ÝØØÝØÝÑ Ø ÓÒ ÙÒ Ô Ø Ò Ð Ø º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ A b ÓÚ Ø Ø ÙÚ Ñ ØÖ»Ú ØÓÖ ÖÚÓ ÙÒ Ø Ó Ø º Ì Ö Ó ØÙ ÓÒ Ø ÐÐ Ø Ò Ø ØÚÒ Ð ØØÝÚ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ ÓÒ ÚÙÐÐ Ö Ø Ù ÚÓ Ò Øغ Ä Ù ¾º º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ ¾º µ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ùº ÑÑ ØÓ Ø ØØ Ø ÐÐ Ð Ù ¾º ÙÖ ÑÝ ÑÑ Ò ØÓ Ø ØØ Ú Ø ÝÐ ÑÑ Ø Ð Ù Ø º½º Ì Ö Ø Ð ÑÑ Ò Ò Ñ Ø Ö ØÝ Ø Ý ØÐ Ò Ð Ò Ö ÙÙ ÒØ Ö Ø ¹ Ù Ò ØÝ Òº ÐÓ Ø Ø Ò ÓÑÓ Ò Ý ØÐ Ø ¾º µ x (t) = A(t)x(t). Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓØ v,v,...,v k R n Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÙÐÐ Ò j =,...,k ÓÐ ÓÓÒ x j Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ (x j ) (t) = A(t)x j (t), x j (t ) = v j Ö Ø Ùº ÌÐÐ Ò Ú ØÓÖ Ø x (s),x (s),...,x k (s) ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó ¹ ÐÐ s R. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ s R Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÓÐ ÓÓØ c,...,c k R Ø Ò ØØ ¾º µ c x (s)+c x (s)+ +c k x k (s) =. Ø Ø Ò y(t) = c x (t)+ +c k x k (t). ÌÐÐ Ò y(s) = Ó ÐÐ t : y (t) = c (x ) (t)+ +c k (x k ) (t) = c A(t)x (t)+ +c k A(t)x k (t) = = A(t)[c x (t)+ +c k x k (t)] = A(t)y(t). ÆÝØ Ð Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ y(t) = ÐÐ t, Ö ØÝ Ø = y(t ) = c v + +c k v k.

20 ½ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Î ØÓÖ Ø v,v,...,v k ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÓØ Ò ÓÒ ÓÐØ Ú c = c = = c k =. Ë Ô x (s),...,x k (s) ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ì Ø Ð Ù Ø Ò ÙÖ Ú ÓÑÓ Ò Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ n Ñ Ò Ó Ò Ò Ð Ú ÖÙÙ Ð Ò Ú ØÓÖ ÖÚÓ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó º ÌØ Ú ÖØ Ò Ø Ö¹ Ø ÐÐ Ò Ð Ù ØØ Ø Ô Ù k = n v j = e j, j =,...,n e j i = δ i,j µº ÇÐ ÓÓÒ t R ÒÒ Ø ØØÝ ÙÐÐ Ò j ÓÐ ÓÓÒ x j Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ (x j ) (t) = A(t)x j (t), x j (t ) = e j Ö Ø Ùº ÅÖ Ø ÐÐÒ Ý Ø Ñ Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ Φ(t,t ) = [ x (t) x (t)... x n (t) ], ÓÐÐÓ Ò ÐÐ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Φ(t,t ) ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÐÐ t. ÅÖ Ø ÐÑ Ø Ò Φ(t,t ) = I Φ(t,t ) t = [ (x ) (t)... (x n ) (t) ] = [ A(t)x (t)... A(t)x n (t) ] = = A(t) [ x (t)... x n (t) ] = A(t)Φ(t,t ). ÌØ Ò Φ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÚÓ ÑÝ ØØ ÑÙÓ Ó Ñ ØÖ Ò A ÑÖÑ ÙÒ Ñ Ò¹ Ø Ð Ñ ØÖ Φ ÓÒ Ò Ö Ð ÑÙÙØØÙ Ò Ñ ØÖ ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó Ò ÑÑ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ù Ø Ò ØÓØ ÙØØ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Φ(t,t ) ¾º½¼µ = A(t)Φ(t,t ), Φ(t,t ) = I. t ÌÑÒ ÚÙÐÐ ÑÑ Ø Ä Ù ¾º º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ö Ø Ù Ò x(t) = Φ(t,t )x. x (t) = A(t)x(t), x(t ) = x, ÂÓ A ÓÒ Ú ÓÑ ØÖ Ò Φ(t,s) = e (t s)a. ÂÓ ÐÐ t,τ ÔØ A(t)A(τ) = A(τ)A(t) ØÓ Ò ÒÓ Ò ØØ A Ò ÖÚÓØ Ö Ô Ø ÓÑÑÙØÓ Ú Ø Ò Ò ØÐÐ Ò ÔØ Φ(t,s) = e t s A(τ)dτ. ÌÑ ÓÒ ÑÙ Ú ØÓ Ø ÒÙÑ Ö ¹ Ñ Ò Ø ÐÑ ÝØØ Ò ÑÝ ÑÑ Òµº ÃÙ Ø Ò Ò ØÐÐ Ò Ò Ø Ð ÒÒ ÓÒ Ú Ö Ò ÖÚ Ò Ò Ò ÓØ Ò ØÐÐ ØÙÐÓ ÐÐ ÓÐ ÝØÒÒ Ò Ñ Ö ØÝ Øº ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò Ù٠غ ÂÓ s R, Ò Ò ÃÓ x ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÓÒ ÓÐØ Ú x(t) = Φ(t,s)x(s) = Φ(t,s)Φ(s,t )x Φ(t,s)Φ(s,t ) = Φ(t,t ) ÐÐ t,s,t R. Ö ØÝ Ø Φ(t,s) = Φ(t,t )Φ(s,t ), ÙÒ t = t, Ò Φ(s,t) = Φ(t,s). Ì ØÚ ¾º¾º ÆÝØ Φ(t,s) s = Φ(t,s)A(s).

21 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ Ë ÖÖÝØÒ ÒÝØ Ø Ö Ø Ð Ñ Ò ÝÐ Ø Ð Ò Ö Ø Ý ØÐ ¾º µº ÌÑÒ Ö Ø Ù ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Φ Ò ÚÙÐÐ º Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓÒ Φ Ñ ØÖ Ò A ÑÖÑ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò ¾º½½µ x(t) = Φ(t,t )x + ÓÒ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ ¾º µ Ö Ø Ùº t t Φ(t,s)b(s) ds ÌÓ ØÙ º Ë ÐÚ Ø x ØÓØ ÙØØ Ð Ù ÓÒº Ë ØØ Ò ÙÓÖ ÐÐ Ð ÙÐÐ x (t) = t Φ(t,t )x +Φ(t,t)b(t)+ t t t t Φ(t,s)b(s) ds = = A(t)Φ(t,t )x +b(t)+ A(t)Φ(t,s)b(s) ds = t ( t ) = A(t) Φ(t,t )x + Φ(t,s)b(s) ds +b(t) = A(t)x(t)+b(t). t ÃÙÒ A ÓÒ Ú ÓÑ ØÖ Ò Ò Φ(t,s) = e (t s)a, ÓÐÐÓ Ò ¾º½½µ ÑÙÓ ÓÒ ¾º½¾µ x(t) = e (t t )A x + t t e (t s)a b(s) ds. Ñ Ö ¾º½½º ÇÐ ÓÓÒ Ö Ø Ø Ú Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ 4 65cost x (t) = Ax(t)+b(t) = x(t)+ 3 ÇÑ Ò ÖÚÓ Ò Ú ØÓÖ Ò ÚÙÐÐ Ò A = V ΛV = 5 3, x() =, 5 ÓØ Ò Ú t eas cos(s) ds = (e at (sint+acost) a), ÒØ +a 5 t 65 x(t) = V 3 etλ + V e 5 (t s)λ coss ds = 3 3 [ 5e = V t 65 ] 3 5e 5t + V +4 (sint+cost e t ) 3 3 = +5 (sint+5cost 5e 5t ) 3sint+6cost e = V t 6sint+7cost = 7e 3 5sint+5cost t +. 7sint+9cost. ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ º Ð Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ý Ø Ñ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý Ø Ñ Ò x (t) = A(t)x(t) Ð ØØÝÚ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ Φ º ¾º½¼µµº Ä Ù ¾º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ A C n n ØÓØ ÙØØ Re A(t)x,x µ x, ÐÐ x C n, t t. ÌÐÐ Ò Φ(t,t ) e (t t )µ, ÙÒ t t.

22 ¾¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ x(t) = Φ(t,t )x u(t) = x(t) = x(t),x(t). ÌÐÐ Ò u (t) = A(t)x(t),x(t) + x(t),a(t)x(t) = Re A(t)x(t),x(t) µ x(t) = µu(t), ÓØ Ò d dt log(u(t)) = u (t) u(t) µ. ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ò log(u(t)) log(u(t )) (t t )µ Ð u(t) u(t )e (t t )µ, ÓØ Ò Φ(t,t )x e (t t )µ x. Æ Ò Φ(t,t ) e (t t )µ. Ë ÙÖ Ù ¾º º ÇÐ ÓÓØ A µ ÙØ Ò ÝÐк Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ ÌÐÐ Ò x (t) = A(t)x(t)+b(t), x(t ) = x. x(t) e (t t )µ x + t t e (t s)µ b(s) ds, t t. Ö ØÝ Ø Ó µ < b(t) M, t t, Ò Ò x(t) x + M µ, t t. ÌÓ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Ð Ù ¾º µº Î Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý Ø Ñ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò A C n n ÑÖÑ Ý Ø Ñ x (t) = Ax(t). Å ØÖ Ò e ta ÒÓÖÑ Ò Ð Ñ Ò Ò ÓÒ Ñ Ð Ó Ò Ð º Ì ØÚ ¾º º Ä e ta, ÙÒ A = [ a ]. ÅÖ Ø ÐÐÒ Ø Ú ÐÙ Ù ¾º½ µ ¾º½ µ α(a) = max λ Λ(A) Reλ, µ(a) = max x = Re Ax,x. ÄÙ Ù α(a) ÙØ ÙØ Ò A Ò Ô ØÖ ¹ Ð µ(a) ÓÒ A Ò ÐÓ Ö Ø¹ Ñ Ò Ò ÒÓÖÑ º Î Ö Ò Ò ÙÚ ÓÒ Ñ Ø¹ Ö ÐÐ A = i 4 i i 4 i 3 i. Ï µ λ λ λ 3 α( ) A Ü Ü Ü ½ λ 4 µ( A) ÂÓÙ Ó W(A) = { Ax,x x C n, x = } ÓÒ Ñ ØÖ Ò A ÖÚÓ ÒØØ Ð Ó Ú ÐÙ µº Ë ÐÚ Ø Λ(A) W(A), ÓØ Ò α(a) µ(a). Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ W(A) ÓÒ Ò ÓÒÚ ØÓ ØÙ Ú µº

23 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾½ Æ Ò ÑÝ Re Ax,x = ( Ax,x + x,ax ) = Sx,x, Ñ S = (A+A ). ÌØ ÙØ ÙØ Ò A Ò À ÖÑ ØØ Ó º ÃÓ S ÓÒ ÖÑ ØØ Ò Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ö Ð Øº Ä Ò Ö Ð Ö Ò Ó ÙÙ Ø ÑÙ Ø ÑÑ ØØ ÖÑ ØØ ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÔØ min λ Sx,x max λ ÐÐ x, λ Λ(S) x,x λ Λ(S) Ð ¹ ÝÐÖ Ø ÚÙØ Ø Ò Ú Ø Ú ÐÐ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ ÐÐ º ÌØ Ò µ(a) ÓÒ S Ò ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº Ì ØÚ ¾º º ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ µ ÓÐ Ú Ö Ò Ò Ò ÒÓÖÑ ÚÓ Ñ Ö ÓÐÐ Ò Ø ¹ Ú Ò Òµº ÆÝØ ØØ Ù Ø Ò Ò ØÓØ ÙØØ µ(ca) = cµ(a), ÙÒ c, µ(a+b) µ(a)+µ(b). ËÔ ØÖ Ð ÐÓ Ö ØÑ Ò Ò ÒÓÖÑ ÓÚ Ø Ø Ú ÖÚ Ó Ø Ö Ø Ù Ò ÚÙ Ä Ù ¾º½¼º à ÐÐ t ÔØ e tα(a) e ta e tµ(a). ÌÓ º ÃÓ Λ(e ta ) = { e tλ λ Λ(A) }, Ò Ò e ta e tλ = e treλ ÐÐ λ Λ(A) ÓØ Ò e ta e tα(a). e ta e tµ(a) ÙÖ ÙÓÖ Ò Ð Ù Ø ¾º º Ä ÑÑ ¾º½½º ÂÓ α(a) <, Ò Ò lim e ta =. t ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ A Ò ÂÓÖ Ò¹ÑÙÓØÓ ÌÐÐ Ò J A = V AV = e ta = V e tj A V = V [ J(λ,r )... J(λ q,r q) ]. [ e tj(λ,r ] )... e tj(λq,rq) V, ÓØ Ò Ö ØØ ÒÝØØ ØØ lim t e tj(λ,r) =, ÙÒ Reλ <. Å ØÖ Ò e tj(λ,r) ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú Ø Ð ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ tj j! eλt. ÆÑ Ð ØÝÚØ ÒÓÐÐ ÐÐ lim t t j e δt = ÐÐ j R, ÙÒ δ >. Ä ÑÑ ¾º½¾º à ÐÐ β > α(a) ÓÒ ÓÐ Ñ K β Ø Ò ØØ e ta K β e tβ, t. ÌÓ º ÃÙÒ β > α(a), Ò Ò α(a βi) = α(a) β <, ÓØ Ò Ð ÑÑ Ò ¾º½½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ lim t e t(a βi) =. Ë ÓÒ ÓÐ Ñ K β = max t e t(a βi). ÆÝØ e t(a βi) = e tβ e ta, ÓØ Ò e ta K β e tβ, t.

24 ¾¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ 3 Ë ÙÖ Ú Ð ÑÑ ÒÓÓ ØØ Ô Ò ÐÐ t Ð Ù Ò ¾º½¼ ÝÐÖ ÓÒ Ó ÑÔ ÙÒ Ø ÙÙÖ ÐÐ t Ð Ö ÓÒ Ø Ö ÑÔ º Î Ö Ò Ò ÙÚ ÓÒ Ñ ØÖ ÐÐ A =, ÓÐÐ α = µ = 4 ( 7 3). Ì β = Ã Ø Ø Ø «Ø Ä ÑÑ ¾º½ º lim t t log eta = µ(a) lim t t log eta = α(a). Ì Ø Ó ØÙ Ò µ ÐÐ ÓÒ Ò Ñ ÐÓ Ö ØÑ Ò Ò ÒÓÖÑ º ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ µ = µ(a) x =, Ñ Sx = µx x(t) = e ta x = x +tax +O(t ). ÌÐÐ Ò Æ ÒÔ x(t) = +t x,ax +t Ax,x +O(t ) = +tµ+o(t ). log e ta log x(t) = log(+tµ+o(t )) = tµ+o(t ) liminf t + t log eta µ. ÌÓ ÐØ Ð Ù Ò ¾º½¼ Ô ÖÙ Ø ÐÐ t log eta µ, ÓØ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ø ÓÒ ÒÝØ ØØݺ Ä Ù ¾º½¼ ÒÓÓ α(a) t log eta, ÓØ Ò Ö ØØ ÒÝØØ ØØ Ö ¹ ÖÚÓÐÐ ÙÒ t, ØÑ ÓÒ ÑÝ ÝÐÖ º Ä ÑÑ Ò ¾º½¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÒÒ ØÙÐÐ β > α(a) Ð ÝØÝÝ K Ø Ò ØØ e ta Ke tβ, t. ÌÐÐ Ò lim sup t t log eta (logk +tβ) = β. t ÃÓ ØÑ ÔØ ÐÐ β > α(a), Ò Ú Ø º Ä ÑÑ ÒÓÓ Ô Ò ÐÐ t : ÙÙÖ ÐÐ t : e ta e tµ(a) e ta e tα(a) ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º½º ÆÝØ ØÒ Ú Ð ØØ Ø Ö ÔÔÙÚ Ò Ð Ò Ö Ý Ø Ñ Ò ÝØØÝØݹ Ñ Ò Ò ÚÓ ÔÓ Ø Ð Ù Ò ¾º½¼ Ø Ð ÒØ Ø Ñ Ð Ó Ø º ÇÐ ÓÓÒ A C n n Ø R n n µ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Òº ÃÓÒ ØÖÙÓ Ò Ñ ØÖ Ã(t) ÓÐÐ ÔØ µ µ Ã(t) A ÐÐ t, ÓÐÐÓ Ò Λ(Ã(t)) = Λ(A) α(ã(t)) = α(a). µ(ã(t)) µ = µ(a) ÐÐ t.

25 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾ µ Ã Ø Ú Ø Ú ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ ØÓØ ÙØØ Φ(t,t ) = e (t t )µ. ÌØ Ò ÒÓÖÑ ÔÝ ÝÝ ÝÐÖ ÐÐ Ö ÔÔÙÑ ØØ Ø Ñ α(ã(t)) ÓÒº ÃÓÒ ØÖÙÓ Ò Ã ÙÖ Ú Ø º Ã Ö Ó Ø Ø Ò A = X + iy, Ñ X = (A + A ) Y = i (A A ). ÌÐÐ Ò X Y ÓÚ Ø ÖÑ ØØ º Å ØÖ e ity ÓÒ ÙÒ Ø Ö Ò Ò ÐÐ ( e ity ) e ity = e ity e ity = e ity +ity = I. Ø Ø Ò Ã(t) = eity Ae ity. ÌÑ ÓÒ A Ò ÙÒ Ø Ö Ò Ò Ñ Ð Ö ÑÙÙÒÒÓ ÓØ Ò ØÓ µ ÓÒ ÚÓ Ñ º ÐÐ Ò Re Ã(t)x,x = Re e ity Ae ity x, x = Re Ae ity x, e ity x µ e ity x = µ x, ÓØ Ò µ ÔØ º ÇÐ ÓÓÒ x X Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ µ Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ x(t) = e tµ e ity x. ÌÐÐ Ò x (t) = e tµ e ity µx +e tµ e ity iy x = e ity (Xe tµ x +iy e tµ x ) = e ity (X +iy )e ity e tµ e ity x = Ã(t)x(t). Ë x(t) = Φ(t,)x Ó x(t) = e tµ x, Ò Ø Ø Ð Ù Ò ¾º Ò Φ(t,) = e tµ, t. ÐÐ Ò ÙÒ t > s, e tµ Φ(t,) = Φ(t,s) Φ(s,) Φ(t,s) Φ(s,) = e sµ Φ(t,s), Ó Ø Ð Ù Ò ¾º Ò µ Φ(t,s) = e (t s)µ. ÇÔ ØÙ Ø Ö ÔÔÙÚ ÐÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÐÐ α Ø Ô Ø ØØ Ò Ò Ô ØÖ µ ÖÖÓ ÚÙ¹ ÒÓÔ ÙØØ º ¾º º Ä Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ð ÙÙ º ËÝ Ø Ñ Ò Ø Ð ÙÙ ÓÒ ÓÚ ÐÐÙ Ù Ò ÔÚ Ø ÑÙ º Ì Ó Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ð Ò Ö Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ÑÝ Ñ¹ Ñ Ò ÔÐ Ò Ö º È Ø p R n ÓÒ Ý Ø Ñ Ò x (t) = f(x(t)) Ø Ô ÒÓØ Ð Ó f(p) = º ÌÐÐ Ò Ú Ó x(t) = p t ÓÒ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ x() = p Ö Ø Ùº Ä Ò Ö ÐÐ ÓÑÓ Ò ÐÐ Ý ¹ Ø Ñ ÐÐ x (t) = A(t)x(t) ÓÖ Ó ÓÒ Ò Ø Ô ÒÓØ Ð x() = = x(t) = ÐÐ t. Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØÖ Ø Ö Ø ÐÐ Ñ Ø Ò ÑÙÙØ Ö Ø ÙØ ÝØØÝØÝÚغ È Ò Ú Ø Ó Ò ÔÓ ÓÖ Ó Ø ÔÝ ÝÚØ Ö Ó Ø ØÙÐÐ Ø ÝÝ ÐÐ Ú Ð ØÝÚØ ÓÖ Ó ÅÖ Ø ÐÐÒ ÇÖ Ó ÓÒ Ø Ð Ø Ô ÒÓØ Ð Ó ÐÐ Ö Ø Ù ÐÐ ÔØ sup x(t) <. t ÇÖ Ó ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ó ÐÐ Ö Ø Ù ÐÐ ÔØ lim x(t) =. t Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö ¾º ¾º½¼º Æ ÐÙÒ ¾º µ Ø Ð Ò Ó Ù Ò ¾º µ Ø Ô Ù ÓÖ Ó ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð ÑÙ Ô Ø Ð º

26 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ð ÐÐ ÓÑÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ x (t) = A(t)x(t) Ð Ù ¾º ÒÓÓ ØØ Ó µ, Ò Ò ÓÖ Ó ÓÒ Ø Ð Ó µ <, Ò Ò ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º ÆÑ ÓÚ Ø Ù Ø Ò Ò Ú Ò Ö ØØÚ ØÓ º Ñ Ö ¾º½¾ à ٠µº ËÝ Ø Ñ Ò 5 x (t) = x(t) Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø [ cos3t x(t) = sin3t sin3t ] sin3t cos3t+ sin3t x() x -.5 ÌÐÐ ÓÖ Ó ÓÒ Ø Ð ÑÙØØ ÝÑÔØÓÓØØ ¹ Ø Ø Ð Ø Ô ÒÓØ Ð º ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ S = (A+A ) = 3/ 3/, ÓÒ ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ µ = 3. ÌØ Ò Ø Ð ÙÙØØ Ð Ù Ø ¾º º Î Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý Ø Ñ º Ë ÙÖ Ú Ò Ø Ò Ð Ù Ò ÓÒ ÓÓØØÙ Ö Ð ÐÐ Ø ÚÓ ÐÐ ÓÖÑÙÐÓ ÙØ ÚÐØØÑØØ ÑØ Ö ØØÚØ ÓØ ÙØÓÒÓÑ Ò Ð Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò Ø Ð ÙÙ ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ M Ò Ò Ñ ØÖ Ò A ÓÙ Ó Ó ÐÐ ÔØ ½µ α(a) ¾µ Ó λ Λ(A) Reλ =, Ò Ò λ Ú Ø Ú Ø ÂÓÖ Ò¹ÐÓ ÓØ ÓÚ Ø ØÖ Ú Ð Ð m g (λ) = m a (λ) µº Ä Ù ¾º½ º µ ÇÖ Ó ÓÒ Ý Ø Ñ Ò x (t) = Ax(t) Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø º µ A M. µ ÇÒ ÓÐ Ñ K Ø Ò ØØ e ta K, t. Úµ ÇÒ ÓÐ Ñ C Ø Ò ØØ (si A) C, ÙÒ σ = Res >. σ Å ØÖ R(s,A) = (si A) ÙØ ÙØ Ò A Ò Ö ÓÐÚ ÒØ º Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ÑÝ ØØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ t e ta Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ º ÌÓ ØÙ Ø ÖÚ Ø ÑÑ ÙÖ Ú [ M ]. Ì ØÚ ¾º º ÇÐ ÓÓÒ M =.. Mq. ÌÐÐ Ò M = max j q M j. x.5 ÌÓ º Ä Ù ¾º½ µº µ = µ ÂÓ (λ,u) ÓÒ A Ò ÓÑ Ò Ô Ö Ø Ò ØØ Reλ >, Ò Ò x(t) = e tλ u ÓÒ Ý Ø Ñ Ò Ö ØØÓÑ Ø Ú Ú Ö Ø Ùº ÂÓ Reλ = ÐÐ Ò Av λv = u Ò Ò Ð ÝØÝÝ Ó λ Ú Ø ¹ØÖ Ú Ð ÂÓÖ Ò¹ÐÓ Óµ Ò Ò x() = v ÒØ Ö Ó ØØ Ñ ØØÓÑ Ò Ö Ø ÙÒ x(t) = e tλ v +te tλ u. Ë Ó ÓÖ Ó ÓÒ Ø Ð Ò Ò ÓÒ ÓÐØ Ú A M.

27 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾ µ = µ ÇÐ ÓÓÒ A M J A = V AV ÙØ Ò Ð ÑÑ Ò ¾º½½ ØÓ ØÙ º Ì ØÚÒ ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò e ta V V max j q etj(λ j,r j ). ÂÓ Reλ j =, Ò Ò r j = e tj(λ j,) = e tλ j = e t Reλ j =. ÂÓ Reλ j <, Ò Ò Ð ÑÑ Ò ¾º½½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ e tj(λ j,r j ) t, ÓØ Ò ØÑ ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÐÐ t. Ë Ð ÝØÝÝ K Ø Ò ØØ e ta K. µ = µ Ë ÐÚ Ó x(t) = e ta x(). ÆÝØ ØÒ Ú Ð ØØ ØÓ Úµ ÓÒ Ò Ò Ò Ú Ú Ð ÒØØ º µ = Úµ ÇÐ ÓÓÒ e ta K, t σ = Res >. ÌÐÐ Ò Ó (si A) ÓÒ e ta Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ (si A) = e st e ta dt e st e ta dt K e st dt = K e σt dt = K. σ Úµ = µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Úµ ÔØ º ÌÐÐ Ò ÐÚ Ø Ò α(a). ÂÓ ÓÐ λ = iη Λ(A), ÓÐÐ ÓÐ ¹ØÖ Ú Ð ÂÓÖ Ò¹ÐÓ Ó Ò Ò Ð ÝØÝ u,v Ø Ò ØØ Au = λu Av = λv +u. ÌÐÐ Ò ÙÒ s = σ +iη, Ò ÓØ Ò (si A) u = s λ u v = s λ( u+(si A)v ), (si A) v = (s λ) u+ s λ v = σ u+ σ v, ÓÐÐÓ Ò Úµ ÓÐ ÚÓ Ñ º Ë Ô A M. Ä Ù ¾º½ º µ ÇÖ Ó ÓÒ x (t) = Ax(t) Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø º µ α(a) <. µ ÇÒ ÓÐ Ñ β < K Ø Ò ØØ e ta Ke tβ, t. Úµ ÇÒ ÓÐ Ñ C Ø Ò ØØ (si A) C, ÙÒ σ = Res. ÌÓ º µ = µ ÂÓ α(a), Ò Ò ÓÐ ÓÓÒ λ Λ(A) Ø Ò ØØ Reλ x Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ º ÌÐÐ Ò x(t) = e tλ x ÓÒ Ý Ø Ñ Ò Ö Ö Ø Ù x(t) = e t Reλ x, ÙÒ t. Ë Ó ÓÖ Ó ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ò Ò ÓÒ ÓÐØ Ú α(a) <. µ = µ Ë ÙÖ Ø Ð ÑÑ Ø ¾º½¾º µ = µ Ë ÐÚº ÆÝØ ØÒ Ú Ð ØØ Úµ ÓÒ Ò Ò Ò Ú Ú Ð ÒØØ º µ = Úµ ÇÐ ÓÓÒ α(a) < β (α(a),). ÌÐÐ Ò α(a βi) = α(a) β <, ÓØ Ò A βi M Ð Ù Ò ¾º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ( si (A βi) ) C σ,

28 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÙÒ σ = Re s >. Ë Ô (si A) = ( (s β)i (A βi) ) Î Ð Ø Ò C = C β. Úµ = µ Ë ÐÚº C Re(s β) C β.

29 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾ º Ê Ø ÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ý ØØ ÝÝ º½º Ñ Ö º Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÔÐ ØØ Ø Ú Ò Ó Ø Ð Ò Ý Ò ÖØ ÐÐ Ý ØÐ ÐÐ º Ð Ò ÓÙ ÙØ Ò ØÙÖÚ ÙØÙÑ Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø ¹ Ú Ò Ñ Ö ÒÙÑ Ö Ò Ø Ö ÑÙÓØÓ Ò Ö Ø Ù Òº ÒÒ Ò Ù Ò ØÐÐ Ò ÚÓ ÝØØ ÓÒ ÝÝØ Ú ÖÑ ØÙ ØØ Ö Ø Ù Ð Ó ÓØ ÓØ Ò ÔÔÖÓ ÑÓ ÝÐ ÔØÒ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Òº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÝÐ Ø Ý Ø Ñ º½µ x (t) = f(t,x(t)), x(t) R n Ð Ù ÓÐÐ x(t ) = x, Ñ f ÓÒ ÙÚ Ù R R n R n. ÂÓ f ÓÐ Ø ÙÚ Ò Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ ÚÐØØÑØØ ÓÐ ÓÐ Ñ Ö Ø Ù º {, ÙÒ x <, Ñ Ö º½º ÇÐ ÓÓÒ f(x) =, ÙÒ x. ÌÐÐ Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x = f(x), x() =, ÓÐ Ö Ø Ù Ñ ÐÐÒ ÚÐ ÐÐ [,T], T >. ÂÓ f ÓÒ Ø ÙÚ Ò Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ ÓÒ Ò ÓÐ Ñ Ö Ø Ùº ÌØ È ÒÓÒ ÓÐ ¹ Ñ ÓÐÓÐ Ù ØØ ÑÑ Ø Ù Ø Ò Ò ØÓ Ø º Ѻ À ÖØÑ Ò µ ÐÐ f Ò Ø¹ ÙÚÙÙ Ø Ú Ð ÙÖ ØØ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ö Ø Ù ÓÐ Ý ØØ Ò Òº Ñ Ö º¾º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x (t) = 3 x(t) /3, x() = R ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ö Ø ¹ Ù º ÇÐ ÓÓÒ a b Ñ Ð Ú ÐØ Øº ÌÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó (t a) 3 ÙÒ t < a, x a,b (t) = ÙÒ a t b, (t b) 3 ÙÒ b < t ÓÒ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ö Ø Ù ÙØ Ò Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ò Òº f a= a=- a= x(t) b= b= b= t ÎÓ ÑÑ Ø Ø Ö Ø ÙÒ Ý ØØ ÝÝ Ò Ñ Ò ØÝØÝÝ Ú Ø f ÐØ Ò ÑÑÒ Ù Ò Ø ÙÚÙÙ º ËÓÔ Ú Ó Ó ØØ ÙØÙÙ Ò º Ä Ô ØÞ ØÓ Ë ÒÓØ Ò ØØ ÙÚ Ù f : R R n R n ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ ÓÒ ÓÙ Ó Ω R n ÚÐ ÐÐ [t,t ], Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ó L > Ø Ò ØØ º¾µ ÐÐ t [t,t ], x,y Ω. f(t,x) f(t,y) L x y

30 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÂÓ f ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ ÓÒ ÒÓØ Ò ÑÝ ØØ f ÓÒ Ä Ô ØÞ Ø ÙÚ º ÂÓ ¹ Ñ Ö f C (Ω), Ñ Ω ÓÒ ÓÑÔ Ø ÓÒÚ Ò Ò f ÓÒ Ä Ô ØÞ Ø ÙÚ Ú ÓÐÐ L = max Df(t,x). t [t,t ],x Ω ÌÑ Ò Ò ÙÖ Ú Ø f(t,x) f(t,y) = d f(t,y +θ(x y))dθ dθ = Df(t,y +θ(x y))dθ(x y) max x Ω Df(t,y +θ(x y) dθ x y Df(t,x) x y. Ì ÚÓ ØØ Ò ÓÒ Ó Ó ØØ ØØ Ó f ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ ÓÒ Ò Ò Ý ØÐ ÐÐ º½µ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ùº º¾º È Ö Ä Ò Ð Ø Ö Ø Óº ÃÙÒ f ÓÒ Ø ÙÚ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ º µ x (t) = f(t,x(t)), x(t ) = x Ö Ø Ù Ñ Ð ÓÐ Ñ µ ØÓØ ÙØØ ÑÝ ÒØ Ö Ð Ý ØÐ Ò º µ x(t) = x + t t f(s,x(s)) ds Ô ÒÚ ØÓ Òº ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ý ØÐ Ø º µ º µ ÓÚ Ø Ú Ú Ð ÒØ Øº ÇÐ ÓÓÒ x Ó Ò Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó Ö Ø ÙÒ Ð Ù ÔÔÖÓ Ñ Ø Óµ ÚÐ ÐÐ I = [t,t ], Ñ t t t. ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ø Ø ÙÙ ÙÒ Ø Ó x t x (t) = x + f(s,x (s)) ds t I t ØÓ ÚÓØ Ò ØØ ØÑ ÓÐ Ô Ö ÑÔ ÔÔÖÓ Ñ Ø Óº Ò Ò ØÑ ØÓØ ÙØØ Ð Ù ÓÒº Â Ø Ø Ò Ø Ö Ø Ú Ø ÙÒ Ø Ó Ø x k ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú º µ x k+ (t) = x + t t f(s,x k (s)) ds. Ë Ò ÓÒÓ { x k} Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó Ø º ÂÓ ÙÔÔ Ò Ø Ø ¾ Ó Ø ÙÒ Ø ÓØ k x, Ò Ò x ÓÒ Ø ÙÚ Ð Ñ Ò ÚÓ Ú ÒØ Ö Ð Ò Ò ÓÐÐÓ Ò f Ò Ø ÙÚÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ x ÓÒ ÒØ Ö Ð Ý ØÐ Ò º µ Ö Ø Ù x(t) = lim x k+ (t) = x + lim k =x + t k t t f(s,x k (s))ds t lim k f(s,x k (s))ds = x + ¾ Ì Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò Ò Ð ØØÝÚØ Ð Ù Ø º Ð Ø º t t f(s, x(s))ds.

31 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾ ÁÒØ Ö Ð ÓÒ Ö ÚÓ ØÙÚ ÝÐÖ Ò Ù Ø Ò ÓØ Ò x ÓÒ Ö ÚÓ ØÙÚ Ø Ò ÑÝ Ð Ù Ö¹ ÚÓØ ØÚÒ º µ Ö Ø Ùº Ë ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ô ÖÙ ØÙÙ Ò ØØ ÙÒ f ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ ÓÒ Ò Ò º µ Ò ÑÖÑ È Ö Ä Ò Ð Ø Ö Ø Ó ÙÔÔ Ò Ø Ø º Ä Ù º½ È Ö Ä Ò Ð µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f ØÓØ ÙØØ x Ò Ù Ø Ò Ä Ô ØÞ ÓÒ R n ÚÐ ÐÐ I = [t,t ] t I. ÌÐÐ Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x (t) = f(t,x(t)), x(t ) = x ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÚÐ ÐÐ t I. ÌÓ º ÇÐ Ñ ÓÐÓ Î Ð Ø Ò Ö Ø ÙÒ Ð Ù ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó x (t) = x ÐÐ t I Ø ÖÓ Ò t x k+ (t) = x + f(s,x k (s)) ds. t ÆÝØ ØÒ ØØ Ò Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ ÙÔÔ Ò Ø Ø ÓÐÐÓ Ò ÐÐ Ø ØÝÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö ÙÒ Ø Ó x ÓÒ Ø ØÚÒ Ö Ø Ùº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÖÓØÙ x k+ x k. ÇÐ ÓÓÒ K = max t I f(t,x ). ÐÙ Ò º µ x (t) x (t) t = f(s,x ) ds K t t. t ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ ØØ º µ x k+ (t) x k (t) K L k t t k+ (k +)! Ñ L ÓÒ f Ò Ä Ô ØÞ Ú Óº Ã Ú º µ ÒØ º µ Ò ÙÒ k =. ÇÐ Ø Ø Ò ØØ º µ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ k Ò ÖÚÓ ÐÐ,...,m. ÌÐÐ Ò ÙÒ t t, x m+ (t) x m+ (t) t = [f(s,x m+ (s)) f(s,x m (s))] ds t t t L x m+ (s) x m (s) ds t LK Lm s t t (m+)! m+, ( ) º µ ÔØ ÙÒ k=m ds = K Lm+ t t m+ (m+)! Î Ø Ú Ø ÙÒ t < t. Ë Ø Ò ØØ º µ ÔØ ÑÝ ÙÒ k = m+. ÌØ Ò º µ ÔØ ÐÐ k =,,,.... Ø Ø Ò T = max(t t,t t ), ÓÐÐÓ Ò. µ x m (t) = x + m k= [xk+ (t) x k (t)], µ ÐÐ k, t I ÔØ x k+ (t) x k (t) K L k T k+ (k+)! µ k= K Lk T k+ (k+)! ÙÔÔ Ò ÙÑÑ = K L (elt ) µº

32 ¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÌØ Ò Ï Ö ØÖ Ò Ñ ÓÖ ÒØØ Ô Ö ØØ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö x + k= [xk+ (t) x k (t)] ÙÔÔ Ò Ø Ø º Ë Ò ÙÑÑ x(t) = lim k x k (t) ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Ò º µº ØØ ÝÝ ÇÐ ÓÓØ x y Ý ØÐ Ò º µ Ö Ø Ù º ÌÐÐ Ò ÙÒ t t, Ò x(t) y(t) = t [f(s,x(s)) f(s,y(s))] ds L x(s) y(s) ds, t t t Ó Ø ÙÖ Ú ØÓ Ø ØØ Ú Ò ÖÓÒÛ ÐÐ Ò ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ x(t) y(t). Ë ÑÓ Ò ÙÒ t < t. Ë ÙÖ Ú Ð ÑÑ Ø ÖÚ ØØ Ò Ó ÝÐÐ Ø Ó ÐÐ Ð ÝØÝÝ Ð ÝØØ º Ä ÑÑ º¾ ÖÓÒÛ ÐÐ Ò ÔÝ ØÐ µº ÇÐ ÓÓØ C, K ÓÐ ÓÓÒ u : [,T] R Ø ÙÚ Ò Ø Ú Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ ÔØ º µ u(t) C + t Ku(s) ds ÐÐ t [,T]. ÌÐÐ Ò u(t) Ce Kt ÐÐ t [,T]. ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ ÐÙ C >. Ø Ø Ò v(t) = C + Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ò v (t) = Ku(t), ÓØ Ò t d dt ln(v(t)) = v (t) v(t) = Ku(t) v(t) K. ÁÒØ ÖÓ Ò ØÑ ln(v(t)) ln(v())+kt, Ó Ø u(t) v(t) v()e Kt = Ce Kt. Ku(s) ds, ÓÐÐÓ Ò u(t) v(t). ÂÓ C =, Ò Ò u ØÓØ ÙØØ º µ Ò ÙÒ C Ò Ô ÐÐ ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ò d >. Ë ÐÐ Ò ÒÓ ÐÐ u(t) de Kt ÐÐ d >, ÓØ Ò u(t) =. ÀÙÓÑ ÙØÙ º½º Ä Ù Ò º½ ØÓ ØÙ Ø ÑÝ È Ö Ä Ò Ð Ø Ö Ø ÐÐ Ú Ö¹ Ö Ò x k (t) x(t) = [x j+ (t) x j (t)] K j=k j=k L j T j+ (j +)! K (LT)k+ elt L (k +)!. Ñ Ö º º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x (t) = t t x(t), x() =, Ò x (t) =, x (t) = t + t3 3, x (t) = t + t3 3 + t4 8 t5 5,...

33 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ x(t) x x 3 x 5 x 7 x.5.5 x x 4 x 6 x 3 4 Æ Ò ØØ k Ò Ú Ø Ö Ø Ø x k ÙÐ Ú Ø Ð ÐÐ Ö Ø Ù Ý Ô Ø ÑÔÒº t Î È Ö ¹Ä Ò Ð Ø Ö Ø Ó Ò ÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ú Ò Ò Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ô¹ ÔÖÓ ÑÓ Ö Ø Ù ÙØ Ò ÐÐ Ñ Ö Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ö ØÝ Ò ÝÚ Ú Ö Ò Ò ÒÙÑ Ö Ò Ð ÒØ Òº Ì Ó ÑÔ Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ÐÐÒ Ú Ñ ÐÙ¹ ÚÙ º º º Â Ø ÙÚ Ö ÔÔÙÚÙÙ Ð Ù Ó Ø º ÃÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ÓØ Ò Ñº Ý Ð Ø Ý Ø Ñ Ò Ò ÝÐ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ø ØÚÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ùº ÃÙ Ø Ò Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ñ Ö Ø Ð Ò Ø Ð ÒØ Ò Ð Ó ÒØ ÓØ Ò Ó ÓØ Ò Ý Ø Ñ ÙÚ Ø Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ ÝÝØ Ò ÐÝ Ó Ñ ÐÐ Ñ Ø Ñ ØØ Ø ÓØØ ÚÓ Ò Ú ÖÑ ¹ ØÙ ÓÒ Ó ÐÐ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ó Ø ÐÐ Ý Ð Ò ÒØÙ Ø ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ô Ø ÓÐÐ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý Ø Ñ º µ x (t) = f(t,x(t)). Ì Ö Ø ÐØ Ö Ø ÙÒ Ö ÔÔÙÚÙÙØØ Ð Ù Ó Ø ÙÖ Ú Ó Ó ØØ ÙØÙÙ Ø Ú º ÇÐ ¹ Ø Ø Ò ØØ f ØÓØ ÙØØ ØÓ ÔÙÓÐ Ò ÓÒ º½¼µ f(t,x) f(t,y), x y µ x y, ÐÐ x,y Ω, t. ÂÓ L ÓÒ f Ò Ä Ô ØÞ¹Ú Ó Ò Ò µ = L ÐÔ ÑÙØØ Ù Ò Ð ÝØÝÝ Ô Ö ÑÔ Òº Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ f Ä Ô ØÞ¹ Ø ÙÚ ÓÐ ÓÓØ x y Ø ØÚÒ º µ Ö Ø Ù Ð Ù ¹ Ó ÐÐ x() = x y() = y. ÂÓ f ØÓØ ÙØØ ÔÝ ØÐ Ò º½¼µ Ò Ò Ò Ò Ù Ò ÙÒ x(t),y(t) Ω. x(t) y(t) x y e µt, t >, ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ u(t) = x(t) y(t) = x(t) y(t),x(t) y(t). Ê Ø Ù Ò Ý ØØ ¹ ÝÝ Ø ÙÖ ØØ Ó x y, Ò Ò u(t) > ÐÐ t. ÔÝ ØÐ Ø º½¼µ Ò u (t) = f(t,x(t)) f(t,y(t)), x(t) y(t) µ x(t) y(t) = µu(t),

34 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÓØ Ò d dt log(u(t)) = u (t) u(t) Ñ Ø Ú Ø ÙÖ º µ. ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ò log(u(t)) log(u()) µt Ð u(t) u()e µt, ÂÓ Ý Ø Ñ ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ¹ ÓÒ Ò x(t) y(t) x y e L t, t. ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ý Ø Ñ Ò Ö Ø ÙØ Ö ÔÔÙÚ Ø Ø ÙÚ Ø Ð Ù Ó Ø º Ì ØÚ º½º ÌÓ Ø ØÑ ÓÚ ÐØ Ò Ð Ù ØØ º Ý Ø Ñ Ò x (t) = f(t,x(t)) x (t) = f( t,x(t)). ÌÓ ÐØ Ð Ù ØØ ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ Ö Ø Ù Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ø Ö Ø ¹ ÐÙÙÒ ÙØ Ò ÙÖ Ú º Ñ Ö º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø ØÚ x (t) = sin(x(t)), x(). Ø Ø Ò f(x) = sin(x), ÓÐÐÓ Ò ÚÐ ÖÚÓÐ Ù ÐÐ f(x) f(y) = f (ξ)(x y) = cos(ξ)(x y). ÂÓ x,y [, ], Ò Ò ξ [, ], ÓÐÐÓ Ò Ø ÓÙ Ó º½¼µ ÓÒ ÚÓ Ñ Ú ÓÐÐ µ = cos( ) <. Î ÖÖ Ø Ò Ö Ø Ù x ØÖ Ú Ð Ö Ø ÙÙÒ y. Ä Ù º ÒÓÓ ÒÝØ ØØ x(t) e µt. Ì Ø ØÙÐ ÑÑ ÒÓÑ Ò ØØ Ø Ô ÒÓÔ Ø ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø t Ø Ð º º º Ê Ø Ù ÙÚ Ù Ú ÖØ Ù º ËÝ Ø Ñ ÐÐ x (t) = f(t,x(t)) ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö Ø ¹ Ù ÙÚ Ù ψ ÙÖ Ú Ø Ó x ÓÒ ØÑÒ Ý Ø Ñ Ò Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù Ð Ù ÓÐÐ x(τ) = u, Ò Ò Ø Ø Ò ψ(t,τ,u) = x(t). ÌÓ Ò ÒÓ Ò ψ(t,τ,u) ÓÒ R n Ò Ô Ø Ó ÓÒ ÓÙ ÙØ Ò ÙÒ Ø ÐÐ τ Ð ØÒ Ô Ø Ø u ÙÖ Ø Ò Ø Ø Ð Ø Ú Ö Ø Ù Ø Ò t Ø º Ë ÐÚ Ø ψ ØÓØ ÙØØ ψ(t,τ,u) = f(t,ψ(t,τ,u)), ψ(τ,τ,u) = u. t Ñ Ö º º ÇÐ ÓÓÒ f(t,x) = Ax, Ñ A ÓÒ Ú ÓÑ ØÖ º ÂÓ x ÓÒ Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ò Ò x(t) = e At x(), ÓØ Ò x() = e Aτ x(τ) x(t) = e A(t τ) x(τ). Ë Ô Ø Ø Ô Ù ψ(t,τ,u) = e A(t τ) u. ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f ÓÒ ÐÓ Ð Ø Ä Ô ØÞ Ò Ò Ø º Ð ÝØÝÝ L Ø Ò ØØ º¾µ ÔØ ÐÐ t R, x,y R n. ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ò Ô Ø Ò u R n ÙØØ ÙÐ Ø ÐÐ τ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ t R. ÌÓ Ò ÒÓ Ò ψ(t,τ,u) ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ t,τ R, u R n. ÇÐ ÓÓØ s,τ R, u R n Ñ Ð Ú ÐØ v = ψ(s,τ,u). Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ô Ø Ø v Ø ÐÐ s Ð Ø Ú Ö Ø Ù Ð ψ(t,s,v) Ø º ÅÝ ψ(t,τ,u) ÓÒ Ø ÐÐ t = s Ô Ø

35 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ v. Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ Ò Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø Ý ØØ Ø ÓØ Ò ÓÒ ÓÐØ Ú ψ(t,s,v) = ψ(t,τ,u) Ð Ö Ø Ù ÙÚ Ù ØÓØ ÙØØ º½½µ ψ(t,s,ψ(s,τ,u)) = ψ(t,τ,u) ÐÐ t,s,τ R, u R n. ÃÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ ÙØÓÒÓÑ Ò Ò Ò Ò ÒÓØ Ò ØØ Ú Ø Ú f ÓÒ Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒµ Ú ØÓÖ ÒØغ ÌÐÐ Ò Ý ØÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ x (t) = f(x(t)). Ñ Ö º ÓÒ ÙØÓÒÓÑ Ò Òºµ ÂÓ ÒÝØ x ÓÒ ØÑÒ Ö Ø Ù Ð Ù ÓÐÐ x() = u Ð x(t) = ψ(t,,u) Ó ÑÖ ØØ Ð ÑÑ y(t) = x(t s), Ò Ò y (t) = x (t s) = f(x(t s)) = f(y(t)) Ð y ÓÒ Ö Ö Ø Ùº ÌÓ ÐØ y(s) = x() = u, ÓØ Ò y(t) = ψ(t,s,u). Æ Ò ÑÑ ÙØÓÒÓÑ Ò Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ù ÙÚ Ù ÐÐ ÔØ º½¾µ ψ(t,s,u) = ψ(t s,,u) ÐÐ t,s R, u R n. ÃÓ Ò Ò ÓÐÐ Ò ½º º Ö ÙÑ ÒØØ ÑÖÚØ Ó Ó ψ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ò ÙØÓÒÓÑ ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ú ÖØ Ù Ò º½ µ ϕ t (u) = ψ(t,,u) Ð ϕ t (u) = x(t), Ó x ÓÒ Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ù Ð Ù ÓÐÐ x() = u. Ì ØÚ º¾º ËÓÚ ÐØ Ò Ú º½½µ ÙØÓÒÓÑ Ò Ø Ð ÒØ Ò ÒÝØ ØØ Ú ÖØ Ù ØÓ¹ Ø ÙØØ º½ µ ϕ t (ϕ s (u)) = ϕ t+s (u), ϕ (u) = u. Ö ØÝ Ø ϕ t ( ) ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÒØ ÙÚ Ù ϕ t ( ). ÆÑ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÒÓÚ Ø ØØ ÙÚ Ù Ø ϕ t ( ) ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ò º Ý Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÝ ÑÒº

36 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ü µ Ü µ Ü µ 3 Ü µ Ü µ 3 Ü µ ÐÐ Ý Ø Ñ Ò x = [ ] Ð Ø ÚØ Ö Ø Ùغ [.6x +x x.4x +x ] Ü Ü Ú ØÓÖ ÒØØ Ô Ø Ø x = [ ] x = Ä Ù Ò º Ô ÖÙ Ø ÐÐ ψ ÓÒ Ø ÙÚ ÙÒ f ÓÒ Ä Ô ØÞ Ø ÙÚ º ÁØ ψ ÓÒ Ý Ø Ð Ù Ò f Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ f k ÖØ Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ Ð f C k º ÌÐÐ Ò ÑÝ Ø Ú Ø Ú ÐÐ Ö Ø Ù ÙÚ Ù ÐÐ ÔØ ψ C k. Ë ÑÓ Ò ÙØÓÒÓÑ Ò Ý Ø Ñ Ò Ú ÖØ Ù Ð¹ Ð ϕ. ÂØ ØÒ Ø ÚÐ Òº Ä ÝØÝÝ ÔÖÙ ÙÒ Ð ÑÑ Ø Ú Ö Ó Ø º Ñ Ö ÙÒ u ÓÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø f(u) =, Ò Ò ϕ t (u) = u ÐÐ t. ÌÐÐ Ò Ó x() ÓÒ Ð ÐÐ u Ø Ò Ò x(t) u+e tdf(u) [x() u].

37 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ Ò Ø ÐÙÖ Ñ Ò ÔÓ ÙØ ¹ Ø Ò Ò Ò Ò ÑÑ Ø Ô Ù ÐÙÖ Ø ÐÙÑ Ø Ò Ô Ò ÐÐ ÑÔÐ ØÙ ÐÐ ÙÒ Ø Ð ÑÑ ÐÙÖ Ð Ø Ð ÙØØ Ð ÔÝ ØÝÝÒ Ò Ò Ø Òº Ë ÒÓÑÑ ØØ Ð ÒØÓ ÓÒ Ø Ð ÙÒ Ø ÝÐ ÒØÓ ÓÒ Ô Ø Ð º Ì Ô ÒÓÔ Ø Øº È Ø ØØ p R n ÙØ ÙØ Ò Ý Ø Ñ Ò x (t) = f(x(t)) Ø Ô ÒÓÔ Ø Ó f(p) =. ÌÐÐ Ò ÐÚ Ø ϕ t (p) = p ÐÐ t R, Ð p Ø Ð Ú Ö Ø Ù ÔÝ ÝÝ Ò Ù Ø º Ì Ô ÒÓÔ Ø ØØ p ÙØ ÙØ Ò Ø Ð Ó Ó¹ ÐÐ ε > ÓÒ ÓÐ Ñ δ > Ø Ò ØØ u B δ (p) = ϕ t (u) B ε (p) ÐÐ t >. Ê Ø ÙØ ÔÝ ÝÚØ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ð ÐÐ Ø ¹ Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÙÒ Ò Ð ÙÔ Ø ÓÒ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ðк Ì Ô ÒÓÔ Ø p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ó ÐÐ Ò Ð ÓÒ ÓÐ Ñ p Ò ÝÑÔÖ Ø B d (p) Ø Ò ØØ v B d (p) = lim t ϕ t (v) = p, Ð ÙÒ Ö ØØÚÒ Ð ÐØ Ð Ø ÚØ Ö Ø ÙØ Ð Øݹ ÚØ Ô Ø ØØ p. u p δ δ d u v p Ì ØÚ º½º ÑÑ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ð Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ø Ð ÙÙ Ò ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ Ò Ø Ð ÙÙ Ò Ñ Ò Ö Ø Ú ÐÐ º ÆÝØ ØØ Ð Ò Ö Ø Ô Ù µ Ò Ò¹ Ø Ú Ø ÝÐÐ ÓÐ Ú Ò Ò Ý ØÔ ØÚØ ÑÖ Ø ÐÑغ Ä ÑÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ A R n n Ø Ò ØØ α(a) <. ÌÐÐ Ò ÒØ Ö Ð W = e tat e ta dt ÙÔÔ Ò W ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò ØØ Ñ ØÖ Ó ØÓØ ÙØØ º½µ v,w Av W v,wv, v Rn. ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ β (α(a),). ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ K Ø Ò ØØ e ta Ke tβ, ÓØ Ò ÒØ Ö Ð ÙÔÔ Ò º Ë ÐÚ Ø W ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ÈØ v T Wv = e ta v dt. Ë Ô Ó v T Wv =, Ò Ò e ta v = t, ÓÐÐÓ Ò v =, Ð W ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º ε ε

38 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÃÝØØ Ò Ú d dt y(t) = y(t),y (t) Ò ÐÐ Ò v,wav = = d dt e ta v,e ta Av dt = e ta v dt = Ñ Ø º½µ ÙÖ Ó v,wv W v. / e ta v,ae ta v dt = e ta v = v, Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÒØ ÒÝØ Ö ØØÚÒ ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ ÐÐ Ø Ð ÙÙ ÐÐ Ò Ò ÓÒ Ó Ú Ø Ú Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ð Ò Ö Ó ØÙ Ý Ø Ñ ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º Ä Ù º¾º ÇÐ ÓÓÒ f Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ p Ø Ô ÒÓÔ Ø A = Df(p). ÂÓ α(a) <, Ò Ò p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º ÌÓ º ÎÓ ÑÑ ÓÐ ØØ ØØ p =. ÇÐ ÓÓÒ W ÙØ Ò Ð ÑÑ º½ σ = W º Ø Ø Ò ØÙÐÓ x,y W = x,wy Ú Ø Ú ÒÓÖÑ x W = x,x W. ÇÐ ÓÓØ m M W Ò Ô Ò Ò ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò Ö Ú Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ò ÒÝØ lim x f(x) Ax W x W m x x W M x, x R n. M m lim f(x) f() Df()x = x x Ó ÐÐ x,y R n ÔØ x,y W x W y W Ù Ý Ë Û ÖÞµ Ò x,f(x) Ax lim W x x W ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ c (,σ) δ > Ø Ò ØØ ÓÐÐÓ Ò =. x W < δ = x,f(x) Ax W (σ c) x W, x,f(x) W x,ax W +(σ c) x W c x W. ÂÓ ÒÝØ x (t) = f(x(t)) t > x() W < δ, Ò Ò d dt x(t) W = x(t),f(x(t)) W c x(t) W, ÓØ Ò x(t) W x() W e ct, Ð x(t) W < δ t > lim t x(t) =. Ì ØÚ º¾º Î Óºµ ÆÝØ Ó f(p) = Ó Df(p) ÐÐ ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓ λ, ÓÐÐ Reλ >, Ò Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø p ÓÐ Ø Ð º ÂÓ Ò Ò ÓÐ ÚÓ ÑÑ Ø Ò Ò ÑÙÙØØÙ ÒÚ ÓÒ y = x p.

39 Ñ Ö º½º ËÝ Ø Ñ ÐÐ x x +x = x x +x ÓÒ ÓÖ ÓÒ p = (,) Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø q = (,). ÆÝØ Df(x) = x º ÇÖ Ó ¹ Df(p) = [ ] ØÐÐ ÓÒ ÓÑ Ò Ô Ö Ø (,[ 3 ]) (,[ ]) º ÌØ Ò Ö Ø ÙØ Ð Øݹ ÚØ ÓÖ Ó Ð Ô Ø Ò ÙÙÒÒ Ø ±[ 3 ] ÔÓ ¹ ØÙÚ Ø Ð Ô Ø Ò x Ð Ô Ø Òº È Ø ¹ q = (,) Ò Ð Ò Ö Ó ÒØ Ñ ØÖ ¹ ÐÐ Df(q) = [ 4 ] ÓÐÐ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ±i 7 º ÌØ Ò q ÓÒ ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ Ø Ø Ð Ö Ø ÙØ Ð ØÝÚØ Ø ÔÝ Ö Òº Ç Ò ÙÚ Ò ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ú ØÓ¹ Ö ÒØØ f ÑÙÙØ Ñ Ö Ø Ù ÝÖ º Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ÀÙÓÑ ÙØÙ º½º ÂÓ Df(p) Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ø Ø ØÒ Ú Ò ØØ Ò Ò Ö Ð Ó Ø ÚØ ÓÐ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ØÐÐ Ò ÑÑ ÚÓ Ú ØØ Ø Ð ÙÙ Ø Ú Ð Ñ ØÒ Ö ÔÔÙÙ ÐÐÓ Ò ÓÖ ÑÑ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Øº p q Ì Ô ÒÓÔ Ø ØØ p ÒÓØ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ó Df(p) ÐÐ ÓÐ ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ Ö Ð Ó ÓÐ ÒÓÐÐ º Ñ Ö Ø ¾º ¾º½¼ ÓÚ Ø ÝÔ Ö ÓÐ º Ä Ù Ò º¾ Ø ØÚÒ º¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ë ÙÖ Ù º º ÀÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø ÓÒ Ó Ó Ô Ø Ð Ø ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º º½º Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Óغ Ä Ù Ò º¾ ØÓ ØÙ ÓÐ ÐÐ Ø ÒÝØ ØØ Ò ØØ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ V(x) = x p W ÖÚÓØ Ô Ò Ò ÚØ ÙÒ ØÒ Ô Ø Ò Ö Ø ÙØÖ ØÓÖ º Ä ÔÙ¹ ÒÓÚ Ò ÓÐ Ø Ö Ø ÐÐ ÝÐ ÑÔ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ Ú Ò ÚØ Ô Ø Ò ÒÒ ØÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ù º ÇÐ ÓÓÒ V : R n R Ö ÒØ Ó ØÙÚ º ÂÓ gradv(x), f(x) <, Ò Ò Ô Ø Ò x Ð ÐÐ ÙÐ Ú Ö Ø Ù Ô Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ V ÖÚÓØ Ú Ò ÚØ ÐÐ d dt V(ϕt (x)) t= = gradv(x), f(x) <. Ú Ø Ö Ò È Ø Ö ½ ¾

40 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÌÐÐ Ò Ò Ø Ö Ø ÐÙ Ó Ø ÙÖ Ú Ò Ä Ù º Ä ÔÙÒÓÚ Ò Ø Ð ÙÙ Ð Ù µº ÇÐ ÓÓÒ f C, p Ý Ø Ñ Ò x = f(x) Ø Ô ¹ ÒÓÔ Ø U Ò Ó Ò ÝÑÔÖ Ø º ÇÐ ÓÓÒ V : U R Ø ÙÚ Ø Ö ÒØ Ó ØÙÚ Ø Ò ØØ µ x p = V(x) > V(p), µ gradv(x), f(x) ÐÐ x U. Ö Î Üµ Ü Ø Ùµ V= vakio ÌÐÐ Ò p ÓÒ Ø Ð º ÂÓ Ð µ gradv(x), f(x) < ÐÐ x U \{p}, ܵ Ò Ò p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º ÌÓ Ø ÑÑ ØÑÒ Ñ Ò ÑÝ ÑÑ Òº ÙÒ Ø ÓØ Ó ØÓØ ÙØØ ÓØ µ µ ÙØ Ù¹ Ø Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó º ÂÓ ÑÝ µ ÔØ Ò Ò Ø ÒÓØ Ò Ø Ö Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó º Ñ Ö º¾º ÃÙÒ Ñ ØÖ ÐÐ A = Df(p) ÓÒ Ö Ð Ó ÐØ Ò Ò Ø Ú Ø ÓÑ Ò Ö¹ ÚÓØ W ÓÒ ÙØ Ò Ð ÑÑ º½ Ò Ò V(x) = x p W ØÓØ ÙØØ Ø Ö Ò Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓØ ÐÙ U = { x R n x p,wf(x) < } {p}, Ó ÓÒ Ö p Ò ÝÑÔÖ Ø º Ð Ù Ò º¾ ØÓ ØÙ µº Ð Ø Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÝØÑ Ò Ò ÒÒ ØÙÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ò Ð º Å ØÒ ÝÐ ÔØ Ú Ö ÔØ ÓÐ º Ý Ð Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ö Ø ÐÙØ ØÙÓØØ Ú Ø Ù Ò ØÙÐÓ Òº Í Ò ÒÒ ØØ ÝÖ ØØ ÓÔ Ú ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú V غ x Ñ Ö º º ÇÖ Ó ÓÒ Ý Ø Ñ Ò x +3x x = x 3 x Ø Ô ÒÓÔ Ø º Ä ¹ x x3 Ò Ö Ó ÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ñ ØÖ [ ] ÒÒ Ñ Ò ÔØ ÐÐ Ñ ØÒ Ø Ð ÙÙ Ø º Ö Ø ØÒ Ý Ø Ñ ÐÐ Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓØ ÑÙÓ Ó V(x) = a x + a x, a,a >. ÌÐÐ Ò Ò Ò ØÓ µ ØÓØ ÙØÙÙº ÆÝØ gradv(x), f(x) = a x x +a x x = a x ( x +3x x 3 )+a x ( x x x3 ) = 4a x +(6a 4a )x x3 a x 4, Ó Ø Ú Ð Ø Ñ ÐÐ a =, a = 3 Ò gradv(x),f(x) = 8x 6x 4, Ð V(x) = x +3x ÓÒ Ø Ö Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó ÓÖ Ó ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º Ë ÖÖÝØÒ ÒÝØ Ä ÔÙÒÓÚ Ò Ø Ð ÙÙ Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Òº ÌÓ º ÂÓ u U, Ò Ò d dt V(ϕt (u) = gradv(ϕ t (u)), f(ϕ t (u)), V(ϕ t (u)) V(u) Ò Ò Ù Ò ÙÒ ϕ t (u) U. ÓØ Ò

41 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ÇÐ ÓÓÒ ε > Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ø Ò ØØ B ε (p) U. Ø Ø Ò c = min x p =ε V(x), ÓÐÐÓ Ò c > V(p). Å Ò Ñ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó V ÓÒ Ø ÙÚ Ô ÐÐÓÒ B ε (p) Ô ÒØ ÓÒ ÓÑÔ Ø ºµ ÇÐ ÓÓÒ U c = { x B ε (p) V(x) < c } º Uc ÓÒ ÚÓ Ò Ó V ÓÒ Ø ÙÚ º ÇÐ ÓÓÒ δ > Ø Ò ØØ B δ (p) U c º ÌÐÐ Ò ÔØ Ó u B δ (p), Ò Ò V(ϕ t (u)) V(u) < c ÐÐ t, ÓØ Ò ϕ t (u) B ε (p) ÐÐ t. Ë p ÓÒ Ø Ð º ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ ØÓ µ ÓÒ ÑÝ ÚÓ Ñ ÓÐ ÓÓØ ε >,δ >, c > V(p) ÙØ Ò Ðк ÇÐ ÓÓÒÂÓ u B δ (p), Ò Ò V(ϕ t (u)) ÓÒ Ú Ò Ú V(p), ÓØ Ò V = lim t V(ϕ t (u)) ÓÒ ÓÐ Ñ º ÆÝØ ØÒ ØØ V = V(p). Ì Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ V > V(p). ÌÐÐ Ò ÓÙ Ó D = { x U c V(x) V } ÓÒ ÓÑÔ Ø Ø ÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ η(x) = gradv(x), f(x) ÓÒ ÐÐ Ñ Ñ = k < ÓÒ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ µº Î Ø ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ϕ t (u) D ÐÐ t, ÓØ Ò d dt V(ϕt (u)) k ÐÐ t, Ó Ø V(ϕ t (u)) V(u) kt, Ó ÓÒ Ö Ø Ö Ø º Ë Ô lim t V(ϕ t (u)) = V(p). ÌÓ ÐØ V(p) ÓÒ V Ò ÓÐÙÙØØ Ò Ò Ñ Ò Ñ ÓÑÔ Ø ÓÙ Ó B ε (p), ÓØ Ò ÚÐØØÑØØ lim t ϕ t (u) = p p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º Ì ØÚ º º Ø ÙÖ Ú ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓØ x a) x x = x x x x x 3 b) 3x 3 = x +x x x 5 x 3 x x. Î Ñ ÒØ Ñ ØÓÒ ÐÙÖ ÓÒ Ö Ó Ø Ô Ù ÙÖ Ú Ø º Ñ Ö º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ m Ð ÙÙ ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÚÓ Ñ ÒØ F(x) = gradφ(x), Ñ φ ÓÒ Ð Ö ÔÓØ ÒØ Ð º ÌÐÐ Ò ÙÒ x ÓÒ Ñ Ò Ô v Ò ÒÓÔ Ù Ò x = v, v = m gradφ(x). ÇÐ ÓÓÒ (x,v ) R 6 Ý Ø Ñ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø º ÌÐÐ Ò v = gradφ(x ) =. Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ó ÓÒ Ò Ö E(x,v) = m v +φ(x). Ë ÐÚ Ø d E(x,v) = m v, gradφ(x) + gradφ(x),v =, dt m Ð Ò Ö ÐÝݺ Æ Ò ÓÐÐ Ò E ÓÒ Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ó Ó Ò (x,) Ò ÝÑÔÖ Ø (x,v) (x,) = E(x,v) > E(x,) Ð ÙÒ x ÓÒ φ Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ º ÌÑ ÓÒ Ä Ö Ò Ò Ð Ù ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ò ÚÓ Ñ ÒØÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø (x,) ÓÒ Ø Ð Ó x ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ º

42 ¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ º¾º Ö ÒØØ Ý Ø Ñ Øº ÅÓÒ Ø Ý Ø Ñ Ø ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ x = f(x) = gradv(x), x U, Ñ V ÓÒ Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò C ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ ÙØ ÙØ Ò Ö ÒØØ Ý Ø Ñ º Æ ÐÐ V Ø ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ä ÔÙÒÓÚ Ò ØØ º Ä Ù º º ËÝ Ø Ñ ÐÐ x = gradv(x) ÔØ µ V Ò ÖÚÓØ Ú Ò ÚØ Ô Ø Ò Ö Ø Ù Ô Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø º µ ÂÓ p ÓÒ V Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ò Ò ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ø ¹ Ô ÒÓÔ Ø º µ ËÝ Ø Ñ Ò Ö Ø Ù ÝÖØ Ð Ú Ø V Ò Ø ÖÚÓÔ ÒÒ Ø Ó Ø ÙÓÖ Ø º µ ÂÓ V ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ò Ò Ò Ò Ö Ø Ù ÐÐ ÔØ x (τ) dτ V(x()). ÌÓ º µ ÆÝØ gradv(x),f(x) = gradv(x),gradv(x) = gradv(x). µ ÃÙÒ p ÓÒ V Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ò Ò Ð Ù Ò º ÓØ µ¹µ ØÓØ ÙØÙÚ Øº µ ÂÓ x U ÓÐ Ø Ô ÒÓÔ Ø v ÓÒ Ô ÒÒ Ò { y U V(y) = V(x) } Ø Ò ÒØØ Ô Ø x, Ò Ò d dh V(x+hv) h= = Ð gradv(x),v =. µ ÌÓ ØÙ Ò µ Ó Ò ÑÙ Ò t t d V(x()) V(x(t)) = V(x(τ))dτ = x (τ) dτ, dτ Ó Ø Ú Ø ÙÖ Ó V(x(t)). Ñ Ö º º ÇÐ Ó Ý Ø Ñ x = f(x) = [ f (x,x ) cos(x )[x = sin(x )] sin(x ] ) f (x,x ) +sin(x ) x Ö ÒØØ Ý Ø Ñ ÂÓØØ f ÓÐ ÓÒ ÙÒ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÒØØ ÓÒ ÓÐØ Ú f x. Æ Ò Ò ÓÒ ÑÓÐ ÑÑ Ø = cos(x ). ÃÓ f = V x, Ò f x = V(x,x ) = x (+sin(x ) ξ) dξ +g(x ) = x (+sin(x ))+ x +g(x ). ÌÓ ÐØ V x = f, Ó Ø g ÐÐ Ð x cos(x ) g (x ) = x cos(x ) (+sin(x ))cos(x ) sin(x ) g(x ) = x [(+sin(ξ))cos(ξ)+ sin(ξ)] dξ = (+sin(x )) cos(x ), V(x,x ) = (x sin(x )) cos(x ).

43 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ x ÌÐÐ ÓÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø (x,x ) = (kπ,). È Ö ÐÐ Ø k Ø Ú Ø Ú Ø V Ò Ñ Ò Ñ ¹ Ô Ö ØØÓÑ Ø ØÙÐ Ô Ø Øº Î Ö ÙÚ ÓÒ Ó Ø ¹ Ò V Ò Ø ÖÚÓ ÝÖ ÑÙÙØ Ñ ØÖ ØÓÖ º x ÀÙÓÑ ØØ Ú ØÖ ØÓÖ Ò Ð ÙÔ Ø Ø ÓÚ Ø ÝÚ Ò Ð ÐÐ ØÓ Ò Ò ÔØÝÚØ Ö Ø Ô ÒÓÔ Ø Òº ÇÒ Ó ØÑ Ö Ø Ö Ò Ò ØØ Ö Ø Ù Ö ÔÔÙÙ Ø ÙÚ Ø Ð ÙÔ Ø Ø Î Ø Ù ÓÐ º Å µ ÀÙÓÑ ÙØÙ º¾º Ê Ø Ù Ö Ø Ù ÝÖ ÓÚ Ø Ö Ó Ø º Ê Ø Ù ÓÒ t Ò ÙÒ Ø Ó Ö Ø Ù ÝÖ ÓÒ R n Ò ÝÐÐ xy Ø ÓÒµ Ó ÓÙ Óº Ñ Ö º º ËÝ Ø Ñ Ò { x = x+xy y = x x y Ö Ø Ù ÝÖØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ò dy dx = x x y x+xy = x y +, Ð y +y = x +C. ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø Ô Ø Ò (, ) ÝÑÔݹ Ö Øº Ì ØÚ Ô ÖÖ ÓÙ ÓØ X +, X, Y +, Y Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ø ÙØ Ò Ø ÝÑÔÝÖ Ø Ô Ø Ò ÙÐ Ú Øº ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø Øµº Ì ØÚ º º ÆÝØ ØØ Ô ØÓ Ð Ñ Ö ÐÐ ½º ÓÒ ÐÙ p >, s > Ý Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÓÒ Ø Ð º Î ÒÝØ Ý ØÐ dp ds = dp/dt ds/dt = cp+dsp as bsp = ds c s p a bp ÓÒ Ô ÖÓ ØÙÚ sp Ø Ó Ò Ö Ø Ù ÝÖØ alnp bp = clns+ds+c, ÓØ ÓÚ Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ÝÑÔÖ ÙÐ Ú ÙÐ ØØÙ ÝÖ º Ì ØÚ º º Å Ø ÝÖ Ô Ø Ò Ý Ø Ñ Ò µ x = αx, y = βy, µ x = x y, y = 4x y, Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø º º È Ö Ó Ø Ö Ø Ùغ Ì Ø Ö Ø Ð ÑÑ ÐÙ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ô Ö Ó Ö Ø Ù ØÓ Ò ÒÓ Ò ÐÐ ÓØ Ô Ð Ú Ø Ð ÙÔ Ø Ò º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö¹ Ú Ñ ÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ÐÙÖ Ý Ø Ñ Ò Ð ÐÐ Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÔÝ Ö ÚØ Ö Ø¹ Ùغ

44 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÂÓ Ý Ø Ñ Ò x = f(x) Ô Ø Ø x Ð Ø Ú Ö Ø Ù ØÙÐ ÙÙ Ø Ò x Ò Ò τ ÙÐÙØØÙ Ð Ó φ τ (x ) = x, Ò Ò ØÖ ØÓÖ Γ = { φ t (x ) t [,τ] } ÑÙÓ Ó Ø ÙÐ ØÙÒ ÝÖÒ R n º ÌÐÐ Ò φ τ (x) = x ÐÐ x Γ, ÐÐ Ó x = φ t (x ), Ò Ò φ τ (x) = φ τ (φ t (x )) = φ t (φ τ (x )) = φ t (x ) = x. ÌÓ Ò ÒÓ Ò φ t+τ (x) = φ t (x) ÐÐ t R, x Γ. ÌÐÐ Ø Ö Ø Ù ÙØ ÙØ Ò τ Ô Ö Ó º ÃÙØ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÑÝ Ô Ö Ó Ø Ö Ø ÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ø Ð Ô Ø Ð Ø ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ò ÑÙ Ò Ñ Ø Ò Ú Ø Ú Ò ØÖ ØÓÖ Ò Γ Ð ÐØ Ð Ú Ø Ö Ø ÙØ ÝØØÝØÝÚØ ÔÝ ÝÚØ Ò Ð ÐÐ ÓÙØÙÚ Ø Ó Ò Ù Ø Ð ØÝÚØ Ò Γ º ÑÑ ÖÝ Ý Ò Ø Ø Ø Ö ÑÑ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÒ Ú Ò ÐÙÓØ ÑÑ ÒØÙ Ø ÓÓÒ Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ñ Ö º Ñ Ö º º ÇÐ ÓÓÒ Ý Ø Ñ x = f(x) ÒÝØ x = ( x x )x +4x x = 4x +( x x )x. 4 ÌÐÐ ÓÖ Ó ÓÒ Ô Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø f x () =, ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ 4, = ±4i. Ö Ø ØÒ ÒÙÑ Ö Ø Ö Ø Ù Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ Ó Ø ÖÖÓØ Ò ÐÙÚÙ µº ÃÙÚ Ø Ò Ò ØØ ÓÖ ÓÒ Ð ÐÐ x Ú Ù Ò Ô Ò Ò º Ä Ø Ò Ó x (t) = f(x(t)), Ò Ò d dt x(t) = x x +x x = = [( x x )x +4x x 4x x +( x x )x ] = = x(t) ( x(t) ). ÌÓ Ò ÒÓ Ò g(t) = x(t) ØÓØ ÙØØ g (t) = g(t)( g(t)). x x Ì Ø Ò Ò Ø ØØ g = ÓÒ ØÑÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø ÐÐ d (g( g)) dg g= = < µº Ð ÙÔ Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ñ Ö Ø ØØ Ó x() =, Ò Ò x(t) = ÐÐ t Ó x(), Ò Ò x(t), ÙÒ t. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ò Ò ØØ [ cos4t sin4t ] ÓÒ Ö Ö Ø Ù ÓØ Ú Ø Ú ØÖ ØÓÖ ÓÒ Ý ÝÑÔÝÖº ÌÑ ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð ÐÐ Ð ÐØ Ð Ú Ø Ö Ø ÙØ Ð ØÝÚØ Øº ÌÖ ØÓÖ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ö Ø Ù ÝÖÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ô Ø ÓÙ Ó R n º

45 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º ÆÙÑ Ö Ø Å Ò Ø ÐÑØ º½º ÁÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ º Í Ò ÙÒ Ø Ó Ø ØÙÒÒ Ø Ò Ø ÒÒ ØØ Ð ÖÚÓ Ú Ò ÖÚ Ô Ø ÓÙ Ó º ÃÙ Ø Ò Ò Ñ Ö Ö ÚÓ ÒØ Ø ÒØ ÖÓ ÒØ Ú ÖØ Ò ÐÙØ Ò ÔÔÖÓ ¹ ÑÓ ØØ ÙÒ Ø ÓØ Ð ÑÑ ÓÙ Ó º ÌÐÐ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó ÓÒ Ø Úº Ò ÖØ Ò Ø Ô ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ º ÇÐ ÓÓÒ ÒÒ ØØÙ Ö ÐÐ Ø Ô Ø Ø x,x,...,x n R Ø C µ ÙÒ Ø Ó f º Ø Ø Ò Ø ¹ ØÚ Ø n Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ò ØØ p n (x i ) = f(x i ), i =,...,nº p n (x) = a +a x+ +a n x n +a n x n Ä Ù º½º ÌÐÐ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ ØÚÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ùº ÌÓ º ÃÙÚ Ù V : (a,a,...,a n ) ( p n (x ),p n (x ),...,p n (x n ) ) ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò R n+ [ R n+ a ] f(x ) º ÇÒ Ö Ø Ø Ú Ý ØÐ ÖÝ Ñ Va = f Ñ a =. f =. º a n f(x n) ØØ Ò Ö Ø ÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓÐÐ Ö ØØ ÒÝØØ ØØ V ÓÒ Ò Ø Óº ÇÐ ÓÓÒ a Ø Ò ØØ Va = p n (x) = n i= a ix i º ÌÐÐ Ò p n ÐÐ ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø x,x,...,x n ÑÙØØ p n ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò n Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÓØ Ò ÐÐ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò n ÒÓÐÐ Ó Ø ÐÐ Ú ÐÐ º Ë Ô p n = a = ÓØ Ò V ÓÒ Ò Ø Ó Ø Ò ÑÝ ÒÚ ÖØÓ ØÙÚ º ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÙÚ Ù Ò V ÚÐ ØØ Ò Î Ò ÖÑÓÒ Ò Ñ ØÖ x x... x n x x... x n V = x x... x n º º º º. x n x n... x n n Ë ÓÒ ÒÚ ÖØÓ ØÙÚ ÙÒ x i x j, i j º Ì ØÚ º½º ÆÝØ ØØ det(v ) = i<j n (x j x i ) º ÃÙÒ ÙÒ Ø ÓØ ÔÔÖÓ ÑÓ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ÓÒ ØÖ ÖÚ Ó Ù Ò ÙÙÖ Ú Ö Øй Ð Ò Ø Òº ÌÐÐ Ò Ö ÙÖ Ú ÐÐ Ð Ù ÐÐ º Ä Ù º¾º ÇÐ ÓÓÒ f C n+ ÓÐ ÓÓØ Ô Ø Ø x i Ú Ú Ö ØÝ ÚÐ ÐÐ [x,x n ] R º ÌÐÐ Ò ÐÐ x [x,x n ] ÔØ f(x) p n (x) = f(n+) (ξ) n (x x i ), Ñ ξ [x,x n ] º (n+)! i=

46 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÌÓ º ÂÓ x = x j ÓÐÐ Ò j Ò Ò f(x) = p n (x) Ý ØÐ ÓÒ ØÖ Ú Ð Ø ÚÓ Ñ º ÇÐ ÓÓÒ x {x,...,x n } º Ø Ø Ò w(s) = n i= (s x i) g(s) = f(s) p n (s) f(x) p n(x) w(x) w(s), ÓÐÐÓ Ò g C n+ º ÆÝØ g ÐÐ ÓÒ n + ÒÓÐÐ Ó Ø s {x,x,x,...,x n } º ÊÓÐÐ Ò Ð Ù ÒÓÓ ØØ g Ò Ò ÒÓÐÐ Ó Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ò g Ò ÒÓÐÐ Ó Ø º ÌØ Ò g ÐÐ ÓÒ Ò Òµ n + Ö ÙÙÖØ ÒÓÐÐ Ó Ø º Ë ÑÓ Ò g ÐÐ ÓÒ n ÒÓÐÐ Ó Ø º Æ Ò Ø Ò Ò g (n+) ÐÐ ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø ξ [x,x n ] º ÃÓ p n ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò n Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ w (n+) = (n+)! Ò Ð f(x) p n (x) = w(x) (n+)! f(n+) (ξ). g (n+) (ξ) = f (n+) (ξ) f(x) p n(x) w(x) (n+)! = ÐÐ ÓÐ Ú ÙÚ ÓÒ ÒØ ÖÔÓÐÓ ØÙ ÙÒ Ø ÓØ f(x) = e 4x ÚÐ ÐÐ [,] Ø ÚÐ Ô Ø Ø ½ ¹ Ø ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ º Æ Ò ØØ p 4 ÔÔÖÓ ÑÓ f Ó Ð Ú Ú ÒÔ ÙÙ Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ º Ñ Ö º½º ÙÒ Ø Ó Ø f(x) = sin(x) Ø ÑÑ ØØ Ô Ø {,π/6,π/4,π/3,π/} ÖÚÓØ {,,, 3,} º Ö Ø ØÒ Ò Ò ÚÙÐÐ ÖÚ Ó ÐÙ Ù sin() º Ë ÑÑ Ð ¹ ÑÖ Ò Ñ ØÖ Ò V Ú ØÓÖ Ø f a = V f V = , f = , a = Æ Ø ÑÑ p 4 () = [ ]a ÙÒ Ó sin() = º ÆÝØÑÑ Ò Ø Ú Ò Ò Ð Ñ Ð Ð ÙØ Ø Ö ÑÑ Ò Ñ ØÐ ÐÐ º

º ÃÌÇÊ ÃÍÆ Á à ÊÀ ËÁÄ Æ Ê Æ ÁÆ ÊÁÆ º½º¾ Ë ÐÐ Ë ÐÐ Ô ÖÐÙ Ò Ö ÓÖ Ò Ñ ÑÔÙ Ñ Ð Ò Ò ØÙ ¹ØÙ Ý Ò Ô ÖÐÙ Ð Ñ ÔÖÓ Ý Ò ÖÙº Ë ÐÐ Ø Ù ØÖ ÑÔ Ð Ò Ø Ö ÙØ ÑÙÒ Ò Ö Ø Ø

º ÃÌÇÊ ÃÍÆ Á à ÊÀ ËÁÄ Æ Ê Æ ÁÆ ÊÁÆ º½º¾ Ë ÐÐ Ë ÐÐ Ô ÖÐÙ Ò Ö ÓÖ Ò Ñ ÑÔÙ Ñ Ð Ò Ò ØÙ ¹ØÙ Ý Ò Ô ÖÐÙ Ð Ñ ÔÖÓ Ý Ò ÖÙº Ë ÐÐ Ø Ù ØÖ ÑÔ Ð Ò Ø Ö ÙØ ÑÙÒ Ò Ö Ø Ø ÃÌÇÊ ÃÍÆ Á à ÊÀ ËÁÄ Æ Ê Æ ÁÆ ÊÁÆ Ê Ò Ò Ö Ò Ò Û Ò Ø ØÓ ÓÒ È Ø Ö ÖÙ Ö º½ ØÓÖ¹ ØÓÖ ÃÙÒ Ð Ñ È Ò Ñ Ò Ò ÈÊ ÍÒØÙ Ù ÒÝ Ù ØÙ Ù Ò ÔÖÓ Ö Ò Ò Ö Ò Èʵ Ý Ò Ô Ð Ò Ô ÒØ Ò Ù ÒÐ Ñ Ò Ø Ù ¹ Ñ Ò Ö ÒÝ Ñ Ð Ù Ò Ö Ò Ò Ö Ò Ø Ø

Lebih terperinci

¾º Ì ÃÆÁÃ Ê Æ ÁÆ ÊÁÆ ½ Úº Å Ö Ò Ò Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ º Ú º Å Ò Ô Ø Ò Ô Ö ØÙ Ù Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ º Ú º Å Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ò ÔÖÓ ÖÙº Ú º Å Ð Ù Ò ØÖ Ò Ô Ò ÖÙº º ËØÖÙ ØÙÖ ÓÖ

¾º Ì ÃÆÁÃ Ê Æ ÁÆ ÊÁÆ ½ Úº Å Ö Ò Ò Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ º Ú º Å Ò Ô Ø Ò Ô Ö ØÙ Ù Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ º Ú º Å Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ò ÔÖÓ ÖÙº Ú º Å Ð Ù Ò ØÖ Ò Ô Ò ÖÙº º ËØÖÙ ØÙÖ ÓÖ ¾ Ì ÃÆÁÃ Ê Æ ÁÆ ÊÁÆ Ì ÓÒÐÝ Û Ý Û ³Ö Ó Ò ØÓ Ð Ú Ö ÓÒ Ø ÙÐÐ ÔÖÓÑ Ó Ö Ò Ò Ö Ò ØÓ Ø ÖØ ØÓ Ö Ò Ò Ö Ò Ñ Ò Ñ ÒØ Ý Ö Ò Ò Ö Ò ÓÙÖ ÐÚ ³ Â Ñ ÑÔÝ ¾º½ Å Ò Ô È ÖÐÙ Ì Ò Ì Ò ¹Ø Ò Ø ÖØ ÒØÙ Ô ÖÐÙ Ñ Ò Ò ÙÒØÙ Ñ Ð Ù Ò Ö Ò

Lebih terperinci

ËÃÊÁÈËÁ ÅÇ Ä ËÁÊ Æ Æ ÁÅÁ Ê Æ Æ Î ÃËÁÆ ËÁ Ý Ò Ù ÙÒ ÓÐ Æ Æ Æ ÅÍ ÄÁÅ ÆÁź ż½¼ ¼ Ñ Ò ÓÐ È Ñ Ñ Ò Á È Ñ Ñ Ò ÁÁ Ö º ÈÙÖÒ Ñ Ï Ý Ò Ò Åº ÔԺ˺ ÆÁȺ ½ ½ ¾¼ Ö º

ËÃÊÁÈËÁ ÅÇ Ä ËÁÊ Æ Æ ÁÅÁ Ê Æ Æ Î ÃËÁÆ ËÁ Ý Ò Ù ÙÒ ÓÐ Æ Æ Æ ÅÍ ÄÁÅ ÆÁź ż½¼ ¼ Ñ Ò ÓÐ È Ñ Ñ Ò Á È Ñ Ñ Ò ÁÁ Ö º ÈÙÖÒ Ñ Ï Ý Ò Ò Åº ÔԺ˺ ÆÁȺ ½ ½ ¾¼ Ö º ÅÇ Ä ËÁÊ Æ Æ ÁÅÁ Ê Æ Æ Î ÃËÁÆ ËÁ ÓÐ Æ Æ Æ ÅÍ ÄÁÅ ÆÁź Å ¼½¼ ¼ ËÃÊÁÈËÁ ØÙÐ Ò Ù Ò ÙÒØÙ Ñ Ñ ÒÙ Ò Ô Ö Ý Ö Ø Ò Ñ ÑÔ ÖÓÐ Ð Ö Ë Ö Ò Ë Ò Å Ø Ñ Ø ÂÍÊÍË Æ Å Ì Å ÌÁà ÃÍÄÌ Ë Å Ì Å ÌÁÃ Æ ÁÄÅÍ È Æ Ì ÀÍ Æ Ä Å ÍÆÁÎ ÊËÁÌ

Lebih terperinci

Ù Ò ÈÖÓ Ê Ò Ò Ö Ò ÈÖÓ º Ê Ö Ù Ó ÁÒ Ö Ø ² Ö º Ó ÓÔÖ ÒÓØÓ ¾ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼½

Ù Ò ÈÖÓ Ê Ò Ò Ö Ò ÈÖÓ º Ê Ö Ù Ó ÁÒ Ö Ø ² Ö º Ó ÓÔÖ ÒÓØÓ ¾ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼½ Ù Ò ÈÖÓ Ê Ò Ò Ö Ò ÈÖÓ º Ê Ö Ù Ó ÁÒ Ö Ø ² Ö º Ó ÓÔÖ ÒÓØÓ ¾ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼½ Ø Ö Á ½ ÃÇÆË È ÍËÁÆ ËË ÈÊÇ ËË Ê Æ ÁÆ ÊÁÆ ½º½ È Ò ÖØ Ò Ù Ò ÈÖÓ Ê Ò Ò Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lebih terperinci

ÞßÞ Ì ÒÖßËßÒ ÐËÍÌßÕß. Ó»²» Ò»¹ Õ±» ¼ ² Ë Õ»½ Ó»²»²¹ øó»²»¹µ± ¼ ² ËÕÓ. «² ² ²¹ ¾ ² µ Î ïòðððòðððòðððôððò. îò Ë Ó»²»²¹ ¼»² «³ µ ¹ ²»¹ ²¼±²» ²¹

ÞßÞ Ì ÒÖßËßÒ ÐËÍÌßÕß. Ó»²» Ò»¹ Õ±» ¼ ² Ë Õ»½ Ó»²»²¹ øó»²»¹µ± ¼ ² ËÕÓ. «² ² ²¹ ¾ ² µ Î ïòðððòðððòðððôððò. îò Ë Ó»²»²¹ ¼»² «³ µ ¹ ²»¹ ²¼±²» ²¹ ÞßÞ Ì ÒÖßËßÒ ÐËÍÌßÕß ßò Ë Ó µ ±ô Õ»½ ô ¼ ² Ó»²»²¹ Ü»º ² ËÓÕÓ øë Ó µ ± Õ»½ Ó»²»²¹ ³»²««Õ»³»²» ² Ó»²» Ò»¹ Õ±» ¼ ² Ë Õ»½ Ó»²»²¹ øó»²»¹µ± ¼ ² ËÕÓ ïò Ë Õ»½ ¼ ² Ó µ ± ¼»² «³ µ ¹ ²»¹ ²¼±²» ²¹ ³»³ µ µ»µ ² ¾» ¼

Lebih terperinci

ËÃÊÁÈËÁ ÆÄÁËÁË ÄÇÄ ËÁËÌÅ ÅÆ˹ÈÅÆË ÆÆ ÊËÈÇÆ ÍÆËÁÇÆÄ ÅÁÀÄÁ˹ÅÆÌÆ ÝÒ ÔÒ Ò Ù ÙÒ ÓÐ ËÌÊÁ ÆÊËÊÁ ÆÁź ż½¼¾ ¼½ ÈÑÑÒ Á ÑÒ ÓÐ ÈÑÑÒ ÁÁ Ö º ËÙØÖÑ ÅºË ÆÁȺ ½ ¾ ¼

ËÃÊÁÈËÁ ÆÄÁËÁË ÄÇÄ ËÁËÌÅ ÅÆ˹ÈÅÆË ÆÆ ÊËÈÇÆ ÍÆËÁÇÆÄ ÅÁÀÄÁ˹ÅÆÌÆ ÝÒ ÔÒ Ò Ù ÙÒ ÓÐ ËÌÊÁ ÆÊËÊÁ ÆÁź ż½¼¾ ¼½ ÈÑÑÒ Á ÑÒ ÓÐ ÈÑÑÒ ÁÁ Ö º ËÙØÖÑ ÅºË ÆÁȺ ½ ¾ ¼ ÆÄÁËÁË ÄÇÄ ËÁËÌÅ ÅÆ˹ÈÅÆË ÆÆ ÊËÈÇÆ ÍÆËÁÇÆÄ ÅÁÀÄÁ˹ÅÆÌÆ ÓÐ ËÌÊÁ ÆÊËÊÁ ÆÁź ż½¼¾ ¼½ ËÃÊÁÈËÁ ØÙÐ Ò ÙÒ ÙÒØÙ ÑÑÒÙ Ò ÔÖ ÝÖØÒ ÑÑÔÖÓÐ ÐÖ ËÖÒ ËÒ ÅØÑØ ÂÍÊÍËÆ ÅÌÅÌÁà ÃÍÄÌË ÅÌÅÌÁÃ Æ ÁÄÅÍ ÈÆÌÀÍÆ ÄÅ ÍÆÁÎÊËÁÌË ËÄË ÅÊÌ

Lebih terperinci

ÐÎÑÜËÕÍ ÐÛÍßÒ ÜßÒ ÐÛÓÞÛÒÌËÕßÒ ÌØÛßÌÛÎ ÑÚ Ó ÒÜ ÜßÔßÓ Ú ÕÍ Ó Ò Ü ÌÉ ÌÌÛÎ

ÐÎÑÜËÕÍ ÐÛÍßÒ ÜßÒ ÐÛÓÞÛÒÌËÕßÒ ÌØÛßÌÛÎ ÑÚ Ó ÒÜ ÜßÔßÓ Ú ÕÍ Ó Ò Ü ÌÉ ÌÌÛÎ ÐÎÑÜËÕÍ ÐÛÍßÒ ÜßÒ ÐÛÓÞÛÒÌËÕßÒ ÌØÛßÌÛÎ ÑÚ Ó ÒÜ ÜßÔßÓ Ú ÕÍ Ó Ò Ü ÌÉ ÌÌÛÎ ø Í «¼ Ü» µ º Õ«º л» л²«Ú µ ³ ² ¼ ³ Ó»³ ±¼«µ Pesan yang Membentuk Ì»» ±º Ó ²¼ di Twitter ÍÕÎ ÐÍ Ü ««² Ñ» æ ÚÌßÎ ß ÒËÎ ßÎ ÛÍÌß Üðîðèðéî

Lebih terperinci

Ò ÐÐ ÑÑÖÒØÒ ÒÒ ÑÒØÒ Ö ÒÒ¹ÆÝ Ò Ñ¹ ÒÝÙÒÒÝ Ö Ò ÔÖÑÒÒ ÝÒ ÑÐÐÒ Ò ÙÔÒ ÖØ ÔÖÙ¹ ØÒ ÝÒ Ø ÔÒØ º ËÑÒ ØÒ ÓÐ Ð Ò ÌÐ Ö ÁÒÙ ØÒØÒ ÝØ Ò Ë ÙÒÙÒݵ ÐÐ ÑÐÖÒ ÔÖÙØÒ ÝÒ ÑÐÐÒ

Ò ÐÐ ÑÑÖÒØÒ ÒÒ ÑÒØÒ Ö ÒÒ¹ÆÝ Ò Ñ¹ ÒÝÙÒÒÝ Ö Ò ÔÖÑÒÒ ÝÒ ÑÐÐÒ Ò ÙÔÒ ÖØ ÔÖÙ¹ ØÒ ÝÒ Ø ÔÒØ º ËÑÒ ØÒ ÓÐ Ð Ò ÌÐ Ö ÁÒÙ ØÒØÒ ÝØ Ò Ë ÙÒÙÒݵ ÐÐ ÑÐÖÒ ÔÖÙØÒ ÝÒ ÑÐÐÒ ÓÛÒÐÓ Ö ØØÔ»»ÛÛÛºÚØÙÐкÓÖº» Adab-Adab Masjid ½ ÂÒÙÖ ¾¼¼ ÙÑ ÑÙ ÐÑÒ Ñ ÑÖÙÔÒ ØÑÔØ ÑÙÐ ÝÒ Ö Ö Ð ÝÒ ÑÒÑÖÒÝ ÑÒÛ ØÙÔÙÒ ÐÖº Å Ù ÑÑÐ ÒйÒÐ Ù¹ Ù ÓÖÒ¹ÓÖÒ ÖÑÒ ØÑÔØ ÔÒÙÒÒ ÒѹÒÑ ÐÐ ÝÖ³Ø ÐÐ ØÒ ØÑÔØ ÖÙÙÒÒ ÐÒ ÙÒ ÒÒ ËÒ

Lebih terperinci

ßÒßÔ Í Í ÍÌÎËÕÌËÎßÔ ÜßÒ Ò Ôß ÐÛÒÜ Ü ÕßÒ ÒÑÊÛÔ ç ÍËÓÓÛÎÍ ïð ßËÌËÓÒÍ ÜßÎ ÕÑÌß ßÐÛÔ ÕÛ ÌØÛ Þ Ù ßÐÐÛÔ ÕßÎÇß ÉßÒ ÍÛÌÇßÉßÒ

ßÒßÔ Í Í ÍÌÎËÕÌËÎßÔ ÜßÒ Ò Ôß ÐÛÒÜ Ü ÕßÒ ÒÑÊÛÔ ç ÍËÓÓÛÎÍ ïð ßËÌËÓÒÍ ÜßÎ ÕÑÌß ßÐÛÔ ÕÛ ÌØÛ Þ Ù ßÐÐÛÔ ÕßÎÇß ÉßÒ ÍÛÌÇßÉßÒ ßÒßÔ Í Í ÍÌÎËÕÌËÎßÔ ÜßÒ Ò Ôß ÐÛÒÜ Ü ÕßÒ ÒÑÊÛÔ ç ÍËÓÓÛÎÍ ïð ßËÌËÓÒÍ ÜßÎ ÕÑÌß ßÐÛÔ ÕÛ ÌØÛ Þ Ù ßÐÐÛÔ ÕßÎÇß ÉßÒ ÍÛÌÇßÉßÒ Ñ» æ ÎßÌÒß ÕËÍËÓßÉßÌ Õïîðèðíè ÍÕÎ ÐÍ ÚßÕËÔÌßÍ ÕÛÙËÎËßÒ ÜßÒ ÔÓË ÐÛÒÜ Ü ÕßÒ ËÒ ÊÛÎÍ ÌßÍ

Lebih terperinci

menetapkan olahraga perlu makin ani bagi setiap anggota masyarakat, nasional yaitu memasyarakatkan masyarakat. Tak hanya itu saja

menetapkan olahraga perlu makin ani bagi setiap anggota masyarakat, nasional yaitu memasyarakatkan masyarakat. Tak hanya itu saja ! " # $ $ %! & '! ( ) ) ' * % ) ' # + )! )! ' ),! &! ) % ( - ( " ( # + & ( )! &! ) %. % & ' (! # ' ) + #! ) ' $ ) ( / * * * 0 1 ) ' ( ( ) ( +! +! ' ( % $ ) ( & + / $ & 0 2 3 4 5 6 4 7 8 9 4 5 : ; 4 < =

Lebih terperinci

Karena v merupakan vektor bukan nol, maka A Iλ = 0. Dengan kata lain, Persamaan (2.2) dapat dipenuhi jika dan hanya jika,

Karena v merupakan vektor bukan nol, maka A Iλ = 0. Dengan kata lain, Persamaan (2.2) dapat dipenuhi jika dan hanya jika, BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema dari nilai eigen, vektor eigen, dan diagonalisasi, sistem persamaan differensial, model predator prey lotka-voltera,

Lebih terperinci

commit to user ÞßÞ ÓÛÌÑÜÛ ÐÛÒÛÔ Ì ßÒ

commit to user ÞßÞ ÓÛÌÑÜÛ ÐÛÒÛÔ Ì ßÒ ÞßÞ ÓÛÌÑÜÛ ÐÛÒÛÔ Ì ßÒ ßò Ì»³ ¼ ² É µ «Ð»²» ² ïò Ì»³ л²» ² л²» ² ¼ µ«µ ² ¼ ³ ²¹µ»² ««² ² µ ²¹ ¾» «¼«Î»ª± «ÐÕ ¼ Ó ¼ «², dilaksanakan dengan cara «¼» «¼» «µ ²ó» «µ ² ³ ««² ¾«µ«ó¾«µ«µ±»µ ¾ ¼ ¼ ² «¼ ±¾» ª

Lebih terperinci

ÑÙÒ ÑÒÙÐ Ö ÌÖ Ð ³ Á»½¾¼ Ò Ã Ý Ð ÙÑÑ ËݳÖÒ ¾»½ Û Ø Ò ÑÒÒÐ ÑÒÙÔÒ Ýغ Ò ÙÐ ÅÙØÐ ÖØ Ñ ÐÐ Û Ò ÙÖÙ ØÐ ÑÒÙÔÒ ÐÑØ ÝÒ ÒÙ ÔÖÒØÒ ÙÒØÙ ÙÔÒ Ò Ê ÙÐÙÐÐ Ö ËÐ ÝÙÙÖ ÝÒ

ÑÙÒ ÑÒÙÐ Ö ÌÖ Ð ³ Á»½¾¼ Ò Ã Ý Ð ÙÑÑ ËݳÖÒ ¾»½ Û Ø Ò ÑÒÒÐ ÑÒÙÔÒ Ýغ Ò ÙÐ ÅÙØÐ ÖØ Ñ ÐÐ Û Ò ÙÖÙ ØÐ ÑÒÙÔÒ ÐÑØ ÝÒ ÒÙ ÔÖÒØÒ ÙÒØÙ ÙÔÒ Ò Ê ÙÐÙÐÐ Ö ËÐ ÝÙÙÖ ÝÒ ÓÛÒÐÓ Ö ØØÔ»»ÚØÙÐкÓÖº Á ÐÑ Ù ÌÐ Ù ÆÙ³Ñ Ð Ø Ö ¾ Å ¾¼¼ ½ ÈÒÙÐÙÒµ ÌÖÑ Ù Õ Ëݳ Ð ÑÒÒØ ÐÙÐ Ø ÑÒÙÖÙØ ÖØÖ ÑÖ ÛÐÙÔÙÒ ÐÛØ Ø Ò ÑÒÓÐ Ø ÝÒ ÖÛÝØÒ ÐÒÒ ÐÙ ËÙÒÒº ÅÙѹ Ñ ÀÙ Ò Ð Ã Ý Ø³ ÙÐÑ Ý³ Ñ Ò ÖØ Ë ÙÒÙÒÝ Ëݳ Ø ÑÒÙ ÙÒÒ

Lebih terperinci

Ü ³ л³¾» ² Ó»¼ Ó. øß² É ½ ² л³¾» ² Õ»µ» ² Ñ ³ ³ ÚÐ. ¼ Í«Õ ¾ Ø ² Ö Ð±» ±¼» Ú»¾ «îðïî ÍÕÎ ÐÍ. ˲ «µ ³»³»²¾ ¹ ²» ² ³»²½ ¹» Í ² ³«Õ±³«² µ

Ü ³ л³¾» ² Ó»¼ Ó. øß² É ½ ² л³¾» ² Õ»µ» ² Ñ ³ ³ ÚÐ. ¼ Í«Õ ¾ Ø ² Ö Ð±» ±¼» Ú»¾ «îðïî ÍÕÎ ÐÍ. ˲ «µ ³»³»²¾ ¹ ²» ² ³»²½ ¹» Í ² ³«Õ±³«² µ Ñ ³ ³ Ü ³ л³¾» ² Ó»¼ Ó øß² É ½ ² л³¾» ² Õ»µ» ² Ñ ³ ³ ÚÐ ¼ Í«Õ ¾ Ø ² Ö Ð±» ±¼» Ú»¾ «îðïî ÍÕÎ ÐÍ Ë² «µ ³»³»²¾ ¹ ²» ² ³»²½ ¹» Í ² ³«Õ±³«² µ Ð ¼ Ú µ«³«í± ¼ ² ³«Ð± µ Ö««² ³«Õ±³«² µ Ü ««² ±» æ ß³ Î ½ ³ Üïîïðððê

Lebih terperinci

USAHA KONVEKSI PAKAIAN JADI

USAHA KONVEKSI PAKAIAN JADI P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L S Y A R I A H ( P P U K -S Y A R I A H ) U S A H A K O N V E K S I P A K A I A N J A D I P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L S Y A R I A H (

Lebih terperinci

Bab III Respon Sinusoidal

Bab III Respon Sinusoidal Bab III Respon Sinusoidal Sinyal sinusiodal digunakan sebagai input ui terhadap kinera sistem, misal untuk mengetahui respon frekuensi, distorsi harmonik dan distorsi intermodulasi... Bentuk Amplituda-fasa

Lebih terperinci

MENINGKATKAN HASIL BELAJAR TENDANGAN DEPAN DALAM

MENINGKATKAN HASIL BELAJAR TENDANGAN DEPAN DALAM MENINGKATKAN HASIL BELAJAR TENDANGAN DEPAN DALAM PENCAK SILAT MELALUI PENGGUNAAN ALAT BANTU PEMBELAJARAN PADA SISWA KELAS VII A SMP MUHAMMADIYAH 2 MASARAN SRAGEN TAHUN PELAJARAN 2011/2012 SKRIPSI OLEH

Lebih terperinci

Kalkulus Variasi. Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB.

Kalkulus Variasi. Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Kalkulus Variasi Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 214 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 214 1

Lebih terperinci

HANDOUT PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PDB 4)SKS. DOSEN Efendi, M.Si. BUKU)REFERENSI: )Persamaan )Diferensial)oleh)Dr.St. Budi Waluya, M.

HANDOUT PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PDB 4)SKS. DOSEN Efendi, M.Si. BUKU)REFERENSI: )Persamaan )Diferensial)oleh)Dr.St. Budi Waluya, M. HANDOUT PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PDB 4)SKS DOSEN Efendi, M.Si BUKU)REFERENSI: )Persamaan )Diferensial)oleh)Dr.St. Budi Waluya, M.Si Daftar Isi 1 Pengantar Persamaan Diferensial 1 1.1 Pendahuluan...............................

Lebih terperinci

Kalkulus Variasi. Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB

Kalkulus Variasi. Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB Kalkulus Variasi Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum

Lebih terperinci

CONTOH SOAL MATEMATIKA SMP SATU ATAP: 1. Hasil dari (3 + (-4)) (5 + 3) adalah... A. 8 B. -7 C. -8 D Hasil dari adalah... A.

CONTOH SOAL MATEMATIKA SMP SATU ATAP: 1. Hasil dari (3 + (-4)) (5 + 3) adalah... A. 8 B. -7 C. -8 D Hasil dari adalah... A. CONTOH SOAL MATEMATIKA SMP SATU ATAP: 1. Hasil dari (3 + (-4)) (5 + 3) adalah... A. 8 B. -7 C. -8 D. -15 2. Hasil dari 12+13-14 adalah... A. 320 B. 512 C. 712 D. 1 E. 3. Ibu membeli 24 permen yang akan

Lebih terperinci

ÍÌÎßÌÛÙ ÐÛÓßÍßÎßÒ ÖßÍß ÐßÜß ÝÊò ÍÑÔÑ ßÒÙÕßÍß ËÌßÓß ÒÛÌÉÑÎÕ ÍËÎßÕßÎÌß ÌËÙßÍ ßÕØ Î. Ñ» æ Í Ì ßÎÇßÒ ßÒÌ ÕßÍßÎ Üïëðçðèî

ÍÌÎßÌÛÙ ÐÛÓßÍßÎßÒ ÖßÍß ÐßÜß ÝÊò ÍÑÔÑ ßÒÙÕßÍß ËÌßÓß ÒÛÌÉÑÎÕ ÍËÎßÕßÎÌß ÌËÙßÍ ßÕØ Î. Ñ» æ Í Ì ßÎÇßÒ ßÒÌ ÕßÍßÎ Üïëðçðèî ÍÌÎßÌÛÙ ÐÛÓßÍßÎßÒ ÖßÍß ÐßÜß ÝÊò ÍÑÔÑ ßÒÙÕßÍß ËÌßÓß ÒÛÌÉÑÎÕ ÍËÎßÕßÎÌß ÌËÙßÍ ßÕØ Î Ü «µ ² ˲ «µ Ó»³»²«Í»¾ ¹ ² л ² Ü ³ Ó»³» ±» Í»¾«² ʱµ ß Ó ¼ øßòó¼ò Ü ³ Þ ¼ ²¹ Ó ²»³»² ß¼³ ² Ñ» æ Í Ì ßÎÇßÒ ßÒÌ ÕßÍßÎ Üïëðçðèî

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I dan Fungsi Implisit dan Fungsi Implisit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Fungsi Implisit Ingat kembali aturan rantai pada fungsi satu peubah! Jika y = f (x(t)), di mana baik f maupun t

Lebih terperinci

Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas

Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Slide II Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB February 2012 TBK (IPB) Kalkulus Variasi February 2012 1 / 37 Masalah Brachystochrone

Lebih terperinci

TINJAUAN SINGKAT KALKULUS

TINJAUAN SINGKAT KALKULUS A TINJAUAN SINGKAT KALKULUS Salah satu syarat yang diperlukan untuk mempelajari komputasi numerik adalah pengetahuan dasar tentang kalkulus, termasuk pengenalan beberapa notasi dalam kalkulus, sifat-sifat

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 7 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa poin tentang sistem dinamik, kestabilan sistem dinamik, serta konsep bifurkasi. A. Sistem Dinamik Secara umum Sistem dinamik didefinisikan

Lebih terperinci

LAMPIRAN I. Alfabet Yunani

LAMPIRAN I. Alfabet Yunani LAMPIRAN I Alfabet Yunani Alha Α Nu Ν Beta Β Xi Ξ Gamma Γ Omicron Ο Delta Δ Pi Π Esilon Ε Rho Ρ Zeta Ζ Sigma Σ Eta Η Tau Τ Theta Θ Usilon Υ Iota Ι hi Φ, Kaa Κ Chi Χ Lambda Λ Psi Ψ Mu Μ Omega Ω LAMPIRAN

Lebih terperinci

Soal Ujian 2 Persamaan Differensial Parsial

Soal Ujian 2 Persamaan Differensial Parsial Soal Uian 2 Persamaan Differensial Parsial M. Jamhuri April 15, 2013 1 Buktikan bahwa ux,t) = πˆ 1 x e θ2 dθ merupakan solusi persamaan difusi u t = u xx untuk setiap x R,t > 0. Untuk x 0 tunukkan bahwa

Lebih terperinci

ÞßÞ ÍßÖ ßÒ ÜßÒ ßÒßÔ Í Í ÜßÌß. ± ¹ ² ²¹ ¼ µ«µ ² ±» ß ÛÍÛÝ ÔÝ ËÒÍ»¾ ¹»¾«± ¹ ². µ±³«² µ ± ¹ ²»»¾«ò л³ ²»²» ² ² ³» «µ ²

ÞßÞ ÍßÖ ßÒ ÜßÒ ßÒßÔ Í Í ÜßÌß. ± ¹ ² ²¹ ¼ µ«µ ² ±» ß ÛÍÛÝ ÔÝ ËÒÍ»¾ ¹»¾«± ¹ ². µ±³«² µ ± ¹ ²»»¾«ò л³ ²»²» ² ² ³» «µ ² ÞßÞ ÍßÖ ßÒ ÜßÒ ßÒßÔ Í Í ÜßÌß Ð ¼ ¾ ¾ ²»²» µ ² ³»² µ ²»²» ² ³»²¹»² µ±³«² µ ± ¹ ² ²¹ ¼ µ«µ ² ±» ß ÛÍÛÝ ÔÝ ËÒÍ»¾ ¹»¾«± ¹ ² ³ ²» ² ±²» º µµ ± óº µ ± µ ²¹ ³»³¾»² «µ ±» µ±³«² µ ± ¹ ²»»¾«ò л³ ²»²» ² ² ³» «µ

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. keadaan dari suatu sistem. Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan

BAB I PENDAHULUAN. keadaan dari suatu sistem. Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan BAB I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Masalah Sistem kontrol merupakan suatu alat untuk mengendalikan dan mengatur keadaan dari suatu sistem Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan atau sasaran

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan Diferensial Biasa Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa

Lebih terperinci

Ø ÐÛÎÔÑÕßÔ ÌßÍ ÓÌß ÚÓ ÐßÍÝß ÎßÜ Ñ ÍÌÎÛßÓ ÒÙ

Ø ÐÛÎÔÑÕßÔ ÌßÍ ÓÌß ÚÓ ÐßÍÝß ÎßÜ Ñ ÍÌÎÛßÓ ÒÙ Ø ÐÛÎÔÑÕßÔ ÌßÍ ÓÌß ÚÓ ÐßÍÝß ÎßÜ Ñ ÍÌÎÛßÓ ÒÙ ø Í «¼ Ü» µ º Õ«º Ó»²¹»² л²» ² Ð ² Ø» ±µ Ð ½ л «¾ ² Î ¼ ± Õ±²ª»² ±² Ó»² ¼ Î ¼ ± Í» ³ ²¹ ¼ Î ¼ ± Õ±³«² ÓÌß ÚÓ ±» æ ÖËÔ ß ÒËÎ ÎÑÝØÓßØ Ü ðîðéðêì ÍÕÎ ÐÍ Ü «µ ²

Lebih terperinci

0,8 9 0,9 4 1,2 4 7,1 6 %

0,8 9 0,9 4 1,2 4 7,1 6 % P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) E M P I N G M E L I N J O P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) E M P I N G M E L I N J O B A N K I N D O N E S I A K A

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya

BAB II KAJIAN TEORI. Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya untuk pemodelan yang membutuhkan solusi dari sebuah permasalahan. Pemodelan matematika

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. representasi pemodelan matematika disebut sebagai model matematika. Interpretasi Solusi. Bandingkan Data

BAB II KAJIAN TEORI. representasi pemodelan matematika disebut sebagai model matematika. Interpretasi Solusi. Bandingkan Data A. Model Matematika BAB II KAJIAN TEORI Pemodelan matematika adalah proses representasi dan penjelasan dari permasalahan dunia real yang dinyatakan dalam pernyataan matematika (Widowati dan Sutimin, 2007:

Lebih terperinci

BAB 2 KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI. Dalam beberapa tahun terakhir, model graph secara statistik telah diaplikasikan

BAB 2 KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI. Dalam beberapa tahun terakhir, model graph secara statistik telah diaplikasikan BAB 2 KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI Dalam beberapa tahun terakhir, model graph secara statistik telah diaplikasikan dengan baik pada aplikasi pengenalan suara, pengolahan citra (Willsky, 2002 dan Choi

Lebih terperinci

Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II

Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II Fourier Analysis & Its Applications in PDEs Hendra Gunawan http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/ Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA WIDE 2010 5-6 August

Lebih terperinci

Kontrol Optimum. Syarat Transversalitas, Current-valued Hamiltonian. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014

Kontrol Optimum. Syarat Transversalitas, Current-valued Hamiltonian. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014 Kontrol Optimum Syarat Transversalitas, Current-valued Hamiltonian Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 37 Outline Syarat

Lebih terperinci

Persamaan Difusi. Penurunan, Solusi Analitik, Solusi Numerik (Beda Hingga, RBF) M. Jamhuri. April 7, UIN Malang. M. Jamhuri Persamaan Difusi

Persamaan Difusi. Penurunan, Solusi Analitik, Solusi Numerik (Beda Hingga, RBF) M. Jamhuri. April 7, UIN Malang. M. Jamhuri Persamaan Difusi Persamaan Difusi Penurunan, Solusi Analitik, Solusi Numerik (Beda Hingga, RBF) M Jamhuri UIN Malang April 7, 2013 Penurunan Persamaan Difusi Misalkan u(x, t) menyatakan konsentrasi dari zat pada posisi

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 015 CALON TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 016 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Disusun oleh : 1. 015 = 5 13 31 Banyaknya faktor

Lebih terperinci

PENGARUH INTERVAL TRAINING DAN CIRCUIT TRAINING TERHADAP PENINGKATAN DAYA TAHAN AEROBIK SKRIPSI. Oleh: NURUL KHOTIMAH K

PENGARUH INTERVAL TRAINING DAN CIRCUIT TRAINING TERHADAP PENINGKATAN DAYA TAHAN AEROBIK SKRIPSI. Oleh: NURUL KHOTIMAH K PENGARUH INTERVAL TRAINING DAN CIRCUIT TRAINING TERHADAP PENINGKATAN DAYA TAHAN AEROBIK SKRIPSI Oleh: NURUL KHOTIMAH K5608066 FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2011

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 2: Sifat-Sifat Estimator Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Statistik Cukup Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi data yang akan kita teliti Informasi dalam sampel

Lebih terperinci

Perencanaan Struktur Tangga

Perencanaan Struktur Tangga 4.1 PERENCANAAN STRUKTUR TANGGA Skema Perencanaaan Struktur Tangga Perencanaan Struktur Tangga 5Pembebanan Tangga START Dimensi Tangga Rencanakan fc, fy, Ø tulangan Penentuan Tebal Pelat Tangga dan Bordes

Lebih terperinci

TEOREMA TITIK TETAP BANACH

TEOREMA TITIK TETAP BANACH TEOREMA TITIK TETAP BANACH Esih Sukaesih Abstrak Ruang Banach menjamin setiap barisan akan konvergen ke vektor di ruang tersebut. Barisan iterasi yang kontraktif menjamin bahwa barisan tersebut akan konvergen

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan Diferensial Biasa Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau

Lebih terperinci

Program Kerja TFPPED KBI Semarang 1

Program Kerja TFPPED KBI Semarang 1 U P A Y A M E N G G E R A K K A N P E R E K O N O M I A N D A E R A H M E L A L U I F A S I L I T A S I P E R C E P A T A N P E M B E R D A Y A A N E K O N O M I D A E R A H ( F P P E D ) S E K T O R P

Lebih terperinci

log2 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT = = 2 1 = 27 8 = 19 Jawaban : C = = = 2( 15 10) Jawaban : B . 4. log3 1 2 (1) .

log2 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT = = 2 1 = 27 8 = 19 Jawaban : C = = = 2( 15 10) Jawaban : B . 4. log3 1 2 (1) . TRY OUT AKBAR UN SMA 08 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT. 9 6 4 8 7 Jawaban : C 4 4 = = = 7 8 4 = 9. 5 + = 0 5 = 0 5 = 5 0 = ( 5 0). log5 5 log8 log6 4 log log4 = log5 5 4 log log log6 log4 =. log5 5. 4. log log

Lebih terperinci

Data Survey Kendaraan Yang Keluar Areal Parkir

Data Survey Kendaraan Yang Keluar Areal Parkir LAMPIRAN E.2-1 Data Survey Kendaraan Yang Keluar Areal Parkir Lokasi Survey : Areal Parkir Bagian Depan Jenis Kendaraan : Sepeda Motor Hari/Tanggal : Senin, 10 Juli 2006 Surveyor : Heri Plat Kendaraan

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar a Matematika II - Estimator Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia April 17, 2017 atinaahdika.com Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi

Lebih terperinci

DIFERENSIAL TOTAL. 1 Kalkulus Lanjut Blog: aswhat.wordpress.com. dz dx dy x y dx x y dy. dz , ,04 0,65

DIFERENSIAL TOTAL. 1 Kalkulus Lanjut   Blog: aswhat.wordpress.com. dz dx dy x y dx x y dy. dz , ,04 0,65 DIFERENSIAL TOTAL 1. Pendahuluan Ingat kembali konsep diferensial pada fungsi satu variabel y = f(x). suatu diferensial dx terhadap variabel bebas didefinisikan sebagai: dy = f (x) dx selanjutnya, misalkan

Lebih terperinci

Pengenalan Copula. Sapto Wahyu Indratno

Pengenalan Copula. Sapto Wahyu Indratno Pengenalan Copula Sapto Wahyu Indratno STATISTICS DISIVISION, FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCI- ENCES, INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG E-mail address: sapto@math.itb.ac.id Daftar Isi Bagian 1. Copula

Lebih terperinci

6 S u k u B u n g a 1 5 % 16,57 % 4,84 tahun PENGOLAHAN IKAN BERBASIS FISH JELLY PRODUCT

6 S u k u B u n g a 1 5 % 16,57 % 4,84 tahun PENGOLAHAN IKAN BERBASIS FISH JELLY PRODUCT P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) P E N G O L A H A N I K A N B E R B A S I S F I S H J E L L Y P R O D U C T ( O T A K -O T A K d a n K A K I N A G A ) P O L A P E M B I A Y

Lebih terperinci

htt://meetabied.wordress.com SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel Urusan kita dalam kehiduan bukanlah untuk melamaui orang lain, tetai untuk melamaui diri sendiri, untuk memecahkan rekor kita sendiri,

Lebih terperinci

PENURUNAN FUNGSI SECARA NUMERIK

PENURUNAN FUNGSI SECARA NUMERIK 6 PENURUNAN FUNGSI SECARA NUMERIK Èada bab ini kita membicarakan metode numerik untuk menaksir nilai turunan suatu fungsi. Suatu fungsi, baik diketahui rumusnya secara eksplisit maupun dalam bentuk data

Lebih terperinci

perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :

perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut : 1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan

Lebih terperinci

Bab 2 TEORI DASAR. 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal

Bab 2 TEORI DASAR. 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal Bab 2 TEORI DASAR 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal Persamaan air dangkal merupakan persamaan untuk gelombang permukaan air yang dipengaruhi oleh kedalaman air tersebut. Kedalaman air dapat dikatakan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah Aljabar Linier. Abstrak

Catatan Kuliah Aljabar Linier. Abstrak Catatan Kuliah Aljabar Linier Subiono subiono3@telkom.net 4 Agustus 9 Page of 3 Abstrak Dalam catatan kuliah ini diberikan beberapa materi dari mata kuliah Aljabar Linier untuk program Sarjana (S) jurusan

Lebih terperinci

Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti

Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti Kuliah 3: TURUNAN Indah Yanti Turunan Parsial DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Untuk setiap x = (x 1,..., x n ) A dan setiap j = 1,..., n limit f x j x 1,, x n f x 1,,

Lebih terperinci

SMAN Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel Dan bahwa setiap pengalaman mestilah dimasukkan ke dalam kehidupan, guna memperkaya kehidupan itu sendiri. Karena tiada kata akhir untuk belajar seperti juga tiada kata

Lebih terperinci

Teori Relativitas. Mirza Satriawan. December 7, Fluida Ideal dalam Relativitas Khusus. M. Satriawan Teori Relativitas

Teori Relativitas. Mirza Satriawan. December 7, Fluida Ideal dalam Relativitas Khusus. M. Satriawan Teori Relativitas Teori Relativitas Mirza Satriawan December 7, 2010 Fluida Ideal dalam Relativitas Khusus Quiz 1 Tuliskan perumusan kelestarian jumlah partikel dengan memakai vektor-4 fluks jumlah partikel. 2 Tuliskan

Lebih terperinci

DAFTAR NOTASI. xxvii. A cp

DAFTAR NOTASI. xxvii. A cp A cp Ag An Atp Al Ao Aoh As As At Av b bo bw C C m Cc Cs d DAFTAR NOTASI = Luas yang dibatasi oleh keliling luar penampang beton, mm² = Luas bruto penampang (mm²) = Luas bersih penampang (mm²) = Luas penampang

Lebih terperinci

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5.

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5. 6. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. dx = x + c. a dx = a dx = ax + c. x n dx = n+ x n+ + c. sin ax dx = a cos ax + c 5. cos ax dx = a sin ax + c 6. sec ax dx = a tan ax + c 7. [ f(x) ± g(x) ] dx = f(x)

Lebih terperinci

5 S u k u B u n g a 1 5 %

5 S u k u B u n g a 1 5 % P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) U S A H A A B O N I K A N P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) U S A H A A B O N I K A N B A N K I N D O N E S I A K A

Lebih terperinci

1, 1 PENANGKAPAN IKAN DENGAN PURSE SEINE

1, 1 PENANGKAPAN IKAN DENGAN PURSE SEINE P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) P E N A N G K A P A N I K A N D E N G A N P U R S E S E I N E P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) P E N A N G K A P A

Lebih terperinci

= = =

= = = = + + + = + + + = + +.. + + + + + + + + = + + + + ( ) + ( ) + + = + + + = + = 1,2,, = + + + + = + + + =, + + = 1,, ; = 1,, =, + = 1,, ; = 1,, = 0 0 0 0 0 0 0...... 0 0 0, =, + + + = 0 0 0 0 0 0 0 0 0....

Lebih terperinci

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN 59 BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN 6.1. Kesimpulan Berdasarkan hasil data survai dan analisis yang dilakukan pada lahan parkir Rumah Sakit Umum Daerah RAA Soewondo Pati selama 3 hari dapat diambil kesimpulan

Lebih terperinci

ßÒßÔ Í Í Í ÝÇÞÛÎ ÜßÕÉßØ ÜßÔßÓ ÉÛÞÍ ÌÛ ßØÓßÜ ÇÇßØòÑÎò Ü ÐßÜß ÞËÔßÒ ßÐÎ Ô îðïï

ßÒßÔ Í Í Í ÝÇÞÛÎ ÜßÕÉßØ ÜßÔßÓ ÉÛÞÍ ÌÛ ßØÓßÜ ÇÇßØòÑÎò Ü ÐßÜß ÞËÔßÒ ßÐÎ Ô îðïï ßÒßÔ Í Í Í ÝÇÞÛÎ ÜßÕÉßØ ÜßÔßÓ ÉÛÞÍ ÌÛ ßØÓßÜ ÇÇßØòÑÎò Ü ÐßÜß ÞËÔßÒ ßÐÎ Ô îðïï Ü «µ ² ˲ «µ Ó»»²¹µ Ì«¹ ó «¹ ¼ ² Ó»³»²«Ð» ² Ù«² Ó»²½ Ù» Í ² ³«Í± ¼ ² ³«Ð± µ ˲ ª» Í»¾» Ó» Í«µ Ñ» æ Ü»² ß ² Üïîðçðîí ÖËÎËÍßÒ

Lebih terperinci

EKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH

EKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH EKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH Nur Aeni Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM nuraeniayatullah@gmailcom Info: Jurnal MSA Vol 3 No 1 Edisi: Januari

Lebih terperinci

m 2 BUDIDAYA PEMBESARAN IKAN LELE

m 2 BUDIDAYA PEMBESARAN IKAN LELE P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) B U D I D A Y A P E M B E S A R A N I K A N L E L E P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) B U D I D A Y A P E M B E S A

Lebih terperinci

BAB PDB Linier Order Satu

BAB PDB Linier Order Satu BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB PDB Linier Order Satu BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua Untuk memulai pembahasan ini terlebih dahulu akan ditinjau beberapa teorema tentang konsep umum

Lebih terperinci

1 0 0 m 2 BUDIDAYA PEMBESARAN IKAN NILA

1 0 0 m 2 BUDIDAYA PEMBESARAN IKAN NILA P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) B U D I D A Y A P E M B E S A R A N I K A N N I L A P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) B U D I D A Y A P E M B E S A

Lebih terperinci

STK 203 TEORI STATISTIKA I

STK 203 TEORI STATISTIKA I STK 203 TEORI STATISTIKA I III. PEUBAH ACAK KONTINU III. Peubah Acak Kontinu 1 PEUBAH ACAK KONTINU Ingat definisi peubah acak! Definisi : Peubah acak Y adalah suatu fungsi yang memetakan seluruh anggota

Lebih terperinci

Teori Bifurkasi (3 SKS)

Teori Bifurkasi (3 SKS) Teori Bifurkasi (3 SKS) Department of Mathematics Faculty of Mathematics and Natural Sciences Gadjah Mada University E-mail : f_adikusumo@gadjahmada.edu Sistem Dinamik PENGERTIAN UMUM : - Formalisasi matematika

Lebih terperinci

T e b l 1. 2 Ba d Me

T e b l 1. 2 Ba d Me J SAT I Te Teooo Ju I S Le ee Uve u J u Teooo III( : 3 I S SN : 87 8 Mooo S Ke A Vu Deu e F e H C o B/ Au Sw B u Zu L S L oou Teoo B A Me J uu Te K Uve u Ku B w J H Su K eu 893 E : u@u A e o we o o oe

Lebih terperinci

Wardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018

Wardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018 Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)

Lebih terperinci

USAHA PEMBUATAN GULA AREN

USAHA PEMBUATAN GULA AREN P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) G U L A A R E N ( G u l a S e m u t d a n C e t a k ) P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) G U L A A R E N ( G u l a S

Lebih terperinci

SISTEM HUKUM KEKEKALAN LINEAR

SISTEM HUKUM KEKEKALAN LINEAR Bab 3 SISTEM HUKUM KEKEKALAN LINEAR 3.1 Sistem Linear Hiperbolik Sistem linear dalam pengertian Tugas Akhir ini adalah suatu sistem hukum kekekalan dengan bentuk umum, t u + d A α (t) xα u = 0 (3.1.1)

Lebih terperinci

Bab 1 Besaran Fisika dan Satuannya

Bab 1 Besaran Fisika dan Satuannya Bab 1 Besaran Fisika dan Satuannya Ayo Uji Pemahaman Anda 1. (13,35 ± 0,05) cm. (a) (1,670 ± 0,005) cm (b) (6,30 ± 0,005) cm 3. (a) 6,5 + 43 0,01 = (6,930 ± 0,005) mm (b) 4,0 + 11 0,01 = (4,110 ± 0,005)

Lebih terperinci

DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT

DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor kompleks V disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi (.,.) : V V C sehingga untuk setiap x, y, z

Lebih terperinci

Keep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1

Keep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1 VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor

Lebih terperinci

USAHA PENANGKAPAN IKAN PELAGIS DENGAN ALAT TANGKAP GILLNET

USAHA PENANGKAPAN IKAN PELAGIS DENGAN ALAT TANGKAP GILLNET P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) P E N A N G K A P A N I K A N P E L A G I S D E N G A N A L A T T A N G K A P G I L L N E T P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L (

Lebih terperinci

1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1

1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1 Daftar Isi 1 Mengapa Perlu Belajar Geometri 1 1.1 Daftar Pustaka.................................... 1 2 Ruang Euclid 3 2.1 Geometri Euclid.................................... 8 2.2 Pencerminan dan Transformasi

Lebih terperinci

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215

Lebih terperinci

Open Source. Not For Commercial Use

Open Source. Not For Commercial Use Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati

Lebih terperinci

FORMULA PENGGANTI METODE KOEFISIEN TAK TENTU ABSTRACT

FORMULA PENGGANTI METODE KOEFISIEN TAK TENTU ABSTRACT FORMULA PENGGANTI METODE KOEFISIEN TAK TENTU Syofia Deswita 1, Syamsudhuha 2, Agusni 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Lebih terperinci

BAB II MATRIKS POSITIF. Pada bab ini akan dibahas mengenai Teorema Perron, yaitu teori hasil kontribusi

BAB II MATRIKS POSITIF. Pada bab ini akan dibahas mengenai Teorema Perron, yaitu teori hasil kontribusi BAB II MATRIKS POSITIF Pada bab ini akan dibahas mengenai Teorema Perron, yaitu teori hasil kontribusi dari seorang matematikawan German, Oskar Perron. Perron menerbitkan tulisannya tentang sifat-sifat

Lebih terperinci

USAHA BUDIDAYA CABAI MERAH

USAHA BUDIDAYA CABAI MERAH P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L S Y A R I A H ( P P U K -S Y A R I A H ) U S A H A B U D I D A Y A C A B A I M E R A H P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L S Y A R I A H ( P

Lebih terperinci

DAFTAR NOTASI. = Luas yang dibatasi oleh keliling luar penampang beton, mm² = Luas efektif bidang geser dalam hubungan balokkolom

DAFTAR NOTASI. = Luas yang dibatasi oleh keliling luar penampang beton, mm² = Luas efektif bidang geser dalam hubungan balokkolom A cp Acv Ag An Atp Al Ao Aoh As As At Av b bo bw C Cc Cs d DAFTAR NOTASI = Luas yang dibatasi oleh keliling luar penampang beton, mm² = Luas efektif bidang geser dalam hubungan balokkolom (mm²) = Luas

Lebih terperinci

SISTEM DINAMIK DISKRET. Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan

SISTEM DINAMIK DISKRET. Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan SISTEM DINAMIK DISKRET Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan SISTEM DINAMIK Kontinu Sistem Dinamik Diskret POKOK BAHASAN SDD OTONOMUS NON-OTONOMUS 1-D MULTI-D LINEAR NON-LINEAR

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 8/9. Perhatikan premis premis berikut! - Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara - Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut

Lebih terperinci

BAB IV DESKRIPSI DATA DAN PEMBAHASAN HASIL PENELITIAN. Bab ini akan membahas dan menginterpretasikan tentang hasil penelitian

BAB IV DESKRIPSI DATA DAN PEMBAHASAN HASIL PENELITIAN. Bab ini akan membahas dan menginterpretasikan tentang hasil penelitian BAB IV DESKRIPSI DATA DAN PEMBAHASAN HASIL PENELITIAN A. Deskripsi Data Bab ini akan membahas dan menginterpretasikan tentang hasil penelitian yang telah dilakukan oleh peneliti. Hasil penelitian ini berupa

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Model Matematika. Model Pertumbuhan Tumor Tanpa Perlakuan

TINJAUAN PUSTAKA. Model Matematika. Model Pertumbuhan Tumor Tanpa Perlakuan TINJAUAN PUSTAKA Model Matematika. Model Pertumbuhan Tumor Tanpa Perlakuan Setiap akan melakukan terapi pada pertumbuhan tumor diperlukan suatu model pertumbuhan tumor tanpa perlakuan terapi. Pada umumnya,

Lebih terperinci

ÞßÞ Ê ÌÛÓËßÒ ÜßÒ ÐÛÓÞßØßÍßÒ

ÞßÞ Ê ÌÛÓËßÒ ÜßÒ ÐÛÓÞßØßÍßÒ ÞßÞ Ê ÌÛÓËßÒ ÜßÒ ÐÛÓÞßØßÍßÒ ìòïò Ì»³«² ßò Ð ² ß ¼ ² Ì»»³ ²² ïò ß «¼» Ûª «± º»¾ ¹ ß «¼» ¼»µ ¼ ¹«² µ ² ̱² ß¾¾± ¼ ² Ö Þ ±»½ ¼±³ ² ² ¼ ¼ ³»µ ô ³ ¼«µ ¼»ª «²»¹ ºò Ø ² ³»²«² «µµ ² ¾ ³» µ «² µ»¼²««³»²«² «µµ ²

Lebih terperinci

Catatan Kuliah FI2101 Fisika Matematik IA

Catatan Kuliah FI2101 Fisika Matematik IA Khairul Basar atatan Kuliah FI2101 Fisika Matematik IA Semester I 2015-2016 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung Bab 6 Analisa Vektor 6.1 Perkalian Vektor Pada bagian

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 3: Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Bila sampling berasal dari populasi yang digambarkan melalui fungsi peluang f X (x θ), pengetahuan tentang θ menghasilkan karakteristik mengenai keseluruhan

Lebih terperinci

DAFTAR NOTASI. = Luas efektif bidang geser dalam hubungan balok-kolom (mm²) = Luas penampang tiang pancang (mm²)

DAFTAR NOTASI. = Luas efektif bidang geser dalam hubungan balok-kolom (mm²) = Luas penampang tiang pancang (mm²) DAFTAR NOTASI A cp Acv Ag An Atp Al Ao Aoh As As At Av b = Luas yang dibatasi oleh keliling luar penampang beton, mm² = Luas efektif bidang geser dalam hubungan balok-kolom (mm²) = Luas bruto penampang

Lebih terperinci

LAMPIRAN I GREEK ALPHABET

LAMPIRAN I GREEK ALPHABET LAMPIRAN I GREEK ALPHABE Α, Alpha Μ, µ Mu Ψ, Psi Β, β Ba Ν, ν Nu Ω, ω Oga. Γ, γ Gaa, δ Dla Ε, ε Epsilo Ζ, ζ Za Η, η Ea Θ, θ ha Ι, ι Ioa Κ, κ Kappa Λ, λ Labda Ξ, ξ i Ο,ο Oico Π, π Pi Ρ, ρ Rho Σ, σ Siga

Lebih terperinci

KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PERIKLANAN NERLOVE-ARROW DENGAN MENGGUNAKAN PRINSIP MAKSIMUM

KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PERIKLANAN NERLOVE-ARROW DENGAN MENGGUNAKAN PRINSIP MAKSIMUM KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PERIKLANAN NERLOVE-ARROW DENGAN MENGGUNAKAN PRINSIP MAKSIMUM Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: Dewita

Lebih terperinci

Bab II Teori Pendukung

Bab II Teori Pendukung Bab II Teori Pendukung II.1 Sistem Autonomous Tinjau sistem persamaan differensial berikut, = dy = f(x, y), g(x, y), (2.1) dengan asumsi f dan g adalah fungsi kontinu yang mempunyai turunan yang kontinu

Lebih terperinci

D = Beban mati atau momen dan gaya dalam yang berhubungan dengan beban mati e = Eksentrisitas dari pembebanan tekan pada kolom atau telapak pondasi

D = Beban mati atau momen dan gaya dalam yang berhubungan dengan beban mati e = Eksentrisitas dari pembebanan tekan pada kolom atau telapak pondasi DAFTAR NOTASI A cp = Luas yang dibatasi oleh keliling luar penampang beton, mm 2 Ag = Luas bruto penampang (mm 2 ) An = Luas bersih penampang (mm 2 ) Atp = Luas penampang tiang pancang (mm 2 ) Al = Luas

Lebih terperinci