|
|
- Indra Salim
- 5 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Å˹ ½ ¼ Ä Ò Ö Ð Ö Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ 3.5 Ã Ø Ø Ü µ Ü µ Ü µ 3 Ü µ.5 Ø Ü µ 3 Ü µ.5 Ø « Ü Ü ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ ÐÝ ÒÒ ØØÝ Ú Ö Ó ÑÑ Ø Å Ø Ô ÖÙ ÙÖ Ä Ò Ú Ø Ú Ø Ó Ø º ËÝ Ý ¾¼½
2 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ë ÐØ Å Ö ÒØ ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ½º½º Ñ Ö Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ½º¾º È ÖÙ ØØ Ø ¾º Ä Ò Ö Ø Ý Ø Ñ Ø ¾º½º È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ¾º¾º Ä Ò Ö Ò Ò Ú Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý ØÐ ¾º º Ð Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ½ ¾º º Ä Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ð ÙÙ ¾ º Ê Ø ÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ý ØØ ÝÝ ¾ º½º Ñ Ö ¾ º¾º È Ö Ä Ò Ð Ø Ö Ø Ó ¾ º º Â Ø ÙÚ Ö ÔÔÙÚÙÙ Ð Ù Ó Ø ½ º º Ê Ø Ù ÙÚ Ù Ú ÖØ Ù ¾ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ º½º Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓØ º¾º Ö ÒØØ Ý Ø Ñ Ø ¼ º º È Ö Ó Ø Ö Ø ÙØ ½ º ÆÙÑ Ö Ø Å Ò Ø ÐÑØ º½º ÁÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ º¾º Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÑ Ò Ø ÐÑØ º º ÔÐ ØØ Ø ÊÙÒ ÃÙØØ Ñ Ò Ø ÐÑØ º º Ã Ò Ø Ø ØÚØ ÑÔÐ ØØ Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ ¼ º º ÅÓÒ ÐÑ Ò Ø ÐÑØ Î ØØ Ø
3 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ Å Ö ÒØ ÆÓÖÑ Ø Î ØÓÖ Ò x,y C n ØÙÐÓ Ñ Ö ØÒ x,y = y x = n j= x jy j. ÌØ Ú Ø Ú ÒÓÖÑ Ñ Ö ØÒ x = x,x = ( n j= x j ). Å ØÖ Ò A C n n ÒÓÖÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ A = max Ax. x = ÌÐÐ ÔØ Ax A x. AB A B, A k A k. A i,j a ij. ÌÓÔÓÐÓ a R n ¹ Ø ρ ¹ Ø Ø ÚÓ ÒØ ÙÐ ØØÙ Ô ÐÐÓ Ñ Ö ØÒ B ρ (a) = { x R n x a < ρ }, B ρ (a) = { x R n x a ρ }. ÂÓÙ ÓÒ Ω R n ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÒ Ω c = R n \Ω = { x R n } x Ω. Ω ÓÒ ÓÒÚ Ó ÔØ x, y Ω ( t)x+ty Ω t [,]. Ω ÓÒ ÚÓ Ò Ó x Ω ρ > Ø Ò ØØ B ρ (x) Ω. Ω ÓÒ x Ò ÝÑÔÖ Ø Ó Ω ÓÒ ÚÓ Ò x Ω. Ω ÓÒ ÙÐ ØØÙ Ó Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÒ ÚÓ Òº Ω ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ R Ø Ò ØØ Ω B R (). Ω ÓÒ ÓÑÔ Ø Ó ÓÒ ÙÐ ØØÙ Ö Ó Ø ØØÙº Ω ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ó ÓÐ ÓÐ Ñ ÚÓ Ñ ÓÙ Ó U U Ø Ò ØØ U Ω, U Ω, U U = Ω U U. Å ØÖ Ø ÇÑ Ò ÖÚÓØ Å ØÖ Ò A C n n ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ Λ(A) = { λ C det(λi A) = }. ÂÓ A ÓÒ ÖÑ ØØ Ò Ò A = A, Ò Ò Λ(A) R minλ(a) x Ax maxλ(a), ÐÐ x. x x ÐÐ Ò λ A ÐÐ λ Λ(A). ÄÙ Ù ρ(a) = max λ Λ(A) λ ÙØ ÙØ Ò A Ò Ô ØÖ Ð Ø º
4 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Λ(p(A)) = { p(λ) λ Λ(A) } Ó ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ p Λ(A ) = { /λ λ Λ(A) }, Λ(e ta ) = { e tλ λ Λ(A) }. ÈØ A = max { µ µ Λ(A A) }. Ê ÓÐÚ ÒØØ ÇÐ ÓÓÒ A C n n. ÃÓÑÔÐ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø ÓØ λ (λi A) ÙØ ÙØ Ò A Ò Ö ÓÐÚ ÒØ º Ê ÓÐÚ ÒØØ ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÓÙ Ó (C { })\Λ(A) º ÃÙÒ λ > ρ(a) ÔØ (λi A) = λ j= λ j Aj. ÇÐ ÓÓÒ Ω C ÐÙ Ø Ò ØØ Λ(A) Ω f : Ω C Ò ÐÝÝØØ Ò Òº ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ f(a) = f(z)(zi A) dz C n n, πi γ Ñ γ Ω ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð ÂÓÖ Ò¹ ÝÖ Ø Ò ØØ Ó Ó Λ(A) Ò ÔÙÓÐ ÐÐ º Af(A) = f(a)aº ÂÓ A B ÓÚ Ø Ñ Ð Ö Ø B = SAS Ò Ò f(b) = Sf(A)S ÂÓ f ÐÐ ÓÒ Ω ÙÔÔ Ò Ú ÔÓØ Ò Ö f(z) = j= c jz j Ò Ò ÔØ f(a) = j= c ja j º ÃÙÚ Ù Ø º ÇÐ ÓÓÒ f ÙÚ Ù R n R m. f Ò Ó ØØ Ö Ú ØØÓ Ñ Ö ØÒ f/ x i, Ø ÐÝ Ý Ø i f. ÂÓ f ÓÒ Ø ÙÚ ÓÙ Ó Ω, Ò Ò ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ f C(Ω). Î Ø Ú ¹ Ø Ó f Ò Ó ØØ Ö Ú Ø Ø ÖØ ÐÙ ÙÙÒ k Ø ÓÚ Ø Ø ÙÚ Ò Ò Ñ Ö ØÒ f C k (Ω). ÇÐ ÓÓÒ f C (Ω). ÌÐÐ Ò Df(x) = f x (x) R m n Ð f Ò Ö Ú ØØ Ô Ø x ÓÒ f (x) f x... (x) x n Df(x) = º ººº º. f m(x) x... f m(x) x n Ì Ö ÑÑ Ò ÒÓØØÙÒ ØÑÒ Ñ ØÖ Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ð Ò Ö ÙÚ Ù R n R m. ÌØ ÙØ ÙØ Ò ÑÝ Â Ó Ò Ñ ØÖ º ÂÓ f C, Ò Ò f(x) f(x ) = d f(x dθ +θ(x x ))dθ = Df(x +θ(x x ))dθ(x x ),
5 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ó Ø ÐÐ Ò f(x) = f(x )+Df(x )(x x )+o( x x ). ÂÓ f : R R n ÓÒ Ø ÙÚ Ò Ò b f(t)dt b a f(t) dt. Ë ÑÓ Ò Ñ ØÖ Ö¹ a ÚÓ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ º
6 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ½º ÂÓ ÒØÓ ½º½º Ñ Ö Ö ÒØ Ð Ý ØРغ ÌÑ ÑÓÒ Ø ØØ Ð Ø Ú ÐÐ Ø Ò ¹ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ý Ø Ñ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÑ Ò ÙÙ º Ì Ö Ø Ð ÑÑ ÐÙ ÑÙÙØ Ñ Ñ Ö Ó Ò Ô Ð ÑÑ ÑÝ ÑÑ Ò Òº Ñ Ö ½º½ Ê Ä¹Ô Ö µº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÚ Ò ÑÙ Ø Ú ÖØ Ô Ö Ñ e(t) ÓÒ Ò¹ Ò ØØÙ Ý ØØ ÒÒ Ø º Î ØÙ Ò Ò Ù Ø Ò Ò Ô Ø Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ò ÑÙ Ò u R (t) = Ri(t), u L (t) = Li (t), Cu C (t) = i(t). Ã Ö Ó Ò ÒÒ Ø Ð ÒÓÓ u R (t)+u L (t)+u C (t) = e(t). Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ u R u L ÑÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ý Ø Ñ Ò { u C ½º½µ (t) = i(t) C i (t) = u L C(t) R i(t)+ e(t) L L u R R i(t) e(t) L u L C u C ÌÑ ÓÒ ÑÙ Ú Ö Ó ØØ Ú ØÓÖ ÑÙÓ Ó º [ u C (t) i = C (t) L R L uc (t) Ø Ø Ò x(t) =, A = i(t) ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÐÝ Ý Ø Ñ Ö ½º¾º ][ uc (t) i(t) /C /L R/L x (t) = Ax(t)+b(t). ] [ + e(t) L ] b(t) =. e(t), ÓÐÐÓ Ò ½º½µ L ÃÙÚ Ò ÐÙÖ ÐÐ Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ð Ò ÑÙ Ò mv (t) = mgsin(θ(t)) ÓÑ ØÖ Ø v(t) = Lθ (t) ÌØ Ò ÐÙÖ ØÓØ ÙØØ { θ (t) = ½º¾µ v(t) L v (t) = gsin(θ(t)). θ L mg v(t) mg sin θ
7 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ [ θ(t) Å Ö ØÒ x(t) = f(x(t)) = x ] L (t). Æ Ò Ý Ø Ñ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ v(t) gsin(x (t)) ÐÝ Ý Ø x (t) = f(x(t)). Ñ Ö ½º È ØÓ Ð Ñ ÐÐ µº ½ ÇÐ ÓÓÒ s(t) ÓÐÐ Ò ÐÙ ÐÐ ÐÚÒ Ð Ð Ò ÑÙ Ùµ ÔÓÔÙÐ Ø Ó ÐÙ ÙÑÖµ Ø ÐÐ t p(t) Ú Ø Ú Ø Ô ØÓÐ Ò Ù µ ÔÓ¹ ÔÙÐ Ø Óº ÇÐ Ø ÑÑ ØØ ÑÙ Ø ÑÙ ÙÒ Ý ÓÐ º ÇÐ Ø Ø Ò Ð ØØ ÑÙ Ù ÐÐ ÓÒ ÖÙÓ Ò Ö ØØÚ Ø ÓØ Ò Ó Ò Ø Ý Ø Ò Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ð ÒØÝ ÚÙ¹ Ð Ò s (t) = as(t) ÑÙ Ø Ð Ð ÒØÝÑ ÒÓÔ Ù ÓÒ ÙÓÖ Ò Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ÔÓÔÙÐ ¹ Ø ÓÓÒº À Ù Ù Ø Ò Ò ÓÒ Ù Ò ÑÙ ÙÒ Ó Ø Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò s(t)p(t) Òº ÌÑ ÑÙÙØØ ÑÙ ÙÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ý ØÐ Ò ÑÙÓØÓÓÒ s (t) = as(t) bs(t)p(t) Î Ø Ú Ø Ó ÑÙ Ù ÓÐ Ù ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ú Ò Ð Ò p (t) = cp(t) ÑÙ Ø ÑÙØØ ÑÙ ÙØ Ô ØÚØ Ù Ø Ò ÑÑ Ý Ø Ñ Ò ½º µ s (t) = as(t) bs(t)p(t) p (t) = cp(t)+ds(t)p(t), Ñ a,b,c d ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ú Ó Ø º Ã Ö Ó Ø Ø Ò ØÑ Ú ØÓÖ ÑÙÓØÓÓÒ ØØ Ñ ÐÐ x(t) = (s(t),p(t)), ÓÐÐÓ Ò ½º µ x ax (t) bx (t) = (t)x (t) f (x = (t),x (t)) = f(x(t)). cx (t)+dx (t)x (t) f (x (t),x (t)) ½º¾º È ÖÙ ØØ Øº ½º½µ ½º¾µ ½º µ ÓÚ Ø Ñ Ö Ò ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒµ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ý Ø Ñ Ø Ð ÐÝ Ý Ø Ö ÒØ Ð Ý ØРغ ÇÐ ÓÓÒ f Ø ÙÚ Ù¹ Ú Ù R R n R n. ÌÐÐ Ò Ý ØÐ ½º µ x (t) = f(t,x(t)), x(t) R n ÙØ ÙØ Ò n Ñ Ò Ó Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ý Ø Ñ º ÃÓÑÔÓÒ ÒØØ ÑÙÓ Ó Ö Ó ¹ Ø ØØÙÒ ØÑ ÓÒ x (t) = f (t,x (t),x (t),...,x n (t)) ½º µ x (t) = f (t,x (t),x (t),...,x n (t)) º x n (t) = f n(t,x (t),x (t),...,x n (t)). ÂÓ f ÔÐ ØØ Ø Ö ÔÙ t Ø ÙØ Ò Ñ Ö ½º¾ ½º Ð Ý ØÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ x (t) = f(x(t)), Ò Ò Ý ØÐ ÙØ ÙØ Ò ÙØÓÒÓÑ º Ñ Ö ½º½ ÓÐ ÙØÓÒÓÑ Ò Ò Ñ Ð e(t) ÓÐ Ú Óµº Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÓÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ (α,β) R ÑÖ Ø ÐØÝ Ø¹ ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ Ú ØÓÖ ÖÚÓ Ø ÙÒ Ø ÓØ x : R R n, Ó ØÓØ ÙØØ ½º µ Ò ¹ ÐÐ t (α,β). Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò Ô Ð ÓÒ Ö Ø Ù Ñ Ö Ý ØÐ ÐÐ ½ ÎÓÐØ ÖÖ ØØ ØÑÒ Ñ ÐÐ Ò ½ ¾¼ ÐÙÚÙÐÐ Ö ÒÑ Ö Ò ÐÓ Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ò ÓÐÐ Ò ÝØØÝØݹ Ñ Ò Ð ØØÑ º
8 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ x = x ÓÒ Ö Ø ÙØ x(t) = ce t, Ú ÓÒ c C ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ º ÂÓØØ Ø Ò Ý ¹ ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÚÓ Ò ÒØ Ð ØÓ ÓØ ØÓØ ÙØÙÚ Ø Ú Ò Ø ØÝÐÐ Ú ÓÒ ÖÚÓÐÐ º ÌÐÐ ÙÖ ÐÐ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ô Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ Ñ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ý ØÐ ½º µ Ð ÓÐÐ x(t ) = x, Ð ÒÒ Ø ØÒ Ö Ø ÙÒ Ð Ø Ô Ø º Â Ø Ó ØÙÐÐ Ò Ò ÑÒ ØØ ÓÔ Ú Ò ÓÐ ØÙ Ò ØÑ ÝÐ Ò ÑÖ Ö Ø ÙÒ Ý ØØ Ø º ÃÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ÚÓ Ò Ô Ð ÙØØ ½º ÖØ ÐÙÚÙÒ Ý Ø Ñ ÙÖ Ú Ò Ø Ô Òº ØÐ ÐÐ Ø Ø Ò ÓÐÐÓ Ò Ò y (t) = g(t,y(t),y (t),y (t)) x (t) = y(t), x (t) = y (t), x 3 (t) = y (t), x (t) = x (t) x (t) = x 3(t) x 3(t) = g(t,x (t),x (t),x 3 (t)) ( ÅÖ Ø ÐÐÒ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ó f(t,x(t)) = x (t),x 3 (t),g ( t,x (t),x (t),x 3 (t) )), ÓÐÐÓ Ò Ð¹ ÙÔ Ö Ò Ò º ÖØ ÐÙÚÙÒ Ý ØÐ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ½º ÖØ ÐÙÚÙÒ ÑÙÓ Ó ½º µº ÆÙÑ Ö Ø Ò Ö Ø ÙÓ ÐÑ ØÓ Ò ÝØØ ÐÐÝØØ Ù Ò ØØ Ý Ø Ñ ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÑÙÓ¹ Ó ½º µº
9 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾º Ä Ò Ö Ø Ý Ø Ñ Ø ¾º½º È ÖÙ ÓÑ Ò Ù٠غ ÇÐ ÓÓØ A : R R n n b : R R n Ø ÙÚ ØÓ Ò ÒÓ Ò ÙÐÐ Ò t R, A(t) ÓÒ n n Ñ ØÖ b(t) n Ú ØÓÖ Ø Ò ØØ Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø a i,j (t) b i (t) ÓÚ Ø Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó Ø i,j =,...,n. Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ¾º½µ x (t) = A(t)x(t)+b(t) ÙØ ÙØ Ò Ð Ò Ö Ô ÓÑÓ Ò Ý ØÐ Ý Ø Ñ ¾º¾µ x (t) = A(t)x(t) Ð Ò Ö ÓÑÓ Ò Ý ØÐ º ÂÓ A Ö ÔÙ Ø ÓÒ Ý Ú Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý ØÐ º ÂÓ Ý Ø Ñ ÚÓ ØØ ÑÙÓ Ó ¾º½µ Ò Ò Ø ÙØ ÙØ Ò ÔÐ Ò Ö º Ñ Ö Ò ½º½ Ý Ø Ñ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ô ÓÑÓ Ò Ò Òº Ñ Ö Ø ½º¾ ½º Ø ÓÚ Ø ÔÐ Ò Ö º ÃÙØ Ò ÐÐ ÐÙÚÙ Ñ Ò ØØ Ò ÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ½º ÖØ ÐÙÚÙÒ Ý Ø Ñ Òº ÌÐÐ Ò Ó Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ý ØÐ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ò Ò ÑÝ Ú Ø Ú ½º ÖØ ÐÙÚÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Òº Ñ Ö Ý ØÐ ÐÐ y (t)+a (t)y (t)+a (t)y (t)+a (t)y(t) = g(t) Ø Ø Ò x(t) = (y(t),y (t),y (t)) ÓÐÐÓ Ò Ò Ý Ø Ñ x (t) = y (t) y (t) = x(t)+, y (t) a (t) a (t) a (t) g(t) Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ ¾º½µº Ä Ò Ö ÐÐ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÐÐ ÔØ Ä Ù ¾º½º µ ÂÓ x y ÓÚ Ø Ý ØÐ Ò ¾º¾µ Ö Ø Ù α,β R, Ò Ò αx + βy ÓÒ ÑÝ ¾º¾µ Ò Ö Ø Ùº µ ÇÐ ÓÓÒ x p Ó Ò ¾º½µ Ò Ö Ø Ùº ÌÐÐ Ò x p +y ÓÒ ¾º½µ Ò Ö Ø Ù Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ y ÓÒ ¾º¾µ Ò Ö Ø Ùº ÌÓ ØÙ º µ ÇÐ ÓÓØ x y Ý ØÐ Ò ¾º¾µ Ö Ø Ù α,β R. ÌÐÐ Ò d dt (αx(t)+βy(t)) = αx (t)+βy (t) = = αa(t)x(t)+βa(t)y(t) = A(t)[αx(t)+βy(t)]. µ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº Ñ Ö ¾º½º ÇÐ ÓÓÒ Ý ØÐ ½º½µ R = 4, C = /6, L = /4 e(t) = e 4t. Æ ÐÐ Ò Ý Ø Ñ 6 x (t) = x(t) e 4t.
10 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ x p = ( 4e 4t, e 4t) ÓÒ Ò Ö Ö Ø Ù e x 8t = e 8t x = (8t+)e 8t 4te 8t ÓÚ Ø ÓÑÓ Ò Ý ØÐ Ò Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ö Ø Ù ÙØ Ò Ó ØØ Ñ ÐРй ÔÓ Ø ØÓ Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ Ø ØØÚ Ð Ù ÓÒ x() = (, ) ØÓØ ÙØØ Ú Ö Ø Ùº ÐÐ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÙÓØÓ x = x p + c x + c x ÓÐ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø ½º½µ Ò Ö Ø Ù º Ð Ù ØÓ ØÓØ ÙØÙÙ ÙÒ Ú ÑÑ [ 4 ]+c [ ]+c [ ] = [ ], Ó Ø c =, c = x(t) = ( 4e 4t +(8t 3)e 8t, e 4t (4t )e 8t). ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ ÐÐ Ò Ò Ð Ù Ó Ú Ò Ð Ò Ö Ý Ø Ñ º ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ñ ØÒ Ú Ø Ú ÓÐ ÚÓ Ñ º ¾º¾º Ä Ò Ö Ò Ò Ú Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý ØÐ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò ÓÑÓ Ò Ø Ú Ó ÖØÓ Ñ Ø Ý ØÐ ¾º µ x (t) = Ax(t), Ñ A R n n º ÇÐ ÓÓÒ λ A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ v Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø º Av = λv µº Ø ØÒ ¾º µ Ò Ö Ø Ù ÑÙÓ Ó x(t) = η(t)v, Ñ η ÓÒ Ð Ö ÙÒ ¹ Ø Óº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ý ØÐ Ò ÑÑ η (t)v = A ( η(t)v ) = η(t)av = λη(t)v. ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ý ØÐ ØÓØ ÙØÙÙ Ó η ÓÒ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò η (t) = λη(t) Ö Ø Ùº ÌÑÒ Ñ ØÙÒÒ ÑÑ η(t) = ce λt, Ñ c ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ú Óº Ë Ø Ò Av = λv = ce λt v ÓÒ ¾º µ Ò Ö Ø Ùº ÇÐ ÓÓÒ A ÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ,λ,...,λ k ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v,v,...,v k. ÌÐÐ Ò ÙÒ ¹ Ø ÓØ c e λ t v,...,c k e λ kt v k ÓÚ Ø ¾º µ Ò Ö Ø Ù ÓØ Ò Ð Ù Ò ¾º½ ÑÙ Ò ÑÝ ¾º µ x(t) = c e λ t v +c e λ t v + +c k e λ kt v k ÓÒ ¾º µ Ò Ö Ø Ùº ÂÓ ÒÝØ k = n Ó Ú ØÓÖ Ø v,v,...,v n ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑ Ø Ò Ò Ð Ù Ó Ø x() = x Ò Ý ØÐ c v + +c n v n = x Ð c = V x, Ñ c = (c,...,c n ), V = [ v v... v n]. Æ Ò Ò ¾º µ x(t) = V [ e λ ] t... e λnt V x. ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÓØ Ò Ö e z = z k k= ÙÔÔ Ò ÐÐ z C. ÌØ Ò ÚÓ ÑÑ k! ÑÖ Ø ÐÐ e A = e z (zi A) dz, k= k! Ak = πi Ñ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð ÂÓÖ Ò¹ ÝÖ γ ÖØ Λ(A) Òº ÌÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø ØÖ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø γ
11 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ä Ù ¾º¾º ÇÐ ÓÓØ A, B V n n ¹Ñ ØÖ V Ð ÒÒ ÐÐ Ò Òº µ ÂÓ C = V AV, Ò Ò e C = V e A V. µ ÂÓ AB = BA, Ò Ò e A+B = e A e B. µ e A = (e A ). µ e (A ) = (e A ). ÌÓ ØÙ º µ Ó ÒØÝÝ ÔÓØ Ò Ë Ø Ò e V AV = k= k! (V AV ) k, (V AV ) k = V AV V AV V AV = V A k V. lim m m k= k! (V AV ) k = lim V m m k! Ak V = V e A V. µ¹ Ó ÚÓ Ò ÝØØ ÒÓÑ Ú ÔÓØ Ò Ò (A+B) k Ð Ñ Ó A B ÓÑÑÙØÓ Ú Ø k (A+B) k k! = j!(k j)! Aj B k j. ÌØ Ò e A+B = = j= k! (A+B)k = k= ( )( A j j! j= k= B k k! k= ( k k= ) j= A j j! = e A e B. ) B k j (k j)! Î Ñ ÐÐ Ö Ú ÐÐ ÖÖÝØØ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÙÑÑ Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÐÐ ØÙÐÓ Ø Ù ÝÒ ØÙÐÓµ Ó ÚÓ Ò ØÓ Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ º Ë ÔØ Ø ÑÝ Ñ ØÖ Ö Ó ÐÐ Ó A B ÓÑÑÙØÓ Ú Øº µ¹ Ó Ø ÙÖ µ Ø I = e = e A A = e A e A. µ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Å ØÖ Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÒ ÙÔÔ Ò Ú ÑÙØØ ÒÝØØ Ò Ð ÐØ Ð e A ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Øº ÄÚ Ø Ñ ØÖ Ò D = (d,d,...,d n ) ÔÓØ Ò Ø ÓÚ Ø D k = (d k,d k,...,d k n), ÓØ Ò ÐÐ Ò e D = k= k! Dk = k= d k k! ºº º d k n k= k! = e d ºº º e dn ÌØ Ò Ý ØÐ Ø ¾º µ Ò x(t) = V e tλ V x ÐÐ Ò Ó ta = V tλv Ò e ta = V e tλ V Ý ØÐ Ò ¾º µ Ö Ø Ù x(t) = e ta x º Ì ÝØ ØØ Ò ÝÚ A Ò ÓÒ Ð Ó ØÙÚÙÙØØ º ÄÓÔÔÙØÙÐÓ ÔØ Ù Ø Ò Ò ÝÐ Ø.
12 ½¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ä Ù ¾º º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ x(t) = e ta x. x (t) = Ax(t), x() = x ÌÓ ØÙ º ËÙÔÔ Ò Ú ÔÓØ Ò Ö Ó Ö ÚÓ Ø ÖÑ ØØ Ò ÓØ Ò d dt eta = d t (I +ta+ dt! A + t3 3! A3 +...) = = +A+tA + t! A3 + t3 3! A4 + = = A(I +ta+ t! A + t3 3! A3 +...) = Ae ta. Ë Ô ( d dt e ta x ) = ( Ae ta) x = A ( e ta x ). ÌÓ Ò ÒÓ Ò x(t) = e ta x ÓÒ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ö Ø Ùº ÇÐ ÓÓÒ x Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ó Ò Ö Ø Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ y(t) = e ta x(t). Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ò y (t) = Ae ta x(t)+e ta x (t) = Ae ta x(t)+e ta Ax(t) =. Ë y ÓÒ Ú Ó Ð Ù ØÓ ÒØ y(t) = y() = x. à ÖØÓÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ØÓ Ø Ò ØØ x(t) = e ta x, ÓØ Ò Ö Ø Ù ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÓÒ Ð Ó ØÙÚ Ò Ñ ØÖ Ò ÔÓÒ ÒØØ ÓÒ ÐÔÔÓ Ð Ñ Ö ¾º¾º Å ØÖ Ò A = [ ] ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø λ = λ =. Æ Ø Ú Ø Ú Ø ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v = [ ] v = [ ]. Ë Ø Ò A = V ΛV Ñ Λ = [ ], V = [ [ e e ta = V e tλ V t = = e t +e t e t e t e t e t e t +e t = ] ][ e t [ cosht sinht sinht cosht Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ø Ò e ta Ò ÚÓ ÝÐ Ø Ð º Å ØÖ N ÒÓØ Ò Ò ÐÔÓØ ÒØ Ó N l = ÓÐÐ Ò l. Ë ÐÚ Ø ØÐÐ Ò ÑÝ ÓÖ ÑÑ Ø ÔÓØ Ò Ø ÓÚ Ø ÒÓÐÐ º Ë Ø Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ e tn Ö Ø ÓØ Ò e tn = l k= Ñ Ö ¾º º Å ØÖ ÓÒ Ò ÐÔÓØ ÒØØ ÐÐ N = t k k! Nk = I +tn + t N + + tl (l )! Nl. N = N 3 =. Ë Ø Ò e tn = I +tn + t N = [ t t t ]. ] ].
13 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½½ ÂÓ A ÓÐ ÓÒ Ð Ó ØÙÚ Ò Ò ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò Ñ Ð Ö ÑÙÙÒØ ÂÓÖ Ò Ò ÑÙÓ¹ ØÓÓÒ J A. ÆÝØ e tj A ÓÒ ÐÓ ÓÐÚ Ø Ñ ØÖ ÓÒ ÐÓ ÓØ ÓÓ ØÙÚ Ø ÑÙÓØÓ e tj(λ,r) ÓÐ Ú Ø Ñ ØÖ Ø º ÆÑ ÚÓ Ò Ð ÙÖ Ú Ø ÂÓÖ Ò¹ÐÓ Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÐÚ Ø Ñ ØÖ Ò Ò ÐÔÓØ ÒØ Ò Ñ ØÖ Ò ÙÑÑ Ò ] λ λ. J(λ,r) = λi +N = = λ [ λ λ... λ Ñ N r = º ÃÓ λi N ÓÑÑÙØÓ Ú Ø Ò r e tj(λ,r) = e tλi+tn = e tλ j= t j j! Nj. Ñ Ö ¾º º Å ØÖ ÐÐ [ ] A = 3 Ò Ñ Ð Ö ÑÙÙÒÒÓ ÂÓÖ Ò¹ÑÙÓØÓÓÒ º Ð Ò Ö Ð Ö Ò ÑÓÒ Ø µ Æ Ò ÓÐÐ Ò V AV = J A = [ 4 4 ], Ñ V = [ e ta = V e tj A e V t = V e tj(4,) V [ ][ e t ] = e 4t [ t] = e4t (+t) e 4t (+t) e t e 4t e t te 4t e 4t ( t)+e e 4t +e t. te 4t e 4t (t )+e t e 4t +e t ]. À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ ½º Ç Ó Ø ØØ det(e ta ) = e t ØÖ(A). ¾º ÇÐ ÓÓÒ V C n n Ú ÒÓ ÖÑ ØØ Ò Ò V = V. ÆÝØ ØØ e tv ÓÒ ÙÒ Ø Ö Ò Ò ÐÐ t º Î Ø Ú Ø ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ö Ð Ø Ú ÒÓ ÝÑÑ ØÖ Ø Ñ ØÖ ¹ Ø ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Òº Ê Ð ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ A ØØ ÓÐÐ ÓÑÔÐ ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓØ ÒØÝÚØ Ð ØØÓÐÙ¹ ÙÔ Ö Ò α±iβ. ÂÓ w = u+iv ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓ λ = α+iβ Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Aw = λw, ÓØ Ò w = u iv Ú Ø ÓÑ Ò ÖÚÓ λ = α iβ. Ì ØÚÒ x = Ax Ö Ö Ø Ù ÓÒ x(t) = c e λt w +c e λt w. Ð Ò ÐÙØ Ò Ö Ð Ò Ò Ö Ø Ùº ØÐ Ò A(u + iv) = (α + iβ)(u + iv) Ö Ð Ñ Ò Ö Ó Ø Ò Au = αu βv α β ¾º µ Ð A[u v] = [u v]. Av = βu+αv β α
14 ½¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÌØ Ò Ô Ò Ò Ð ÙÒ Ð Ò ÑÑ Ö Ø ÙÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ cos(βt) sin(βt) x(t) = e αt [u v] c. sin(βt) cos(βt) Ã ÙÐÓØØ Ñ Ö º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ØÝÝÔÔ Ø Ô Ù Ý ØÐ Ø x = Ax. Æ Ñ A x(t) Λ(A) ÃÙÚ Ä e t x() {,} Æ ÐÙ e t x() {, } Ë ØÙÐ e t e t x() {,} Ò Öº Ð e t te t e t x() {,} Ã Ù cos(t) sin(t) x() sin(t) cos(t) { i,i} Ô Ø º Ó Ù cos(t) sin(t) e t x() sin(t) cos(t) {±i} ËØ Ð Ó Ù cos(t) sin(t) e t x() { ±i} sin(t) cos(t) Ì Ö Ø ØØ ÒÒ ØÙØ x(t) Ø ÓÚ Ø Ö Ø Ù º
15 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ ÃÚ Ð Ø Ø Ú Ø Ö Ø Ù Ò ÐÙÓÒÒ ÑÖÝØÝÝ A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ø º Ö ØÝ Ø Ê Ð Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÇÚ Ø Ó ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ø Ú Ø Ú Ö Ñ Ö Ø ÇÒ Ó ¹ØÖ Ú Ð ÂÓÖ Ò ÐÓ Ó ÃÓÑÔÐ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÇÒ Ó Ö Ð Ó ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ò Ø Ú Ò Ò Ú ÒÓÐÐ Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ø Ô Ù Ø ÒØÝÚØ Ñ Ò ÚÒÒ ØØÝ Ò Ñ Ö ¾º Ä µº Å ØÖ ÐÐ A = ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ =, λ = ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v = (, ), v = (, ). ÎÓ ÑÑ Ö Ó ØØ A = V ΛV, Ñ Λ =, V = [ v,v ] =, ÓÐÐÓ Ò e e ta = V e Λt V t e t e = e t = t e t e t. Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ x = Ax, x() = x Ö Ø Ù ÓÒ Ø Ò e t e x(t) = t e t a e e t = t (a a )+e t a a e t a Ë ÙÖ Ú ¾º ÙÚ ÓÒ ÑÙÙØ Ñ Ö Ø Ù ÝÖ Ö Ð Ù ÖÚÓ ÐÐ º ÌÐÐ Ý Ø Ñ Ð¹ Ð Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø ÓÖ Ó Ø ÔÓ Ô Òº A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Øº ÌØ ÙØ ÙØ Ò Ð Ø º. x x x x ¾º Ä ¾º Æ ÐÙ Ñ Ö ¾º Æ ÐÙµº Å ØÖ ÐÐ A = ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ = 3 λ = ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v = (, ), v = (, ). ÃÙØ Ò ÐÐ Ñ Ö ÑÑ e e ta 3t / / e = e t = / / t +e 3t e t +e 3t e t +e 3t e t +e 3t -
16 ½ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x = Ax, x() = x Ö Ø ÙÒ x(t) = e t (a a )+e 3t (a +a ) e t (a a )+e 3t (a +a ) ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ò Ø Ú Ø ÓØ Ò Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø ÓÖ ÓÓÒ Ô Ò º ¾º ÙÚ ÝÐеº ÌØ ÙØ ÙØ Ò Ò ÐÙ º. ÃÝ ÝÑÝ Å ÙÚ ¾º ÓÒ ÝÑÑ ØÖ ÑÔ Ù Ò ÙÚ ¾º Î Ø Ù ÃÓ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Øº Ñ Ö ¾º Ë ØÙÐ µº Å ØÖ ÐÐ A = 4 ÓÒ Ö Ñ Ö Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ = λ = 3 ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v = (,4 ) ( ), v =,. ÃÙØ Ò ÐÐ ÑÑ e e ta = t +4e 3t e t e 3t 5 4e t 4e 3t 4e t +e 3t Ð Ù ØÓ x() = x ÒØ Ö Ø ÙÒ e x(t) = t (a +a )+e 3t (4a a ) 5 e t (4a +4a )+e 3t. ( 4a +a ) x x ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø ÓÖ ÓÓÒ Ô Ò v - Ò ÙÙÒØ Ø ÙÓÖ Ô Ø Ò ØÒØݹ ¾º Ë ØÙÐ ÚØ ÝÑÔØÓÓØØ Ø v Ò ÙÙÒØ Òº 9 8 Ñ Ö ¾º Ô Ø Ð Ó Ù µº Å ØÖ ÐÐ A = ÓÒ ÓÑÔÐ Ò Ò ÓÑ ¹ 6 7 [ Ò ÖÚÓÔ Ö λ, = ± 8i. Î ØÓÖ Ø u = v = ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ø ¾º µ ] ÓØ Ò x(t) = e t (c c )cos(8t)+(c +c )sin(8t). c cos(8t)+c sin(8t) Ð Ù ÖÚÓÒ x() = a ØÓØ ÙØØ Ú Ö Ø Ù Ò x(t) = e t a cos(8t)+(a a )sin(8t) a cos(8t)+(a a )sin(8t). -.5 ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø Ô Ö Ð Ñ Ø ÓÖ Ó Ø ÔÓ Ô Òº ËÝ Ø Ñ ÙØ Ù¹ Ø Ò Ô Ø Ð Ó Ù º A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ö Ð Ó Ø ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Øº Ë ÙÖ Ú Ò ¾º ÙÚ Ò ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ø Ö Ð Ù ÖÚÓ Ø Ð Ø ÚØ Ö Ø Ù ÝÖغ
17 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ x x x x ¾º Ô Ø Ð Ó Ù ¾º ËØ Ð Ó Ù [ [ 3 Ñ Ö ¾º ËØ Ð Ó Ù µº Å ØÖ A = Ú ØÓÖ Ø u = v = ] ] ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ø ¾º µ ÓÑÔÐ ÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓÔ Ö ÐÐ λ, = ±i. ÃÙØ Ò ÐÐ Ö Ø Ù x(t) = e t a cost+( a +a )sint a cost+( a +a )sint ØÓØ ÙØØ Ð Ù ÓÒ x() = a. ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø Ô Ö Ð Ñ Ø ÓÖ ¹ ÓÓÒ Ô Òº ËÝ Ø Ñ ÙØ ÙØ Ò Ø Ð Ó Ù º A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ö Ð Ó Ø ÓÚ Ø Ò Ø Ú Øº ÐÐ ÓÐ Ú Ò ¾º ÙÚ Ò ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ½½ Ö Ð Ù ÖÚÓ Ø Ð Ø ÚØ Ö Ø Ù Ý¹ Öغ ÀÙÓÑ ØØ ØÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Imλ / Reλ = / ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ð¹ Ð Ñ Ö Ñ Ú Ø Ú Ù ÓÐ 8. Ì Ø Ó ØÙÙ ØØ Ö Ø ÙØ ÖØÚØ Ú ÑÑÒº - Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÝÐ Ø Ñ ØÖ A. ÌÑÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ Ò Ý ØÐ Ø Ñ λ (a +a )λ+a a a a = Ð λ ØÖ(A)λ+det(A) =, ØÖ(A) = a +a ÓÒ A Ò Ð ØÖ µ = A Ò ÐÚ Ø Ð Ó Ò ÙÑÑ = A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÙÑÑ det(a) = a a a a ÓÒ A Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ = A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ØÙÐÓº ÇÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø λ, = ØÖ(A)± 4 ØÖ(A) det(a). ÇÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÓÑÔÐ Ø ÙÒ Ö Ñ Ò ÒØØ D = 4 ØÖ(A) det(a) ÓÒ Ò Ø ¹ Ú Ò Ò ÑÙÙØ Ò Ö Ð Øº ÇÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ Ò ÖØ Ò Ò ÙÒ D =. Ë ÙÖ Ú ÙÚ ÔÝÖ Ð ØØÑÒ Ò Ò Ý Ø Ý º ËØ Ð Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ö Ø ÙØ ÚØ Ô Ò ÓÖ Ó Ø º Ì Ò Ô Ð ÑÑ ÑÝ ÑÑ Òº
18 ½ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ det(a) D= stabiili fokus epastabiili fokus D< nielu stabiili epastabiili lahde tr(a) D> Ñ Ö ¾º½¼ ËÔ Ö Ð R 3 µº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÓÔÙ ÙÐÓØØ Ø Ñ Ö satula A = ÌÐÐ ÓÒ ÓÑÔÐ Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓÔ ¹ Ö λ, = 6 ± 8i, Ú Ø Ú Ø Ú Ò ¾º µ ÑÙ Ø Ú ØÓÖ Ø u = (,,) v = (,,), Ý Ö Ð Ò Ò ÓÑ Ò ¹ ÖÚÓ λ 3 = 3 Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ w = (,,4). ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ñ ØÖ V = [u v w] =, 4 ÓÐÐÓ Ò A = V BV, Ñ B = x w x 3 v x u ÂÓ y ÓÒ Ý Ø Ñ Ò y (t) = By(t) Ö Ø Ù Ò Ò x = V y ÓÒ Ý ØÐ Ò x (t) = Ax(t) Ö Ø Ùº Ò ÑÑ Ò Ö Ø ÙØ Ð Ù ÖÚÓÐÐ y() = a ÓÚ Ø y(t) = e6t (a cos(8t)+a sin(8t)) e 6t (a cos(8t) a sin(8t)), a 3 e 3t
19 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ ÓØ Ò Ð ÑÑ ÐÐ Ò a e 6t ( cos(8t) sin(8t))+a e 6t (cos(8t) sin(8t)) x(t) = a e 6t (cos(8t) sin(8t))+a e 6t (cos(8t)+sin(8t)) a 3 e 3t. e 6t (a cos(8t)+a sin(8t))+4a 3 e 3t Ì ØÚ ¾º½º ÌÙØ ÙÖ Ú Ø Ò ÖÓ ØÙÒ Ø Ø Ô Ù Ø Ð e ta µ A = µ A = µ A = 4 µ A =. ÌÑ ÓÐ ÓÒ Ð Ó ØÙÚ º Î Ø ÓÑ Ò ÖÚÓ λ, 3 ÓÑ Ò Ú ØÓÖ u Ú ØÓÖ v Ø Ò ØØ Av = λv +u, ÓÐÐÓ Ò A J(λ,). ¾º º Ð Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ º Ë ÖÖÝØÒ ÒÝØ Ø Ö Ø Ð Ñ Ò ÝÐ Ø Ð Ò Ö Ø Ð¹ Ù ÖÚÓØ ØÚ ¾º µ x (t) = A(t)x(t)+b(t), x(t ) = x. Ì Ö Ø ÐØ Ú Ò ÐÑ Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ò ÙÓÖ Ò ØÐÐ Ø ÑÙÓØÓ Ø Ò Ô ÝØÒ Ø Ö¹ Ø Ð Ñ ÐÐ ÝÐ Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò ÝØØÝØÝÑ Ø ÓÒ ÙÒ Ô Ø Ò Ð Ø º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ A b ÓÚ Ø Ø ÙÚ Ñ ØÖ»Ú ØÓÖ ÖÚÓ ÙÒ Ø Ó Ø º Ì Ö Ó ØÙ ÓÒ Ø ÐÐ Ø Ò Ø ØÚÒ Ð ØØÝÚ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ ÓÒ ÚÙÐÐ Ö Ø Ù ÚÓ Ò Øغ Ä Ù ¾º º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ ¾º µ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ùº ÑÑ ØÓ Ø ØØ Ø ÐÐ Ð Ù ¾º ÙÖ ÑÝ ÑÑ Ò ØÓ Ø ØØ Ú Ø ÝÐ ÑÑ Ø Ð Ù Ø º½º Ì Ö Ø Ð ÑÑ Ò Ò Ñ Ø Ö ØÝ Ø Ý ØÐ Ò Ð Ò Ö ÙÙ ÒØ Ö Ø ¹ Ù Ò ØÝ Òº ÐÓ Ø Ø Ò ÓÑÓ Ò Ý ØÐ Ø ¾º µ x (t) = A(t)x(t). Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓØ v,v,...,v k R n Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÙÐÐ Ò j =,...,k ÓÐ ÓÓÒ x j Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ (x j ) (t) = A(t)x j (t), x j (t ) = v j Ö Ø Ùº ÌÐÐ Ò Ú ØÓÖ Ø x (s),x (s),...,x k (s) ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó ¹ ÐÐ s R. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ s R Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÓÐ ÓÓØ c,...,c k R Ø Ò ØØ ¾º µ c x (s)+c x (s)+ +c k x k (s) =. Ø Ø Ò y(t) = c x (t)+ +c k x k (t). ÌÐÐ Ò y(s) = Ó ÐÐ t : y (t) = c (x ) (t)+ +c k (x k ) (t) = c A(t)x (t)+ +c k A(t)x k (t) = = A(t)[c x (t)+ +c k x k (t)] = A(t)y(t). ÆÝØ Ð Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ y(t) = ÐÐ t, Ö ØÝ Ø = y(t ) = c v + +c k v k.
20 ½ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Î ØÓÖ Ø v,v,...,v k ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÓØ Ò ÓÒ ÓÐØ Ú c = c = = c k =. Ë Ô x (s),...,x k (s) ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ì Ø Ð Ù Ø Ò ÙÖ Ú ÓÑÓ Ò Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ n Ñ Ò Ó Ò Ò Ð Ú ÖÙÙ Ð Ò Ú ØÓÖ ÖÚÓ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó º ÌØ Ú ÖØ Ò Ø Ö¹ Ø ÐÐ Ò Ð Ù ØØ Ø Ô Ù k = n v j = e j, j =,...,n e j i = δ i,j µº ÇÐ ÓÓÒ t R ÒÒ Ø ØØÝ ÙÐÐ Ò j ÓÐ ÓÓÒ x j Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ (x j ) (t) = A(t)x j (t), x j (t ) = e j Ö Ø Ùº ÅÖ Ø ÐÐÒ Ý Ø Ñ Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ Φ(t,t ) = [ x (t) x (t)... x n (t) ], ÓÐÐÓ Ò ÐÐ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Φ(t,t ) ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÐÐ t. ÅÖ Ø ÐÑ Ø Ò Φ(t,t ) = I Φ(t,t ) t = [ (x ) (t)... (x n ) (t) ] = [ A(t)x (t)... A(t)x n (t) ] = = A(t) [ x (t)... x n (t) ] = A(t)Φ(t,t ). ÌØ Ò Φ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÚÓ ÑÝ ØØ ÑÙÓ Ó Ñ ØÖ Ò A ÑÖÑ ÙÒ Ñ Ò¹ Ø Ð Ñ ØÖ Φ ÓÒ Ò Ö Ð ÑÙÙØØÙ Ò Ñ ØÖ ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó Ò ÑÑ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ù Ø Ò ØÓØ ÙØØ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Φ(t,t ) ¾º½¼µ = A(t)Φ(t,t ), Φ(t,t ) = I. t ÌÑÒ ÚÙÐÐ ÑÑ Ø Ä Ù ¾º º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ö Ø Ù Ò x(t) = Φ(t,t )x. x (t) = A(t)x(t), x(t ) = x, ÂÓ A ÓÒ Ú ÓÑ ØÖ Ò Φ(t,s) = e (t s)a. ÂÓ ÐÐ t,τ ÔØ A(t)A(τ) = A(τ)A(t) ØÓ Ò ÒÓ Ò ØØ A Ò ÖÚÓØ Ö Ô Ø ÓÑÑÙØÓ Ú Ø Ò Ò ØÐÐ Ò ÔØ Φ(t,s) = e t s A(τ)dτ. ÌÑ ÓÒ ÑÙ Ú ØÓ Ø ÒÙÑ Ö ¹ Ñ Ò Ø ÐÑ ÝØØ Ò ÑÝ ÑÑ Òµº ÃÙ Ø Ò Ò ØÐÐ Ò Ò Ø Ð ÒÒ ÓÒ Ú Ö Ò ÖÚ Ò Ò Ò ÓØ Ò ØÐÐ ØÙÐÓ ÐÐ ÓÐ ÝØÒÒ Ò Ñ Ö ØÝ Øº ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò Ù٠غ ÂÓ s R, Ò Ò ÃÓ x ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÓÒ ÓÐØ Ú x(t) = Φ(t,s)x(s) = Φ(t,s)Φ(s,t )x Φ(t,s)Φ(s,t ) = Φ(t,t ) ÐÐ t,s,t R. Ö ØÝ Ø Φ(t,s) = Φ(t,t )Φ(s,t ), ÙÒ t = t, Ò Φ(s,t) = Φ(t,s). Ì ØÚ ¾º¾º ÆÝØ Φ(t,s) s = Φ(t,s)A(s).
21 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ Ë ÖÖÝØÒ ÒÝØ Ø Ö Ø Ð Ñ Ò ÝÐ Ø Ð Ò Ö Ø Ý ØÐ ¾º µº ÌÑÒ Ö Ø Ù ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Φ Ò ÚÙÐÐ º Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓÒ Φ Ñ ØÖ Ò A ÑÖÑ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò ¾º½½µ x(t) = Φ(t,t )x + ÓÒ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ ¾º µ Ö Ø Ùº t t Φ(t,s)b(s) ds ÌÓ ØÙ º Ë ÐÚ Ø x ØÓØ ÙØØ Ð Ù ÓÒº Ë ØØ Ò ÙÓÖ ÐÐ Ð ÙÐÐ x (t) = t Φ(t,t )x +Φ(t,t)b(t)+ t t t t Φ(t,s)b(s) ds = = A(t)Φ(t,t )x +b(t)+ A(t)Φ(t,s)b(s) ds = t ( t ) = A(t) Φ(t,t )x + Φ(t,s)b(s) ds +b(t) = A(t)x(t)+b(t). t ÃÙÒ A ÓÒ Ú ÓÑ ØÖ Ò Ò Φ(t,s) = e (t s)a, ÓÐÐÓ Ò ¾º½½µ ÑÙÓ ÓÒ ¾º½¾µ x(t) = e (t t )A x + t t e (t s)a b(s) ds. Ñ Ö ¾º½½º ÇÐ ÓÓÒ Ö Ø Ø Ú Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ 4 65cost x (t) = Ax(t)+b(t) = x(t)+ 3 ÇÑ Ò ÖÚÓ Ò Ú ØÓÖ Ò ÚÙÐÐ Ò A = V ΛV = 5 3, x() =, 5 ÓØ Ò Ú t eas cos(s) ds = (e at (sint+acost) a), ÒØ +a 5 t 65 x(t) = V 3 etλ + V e 5 (t s)λ coss ds = 3 3 [ 5e = V t 65 ] 3 5e 5t + V +4 (sint+cost e t ) 3 3 = +5 (sint+5cost 5e 5t ) 3sint+6cost e = V t 6sint+7cost = 7e 3 5sint+5cost t +. 7sint+9cost. ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ º Ð Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ý Ø Ñ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý Ø Ñ Ò x (t) = A(t)x(t) Ð ØØÝÚ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ Φ º ¾º½¼µµº Ä Ù ¾º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ A C n n ØÓØ ÙØØ Re A(t)x,x µ x, ÐÐ x C n, t t. ÌÐÐ Ò Φ(t,t ) e (t t )µ, ÙÒ t t.
22 ¾¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ x(t) = Φ(t,t )x u(t) = x(t) = x(t),x(t). ÌÐÐ Ò u (t) = A(t)x(t),x(t) + x(t),a(t)x(t) = Re A(t)x(t),x(t) µ x(t) = µu(t), ÓØ Ò d dt log(u(t)) = u (t) u(t) µ. ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ò log(u(t)) log(u(t )) (t t )µ Ð u(t) u(t )e (t t )µ, ÓØ Ò Φ(t,t )x e (t t )µ x. Æ Ò Φ(t,t ) e (t t )µ. Ë ÙÖ Ù ¾º º ÇÐ ÓÓØ A µ ÙØ Ò ÝÐк Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ ÌÐÐ Ò x (t) = A(t)x(t)+b(t), x(t ) = x. x(t) e (t t )µ x + t t e (t s)µ b(s) ds, t t. Ö ØÝ Ø Ó µ < b(t) M, t t, Ò Ò x(t) x + M µ, t t. ÌÓ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Ð Ù ¾º µº Î Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý Ø Ñ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò A C n n ÑÖÑ Ý Ø Ñ x (t) = Ax(t). Å ØÖ Ò e ta ÒÓÖÑ Ò Ð Ñ Ò Ò ÓÒ Ñ Ð Ó Ò Ð º Ì ØÚ ¾º º Ä e ta, ÙÒ A = [ a ]. ÅÖ Ø ÐÐÒ Ø Ú ÐÙ Ù ¾º½ µ ¾º½ µ α(a) = max λ Λ(A) Reλ, µ(a) = max x = Re Ax,x. ÄÙ Ù α(a) ÙØ ÙØ Ò A Ò Ô ØÖ ¹ Ð µ(a) ÓÒ A Ò ÐÓ Ö Ø¹ Ñ Ò Ò ÒÓÖÑ º Î Ö Ò Ò ÙÚ ÓÒ Ñ Ø¹ Ö ÐÐ A = i 4 i i 4 i 3 i. Ï µ λ λ λ 3 α( ) A Ü Ü Ü ½ λ 4 µ( A) ÂÓÙ Ó W(A) = { Ax,x x C n, x = } ÓÒ Ñ ØÖ Ò A ÖÚÓ ÒØØ Ð Ó Ú ÐÙ µº Ë ÐÚ Ø Λ(A) W(A), ÓØ Ò α(a) µ(a). Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ W(A) ÓÒ Ò ÓÒÚ ØÓ ØÙ Ú µº
23 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾½ Æ Ò ÑÝ Re Ax,x = ( Ax,x + x,ax ) = Sx,x, Ñ S = (A+A ). ÌØ ÙØ ÙØ Ò A Ò À ÖÑ ØØ Ó º ÃÓ S ÓÒ ÖÑ ØØ Ò Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ö Ð Øº Ä Ò Ö Ð Ö Ò Ó ÙÙ Ø ÑÙ Ø ÑÑ ØØ ÖÑ ØØ ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÔØ min λ Sx,x max λ ÐÐ x, λ Λ(S) x,x λ Λ(S) Ð ¹ ÝÐÖ Ø ÚÙØ Ø Ò Ú Ø Ú ÐÐ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ ÐÐ º ÌØ Ò µ(a) ÓÒ S Ò ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº Ì ØÚ ¾º º ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ µ ÓÐ Ú Ö Ò Ò Ò ÒÓÖÑ ÚÓ Ñ Ö ÓÐÐ Ò Ø ¹ Ú Ò Òµº ÆÝØ ØØ Ù Ø Ò Ò ØÓØ ÙØØ µ(ca) = cµ(a), ÙÒ c, µ(a+b) µ(a)+µ(b). ËÔ ØÖ Ð ÐÓ Ö ØÑ Ò Ò ÒÓÖÑ ÓÚ Ø Ø Ú ÖÚ Ó Ø Ö Ø Ù Ò ÚÙ Ä Ù ¾º½¼º à ÐÐ t ÔØ e tα(a) e ta e tµ(a). ÌÓ º ÃÓ Λ(e ta ) = { e tλ λ Λ(A) }, Ò Ò e ta e tλ = e treλ ÐÐ λ Λ(A) ÓØ Ò e ta e tα(a). e ta e tµ(a) ÙÖ ÙÓÖ Ò Ð Ù Ø ¾º º Ä ÑÑ ¾º½½º ÂÓ α(a) <, Ò Ò lim e ta =. t ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ A Ò ÂÓÖ Ò¹ÑÙÓØÓ ÌÐÐ Ò J A = V AV = e ta = V e tj A V = V [ J(λ,r )... J(λ q,r q) ]. [ e tj(λ,r ] )... e tj(λq,rq) V, ÓØ Ò Ö ØØ ÒÝØØ ØØ lim t e tj(λ,r) =, ÙÒ Reλ <. Å ØÖ Ò e tj(λ,r) ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú Ø Ð ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ tj j! eλt. ÆÑ Ð ØÝÚØ ÒÓÐÐ ÐÐ lim t t j e δt = ÐÐ j R, ÙÒ δ >. Ä ÑÑ ¾º½¾º à ÐÐ β > α(a) ÓÒ ÓÐ Ñ K β Ø Ò ØØ e ta K β e tβ, t. ÌÓ º ÃÙÒ β > α(a), Ò Ò α(a βi) = α(a) β <, ÓØ Ò Ð ÑÑ Ò ¾º½½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ lim t e t(a βi) =. Ë ÓÒ ÓÐ Ñ K β = max t e t(a βi). ÆÝØ e t(a βi) = e tβ e ta, ÓØ Ò e ta K β e tβ, t.
24 ¾¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ 3 Ë ÙÖ Ú Ð ÑÑ ÒÓÓ ØØ Ô Ò ÐÐ t Ð Ù Ò ¾º½¼ ÝÐÖ ÓÒ Ó ÑÔ ÙÒ Ø ÙÙÖ ÐÐ t Ð Ö ÓÒ Ø Ö ÑÔ º Î Ö Ò Ò ÙÚ ÓÒ Ñ ØÖ ÐÐ A =, ÓÐÐ α = µ = 4 ( 7 3). Ì β = Ã Ø Ø Ø «Ø Ä ÑÑ ¾º½ º lim t t log eta = µ(a) lim t t log eta = α(a). Ì Ø Ó ØÙ Ò µ ÐÐ ÓÒ Ò Ñ ÐÓ Ö ØÑ Ò Ò ÒÓÖÑ º ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ µ = µ(a) x =, Ñ Sx = µx x(t) = e ta x = x +tax +O(t ). ÌÐÐ Ò Æ ÒÔ x(t) = +t x,ax +t Ax,x +O(t ) = +tµ+o(t ). log e ta log x(t) = log(+tµ+o(t )) = tµ+o(t ) liminf t + t log eta µ. ÌÓ ÐØ Ð Ù Ò ¾º½¼ Ô ÖÙ Ø ÐÐ t log eta µ, ÓØ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ø ÓÒ ÒÝØ ØØݺ Ä Ù ¾º½¼ ÒÓÓ α(a) t log eta, ÓØ Ò Ö ØØ ÒÝØØ ØØ Ö ¹ ÖÚÓÐÐ ÙÒ t, ØÑ ÓÒ ÑÝ ÝÐÖ º Ä ÑÑ Ò ¾º½¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÒÒ ØÙÐÐ β > α(a) Ð ÝØÝÝ K Ø Ò ØØ e ta Ke tβ, t. ÌÐÐ Ò lim sup t t log eta (logk +tβ) = β. t ÃÓ ØÑ ÔØ ÐÐ β > α(a), Ò Ú Ø º Ä ÑÑ ÒÓÓ Ô Ò ÐÐ t : ÙÙÖ ÐÐ t : e ta e tµ(a) e ta e tα(a) ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º½º ÆÝØ ØÒ Ú Ð ØØ Ø Ö ÔÔÙÚ Ò Ð Ò Ö Ý Ø Ñ Ò ÝØØÝØݹ Ñ Ò Ò ÚÓ ÔÓ Ø Ð Ù Ò ¾º½¼ Ø Ð ÒØ Ø Ñ Ð Ó Ø º ÇÐ ÓÓÒ A C n n Ø R n n µ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Òº ÃÓÒ ØÖÙÓ Ò Ñ ØÖ Ã(t) ÓÐÐ ÔØ µ µ Ã(t) A ÐÐ t, ÓÐÐÓ Ò Λ(Ã(t)) = Λ(A) α(ã(t)) = α(a). µ(ã(t)) µ = µ(a) ÐÐ t.
25 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾ µ Ã Ø Ú Ø Ú ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ ØÓØ ÙØØ Φ(t,t ) = e (t t )µ. ÌØ Ò ÒÓÖÑ ÔÝ ÝÝ ÝÐÖ ÐÐ Ö ÔÔÙÑ ØØ Ø Ñ α(ã(t)) ÓÒº ÃÓÒ ØÖÙÓ Ò Ã ÙÖ Ú Ø º Ã Ö Ó Ø Ø Ò A = X + iy, Ñ X = (A + A ) Y = i (A A ). ÌÐÐ Ò X Y ÓÚ Ø ÖÑ ØØ º Å ØÖ e ity ÓÒ ÙÒ Ø Ö Ò Ò ÐÐ ( e ity ) e ity = e ity e ity = e ity +ity = I. Ø Ø Ò Ã(t) = eity Ae ity. ÌÑ ÓÒ A Ò ÙÒ Ø Ö Ò Ò Ñ Ð Ö ÑÙÙÒÒÓ ÓØ Ò ØÓ µ ÓÒ ÚÓ Ñ º ÐÐ Ò Re Ã(t)x,x = Re e ity Ae ity x, x = Re Ae ity x, e ity x µ e ity x = µ x, ÓØ Ò µ ÔØ º ÇÐ ÓÓÒ x X Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ µ Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ x(t) = e tµ e ity x. ÌÐÐ Ò x (t) = e tµ e ity µx +e tµ e ity iy x = e ity (Xe tµ x +iy e tµ x ) = e ity (X +iy )e ity e tµ e ity x = Ã(t)x(t). Ë x(t) = Φ(t,)x Ó x(t) = e tµ x, Ò Ø Ø Ð Ù Ò ¾º Ò Φ(t,) = e tµ, t. ÐÐ Ò ÙÒ t > s, e tµ Φ(t,) = Φ(t,s) Φ(s,) Φ(t,s) Φ(s,) = e sµ Φ(t,s), Ó Ø Ð Ù Ò ¾º Ò µ Φ(t,s) = e (t s)µ. ÇÔ ØÙ Ø Ö ÔÔÙÚ ÐÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÐÐ α Ø Ô Ø ØØ Ò Ò Ô ØÖ µ ÖÖÓ ÚÙ¹ ÒÓÔ ÙØØ º ¾º º Ä Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ð ÙÙ º ËÝ Ø Ñ Ò Ø Ð ÙÙ ÓÒ ÓÚ ÐÐÙ Ù Ò ÔÚ Ø ÑÙ º Ì Ó Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ð Ò Ö Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ÑÝ Ñ¹ Ñ Ò ÔÐ Ò Ö º È Ø p R n ÓÒ Ý Ø Ñ Ò x (t) = f(x(t)) Ø Ô ÒÓØ Ð Ó f(p) = º ÌÐÐ Ò Ú Ó x(t) = p t ÓÒ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ x() = p Ö Ø Ùº Ä Ò Ö ÐÐ ÓÑÓ Ò ÐÐ Ý ¹ Ø Ñ ÐÐ x (t) = A(t)x(t) ÓÖ Ó ÓÒ Ò Ø Ô ÒÓØ Ð x() = = x(t) = ÐÐ t. Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØÖ Ø Ö Ø ÐÐ Ñ Ø Ò ÑÙÙØ Ö Ø ÙØ ÝØØÝØÝÚغ È Ò Ú Ø Ó Ò ÔÓ ÓÖ Ó Ø ÔÝ ÝÚØ Ö Ó Ø ØÙÐÐ Ø ÝÝ ÐÐ Ú Ð ØÝÚØ ÓÖ Ó ÅÖ Ø ÐÐÒ ÇÖ Ó ÓÒ Ø Ð Ø Ô ÒÓØ Ð Ó ÐÐ Ö Ø Ù ÐÐ ÔØ sup x(t) <. t ÇÖ Ó ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ó ÐÐ Ö Ø Ù ÐÐ ÔØ lim x(t) =. t Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö ¾º ¾º½¼º Æ ÐÙÒ ¾º µ Ø Ð Ò Ó Ù Ò ¾º µ Ø Ô Ù ÓÖ Ó ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð ÑÙ Ô Ø Ð º
26 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ð ÐÐ ÓÑÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ x (t) = A(t)x(t) Ð Ù ¾º ÒÓÓ ØØ Ó µ, Ò Ò ÓÖ Ó ÓÒ Ø Ð Ó µ <, Ò Ò ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º ÆÑ ÓÚ Ø Ù Ø Ò Ò Ú Ò Ö ØØÚ ØÓ º Ñ Ö ¾º½¾ à ٠µº ËÝ Ø Ñ Ò 5 x (t) = x(t) Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø [ cos3t x(t) = sin3t sin3t ] sin3t cos3t+ sin3t x() x -.5 ÌÐÐ ÓÖ Ó ÓÒ Ø Ð ÑÙØØ ÝÑÔØÓÓØØ ¹ Ø Ø Ð Ø Ô ÒÓØ Ð º ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ S = (A+A ) = 3/ 3/, ÓÒ ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ µ = 3. ÌØ Ò Ø Ð ÙÙØØ Ð Ù Ø ¾º º Î Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý Ø Ñ º Ë ÙÖ Ú Ò Ø Ò Ð Ù Ò ÓÒ ÓÓØØÙ Ö Ð ÐÐ Ø ÚÓ ÐÐ ÓÖÑÙÐÓ ÙØ ÚÐØØÑØØ ÑØ Ö ØØÚØ ÓØ ÙØÓÒÓÑ Ò Ð Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò Ø Ð ÙÙ ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ M Ò Ò Ñ ØÖ Ò A ÓÙ Ó Ó ÐÐ ÔØ ½µ α(a) ¾µ Ó λ Λ(A) Reλ =, Ò Ò λ Ú Ø Ú Ø ÂÓÖ Ò¹ÐÓ ÓØ ÓÚ Ø ØÖ Ú Ð Ð m g (λ) = m a (λ) µº Ä Ù ¾º½ º µ ÇÖ Ó ÓÒ Ý Ø Ñ Ò x (t) = Ax(t) Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø º µ A M. µ ÇÒ ÓÐ Ñ K Ø Ò ØØ e ta K, t. Úµ ÇÒ ÓÐ Ñ C Ø Ò ØØ (si A) C, ÙÒ σ = Res >. σ Å ØÖ R(s,A) = (si A) ÙØ ÙØ Ò A Ò Ö ÓÐÚ ÒØ º Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ÑÝ ØØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ t e ta Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ º ÌÓ ØÙ Ø ÖÚ Ø ÑÑ ÙÖ Ú [ M ]. Ì ØÚ ¾º º ÇÐ ÓÓÒ M =.. Mq. ÌÐÐ Ò M = max j q M j. x.5 ÌÓ º Ä Ù ¾º½ µº µ = µ ÂÓ (λ,u) ÓÒ A Ò ÓÑ Ò Ô Ö Ø Ò ØØ Reλ >, Ò Ò x(t) = e tλ u ÓÒ Ý Ø Ñ Ò Ö ØØÓÑ Ø Ú Ú Ö Ø Ùº ÂÓ Reλ = ÐÐ Ò Av λv = u Ò Ò Ð ÝØÝÝ Ó λ Ú Ø ¹ØÖ Ú Ð ÂÓÖ Ò¹ÐÓ Óµ Ò Ò x() = v ÒØ Ö Ó ØØ Ñ ØØÓÑ Ò Ö Ø ÙÒ x(t) = e tλ v +te tλ u. Ë Ó ÓÖ Ó ÓÒ Ø Ð Ò Ò ÓÒ ÓÐØ Ú A M.
27 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾ µ = µ ÇÐ ÓÓÒ A M J A = V AV ÙØ Ò Ð ÑÑ Ò ¾º½½ ØÓ ØÙ º Ì ØÚÒ ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò e ta V V max j q etj(λ j,r j ). ÂÓ Reλ j =, Ò Ò r j = e tj(λ j,) = e tλ j = e t Reλ j =. ÂÓ Reλ j <, Ò Ò Ð ÑÑ Ò ¾º½½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ e tj(λ j,r j ) t, ÓØ Ò ØÑ ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÐÐ t. Ë Ð ÝØÝÝ K Ø Ò ØØ e ta K. µ = µ Ë ÐÚ Ó x(t) = e ta x(). ÆÝØ ØÒ Ú Ð ØØ ØÓ Úµ ÓÒ Ò Ò Ò Ú Ú Ð ÒØØ º µ = Úµ ÇÐ ÓÓÒ e ta K, t σ = Res >. ÌÐÐ Ò Ó (si A) ÓÒ e ta Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ (si A) = e st e ta dt e st e ta dt K e st dt = K e σt dt = K. σ Úµ = µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Úµ ÔØ º ÌÐÐ Ò ÐÚ Ø Ò α(a). ÂÓ ÓÐ λ = iη Λ(A), ÓÐÐ ÓÐ ¹ØÖ Ú Ð ÂÓÖ Ò¹ÐÓ Ó Ò Ò Ð ÝØÝ u,v Ø Ò ØØ Au = λu Av = λv +u. ÌÐÐ Ò ÙÒ s = σ +iη, Ò ÓØ Ò (si A) u = s λ u v = s λ( u+(si A)v ), (si A) v = (s λ) u+ s λ v = σ u+ σ v, ÓÐÐÓ Ò Úµ ÓÐ ÚÓ Ñ º Ë Ô A M. Ä Ù ¾º½ º µ ÇÖ Ó ÓÒ x (t) = Ax(t) Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø º µ α(a) <. µ ÇÒ ÓÐ Ñ β < K Ø Ò ØØ e ta Ke tβ, t. Úµ ÇÒ ÓÐ Ñ C Ø Ò ØØ (si A) C, ÙÒ σ = Res. ÌÓ º µ = µ ÂÓ α(a), Ò Ò ÓÐ ÓÓÒ λ Λ(A) Ø Ò ØØ Reλ x Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ º ÌÐÐ Ò x(t) = e tλ x ÓÒ Ý Ø Ñ Ò Ö Ö Ø Ù x(t) = e t Reλ x, ÙÒ t. Ë Ó ÓÖ Ó ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ò Ò ÓÒ ÓÐØ Ú α(a) <. µ = µ Ë ÙÖ Ø Ð ÑÑ Ø ¾º½¾º µ = µ Ë ÐÚº ÆÝØ ØÒ Ú Ð ØØ Úµ ÓÒ Ò Ò Ò Ú Ú Ð ÒØØ º µ = Úµ ÇÐ ÓÓÒ α(a) < β (α(a),). ÌÐÐ Ò α(a βi) = α(a) β <, ÓØ Ò A βi M Ð Ù Ò ¾º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ( si (A βi) ) C σ,
28 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÙÒ σ = Re s >. Ë Ô (si A) = ( (s β)i (A βi) ) Î Ð Ø Ò C = C β. Úµ = µ Ë ÐÚº C Re(s β) C β.
29 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾ º Ê Ø ÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ý ØØ ÝÝ º½º Ñ Ö º Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÔÐ ØØ Ø Ú Ò Ó Ø Ð Ò Ý Ò ÖØ ÐÐ Ý ØÐ ÐÐ º Ð Ò ÓÙ ÙØ Ò ØÙÖÚ ÙØÙÑ Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø ¹ Ú Ò Ñ Ö ÒÙÑ Ö Ò Ø Ö ÑÙÓØÓ Ò Ö Ø Ù Òº ÒÒ Ò Ù Ò ØÐÐ Ò ÚÓ ÝØØ ÓÒ ÝÝØ Ú ÖÑ ØÙ ØØ Ö Ø Ù Ð Ó ÓØ ÓØ Ò ÔÔÖÓ ÑÓ ÝÐ ÔØÒ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Òº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÝÐ Ø Ý Ø Ñ º½µ x (t) = f(t,x(t)), x(t) R n Ð Ù ÓÐÐ x(t ) = x, Ñ f ÓÒ ÙÚ Ù R R n R n. ÂÓ f ÓÐ Ø ÙÚ Ò Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ ÚÐØØÑØØ ÓÐ ÓÐ Ñ Ö Ø Ù º {, ÙÒ x <, Ñ Ö º½º ÇÐ ÓÓÒ f(x) =, ÙÒ x. ÌÐÐ Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x = f(x), x() =, ÓÐ Ö Ø Ù Ñ ÐÐÒ ÚÐ ÐÐ [,T], T >. ÂÓ f ÓÒ Ø ÙÚ Ò Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ ÓÒ Ò ÓÐ Ñ Ö Ø Ùº ÌØ È ÒÓÒ ÓÐ ¹ Ñ ÓÐÓÐ Ù ØØ ÑÑ Ø Ù Ø Ò Ò ØÓ Ø º Ѻ À ÖØÑ Ò µ ÐÐ f Ò Ø¹ ÙÚÙÙ Ø Ú Ð ÙÖ ØØ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ö Ø Ù ÓÐ Ý ØØ Ò Òº Ñ Ö º¾º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x (t) = 3 x(t) /3, x() = R ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ö Ø ¹ Ù º ÇÐ ÓÓÒ a b Ñ Ð Ú ÐØ Øº ÌÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó (t a) 3 ÙÒ t < a, x a,b (t) = ÙÒ a t b, (t b) 3 ÙÒ b < t ÓÒ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ö Ø Ù ÙØ Ò Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ò Òº f a= a=- a= x(t) b= b= b= t ÎÓ ÑÑ Ø Ø Ö Ø ÙÒ Ý ØØ ÝÝ Ò Ñ Ò ØÝØÝÝ Ú Ø f ÐØ Ò ÑÑÒ Ù Ò Ø ÙÚÙÙ º ËÓÔ Ú Ó Ó ØØ ÙØÙÙ Ò º Ä Ô ØÞ ØÓ Ë ÒÓØ Ò ØØ ÙÚ Ù f : R R n R n ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ ÓÒ ÓÙ Ó Ω R n ÚÐ ÐÐ [t,t ], Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ó L > Ø Ò ØØ º¾µ ÐÐ t [t,t ], x,y Ω. f(t,x) f(t,y) L x y
30 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÂÓ f ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ ÓÒ ÒÓØ Ò ÑÝ ØØ f ÓÒ Ä Ô ØÞ Ø ÙÚ º ÂÓ ¹ Ñ Ö f C (Ω), Ñ Ω ÓÒ ÓÑÔ Ø ÓÒÚ Ò Ò f ÓÒ Ä Ô ØÞ Ø ÙÚ Ú ÓÐÐ L = max Df(t,x). t [t,t ],x Ω ÌÑ Ò Ò ÙÖ Ú Ø f(t,x) f(t,y) = d f(t,y +θ(x y))dθ dθ = Df(t,y +θ(x y))dθ(x y) max x Ω Df(t,y +θ(x y) dθ x y Df(t,x) x y. Ì ÚÓ ØØ Ò ÓÒ Ó Ó ØØ ØØ Ó f ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ ÓÒ Ò Ò Ý ØÐ ÐÐ º½µ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ùº º¾º È Ö Ä Ò Ð Ø Ö Ø Óº ÃÙÒ f ÓÒ Ø ÙÚ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ º µ x (t) = f(t,x(t)), x(t ) = x Ö Ø Ù Ñ Ð ÓÐ Ñ µ ØÓØ ÙØØ ÑÝ ÒØ Ö Ð Ý ØÐ Ò º µ x(t) = x + t t f(s,x(s)) ds Ô ÒÚ ØÓ Òº ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ý ØÐ Ø º µ º µ ÓÚ Ø Ú Ú Ð ÒØ Øº ÇÐ ÓÓÒ x Ó Ò Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó Ö Ø ÙÒ Ð Ù ÔÔÖÓ Ñ Ø Óµ ÚÐ ÐÐ I = [t,t ], Ñ t t t. ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ø Ø ÙÙ ÙÒ Ø Ó x t x (t) = x + f(s,x (s)) ds t I t ØÓ ÚÓØ Ò ØØ ØÑ ÓÐ Ô Ö ÑÔ ÔÔÖÓ Ñ Ø Óº Ò Ò ØÑ ØÓØ ÙØØ Ð Ù ÓÒº Â Ø Ø Ò Ø Ö Ø Ú Ø ÙÒ Ø Ó Ø x k ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú º µ x k+ (t) = x + t t f(s,x k (s)) ds. Ë Ò ÓÒÓ { x k} Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó Ø º ÂÓ ÙÔÔ Ò Ø Ø ¾ Ó Ø ÙÒ Ø ÓØ k x, Ò Ò x ÓÒ Ø ÙÚ Ð Ñ Ò ÚÓ Ú ÒØ Ö Ð Ò Ò ÓÐÐÓ Ò f Ò Ø ÙÚÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ x ÓÒ ÒØ Ö Ð Ý ØÐ Ò º µ Ö Ø Ù x(t) = lim x k+ (t) = x + lim k =x + t k t t f(s,x k (s))ds t lim k f(s,x k (s))ds = x + ¾ Ì Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò Ò Ð ØØÝÚØ Ð Ù Ø º Ð Ø º t t f(s, x(s))ds.
31 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾ ÁÒØ Ö Ð ÓÒ Ö ÚÓ ØÙÚ ÝÐÖ Ò Ù Ø Ò ÓØ Ò x ÓÒ Ö ÚÓ ØÙÚ Ø Ò ÑÝ Ð Ù Ö¹ ÚÓØ ØÚÒ º µ Ö Ø Ùº Ë ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ô ÖÙ ØÙÙ Ò ØØ ÙÒ f ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ ÓÒ Ò Ò º µ Ò ÑÖÑ È Ö Ä Ò Ð Ø Ö Ø Ó ÙÔÔ Ò Ø Ø º Ä Ù º½ È Ö Ä Ò Ð µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f ØÓØ ÙØØ x Ò Ù Ø Ò Ä Ô ØÞ ÓÒ R n ÚÐ ÐÐ I = [t,t ] t I. ÌÐÐ Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x (t) = f(t,x(t)), x(t ) = x ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÚÐ ÐÐ t I. ÌÓ º ÇÐ Ñ ÓÐÓ Î Ð Ø Ò Ö Ø ÙÒ Ð Ù ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó x (t) = x ÐÐ t I Ø ÖÓ Ò t x k+ (t) = x + f(s,x k (s)) ds. t ÆÝØ ØÒ ØØ Ò Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ ÙÔÔ Ò Ø Ø ÓÐÐÓ Ò ÐÐ Ø ØÝÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö ÙÒ Ø Ó x ÓÒ Ø ØÚÒ Ö Ø Ùº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÖÓØÙ x k+ x k. ÇÐ ÓÓÒ K = max t I f(t,x ). ÐÙ Ò º µ x (t) x (t) t = f(s,x ) ds K t t. t ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ ØØ º µ x k+ (t) x k (t) K L k t t k+ (k +)! Ñ L ÓÒ f Ò Ä Ô ØÞ Ú Óº Ã Ú º µ ÒØ º µ Ò ÙÒ k =. ÇÐ Ø Ø Ò ØØ º µ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ k Ò ÖÚÓ ÐÐ,...,m. ÌÐÐ Ò ÙÒ t t, x m+ (t) x m+ (t) t = [f(s,x m+ (s)) f(s,x m (s))] ds t t t L x m+ (s) x m (s) ds t LK Lm s t t (m+)! m+, ( ) º µ ÔØ ÙÒ k=m ds = K Lm+ t t m+ (m+)! Î Ø Ú Ø ÙÒ t < t. Ë Ø Ò ØØ º µ ÔØ ÑÝ ÙÒ k = m+. ÌØ Ò º µ ÔØ ÐÐ k =,,,.... Ø Ø Ò T = max(t t,t t ), ÓÐÐÓ Ò. µ x m (t) = x + m k= [xk+ (t) x k (t)], µ ÐÐ k, t I ÔØ x k+ (t) x k (t) K L k T k+ (k+)! µ k= K Lk T k+ (k+)! ÙÔÔ Ò ÙÑÑ = K L (elt ) µº
32 ¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÌØ Ò Ï Ö ØÖ Ò Ñ ÓÖ ÒØØ Ô Ö ØØ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö x + k= [xk+ (t) x k (t)] ÙÔÔ Ò Ø Ø º Ë Ò ÙÑÑ x(t) = lim k x k (t) ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Ò º µº ØØ ÝÝ ÇÐ ÓÓØ x y Ý ØÐ Ò º µ Ö Ø Ù º ÌÐÐ Ò ÙÒ t t, Ò x(t) y(t) = t [f(s,x(s)) f(s,y(s))] ds L x(s) y(s) ds, t t t Ó Ø ÙÖ Ú ØÓ Ø ØØ Ú Ò ÖÓÒÛ ÐÐ Ò ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ x(t) y(t). Ë ÑÓ Ò ÙÒ t < t. Ë ÙÖ Ú Ð ÑÑ Ø ÖÚ ØØ Ò Ó ÝÐÐ Ø Ó ÐÐ Ð ÝØÝÝ Ð ÝØØ º Ä ÑÑ º¾ ÖÓÒÛ ÐÐ Ò ÔÝ ØÐ µº ÇÐ ÓÓØ C, K ÓÐ ÓÓÒ u : [,T] R Ø ÙÚ Ò Ø Ú Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ ÔØ º µ u(t) C + t Ku(s) ds ÐÐ t [,T]. ÌÐÐ Ò u(t) Ce Kt ÐÐ t [,T]. ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ ÐÙ C >. Ø Ø Ò v(t) = C + Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ò v (t) = Ku(t), ÓØ Ò t d dt ln(v(t)) = v (t) v(t) = Ku(t) v(t) K. ÁÒØ ÖÓ Ò ØÑ ln(v(t)) ln(v())+kt, Ó Ø u(t) v(t) v()e Kt = Ce Kt. Ku(s) ds, ÓÐÐÓ Ò u(t) v(t). ÂÓ C =, Ò Ò u ØÓØ ÙØØ º µ Ò ÙÒ C Ò Ô ÐÐ ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ò d >. Ë ÐÐ Ò ÒÓ ÐÐ u(t) de Kt ÐÐ d >, ÓØ Ò u(t) =. ÀÙÓÑ ÙØÙ º½º Ä Ù Ò º½ ØÓ ØÙ Ø ÑÝ È Ö Ä Ò Ð Ø Ö Ø ÐÐ Ú Ö¹ Ö Ò x k (t) x(t) = [x j+ (t) x j (t)] K j=k j=k L j T j+ (j +)! K (LT)k+ elt L (k +)!. Ñ Ö º º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x (t) = t t x(t), x() =, Ò x (t) =, x (t) = t + t3 3, x (t) = t + t3 3 + t4 8 t5 5,...
33 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ x(t) x x 3 x 5 x 7 x.5.5 x x 4 x 6 x 3 4 Æ Ò ØØ k Ò Ú Ø Ö Ø Ø x k ÙÐ Ú Ø Ð ÐÐ Ö Ø Ù Ý Ô Ø ÑÔÒº t Î È Ö ¹Ä Ò Ð Ø Ö Ø Ó Ò ÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ú Ò Ò Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ô¹ ÔÖÓ ÑÓ Ö Ø Ù ÙØ Ò ÐÐ Ñ Ö Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ö ØÝ Ò ÝÚ Ú Ö Ò Ò ÒÙÑ Ö Ò Ð ÒØ Òº Ì Ó ÑÔ Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ÐÐÒ Ú Ñ ÐÙ¹ ÚÙ º º º Â Ø ÙÚ Ö ÔÔÙÚÙÙ Ð Ù Ó Ø º ÃÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ÓØ Ò Ñº Ý Ð Ø Ý Ø Ñ Ò Ò ÝÐ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ø ØÚÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ùº ÃÙ Ø Ò Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ñ Ö Ø Ð Ò Ø Ð ÒØ Ò Ð Ó ÒØ ÓØ Ò Ó ÓØ Ò Ý Ø Ñ ÙÚ Ø Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ ÝÝØ Ò ÐÝ Ó Ñ ÐÐ Ñ Ø Ñ ØØ Ø ÓØØ ÚÓ Ò Ú ÖÑ ¹ ØÙ ÓÒ Ó ÐÐ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ó Ø ÐÐ Ý Ð Ò ÒØÙ Ø ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ô Ø ÓÐÐ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý Ø Ñ º µ x (t) = f(t,x(t)). Ì Ö Ø ÐØ Ö Ø ÙÒ Ö ÔÔÙÚÙÙØØ Ð Ù Ó Ø ÙÖ Ú Ó Ó ØØ ÙØÙÙ Ø Ú º ÇÐ ¹ Ø Ø Ò ØØ f ØÓØ ÙØØ ØÓ ÔÙÓÐ Ò ÓÒ º½¼µ f(t,x) f(t,y), x y µ x y, ÐÐ x,y Ω, t. ÂÓ L ÓÒ f Ò Ä Ô ØÞ¹Ú Ó Ò Ò µ = L ÐÔ ÑÙØØ Ù Ò Ð ÝØÝÝ Ô Ö ÑÔ Òº Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ f Ä Ô ØÞ¹ Ø ÙÚ ÓÐ ÓÓØ x y Ø ØÚÒ º µ Ö Ø Ù Ð Ù ¹ Ó ÐÐ x() = x y() = y. ÂÓ f ØÓØ ÙØØ ÔÝ ØÐ Ò º½¼µ Ò Ò Ò Ò Ù Ò ÙÒ x(t),y(t) Ω. x(t) y(t) x y e µt, t >, ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ u(t) = x(t) y(t) = x(t) y(t),x(t) y(t). Ê Ø Ù Ò Ý ØØ ¹ ÝÝ Ø ÙÖ ØØ Ó x y, Ò Ò u(t) > ÐÐ t. ÔÝ ØÐ Ø º½¼µ Ò u (t) = f(t,x(t)) f(t,y(t)), x(t) y(t) µ x(t) y(t) = µu(t),
34 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÓØ Ò d dt log(u(t)) = u (t) u(t) Ñ Ø Ú Ø ÙÖ º µ. ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ò log(u(t)) log(u()) µt Ð u(t) u()e µt, ÂÓ Ý Ø Ñ ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ¹ ÓÒ Ò x(t) y(t) x y e L t, t. ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ý Ø Ñ Ò Ö Ø ÙØ Ö ÔÔÙÚ Ø Ø ÙÚ Ø Ð Ù Ó Ø º Ì ØÚ º½º ÌÓ Ø ØÑ ÓÚ ÐØ Ò Ð Ù ØØ º Ý Ø Ñ Ò x (t) = f(t,x(t)) x (t) = f( t,x(t)). ÌÓ ÐØ Ð Ù ØØ ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ Ö Ø Ù Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ø Ö Ø ¹ ÐÙÙÒ ÙØ Ò ÙÖ Ú º Ñ Ö º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø ØÚ x (t) = sin(x(t)), x(). Ø Ø Ò f(x) = sin(x), ÓÐÐÓ Ò ÚÐ ÖÚÓÐ Ù ÐÐ f(x) f(y) = f (ξ)(x y) = cos(ξ)(x y). ÂÓ x,y [, ], Ò Ò ξ [, ], ÓÐÐÓ Ò Ø ÓÙ Ó º½¼µ ÓÒ ÚÓ Ñ Ú ÓÐÐ µ = cos( ) <. Î ÖÖ Ø Ò Ö Ø Ù x ØÖ Ú Ð Ö Ø ÙÙÒ y. Ä Ù º ÒÓÓ ÒÝØ ØØ x(t) e µt. Ì Ø ØÙÐ ÑÑ ÒÓÑ Ò ØØ Ø Ô ÒÓÔ Ø ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø t Ø Ð º º º Ê Ø Ù ÙÚ Ù Ú ÖØ Ù º ËÝ Ø Ñ ÐÐ x (t) = f(t,x(t)) ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö Ø ¹ Ù ÙÚ Ù ψ ÙÖ Ú Ø Ó x ÓÒ ØÑÒ Ý Ø Ñ Ò Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù Ð Ù ÓÐÐ x(τ) = u, Ò Ò Ø Ø Ò ψ(t,τ,u) = x(t). ÌÓ Ò ÒÓ Ò ψ(t,τ,u) ÓÒ R n Ò Ô Ø Ó ÓÒ ÓÙ ÙØ Ò ÙÒ Ø ÐÐ τ Ð ØÒ Ô Ø Ø u ÙÖ Ø Ò Ø Ø Ð Ø Ú Ö Ø Ù Ø Ò t Ø º Ë ÐÚ Ø ψ ØÓØ ÙØØ ψ(t,τ,u) = f(t,ψ(t,τ,u)), ψ(τ,τ,u) = u. t Ñ Ö º º ÇÐ ÓÓÒ f(t,x) = Ax, Ñ A ÓÒ Ú ÓÑ ØÖ º ÂÓ x ÓÒ Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ò Ò x(t) = e At x(), ÓØ Ò x() = e Aτ x(τ) x(t) = e A(t τ) x(τ). Ë Ô Ø Ø Ô Ù ψ(t,τ,u) = e A(t τ) u. ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f ÓÒ ÐÓ Ð Ø Ä Ô ØÞ Ò Ò Ø º Ð ÝØÝÝ L Ø Ò ØØ º¾µ ÔØ ÐÐ t R, x,y R n. ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ò Ô Ø Ò u R n ÙØØ ÙÐ Ø ÐÐ τ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ t R. ÌÓ Ò ÒÓ Ò ψ(t,τ,u) ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ t,τ R, u R n. ÇÐ ÓÓØ s,τ R, u R n Ñ Ð Ú ÐØ v = ψ(s,τ,u). Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ô Ø Ø v Ø ÐÐ s Ð Ø Ú Ö Ø Ù Ð ψ(t,s,v) Ø º ÅÝ ψ(t,τ,u) ÓÒ Ø ÐÐ t = s Ô Ø
35 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ v. Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ Ò Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø Ý ØØ Ø ÓØ Ò ÓÒ ÓÐØ Ú ψ(t,s,v) = ψ(t,τ,u) Ð Ö Ø Ù ÙÚ Ù ØÓØ ÙØØ º½½µ ψ(t,s,ψ(s,τ,u)) = ψ(t,τ,u) ÐÐ t,s,τ R, u R n. ÃÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ ÙØÓÒÓÑ Ò Ò Ò Ò ÒÓØ Ò ØØ Ú Ø Ú f ÓÒ Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒµ Ú ØÓÖ ÒØغ ÌÐÐ Ò Ý ØÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ x (t) = f(x(t)). Ñ Ö º ÓÒ ÙØÓÒÓÑ Ò Òºµ ÂÓ ÒÝØ x ÓÒ ØÑÒ Ö Ø Ù Ð Ù ÓÐÐ x() = u Ð x(t) = ψ(t,,u) Ó ÑÖ ØØ Ð ÑÑ y(t) = x(t s), Ò Ò y (t) = x (t s) = f(x(t s)) = f(y(t)) Ð y ÓÒ Ö Ö Ø Ùº ÌÓ ÐØ y(s) = x() = u, ÓØ Ò y(t) = ψ(t,s,u). Æ Ò ÑÑ ÙØÓÒÓÑ Ò Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ù ÙÚ Ù ÐÐ ÔØ º½¾µ ψ(t,s,u) = ψ(t s,,u) ÐÐ t,s R, u R n. ÃÓ Ò Ò ÓÐÐ Ò ½º º Ö ÙÑ ÒØØ ÑÖÚØ Ó Ó ψ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ò ÙØÓÒÓÑ ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ú ÖØ Ù Ò º½ µ ϕ t (u) = ψ(t,,u) Ð ϕ t (u) = x(t), Ó x ÓÒ Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ù Ð Ù ÓÐÐ x() = u. Ì ØÚ º¾º ËÓÚ ÐØ Ò Ú º½½µ ÙØÓÒÓÑ Ò Ø Ð ÒØ Ò ÒÝØ ØØ Ú ÖØ Ù ØÓ¹ Ø ÙØØ º½ µ ϕ t (ϕ s (u)) = ϕ t+s (u), ϕ (u) = u. Ö ØÝ Ø ϕ t ( ) ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÒØ ÙÚ Ù ϕ t ( ). ÆÑ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÒÓÚ Ø ØØ ÙÚ Ù Ø ϕ t ( ) ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ò º Ý Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÝ ÑÒº
36 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ü µ Ü µ Ü µ 3 Ü µ Ü µ 3 Ü µ ÐÐ Ý Ø Ñ Ò x = [ ] Ð Ø ÚØ Ö Ø Ùغ [.6x +x x.4x +x ] Ü Ü Ú ØÓÖ ÒØØ Ô Ø Ø x = [ ] x = Ä Ù Ò º Ô ÖÙ Ø ÐÐ ψ ÓÒ Ø ÙÚ ÙÒ f ÓÒ Ä Ô ØÞ Ø ÙÚ º ÁØ ψ ÓÒ Ý Ø Ð Ù Ò f Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ f k ÖØ Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ Ð f C k º ÌÐÐ Ò ÑÝ Ø Ú Ø Ú ÐÐ Ö Ø Ù ÙÚ Ù ÐÐ ÔØ ψ C k. Ë ÑÓ Ò ÙØÓÒÓÑ Ò Ý Ø Ñ Ò Ú ÖØ Ù Ð¹ Ð ϕ. ÂØ ØÒ Ø ÚÐ Òº Ä ÝØÝÝ ÔÖÙ ÙÒ Ð ÑÑ Ø Ú Ö Ó Ø º Ñ Ö ÙÒ u ÓÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø f(u) =, Ò Ò ϕ t (u) = u ÐÐ t. ÌÐÐ Ò Ó x() ÓÒ Ð ÐÐ u Ø Ò Ò x(t) u+e tdf(u) [x() u].
37 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ Ò Ø ÐÙÖ Ñ Ò ÔÓ ÙØ ¹ Ø Ò Ò Ò Ò ÑÑ Ø Ô Ù ÐÙÖ Ø ÐÙÑ Ø Ò Ô Ò ÐÐ ÑÔÐ ØÙ ÐÐ ÙÒ Ø Ð ÑÑ ÐÙÖ Ð Ø Ð ÙØØ Ð ÔÝ ØÝÝÒ Ò Ò Ø Òº Ë ÒÓÑÑ ØØ Ð ÒØÓ ÓÒ Ø Ð ÙÒ Ø ÝÐ ÒØÓ ÓÒ Ô Ø Ð º Ì Ô ÒÓÔ Ø Øº È Ø ØØ p R n ÙØ ÙØ Ò Ý Ø Ñ Ò x (t) = f(x(t)) Ø Ô ÒÓÔ Ø Ó f(p) =. ÌÐÐ Ò ÐÚ Ø ϕ t (p) = p ÐÐ t R, Ð p Ø Ð Ú Ö Ø Ù ÔÝ ÝÝ Ò Ù Ø º Ì Ô ÒÓÔ Ø ØØ p ÙØ ÙØ Ò Ø Ð Ó Ó¹ ÐÐ ε > ÓÒ ÓÐ Ñ δ > Ø Ò ØØ u B δ (p) = ϕ t (u) B ε (p) ÐÐ t >. Ê Ø ÙØ ÔÝ ÝÚØ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ð ÐÐ Ø ¹ Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÙÒ Ò Ð ÙÔ Ø ÓÒ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ðк Ì Ô ÒÓÔ Ø p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ó ÐÐ Ò Ð ÓÒ ÓÐ Ñ p Ò ÝÑÔÖ Ø B d (p) Ø Ò ØØ v B d (p) = lim t ϕ t (v) = p, Ð ÙÒ Ö ØØÚÒ Ð ÐØ Ð Ø ÚØ Ö Ø ÙØ Ð Øݹ ÚØ Ô Ø ØØ p. u p δ δ d u v p Ì ØÚ º½º ÑÑ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ð Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ø Ð ÙÙ Ò ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ Ò Ø Ð ÙÙ Ò Ñ Ò Ö Ø Ú ÐÐ º ÆÝØ ØØ Ð Ò Ö Ø Ô Ù µ Ò Ò¹ Ø Ú Ø ÝÐÐ ÓÐ Ú Ò Ò Ý ØÔ ØÚØ ÑÖ Ø ÐÑغ Ä ÑÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ A R n n Ø Ò ØØ α(a) <. ÌÐÐ Ò ÒØ Ö Ð W = e tat e ta dt ÙÔÔ Ò W ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò ØØ Ñ ØÖ Ó ØÓØ ÙØØ º½µ v,w Av W v,wv, v Rn. ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ β (α(a),). ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ K Ø Ò ØØ e ta Ke tβ, ÓØ Ò ÒØ Ö Ð ÙÔÔ Ò º Ë ÐÚ Ø W ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ÈØ v T Wv = e ta v dt. Ë Ô Ó v T Wv =, Ò Ò e ta v = t, ÓÐÐÓ Ò v =, Ð W ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º ε ε
38 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÃÝØØ Ò Ú d dt y(t) = y(t),y (t) Ò ÐÐ Ò v,wav = = d dt e ta v,e ta Av dt = e ta v dt = Ñ Ø º½µ ÙÖ Ó v,wv W v. / e ta v,ae ta v dt = e ta v = v, Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÒØ ÒÝØ Ö ØØÚÒ ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ ÐÐ Ø Ð ÙÙ ÐÐ Ò Ò ÓÒ Ó Ú Ø Ú Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ð Ò Ö Ó ØÙ Ý Ø Ñ ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º Ä Ù º¾º ÇÐ ÓÓÒ f Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ p Ø Ô ÒÓÔ Ø A = Df(p). ÂÓ α(a) <, Ò Ò p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º ÌÓ º ÎÓ ÑÑ ÓÐ ØØ ØØ p =. ÇÐ ÓÓÒ W ÙØ Ò Ð ÑÑ º½ σ = W º Ø Ø Ò ØÙÐÓ x,y W = x,wy Ú Ø Ú ÒÓÖÑ x W = x,x W. ÇÐ ÓÓØ m M W Ò Ô Ò Ò ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò Ö Ú Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ò ÒÝØ lim x f(x) Ax W x W m x x W M x, x R n. M m lim f(x) f() Df()x = x x Ó ÐÐ x,y R n ÔØ x,y W x W y W Ù Ý Ë Û ÖÞµ Ò x,f(x) Ax lim W x x W ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ c (,σ) δ > Ø Ò ØØ ÓÐÐÓ Ò =. x W < δ = x,f(x) Ax W (σ c) x W, x,f(x) W x,ax W +(σ c) x W c x W. ÂÓ ÒÝØ x (t) = f(x(t)) t > x() W < δ, Ò Ò d dt x(t) W = x(t),f(x(t)) W c x(t) W, ÓØ Ò x(t) W x() W e ct, Ð x(t) W < δ t > lim t x(t) =. Ì ØÚ º¾º Î Óºµ ÆÝØ Ó f(p) = Ó Df(p) ÐÐ ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓ λ, ÓÐÐ Reλ >, Ò Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø p ÓÐ Ø Ð º ÂÓ Ò Ò ÓÐ ÚÓ ÑÑ Ø Ò Ò ÑÙÙØØÙ ÒÚ ÓÒ y = x p.
39 Ñ Ö º½º ËÝ Ø Ñ ÐÐ x x +x = x x +x ÓÒ ÓÖ ÓÒ p = (,) Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø q = (,). ÆÝØ Df(x) = x º ÇÖ Ó ¹ Df(p) = [ ] ØÐÐ ÓÒ ÓÑ Ò Ô Ö Ø (,[ 3 ]) (,[ ]) º ÌØ Ò Ö Ø ÙØ Ð Øݹ ÚØ ÓÖ Ó Ð Ô Ø Ò ÙÙÒÒ Ø ±[ 3 ] ÔÓ ¹ ØÙÚ Ø Ð Ô Ø Ò x Ð Ô Ø Òº È Ø ¹ q = (,) Ò Ð Ò Ö Ó ÒØ Ñ ØÖ ¹ ÐÐ Df(q) = [ 4 ] ÓÐÐ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ±i 7 º ÌØ Ò q ÓÒ ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ Ø Ø Ð Ö Ø ÙØ Ð ØÝÚØ Ø ÔÝ Ö Òº Ç Ò ÙÚ Ò ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ú ØÓ¹ Ö ÒØØ f ÑÙÙØ Ñ Ö Ø Ù ÝÖ º Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ÀÙÓÑ ÙØÙ º½º ÂÓ Df(p) Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ø Ø ØÒ Ú Ò ØØ Ò Ò Ö Ð Ó Ø ÚØ ÓÐ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ØÐÐ Ò ÑÑ ÚÓ Ú ØØ Ø Ð ÙÙ Ø Ú Ð Ñ ØÒ Ö ÔÔÙÙ ÐÐÓ Ò ÓÖ ÑÑ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Øº p q Ì Ô ÒÓÔ Ø ØØ p ÒÓØ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ó Df(p) ÐÐ ÓÐ ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ Ö Ð Ó ÓÐ ÒÓÐÐ º Ñ Ö Ø ¾º ¾º½¼ ÓÚ Ø ÝÔ Ö ÓÐ º Ä Ù Ò º¾ Ø ØÚÒ º¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ë ÙÖ Ù º º ÀÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø ÓÒ Ó Ó Ô Ø Ð Ø ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º º½º Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Óغ Ä Ù Ò º¾ ØÓ ØÙ ÓÐ ÐÐ Ø ÒÝØ ØØ Ò ØØ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ V(x) = x p W ÖÚÓØ Ô Ò Ò ÚØ ÙÒ ØÒ Ô Ø Ò Ö Ø ÙØÖ ØÓÖ º Ä ÔÙ¹ ÒÓÚ Ò ÓÐ Ø Ö Ø ÐÐ ÝÐ ÑÔ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ Ú Ò ÚØ Ô Ø Ò ÒÒ ØÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ù º ÇÐ ÓÓÒ V : R n R Ö ÒØ Ó ØÙÚ º ÂÓ gradv(x), f(x) <, Ò Ò Ô Ø Ò x Ð ÐÐ ÙÐ Ú Ö Ø Ù Ô Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ V ÖÚÓØ Ú Ò ÚØ ÐÐ d dt V(ϕt (x)) t= = gradv(x), f(x) <. Ú Ø Ö Ò È Ø Ö ½ ¾
40 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÌÐÐ Ò Ò Ø Ö Ø ÐÙ Ó Ø ÙÖ Ú Ò Ä Ù º Ä ÔÙÒÓÚ Ò Ø Ð ÙÙ Ð Ù µº ÇÐ ÓÓÒ f C, p Ý Ø Ñ Ò x = f(x) Ø Ô ¹ ÒÓÔ Ø U Ò Ó Ò ÝÑÔÖ Ø º ÇÐ ÓÓÒ V : U R Ø ÙÚ Ø Ö ÒØ Ó ØÙÚ Ø Ò ØØ µ x p = V(x) > V(p), µ gradv(x), f(x) ÐÐ x U. Ö Î Üµ Ü Ø Ùµ V= vakio ÌÐÐ Ò p ÓÒ Ø Ð º ÂÓ Ð µ gradv(x), f(x) < ÐÐ x U \{p}, ܵ Ò Ò p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º ÌÓ Ø ÑÑ ØÑÒ Ñ Ò ÑÝ ÑÑ Òº ÙÒ Ø ÓØ Ó ØÓØ ÙØØ ÓØ µ µ ÙØ Ù¹ Ø Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó º ÂÓ ÑÝ µ ÔØ Ò Ò Ø ÒÓØ Ò Ø Ö Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó º Ñ Ö º¾º ÃÙÒ Ñ ØÖ ÐÐ A = Df(p) ÓÒ Ö Ð Ó ÐØ Ò Ò Ø Ú Ø ÓÑ Ò Ö¹ ÚÓØ W ÓÒ ÙØ Ò Ð ÑÑ º½ Ò Ò V(x) = x p W ØÓØ ÙØØ Ø Ö Ò Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓØ ÐÙ U = { x R n x p,wf(x) < } {p}, Ó ÓÒ Ö p Ò ÝÑÔÖ Ø º Ð Ù Ò º¾ ØÓ ØÙ µº Ð Ø Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÝØÑ Ò Ò ÒÒ ØÙÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ò Ð º Å ØÒ ÝÐ ÔØ Ú Ö ÔØ ÓÐ º Ý Ð Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ö Ø ÐÙØ ØÙÓØØ Ú Ø Ù Ò ØÙÐÓ Òº Í Ò ÒÒ ØØ ÝÖ ØØ ÓÔ Ú ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú V غ x Ñ Ö º º ÇÖ Ó ÓÒ Ý Ø Ñ Ò x +3x x = x 3 x Ø Ô ÒÓÔ Ø º Ä ¹ x x3 Ò Ö Ó ÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ñ ØÖ [ ] ÒÒ Ñ Ò ÔØ ÐÐ Ñ ØÒ Ø Ð ÙÙ Ø º Ö Ø ØÒ Ý Ø Ñ ÐÐ Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓØ ÑÙÓ Ó V(x) = a x + a x, a,a >. ÌÐÐ Ò Ò Ò ØÓ µ ØÓØ ÙØÙÙº ÆÝØ gradv(x), f(x) = a x x +a x x = a x ( x +3x x 3 )+a x ( x x x3 ) = 4a x +(6a 4a )x x3 a x 4, Ó Ø Ú Ð Ø Ñ ÐÐ a =, a = 3 Ò gradv(x),f(x) = 8x 6x 4, Ð V(x) = x +3x ÓÒ Ø Ö Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó ÓÖ Ó ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º Ë ÖÖÝØÒ ÒÝØ Ä ÔÙÒÓÚ Ò Ø Ð ÙÙ Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Òº ÌÓ º ÂÓ u U, Ò Ò d dt V(ϕt (u) = gradv(ϕ t (u)), f(ϕ t (u)), V(ϕ t (u)) V(u) Ò Ò Ù Ò ÙÒ ϕ t (u) U. ÓØ Ò
41 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ÇÐ ÓÓÒ ε > Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ø Ò ØØ B ε (p) U. Ø Ø Ò c = min x p =ε V(x), ÓÐÐÓ Ò c > V(p). Å Ò Ñ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó V ÓÒ Ø ÙÚ Ô ÐÐÓÒ B ε (p) Ô ÒØ ÓÒ ÓÑÔ Ø ºµ ÇÐ ÓÓÒ U c = { x B ε (p) V(x) < c } º Uc ÓÒ ÚÓ Ò Ó V ÓÒ Ø ÙÚ º ÇÐ ÓÓÒ δ > Ø Ò ØØ B δ (p) U c º ÌÐÐ Ò ÔØ Ó u B δ (p), Ò Ò V(ϕ t (u)) V(u) < c ÐÐ t, ÓØ Ò ϕ t (u) B ε (p) ÐÐ t. Ë p ÓÒ Ø Ð º ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ ØÓ µ ÓÒ ÑÝ ÚÓ Ñ ÓÐ ÓÓØ ε >,δ >, c > V(p) ÙØ Ò Ðк ÇÐ ÓÓÒÂÓ u B δ (p), Ò Ò V(ϕ t (u)) ÓÒ Ú Ò Ú V(p), ÓØ Ò V = lim t V(ϕ t (u)) ÓÒ ÓÐ Ñ º ÆÝØ ØÒ ØØ V = V(p). Ì Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ V > V(p). ÌÐÐ Ò ÓÙ Ó D = { x U c V(x) V } ÓÒ ÓÑÔ Ø Ø ÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ η(x) = gradv(x), f(x) ÓÒ ÐÐ Ñ Ñ = k < ÓÒ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ µº Î Ø ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ϕ t (u) D ÐÐ t, ÓØ Ò d dt V(ϕt (u)) k ÐÐ t, Ó Ø V(ϕ t (u)) V(u) kt, Ó ÓÒ Ö Ø Ö Ø º Ë Ô lim t V(ϕ t (u)) = V(p). ÌÓ ÐØ V(p) ÓÒ V Ò ÓÐÙÙØØ Ò Ò Ñ Ò Ñ ÓÑÔ Ø ÓÙ Ó B ε (p), ÓØ Ò ÚÐØØÑØØ lim t ϕ t (u) = p p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º Ì ØÚ º º Ø ÙÖ Ú ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓØ x a) x x = x x x x x 3 b) 3x 3 = x +x x x 5 x 3 x x. Î Ñ ÒØ Ñ ØÓÒ ÐÙÖ ÓÒ Ö Ó Ø Ô Ù ÙÖ Ú Ø º Ñ Ö º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ m Ð ÙÙ ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÚÓ Ñ ÒØ F(x) = gradφ(x), Ñ φ ÓÒ Ð Ö ÔÓØ ÒØ Ð º ÌÐÐ Ò ÙÒ x ÓÒ Ñ Ò Ô v Ò ÒÓÔ Ù Ò x = v, v = m gradφ(x). ÇÐ ÓÓÒ (x,v ) R 6 Ý Ø Ñ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø º ÌÐÐ Ò v = gradφ(x ) =. Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ó ÓÒ Ò Ö E(x,v) = m v +φ(x). Ë ÐÚ Ø d E(x,v) = m v, gradφ(x) + gradφ(x),v =, dt m Ð Ò Ö ÐÝݺ Æ Ò ÓÐÐ Ò E ÓÒ Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ó Ó Ò (x,) Ò ÝÑÔÖ Ø (x,v) (x,) = E(x,v) > E(x,) Ð ÙÒ x ÓÒ φ Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ º ÌÑ ÓÒ Ä Ö Ò Ò Ð Ù ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ò ÚÓ Ñ ÒØÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø (x,) ÓÒ Ø Ð Ó x ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ º
42 ¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ º¾º Ö ÒØØ Ý Ø Ñ Øº ÅÓÒ Ø Ý Ø Ñ Ø ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ x = f(x) = gradv(x), x U, Ñ V ÓÒ Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò C ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ ÙØ ÙØ Ò Ö ÒØØ Ý Ø Ñ º Æ ÐÐ V Ø ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ä ÔÙÒÓÚ Ò ØØ º Ä Ù º º ËÝ Ø Ñ ÐÐ x = gradv(x) ÔØ µ V Ò ÖÚÓØ Ú Ò ÚØ Ô Ø Ò Ö Ø Ù Ô Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø º µ ÂÓ p ÓÒ V Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ò Ò ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ø ¹ Ô ÒÓÔ Ø º µ ËÝ Ø Ñ Ò Ö Ø Ù ÝÖØ Ð Ú Ø V Ò Ø ÖÚÓÔ ÒÒ Ø Ó Ø ÙÓÖ Ø º µ ÂÓ V ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ò Ò Ò Ò Ö Ø Ù ÐÐ ÔØ x (τ) dτ V(x()). ÌÓ º µ ÆÝØ gradv(x),f(x) = gradv(x),gradv(x) = gradv(x). µ ÃÙÒ p ÓÒ V Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ò Ò Ð Ù Ò º ÓØ µ¹µ ØÓØ ÙØÙÚ Øº µ ÂÓ x U ÓÐ Ø Ô ÒÓÔ Ø v ÓÒ Ô ÒÒ Ò { y U V(y) = V(x) } Ø Ò ÒØØ Ô Ø x, Ò Ò d dh V(x+hv) h= = Ð gradv(x),v =. µ ÌÓ ØÙ Ò µ Ó Ò ÑÙ Ò t t d V(x()) V(x(t)) = V(x(τ))dτ = x (τ) dτ, dτ Ó Ø Ú Ø ÙÖ Ó V(x(t)). Ñ Ö º º ÇÐ Ó Ý Ø Ñ x = f(x) = [ f (x,x ) cos(x )[x = sin(x )] sin(x ] ) f (x,x ) +sin(x ) x Ö ÒØØ Ý Ø Ñ ÂÓØØ f ÓÐ ÓÒ ÙÒ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÒØØ ÓÒ ÓÐØ Ú f x. Æ Ò Ò ÓÒ ÑÓÐ ÑÑ Ø = cos(x ). ÃÓ f = V x, Ò f x = V(x,x ) = x (+sin(x ) ξ) dξ +g(x ) = x (+sin(x ))+ x +g(x ). ÌÓ ÐØ V x = f, Ó Ø g ÐÐ Ð x cos(x ) g (x ) = x cos(x ) (+sin(x ))cos(x ) sin(x ) g(x ) = x [(+sin(ξ))cos(ξ)+ sin(ξ)] dξ = (+sin(x )) cos(x ), V(x,x ) = (x sin(x )) cos(x ).
43 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ x ÌÐÐ ÓÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø (x,x ) = (kπ,). È Ö ÐÐ Ø k Ø Ú Ø Ú Ø V Ò Ñ Ò Ñ ¹ Ô Ö ØØÓÑ Ø ØÙÐ Ô Ø Øº Î Ö ÙÚ ÓÒ Ó Ø ¹ Ò V Ò Ø ÖÚÓ ÝÖ ÑÙÙØ Ñ ØÖ ØÓÖ º x ÀÙÓÑ ØØ Ú ØÖ ØÓÖ Ò Ð ÙÔ Ø Ø ÓÚ Ø ÝÚ Ò Ð ÐÐ ØÓ Ò Ò ÔØÝÚØ Ö Ø Ô ÒÓÔ Ø Òº ÇÒ Ó ØÑ Ö Ø Ö Ò Ò ØØ Ö Ø Ù Ö ÔÔÙÙ Ø ÙÚ Ø Ð ÙÔ Ø Ø Î Ø Ù ÓÐ º Å µ ÀÙÓÑ ÙØÙ º¾º Ê Ø Ù Ö Ø Ù ÝÖ ÓÚ Ø Ö Ó Ø º Ê Ø Ù ÓÒ t Ò ÙÒ Ø Ó Ö Ø Ù ÝÖ ÓÒ R n Ò ÝÐÐ xy Ø ÓÒµ Ó ÓÙ Óº Ñ Ö º º ËÝ Ø Ñ Ò { x = x+xy y = x x y Ö Ø Ù ÝÖØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ò dy dx = x x y x+xy = x y +, Ð y +y = x +C. ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø Ô Ø Ò (, ) ÝÑÔݹ Ö Øº Ì ØÚ Ô ÖÖ ÓÙ ÓØ X +, X, Y +, Y Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ø ÙØ Ò Ø ÝÑÔÝÖ Ø Ô Ø Ò ÙÐ Ú Øº ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø Øµº Ì ØÚ º º ÆÝØ ØØ Ô ØÓ Ð Ñ Ö ÐÐ ½º ÓÒ ÐÙ p >, s > Ý Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÓÒ Ø Ð º Î ÒÝØ Ý ØÐ dp ds = dp/dt ds/dt = cp+dsp as bsp = ds c s p a bp ÓÒ Ô ÖÓ ØÙÚ sp Ø Ó Ò Ö Ø Ù ÝÖØ alnp bp = clns+ds+c, ÓØ ÓÚ Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ÝÑÔÖ ÙÐ Ú ÙÐ ØØÙ ÝÖ º Ì ØÚ º º Å Ø ÝÖ Ô Ø Ò Ý Ø Ñ Ò µ x = αx, y = βy, µ x = x y, y = 4x y, Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø º º È Ö Ó Ø Ö Ø Ùغ Ì Ø Ö Ø Ð ÑÑ ÐÙ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ô Ö Ó Ö Ø Ù ØÓ Ò ÒÓ Ò ÐÐ ÓØ Ô Ð Ú Ø Ð ÙÔ Ø Ò º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö¹ Ú Ñ ÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ÐÙÖ Ý Ø Ñ Ò Ð ÐÐ Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÔÝ Ö ÚØ Ö Ø¹ Ùغ
44 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÂÓ Ý Ø Ñ Ò x = f(x) Ô Ø Ø x Ð Ø Ú Ö Ø Ù ØÙÐ ÙÙ Ø Ò x Ò Ò τ ÙÐÙØØÙ Ð Ó φ τ (x ) = x, Ò Ò ØÖ ØÓÖ Γ = { φ t (x ) t [,τ] } ÑÙÓ Ó Ø ÙÐ ØÙÒ ÝÖÒ R n º ÌÐÐ Ò φ τ (x) = x ÐÐ x Γ, ÐÐ Ó x = φ t (x ), Ò Ò φ τ (x) = φ τ (φ t (x )) = φ t (φ τ (x )) = φ t (x ) = x. ÌÓ Ò ÒÓ Ò φ t+τ (x) = φ t (x) ÐÐ t R, x Γ. ÌÐÐ Ø Ö Ø Ù ÙØ ÙØ Ò τ Ô Ö Ó º ÃÙØ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÑÝ Ô Ö Ó Ø Ö Ø ÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ø Ð Ô Ø Ð Ø ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ò ÑÙ Ò Ñ Ø Ò Ú Ø Ú Ò ØÖ ØÓÖ Ò Γ Ð ÐØ Ð Ú Ø Ö Ø ÙØ ÝØØÝØÝÚØ ÔÝ ÝÚØ Ò Ð ÐÐ ÓÙØÙÚ Ø Ó Ò Ù Ø Ð ØÝÚØ Ò Γ º ÑÑ ÖÝ Ý Ò Ø Ø Ø Ö ÑÑ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÒ Ú Ò ÐÙÓØ ÑÑ ÒØÙ Ø ÓÓÒ Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ñ Ö º Ñ Ö º º ÇÐ ÓÓÒ Ý Ø Ñ x = f(x) ÒÝØ x = ( x x )x +4x x = 4x +( x x )x. 4 ÌÐÐ ÓÖ Ó ÓÒ Ô Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø f x () =, ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ 4, = ±4i. Ö Ø ØÒ ÒÙÑ Ö Ø Ö Ø Ù Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ Ó Ø ÖÖÓØ Ò ÐÙÚÙ µº ÃÙÚ Ø Ò Ò ØØ ÓÖ ÓÒ Ð ÐÐ x Ú Ù Ò Ô Ò Ò º Ä Ø Ò Ó x (t) = f(x(t)), Ò Ò d dt x(t) = x x +x x = = [( x x )x +4x x 4x x +( x x )x ] = = x(t) ( x(t) ). ÌÓ Ò ÒÓ Ò g(t) = x(t) ØÓØ ÙØØ g (t) = g(t)( g(t)). x x Ì Ø Ò Ò Ø ØØ g = ÓÒ ØÑÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø ÐÐ d (g( g)) dg g= = < µº Ð ÙÔ Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ñ Ö Ø ØØ Ó x() =, Ò Ò x(t) = ÐÐ t Ó x(), Ò Ò x(t), ÙÒ t. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ò Ò ØØ [ cos4t sin4t ] ÓÒ Ö Ö Ø Ù ÓØ Ú Ø Ú ØÖ ØÓÖ ÓÒ Ý ÝÑÔÝÖº ÌÑ ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð ÐÐ Ð ÐØ Ð Ú Ø Ö Ø ÙØ Ð ØÝÚØ Øº ÌÖ ØÓÖ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ö Ø Ù ÝÖÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ô Ø ÓÙ Ó R n º
45 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º ÆÙÑ Ö Ø Å Ò Ø ÐÑØ º½º ÁÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ º Í Ò ÙÒ Ø Ó Ø ØÙÒÒ Ø Ò Ø ÒÒ ØØ Ð ÖÚÓ Ú Ò ÖÚ Ô Ø ÓÙ Ó º ÃÙ Ø Ò Ò Ñ Ö Ö ÚÓ ÒØ Ø ÒØ ÖÓ ÒØ Ú ÖØ Ò ÐÙØ Ò ÔÔÖÓ ¹ ÑÓ ØØ ÙÒ Ø ÓØ Ð ÑÑ ÓÙ Ó º ÌÐÐ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó ÓÒ Ø Úº Ò ÖØ Ò Ø Ô ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ º ÇÐ ÓÓÒ ÒÒ ØØÙ Ö ÐÐ Ø Ô Ø Ø x,x,...,x n R Ø C µ ÙÒ Ø Ó f º Ø Ø Ò Ø ¹ ØÚ Ø n Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ò ØØ p n (x i ) = f(x i ), i =,...,nº p n (x) = a +a x+ +a n x n +a n x n Ä Ù º½º ÌÐÐ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ ØÚÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ùº ÌÓ º ÃÙÚ Ù V : (a,a,...,a n ) ( p n (x ),p n (x ),...,p n (x n ) ) ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò R n+ [ R n+ a ] f(x ) º ÇÒ Ö Ø Ø Ú Ý ØÐ ÖÝ Ñ Va = f Ñ a =. f =. º a n f(x n) ØØ Ò Ö Ø ÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓÐÐ Ö ØØ ÒÝØØ ØØ V ÓÒ Ò Ø Óº ÇÐ ÓÓÒ a Ø Ò ØØ Va = p n (x) = n i= a ix i º ÌÐÐ Ò p n ÐÐ ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø x,x,...,x n ÑÙØØ p n ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò n Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÓØ Ò ÐÐ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò n ÒÓÐÐ Ó Ø ÐÐ Ú ÐÐ º Ë Ô p n = a = ÓØ Ò V ÓÒ Ò Ø Ó Ø Ò ÑÝ ÒÚ ÖØÓ ØÙÚ º ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÙÚ Ù Ò V ÚÐ ØØ Ò Î Ò ÖÑÓÒ Ò Ñ ØÖ x x... x n x x... x n V = x x... x n º º º º. x n x n... x n n Ë ÓÒ ÒÚ ÖØÓ ØÙÚ ÙÒ x i x j, i j º Ì ØÚ º½º ÆÝØ ØØ det(v ) = i<j n (x j x i ) º ÃÙÒ ÙÒ Ø ÓØ ÔÔÖÓ ÑÓ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ÓÒ ØÖ ÖÚ Ó Ù Ò ÙÙÖ Ú Ö Øй Ð Ò Ø Òº ÌÐÐ Ò Ö ÙÖ Ú ÐÐ Ð Ù ÐÐ º Ä Ù º¾º ÇÐ ÓÓÒ f C n+ ÓÐ ÓÓØ Ô Ø Ø x i Ú Ú Ö ØÝ ÚÐ ÐÐ [x,x n ] R º ÌÐÐ Ò ÐÐ x [x,x n ] ÔØ f(x) p n (x) = f(n+) (ξ) n (x x i ), Ñ ξ [x,x n ] º (n+)! i=
46 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÌÓ º ÂÓ x = x j ÓÐÐ Ò j Ò Ò f(x) = p n (x) Ý ØÐ ÓÒ ØÖ Ú Ð Ø ÚÓ Ñ º ÇÐ ÓÓÒ x {x,...,x n } º Ø Ø Ò w(s) = n i= (s x i) g(s) = f(s) p n (s) f(x) p n(x) w(x) w(s), ÓÐÐÓ Ò g C n+ º ÆÝØ g ÐÐ ÓÒ n + ÒÓÐÐ Ó Ø s {x,x,x,...,x n } º ÊÓÐÐ Ò Ð Ù ÒÓÓ ØØ g Ò Ò ÒÓÐÐ Ó Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ò g Ò ÒÓÐÐ Ó Ø º ÌØ Ò g ÐÐ ÓÒ Ò Òµ n + Ö ÙÙÖØ ÒÓÐÐ Ó Ø º Ë ÑÓ Ò g ÐÐ ÓÒ n ÒÓÐÐ Ó Ø º Æ Ò Ø Ò Ò g (n+) ÐÐ ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø ξ [x,x n ] º ÃÓ p n ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò n Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ w (n+) = (n+)! Ò Ð f(x) p n (x) = w(x) (n+)! f(n+) (ξ). g (n+) (ξ) = f (n+) (ξ) f(x) p n(x) w(x) (n+)! = ÐÐ ÓÐ Ú ÙÚ ÓÒ ÒØ ÖÔÓÐÓ ØÙ ÙÒ Ø ÓØ f(x) = e 4x ÚÐ ÐÐ [,] Ø ÚÐ Ô Ø Ø ½ ¹ Ø ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ º Æ Ò ØØ p 4 ÔÔÖÓ ÑÓ f Ó Ð Ú Ú ÒÔ ÙÙ Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ º Ñ Ö º½º ÙÒ Ø Ó Ø f(x) = sin(x) Ø ÑÑ ØØ Ô Ø {,π/6,π/4,π/3,π/} ÖÚÓØ {,,, 3,} º Ö Ø ØÒ Ò Ò ÚÙÐÐ ÖÚ Ó ÐÙ Ù sin() º Ë ÑÑ Ð ¹ ÑÖ Ò Ñ ØÖ Ò V Ú ØÓÖ Ø f a = V f V = , f = , a = Æ Ø ÑÑ p 4 () = [ ]a ÙÒ Ó sin() = º ÆÝØÑÑ Ò Ø Ú Ò Ò Ð Ñ Ð Ð ÙØ Ø Ö ÑÑ Ò Ñ ØÐ ÐÐ º
º ÃÌÇÊ ÃÍÆ Á à ÊÀ ËÁÄ Æ Ê Æ ÁÆ ÊÁÆ º½º¾ Ë ÐÐ Ë ÐÐ Ô ÖÐÙ Ò Ö ÓÖ Ò Ñ ÑÔÙ Ñ Ð Ò Ò ØÙ ¹ØÙ Ý Ò Ô ÖÐÙ Ð Ñ ÔÖÓ Ý Ò ÖÙº Ë ÐÐ Ø Ù ØÖ ÑÔ Ð Ò Ø Ö ÙØ ÑÙÒ Ò Ö Ø Ø
ÃÌÇÊ ÃÍÆ Á à ÊÀ ËÁÄ Æ Ê Æ ÁÆ ÊÁÆ Ê Ò Ò Ö Ò Ò Û Ò Ø ØÓ ÓÒ È Ø Ö ÖÙ Ö º½ ØÓÖ¹ ØÓÖ ÃÙÒ Ð Ñ È Ò Ñ Ò Ò ÈÊ ÍÒØÙ Ù ÒÝ Ù ØÙ Ù Ò ÔÖÓ Ö Ò Ò Ö Ò Èʵ Ý Ò Ô Ð Ò Ô ÒØ Ò Ù ÒÐ Ñ Ò Ø Ù ¹ Ñ Ò Ö ÒÝ Ñ Ð Ù Ò Ö Ò Ò Ö Ò Ø Ø
Lebih terperinci¾º Ì ÃÆÁÃ Ê Æ ÁÆ ÊÁÆ ½ Úº Å Ö Ò Ò Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ º Ú º Å Ò Ô Ø Ò Ô Ö ØÙ Ù Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ º Ú º Å Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ò ÔÖÓ ÖÙº Ú º Å Ð Ù Ò ØÖ Ò Ô Ò ÖÙº º ËØÖÙ ØÙÖ ÓÖ
¾ Ì ÃÆÁÃ Ê Æ ÁÆ ÊÁÆ Ì ÓÒÐÝ Û Ý Û ³Ö Ó Ò ØÓ Ð Ú Ö ÓÒ Ø ÙÐÐ ÔÖÓÑ Ó Ö Ò Ò Ö Ò ØÓ Ø ÖØ ØÓ Ö Ò Ò Ö Ò Ñ Ò Ñ ÒØ Ý Ö Ò Ò Ö Ò ÓÙÖ ÐÚ ³ Â Ñ ÑÔÝ ¾º½ Å Ò Ô È ÖÐÙ Ì Ò Ì Ò ¹Ø Ò Ø ÖØ ÒØÙ Ô ÖÐÙ Ñ Ò Ò ÙÒØÙ Ñ Ð Ù Ò Ö Ò
Lebih terperinciËÃÊÁÈËÁ ÅÇ Ä ËÁÊ Æ Æ ÁÅÁ Ê Æ Æ Î ÃËÁÆ ËÁ Ý Ò Ù ÙÒ ÓÐ Æ Æ Æ ÅÍ ÄÁÅ ÆÁź ż½¼ ¼ Ñ Ò ÓÐ È Ñ Ñ Ò Á È Ñ Ñ Ò ÁÁ Ö º ÈÙÖÒ Ñ Ï Ý Ò Ò Åº ÔԺ˺ ÆÁȺ ½ ½ ¾¼ Ö º
ÅÇ Ä ËÁÊ Æ Æ ÁÅÁ Ê Æ Æ Î ÃËÁÆ ËÁ ÓÐ Æ Æ Æ ÅÍ ÄÁÅ ÆÁź Å ¼½¼ ¼ ËÃÊÁÈËÁ ØÙÐ Ò Ù Ò ÙÒØÙ Ñ Ñ ÒÙ Ò Ô Ö Ý Ö Ø Ò Ñ ÑÔ ÖÓÐ Ð Ö Ë Ö Ò Ë Ò Å Ø Ñ Ø ÂÍÊÍË Æ Å Ì Å ÌÁà ÃÍÄÌ Ë Å Ì Å ÌÁÃ Æ ÁÄÅÍ È Æ Ì ÀÍ Æ Ä Å ÍÆÁÎ ÊËÁÌ
Lebih terperinciÙ Ò ÈÖÓ Ê Ò Ò Ö Ò ÈÖÓ º Ê Ö Ù Ó ÁÒ Ö Ø ² Ö º Ó ÓÔÖ ÒÓØÓ ¾ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼½
Ù Ò ÈÖÓ Ê Ò Ò Ö Ò ÈÖÓ º Ê Ö Ù Ó ÁÒ Ö Ø ² Ö º Ó ÓÔÖ ÒÓØÓ ¾ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼½ Ø Ö Á ½ ÃÇÆË È ÍËÁÆ ËË ÈÊÇ ËË Ê Æ ÁÆ ÊÁÆ ½º½ È Ò ÖØ Ò Ù Ò ÈÖÓ Ê Ò Ò Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Lebih terperinciÞßÞ Ì ÒÖßËßÒ ÐËÍÌßÕß. Ó»²» Ò»¹ Õ±» ¼ ² Ë Õ»½ Ó»²»²¹ øó»²»¹µ± ¼ ² ËÕÓ. «² ² ²¹ ¾ ² µ Î ïòðððòðððòðððôððò. îò Ë Ó»²»²¹ ¼»² «³ µ ¹ ²»¹ ²¼±²» ²¹
ÞßÞ Ì ÒÖßËßÒ ÐËÍÌßÕß ßò Ë Ó µ ±ô Õ»½ ô ¼ ² Ó»²»²¹ Ü»º ² ËÓÕÓ øë Ó µ ± Õ»½ Ó»²»²¹ ³»²««Õ»³»²» ² Ó»²» Ò»¹ Õ±» ¼ ² Ë Õ»½ Ó»²»²¹ øó»²»¹µ± ¼ ² ËÕÓ ïò Ë Õ»½ ¼ ² Ó µ ± ¼»² «³ µ ¹ ²»¹ ²¼±²» ²¹ ³»³ µ µ»µ ² ¾» ¼
Lebih terperinciËÃÊÁÈËÁ ÆÄÁËÁË ÄÇÄ ËÁËÌÅ ÅÆ˹ÈÅÆË ÆÆ ÊËÈÇÆ ÍÆËÁÇÆÄ ÅÁÀÄÁ˹ÅÆÌÆ ÝÒ ÔÒ Ò Ù ÙÒ ÓÐ ËÌÊÁ ÆÊËÊÁ ÆÁź ż½¼¾ ¼½ ÈÑÑÒ Á ÑÒ ÓÐ ÈÑÑÒ ÁÁ Ö º ËÙØÖÑ ÅºË ÆÁȺ ½ ¾ ¼
ÆÄÁËÁË ÄÇÄ ËÁËÌÅ ÅÆ˹ÈÅÆË ÆÆ ÊËÈÇÆ ÍÆËÁÇÆÄ ÅÁÀÄÁ˹ÅÆÌÆ ÓÐ ËÌÊÁ ÆÊËÊÁ ÆÁź ż½¼¾ ¼½ ËÃÊÁÈËÁ ØÙÐ Ò ÙÒ ÙÒØÙ ÑÑÒÙ Ò ÔÖ ÝÖØÒ ÑÑÔÖÓÐ ÐÖ ËÖÒ ËÒ ÅØÑØ ÂÍÊÍËÆ ÅÌÅÌÁà ÃÍÄÌË ÅÌÅÌÁÃ Æ ÁÄÅÍ ÈÆÌÀÍÆ ÄÅ ÍÆÁÎÊËÁÌË ËÄË ÅÊÌ
Lebih terperinciÐÎÑÜËÕÍ ÐÛÍßÒ ÜßÒ ÐÛÓÞÛÒÌËÕßÒ ÌØÛßÌÛÎ ÑÚ Ó ÒÜ ÜßÔßÓ Ú ÕÍ Ó Ò Ü ÌÉ ÌÌÛÎ
ÐÎÑÜËÕÍ ÐÛÍßÒ ÜßÒ ÐÛÓÞÛÒÌËÕßÒ ÌØÛßÌÛÎ ÑÚ Ó ÒÜ ÜßÔßÓ Ú ÕÍ Ó Ò Ü ÌÉ ÌÌÛÎ ø Í «¼ Ü» µ º Õ«º л» л²«Ú µ ³ ² ¼ ³ Ó»³ ±¼«µ Pesan yang Membentuk Ì»» ±º Ó ²¼ di Twitter ÍÕÎ ÐÍ Ü ««² Ñ» æ ÚÌßÎ ß ÒËÎ ßÎ ÛÍÌß Üðîðèðéî
Lebih terperinciÒ ÐÐ ÑÑÖÒØÒ ÒÒ ÑÒØÒ Ö ÒÒ¹ÆÝ Ò Ñ¹ ÒÝÙÒÒÝ Ö Ò ÔÖÑÒÒ ÝÒ ÑÐÐÒ Ò ÙÔÒ ÖØ ÔÖÙ¹ ØÒ ÝÒ Ø ÔÒØ º ËÑÒ ØÒ ÓÐ Ð Ò ÌÐ Ö ÁÒÙ ØÒØÒ ÝØ Ò Ë ÙÒÙÒݵ ÐÐ ÑÐÖÒ ÔÖÙØÒ ÝÒ ÑÐÐÒ
ÓÛÒÐÓ Ö ØØÔ»»ÛÛÛºÚØÙÐкÓÖº» Adab-Adab Masjid ½ ÂÒÙÖ ¾¼¼ ÙÑ ÑÙ ÐÑÒ Ñ ÑÖÙÔÒ ØÑÔØ ÑÙÐ ÝÒ Ö Ö Ð ÝÒ ÑÒÑÖÒÝ ÑÒÛ ØÙÔÙÒ ÐÖº Å Ù ÑÑÐ ÒйÒÐ Ù¹ Ù ÓÖÒ¹ÓÖÒ ÖÑÒ ØÑÔØ ÔÒÙÒÒ ÒѹÒÑ ÐÐ ÝÖ³Ø ÐÐ ØÒ ØÑÔØ ÖÙÙÒÒ ÐÒ ÙÒ ÒÒ ËÒ
Lebih terperincißÒßÔ Í Í ÍÌÎËÕÌËÎßÔ ÜßÒ Ò Ôß ÐÛÒÜ Ü ÕßÒ ÒÑÊÛÔ ç ÍËÓÓÛÎÍ ïð ßËÌËÓÒÍ ÜßÎ ÕÑÌß ßÐÛÔ ÕÛ ÌØÛ Þ Ù ßÐÐÛÔ ÕßÎÇß ÉßÒ ÍÛÌÇßÉßÒ
ßÒßÔ Í Í ÍÌÎËÕÌËÎßÔ ÜßÒ Ò Ôß ÐÛÒÜ Ü ÕßÒ ÒÑÊÛÔ ç ÍËÓÓÛÎÍ ïð ßËÌËÓÒÍ ÜßÎ ÕÑÌß ßÐÛÔ ÕÛ ÌØÛ Þ Ù ßÐÐÛÔ ÕßÎÇß ÉßÒ ÍÛÌÇßÉßÒ Ñ» æ ÎßÌÒß ÕËÍËÓßÉßÌ Õïîðèðíè ÍÕÎ ÐÍ ÚßÕËÔÌßÍ ÕÛÙËÎËßÒ ÜßÒ ÔÓË ÐÛÒÜ Ü ÕßÒ ËÒ ÊÛÎÍ ÌßÍ
Lebih terperincimenetapkan olahraga perlu makin ani bagi setiap anggota masyarakat, nasional yaitu memasyarakatkan masyarakat. Tak hanya itu saja
! " # $ $ %! & '! ( ) ) ' * % ) ' # + )! )! ' ),! &! ) % ( - ( " ( # + & ( )! &! ) %. % & ' (! # ' ) + #! ) ' $ ) ( / * * * 0 1 ) ' ( ( ) ( +! +! ' ( % $ ) ( & + / $ & 0 2 3 4 5 6 4 7 8 9 4 5 : ; 4 < =
Lebih terperinciKarena v merupakan vektor bukan nol, maka A Iλ = 0. Dengan kata lain, Persamaan (2.2) dapat dipenuhi jika dan hanya jika,
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema dari nilai eigen, vektor eigen, dan diagonalisasi, sistem persamaan differensial, model predator prey lotka-voltera,
Lebih terperincicommit to user ÞßÞ ÓÛÌÑÜÛ ÐÛÒÛÔ Ì ßÒ
ÞßÞ ÓÛÌÑÜÛ ÐÛÒÛÔ Ì ßÒ ßò Ì»³ ¼ ² É µ «Ð»²» ² ïò Ì»³ л²» ² л²» ² ¼ µ«µ ² ¼ ³ ²¹µ»² ««² ² µ ²¹ ¾» «¼«Î»ª± «ÐÕ ¼ Ó ¼ «², dilaksanakan dengan cara «¼» «¼» «µ ²ó» «µ ² ³ ««² ¾«µ«ó¾«µ«µ±»µ ¾ ¼ ¼ ² «¼ ±¾» ª
Lebih terperinciÑÙÒ ÑÒÙÐ Ö ÌÖ Ð ³ Á»½¾¼ Ò Ã Ý Ð ÙÑÑ ËݳÖÒ ¾»½ Û Ø Ò ÑÒÒÐ ÑÒÙÔÒ Ýغ Ò ÙÐ ÅÙØÐ ÖØ Ñ ÐÐ Û Ò ÙÖÙ ØÐ ÑÒÙÔÒ ÐÑØ ÝÒ ÒÙ ÔÖÒØÒ ÙÒØÙ ÙÔÒ Ò Ê ÙÐÙÐÐ Ö ËÐ ÝÙÙÖ ÝÒ
ÓÛÒÐÓ Ö ØØÔ»»ÚØÙÐкÓÖº Á ÐÑ Ù ÌÐ Ù ÆÙ³Ñ Ð Ø Ö ¾ Å ¾¼¼ ½ ÈÒÙÐÙÒµ ÌÖÑ Ù Õ Ëݳ Ð ÑÒÒØ ÐÙÐ Ø ÑÒÙÖÙØ ÖØÖ ÑÖ ÛÐÙÔÙÒ ÐÛØ Ø Ò ÑÒÓÐ Ø ÝÒ ÖÛÝØÒ ÐÒÒ ÐÙ ËÙÒÒº ÅÙѹ Ñ ÀÙ Ò Ð Ã Ý Ø³ ÙÐÑ Ý³ Ñ Ò ÖØ Ë ÙÒÙÒÝ Ëݳ Ø ÑÒÙ ÙÒÒ
Lebih terperinciÜ ³ л³¾» ² Ó»¼ Ó. øß² É ½ ² л³¾» ² Õ»µ» ² Ñ ³ ³ ÚÐ. ¼ Í«Õ ¾ Ø ² Ö Ð±» ±¼» Ú»¾ «îðïî ÍÕÎ ÐÍ. ˲ «µ ³»³»²¾ ¹ ²» ² ³»²½ ¹» Í ² ³«Õ±³«² µ
Ñ ³ ³ Ü ³ л³¾» ² Ó»¼ Ó øß² É ½ ² л³¾» ² Õ»µ» ² Ñ ³ ³ ÚÐ ¼ Í«Õ ¾ Ø ² Ö Ð±» ±¼» Ú»¾ «îðïî ÍÕÎ ÐÍ Ë² «µ ³»³»²¾ ¹ ²» ² ³»²½ ¹» Í ² ³«Õ±³«² µ Ð ¼ Ú µ«³«í± ¼ ² ³«Ð± µ Ö««² ³«Õ±³«² µ Ü ««² ±» æ ß³ Î ½ ³ Üïîïðððê
Lebih terperinciUSAHA KONVEKSI PAKAIAN JADI
P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L S Y A R I A H ( P P U K -S Y A R I A H ) U S A H A K O N V E K S I P A K A I A N J A D I P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L S Y A R I A H (
Lebih terperinciBab III Respon Sinusoidal
Bab III Respon Sinusoidal Sinyal sinusiodal digunakan sebagai input ui terhadap kinera sistem, misal untuk mengetahui respon frekuensi, distorsi harmonik dan distorsi intermodulasi... Bentuk Amplituda-fasa
Lebih terperinciMENINGKATKAN HASIL BELAJAR TENDANGAN DEPAN DALAM
MENINGKATKAN HASIL BELAJAR TENDANGAN DEPAN DALAM PENCAK SILAT MELALUI PENGGUNAAN ALAT BANTU PEMBELAJARAN PADA SISWA KELAS VII A SMP MUHAMMADIYAH 2 MASARAN SRAGEN TAHUN PELAJARAN 2011/2012 SKRIPSI OLEH
Lebih terperinciKalkulus Variasi. Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB.
Kalkulus Variasi Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 214 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 214 1
Lebih terperinciHANDOUT PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PDB 4)SKS. DOSEN Efendi, M.Si. BUKU)REFERENSI: )Persamaan )Diferensial)oleh)Dr.St. Budi Waluya, M.
HANDOUT PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PDB 4)SKS DOSEN Efendi, M.Si BUKU)REFERENSI: )Persamaan )Diferensial)oleh)Dr.St. Budi Waluya, M.Si Daftar Isi 1 Pengantar Persamaan Diferensial 1 1.1 Pendahuluan...............................
Lebih terperinciKalkulus Variasi. Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB
Kalkulus Variasi Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum
Lebih terperinciCONTOH SOAL MATEMATIKA SMP SATU ATAP: 1. Hasil dari (3 + (-4)) (5 + 3) adalah... A. 8 B. -7 C. -8 D Hasil dari adalah... A.
CONTOH SOAL MATEMATIKA SMP SATU ATAP: 1. Hasil dari (3 + (-4)) (5 + 3) adalah... A. 8 B. -7 C. -8 D. -15 2. Hasil dari 12+13-14 adalah... A. 320 B. 512 C. 712 D. 1 E. 3. Ibu membeli 24 permen yang akan
Lebih terperinciÍÌÎßÌÛÙ ÐÛÓßÍßÎßÒ ÖßÍß ÐßÜß ÝÊò ÍÑÔÑ ßÒÙÕßÍß ËÌßÓß ÒÛÌÉÑÎÕ ÍËÎßÕßÎÌß ÌËÙßÍ ßÕØ Î. Ñ» æ Í Ì ßÎÇßÒ ßÒÌ ÕßÍßÎ Üïëðçðèî
ÍÌÎßÌÛÙ ÐÛÓßÍßÎßÒ ÖßÍß ÐßÜß ÝÊò ÍÑÔÑ ßÒÙÕßÍß ËÌßÓß ÒÛÌÉÑÎÕ ÍËÎßÕßÎÌß ÌËÙßÍ ßÕØ Î Ü «µ ² ˲ «µ Ó»³»²«Í»¾ ¹ ² л ² Ü ³ Ó»³» ±» Í»¾«² ʱµ ß Ó ¼ øßòó¼ò Ü ³ Þ ¼ ²¹ Ó ²»³»² ß¼³ ² Ñ» æ Í Ì ßÎÇßÒ ßÒÌ ÕßÍßÎ Üïëðçðèî
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Fungsi Implisit dan Fungsi Implisit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Fungsi Implisit Ingat kembali aturan rantai pada fungsi satu peubah! Jika y = f (x(t)), di mana baik f maupun t
Lebih terperinciMasalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas
Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Slide II Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB February 2012 TBK (IPB) Kalkulus Variasi February 2012 1 / 37 Masalah Brachystochrone
Lebih terperinciTINJAUAN SINGKAT KALKULUS
A TINJAUAN SINGKAT KALKULUS Salah satu syarat yang diperlukan untuk mempelajari komputasi numerik adalah pengetahuan dasar tentang kalkulus, termasuk pengenalan beberapa notasi dalam kalkulus, sifat-sifat
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
7 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa poin tentang sistem dinamik, kestabilan sistem dinamik, serta konsep bifurkasi. A. Sistem Dinamik Secara umum Sistem dinamik didefinisikan
Lebih terperinciLAMPIRAN I. Alfabet Yunani
LAMPIRAN I Alfabet Yunani Alha Α Nu Ν Beta Β Xi Ξ Gamma Γ Omicron Ο Delta Δ Pi Π Esilon Ε Rho Ρ Zeta Ζ Sigma Σ Eta Η Tau Τ Theta Θ Usilon Υ Iota Ι hi Φ, Kaa Κ Chi Χ Lambda Λ Psi Ψ Mu Μ Omega Ω LAMPIRAN
Lebih terperinciSoal Ujian 2 Persamaan Differensial Parsial
Soal Uian 2 Persamaan Differensial Parsial M. Jamhuri April 15, 2013 1 Buktikan bahwa ux,t) = πˆ 1 x e θ2 dθ merupakan solusi persamaan difusi u t = u xx untuk setiap x R,t > 0. Untuk x 0 tunukkan bahwa
Lebih terperinciÞßÞ ÍßÖ ßÒ ÜßÒ ßÒßÔ Í Í ÜßÌß. ± ¹ ² ²¹ ¼ µ«µ ² ±» ß ÛÍÛÝ ÔÝ ËÒÍ»¾ ¹»¾«± ¹ ². µ±³«² µ ± ¹ ²»»¾«ò л³ ²»²» ² ² ³» «µ ²
ÞßÞ ÍßÖ ßÒ ÜßÒ ßÒßÔ Í Í ÜßÌß Ð ¼ ¾ ¾ ²»²» µ ² ³»² µ ²»²» ² ³»²¹»² µ±³«² µ ± ¹ ² ²¹ ¼ µ«µ ² ±» ß ÛÍÛÝ ÔÝ ËÒÍ»¾ ¹»¾«± ¹ ² ³ ²» ² ±²» º µµ ± óº µ ± µ ²¹ ³»³¾»² «µ ±» µ±³«² µ ± ¹ ²»»¾«ò л³ ²»²» ² ² ³» «µ
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. keadaan dari suatu sistem. Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan
BAB I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Masalah Sistem kontrol merupakan suatu alat untuk mengendalikan dan mengatur keadaan dari suatu sistem Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan atau sasaran
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa
Lebih terperinciØ ÐÛÎÔÑÕßÔ ÌßÍ ÓÌß ÚÓ ÐßÍÝß ÎßÜ Ñ ÍÌÎÛßÓ ÒÙ
Ø ÐÛÎÔÑÕßÔ ÌßÍ ÓÌß ÚÓ ÐßÍÝß ÎßÜ Ñ ÍÌÎÛßÓ ÒÙ ø Í «¼ Ü» µ º Õ«º Ó»²¹»² л²» ² Ð ² Ø» ±µ Ð ½ л «¾ ² Î ¼ ± Õ±²ª»² ±² Ó»² ¼ Î ¼ ± Í» ³ ²¹ ¼ Î ¼ ± Õ±³«² ÓÌß ÚÓ ±» æ ÖËÔ ß ÒËÎ ÎÑÝØÓßØ Ü ðîðéðêì ÍÕÎ ÐÍ Ü «µ ²
Lebih terperinci0,8 9 0,9 4 1,2 4 7,1 6 %
P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) E M P I N G M E L I N J O P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) E M P I N G M E L I N J O B A N K I N D O N E S I A K A
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya
BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya untuk pemodelan yang membutuhkan solusi dari sebuah permasalahan. Pemodelan matematika
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. representasi pemodelan matematika disebut sebagai model matematika. Interpretasi Solusi. Bandingkan Data
A. Model Matematika BAB II KAJIAN TEORI Pemodelan matematika adalah proses representasi dan penjelasan dari permasalahan dunia real yang dinyatakan dalam pernyataan matematika (Widowati dan Sutimin, 2007:
Lebih terperinciBAB 2 KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI. Dalam beberapa tahun terakhir, model graph secara statistik telah diaplikasikan
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI Dalam beberapa tahun terakhir, model graph secara statistik telah diaplikasikan dengan baik pada aplikasi pengenalan suara, pengolahan citra (Willsky, 2002 dan Choi
Lebih terperinciFourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Fourier Analysis & Its Applications in PDEs Hendra Gunawan http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/ Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA WIDE 2010 5-6 August
Lebih terperinciKontrol Optimum. Syarat Transversalitas, Current-valued Hamiltonian. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014
Kontrol Optimum Syarat Transversalitas, Current-valued Hamiltonian Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 37 Outline Syarat
Lebih terperinciPersamaan Difusi. Penurunan, Solusi Analitik, Solusi Numerik (Beda Hingga, RBF) M. Jamhuri. April 7, UIN Malang. M. Jamhuri Persamaan Difusi
Persamaan Difusi Penurunan, Solusi Analitik, Solusi Numerik (Beda Hingga, RBF) M Jamhuri UIN Malang April 7, 2013 Penurunan Persamaan Difusi Misalkan u(x, t) menyatakan konsentrasi dari zat pada posisi
Lebih terperinciPrestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 015 CALON TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 016 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Disusun oleh : 1. 015 = 5 13 31 Banyaknya faktor
Lebih terperinciPENGARUH INTERVAL TRAINING DAN CIRCUIT TRAINING TERHADAP PENINGKATAN DAYA TAHAN AEROBIK SKRIPSI. Oleh: NURUL KHOTIMAH K
PENGARUH INTERVAL TRAINING DAN CIRCUIT TRAINING TERHADAP PENINGKATAN DAYA TAHAN AEROBIK SKRIPSI Oleh: NURUL KHOTIMAH K5608066 FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2011
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 2: Sifat-Sifat Estimator Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Statistik Cukup Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi data yang akan kita teliti Informasi dalam sampel
Lebih terperinciPerencanaan Struktur Tangga
4.1 PERENCANAAN STRUKTUR TANGGA Skema Perencanaaan Struktur Tangga Perencanaan Struktur Tangga 5Pembebanan Tangga START Dimensi Tangga Rencanakan fc, fy, Ø tulangan Penentuan Tebal Pelat Tangga dan Bordes
Lebih terperinciTEOREMA TITIK TETAP BANACH
TEOREMA TITIK TETAP BANACH Esih Sukaesih Abstrak Ruang Banach menjamin setiap barisan akan konvergen ke vektor di ruang tersebut. Barisan iterasi yang kontraktif menjamin bahwa barisan tersebut akan konvergen
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau
Lebih terperinciProgram Kerja TFPPED KBI Semarang 1
U P A Y A M E N G G E R A K K A N P E R E K O N O M I A N D A E R A H M E L A L U I F A S I L I T A S I P E R C E P A T A N P E M B E R D A Y A A N E K O N O M I D A E R A H ( F P P E D ) S E K T O R P
Lebih terperincilog2 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT = = 2 1 = 27 8 = 19 Jawaban : C = = = 2( 15 10) Jawaban : B . 4. log3 1 2 (1) .
TRY OUT AKBAR UN SMA 08 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT. 9 6 4 8 7 Jawaban : C 4 4 = = = 7 8 4 = 9. 5 + = 0 5 = 0 5 = 5 0 = ( 5 0). log5 5 log8 log6 4 log log4 = log5 5 4 log log log6 log4 =. log5 5. 4. log log
Lebih terperinciData Survey Kendaraan Yang Keluar Areal Parkir
LAMPIRAN E.2-1 Data Survey Kendaraan Yang Keluar Areal Parkir Lokasi Survey : Areal Parkir Bagian Depan Jenis Kendaraan : Sepeda Motor Hari/Tanggal : Senin, 10 Juli 2006 Surveyor : Heri Plat Kendaraan
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Pengantar a Matematika II - Estimator Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia April 17, 2017 atinaahdika.com Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi
Lebih terperinciDIFERENSIAL TOTAL. 1 Kalkulus Lanjut Blog: aswhat.wordpress.com. dz dx dy x y dx x y dy. dz , ,04 0,65
DIFERENSIAL TOTAL 1. Pendahuluan Ingat kembali konsep diferensial pada fungsi satu variabel y = f(x). suatu diferensial dx terhadap variabel bebas didefinisikan sebagai: dy = f (x) dx selanjutnya, misalkan
Lebih terperinciPengenalan Copula. Sapto Wahyu Indratno
Pengenalan Copula Sapto Wahyu Indratno STATISTICS DISIVISION, FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCI- ENCES, INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG E-mail address: sapto@math.itb.ac.id Daftar Isi Bagian 1. Copula
Lebih terperinci6 S u k u B u n g a 1 5 % 16,57 % 4,84 tahun PENGOLAHAN IKAN BERBASIS FISH JELLY PRODUCT
P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) P E N G O L A H A N I K A N B E R B A S I S F I S H J E L L Y P R O D U C T ( O T A K -O T A K d a n K A K I N A G A ) P O L A P E M B I A Y
Lebih terperincihtt://meetabied.wordress.com SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel Urusan kita dalam kehiduan bukanlah untuk melamaui orang lain, tetai untuk melamaui diri sendiri, untuk memecahkan rekor kita sendiri,
Lebih terperinciPENURUNAN FUNGSI SECARA NUMERIK
6 PENURUNAN FUNGSI SECARA NUMERIK Èada bab ini kita membicarakan metode numerik untuk menaksir nilai turunan suatu fungsi. Suatu fungsi, baik diketahui rumusnya secara eksplisit maupun dalam bentuk data
Lebih terperinciperpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :
1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan
Lebih terperinciBab 2 TEORI DASAR. 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal
Bab 2 TEORI DASAR 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal Persamaan air dangkal merupakan persamaan untuk gelombang permukaan air yang dipengaruhi oleh kedalaman air tersebut. Kedalaman air dapat dikatakan
Lebih terperinciCatatan Kuliah Aljabar Linier. Abstrak
Catatan Kuliah Aljabar Linier Subiono subiono3@telkom.net 4 Agustus 9 Page of 3 Abstrak Dalam catatan kuliah ini diberikan beberapa materi dari mata kuliah Aljabar Linier untuk program Sarjana (S) jurusan
Lebih terperinciKuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti
Kuliah 3: TURUNAN Indah Yanti Turunan Parsial DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Untuk setiap x = (x 1,..., x n ) A dan setiap j = 1,..., n limit f x j x 1,, x n f x 1,,
Lebih terperinciSMAN Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel Dan bahwa setiap pengalaman mestilah dimasukkan ke dalam kehidupan, guna memperkaya kehidupan itu sendiri. Karena tiada kata akhir untuk belajar seperti juga tiada kata
Lebih terperinciTeori Relativitas. Mirza Satriawan. December 7, Fluida Ideal dalam Relativitas Khusus. M. Satriawan Teori Relativitas
Teori Relativitas Mirza Satriawan December 7, 2010 Fluida Ideal dalam Relativitas Khusus Quiz 1 Tuliskan perumusan kelestarian jumlah partikel dengan memakai vektor-4 fluks jumlah partikel. 2 Tuliskan
Lebih terperinciDAFTAR NOTASI. xxvii. A cp
A cp Ag An Atp Al Ao Aoh As As At Av b bo bw C C m Cc Cs d DAFTAR NOTASI = Luas yang dibatasi oleh keliling luar penampang beton, mm² = Luas bruto penampang (mm²) = Luas bersih penampang (mm²) = Luas penampang
Lebih terperinci16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5.
6. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. dx = x + c. a dx = a dx = ax + c. x n dx = n+ x n+ + c. sin ax dx = a cos ax + c 5. cos ax dx = a sin ax + c 6. sec ax dx = a tan ax + c 7. [ f(x) ± g(x) ] dx = f(x)
Lebih terperinci5 S u k u B u n g a 1 5 %
P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) U S A H A A B O N I K A N P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) U S A H A A B O N I K A N B A N K I N D O N E S I A K A
Lebih terperinci1, 1 PENANGKAPAN IKAN DENGAN PURSE SEINE
P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) P E N A N G K A P A N I K A N D E N G A N P U R S E S E I N E P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) P E N A N G K A P A
Lebih terperinci= = =
= + + + = + + + = + +.. + + + + + + + + = + + + + ( ) + ( ) + + = + + + = + = 1,2,, = + + + + = + + + =, + + = 1,, ; = 1,, =, + = 1,, ; = 1,, = 0 0 0 0 0 0 0...... 0 0 0, =, + + + = 0 0 0 0 0 0 0 0 0....
Lebih terperinciBAB VI KESIMPULAN DAN SARAN
59 BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN 6.1. Kesimpulan Berdasarkan hasil data survai dan analisis yang dilakukan pada lahan parkir Rumah Sakit Umum Daerah RAA Soewondo Pati selama 3 hari dapat diambil kesimpulan
Lebih terperincißÒßÔ Í Í Í ÝÇÞÛÎ ÜßÕÉßØ ÜßÔßÓ ÉÛÞÍ ÌÛ ßØÓßÜ ÇÇßØòÑÎò Ü ÐßÜß ÞËÔßÒ ßÐÎ Ô îðïï
ßÒßÔ Í Í Í ÝÇÞÛÎ ÜßÕÉßØ ÜßÔßÓ ÉÛÞÍ ÌÛ ßØÓßÜ ÇÇßØòÑÎò Ü ÐßÜß ÞËÔßÒ ßÐÎ Ô îðïï Ü «µ ² ˲ «µ Ó»»²¹µ Ì«¹ ó «¹ ¼ ² Ó»³»²«Ð» ² Ù«² Ó»²½ Ù» Í ² ³«Í± ¼ ² ³«Ð± µ ˲ ª» Í»¾» Ó» Í«µ Ñ» æ Ü»² ß ² Üïîðçðîí ÖËÎËÍßÒ
Lebih terperinciEKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH
EKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH Nur Aeni Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM nuraeniayatullah@gmailcom Info: Jurnal MSA Vol 3 No 1 Edisi: Januari
Lebih terperincim 2 BUDIDAYA PEMBESARAN IKAN LELE
P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) B U D I D A Y A P E M B E S A R A N I K A N L E L E P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) B U D I D A Y A P E M B E S A
Lebih terperinciBAB PDB Linier Order Satu
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB PDB Linier Order Satu BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua Untuk memulai pembahasan ini terlebih dahulu akan ditinjau beberapa teorema tentang konsep umum
Lebih terperinci1 0 0 m 2 BUDIDAYA PEMBESARAN IKAN NILA
P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) B U D I D A Y A P E M B E S A R A N I K A N N I L A P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) B U D I D A Y A P E M B E S A
Lebih terperinciSTK 203 TEORI STATISTIKA I
STK 203 TEORI STATISTIKA I III. PEUBAH ACAK KONTINU III. Peubah Acak Kontinu 1 PEUBAH ACAK KONTINU Ingat definisi peubah acak! Definisi : Peubah acak Y adalah suatu fungsi yang memetakan seluruh anggota
Lebih terperinciTeori Bifurkasi (3 SKS)
Teori Bifurkasi (3 SKS) Department of Mathematics Faculty of Mathematics and Natural Sciences Gadjah Mada University E-mail : f_adikusumo@gadjahmada.edu Sistem Dinamik PENGERTIAN UMUM : - Formalisasi matematika
Lebih terperinciT e b l 1. 2 Ba d Me
J SAT I Te Teooo Ju I S Le ee Uve u J u Teooo III( : 3 I S SN : 87 8 Mooo S Ke A Vu Deu e F e H C o B/ Au Sw B u Zu L S L oou Teoo B A Me J uu Te K Uve u Ku B w J H Su K eu 893 E : u@u A e o we o o oe
Lebih terperinciWardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)
Lebih terperinciUSAHA PEMBUATAN GULA AREN
P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) G U L A A R E N ( G u l a S e m u t d a n C e t a k ) P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) G U L A A R E N ( G u l a S
Lebih terperinciSISTEM HUKUM KEKEKALAN LINEAR
Bab 3 SISTEM HUKUM KEKEKALAN LINEAR 3.1 Sistem Linear Hiperbolik Sistem linear dalam pengertian Tugas Akhir ini adalah suatu sistem hukum kekekalan dengan bentuk umum, t u + d A α (t) xα u = 0 (3.1.1)
Lebih terperinciBab 1 Besaran Fisika dan Satuannya
Bab 1 Besaran Fisika dan Satuannya Ayo Uji Pemahaman Anda 1. (13,35 ± 0,05) cm. (a) (1,670 ± 0,005) cm (b) (6,30 ± 0,005) cm 3. (a) 6,5 + 43 0,01 = (6,930 ± 0,005) mm (b) 4,0 + 11 0,01 = (4,110 ± 0,005)
Lebih terperinciDASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT
DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor kompleks V disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi (.,.) : V V C sehingga untuk setiap x, y, z
Lebih terperinciKeep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1
VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor
Lebih terperinciUSAHA PENANGKAPAN IKAN PELAGIS DENGAN ALAT TANGKAP GILLNET
P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L ( P P U K ) P E N A N G K A P A N I K A N P E L A G I S D E N G A N A L A T T A N G K A P G I L L N E T P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L (
Lebih terperinci1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1
Daftar Isi 1 Mengapa Perlu Belajar Geometri 1 1.1 Daftar Pustaka.................................... 1 2 Ruang Euclid 3 2.1 Geometri Euclid.................................... 8 2.2 Pencerminan dan Transformasi
Lebih terperinciDIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Lebih terperinciFORMULA PENGGANTI METODE KOEFISIEN TAK TENTU ABSTRACT
FORMULA PENGGANTI METODE KOEFISIEN TAK TENTU Syofia Deswita 1, Syamsudhuha 2, Agusni 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lebih terperinciBAB II MATRIKS POSITIF. Pada bab ini akan dibahas mengenai Teorema Perron, yaitu teori hasil kontribusi
BAB II MATRIKS POSITIF Pada bab ini akan dibahas mengenai Teorema Perron, yaitu teori hasil kontribusi dari seorang matematikawan German, Oskar Perron. Perron menerbitkan tulisannya tentang sifat-sifat
Lebih terperinciUSAHA BUDIDAYA CABAI MERAH
P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L S Y A R I A H ( P P U K -S Y A R I A H ) U S A H A B U D I D A Y A C A B A I M E R A H P O L A P E M B I A Y A A N U S A H A K E C I L S Y A R I A H ( P
Lebih terperinciDAFTAR NOTASI. = Luas yang dibatasi oleh keliling luar penampang beton, mm² = Luas efektif bidang geser dalam hubungan balokkolom
A cp Acv Ag An Atp Al Ao Aoh As As At Av b bo bw C Cc Cs d DAFTAR NOTASI = Luas yang dibatasi oleh keliling luar penampang beton, mm² = Luas efektif bidang geser dalam hubungan balokkolom (mm²) = Luas
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK DISKRET. Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan
SISTEM DINAMIK DISKRET Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan SISTEM DINAMIK Kontinu Sistem Dinamik Diskret POKOK BAHASAN SDD OTONOMUS NON-OTONOMUS 1-D MULTI-D LINEAR NON-LINEAR
Lebih terperinciSOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009
SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 8/9. Perhatikan premis premis berikut! - Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara - Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut
Lebih terperinciBAB IV DESKRIPSI DATA DAN PEMBAHASAN HASIL PENELITIAN. Bab ini akan membahas dan menginterpretasikan tentang hasil penelitian
BAB IV DESKRIPSI DATA DAN PEMBAHASAN HASIL PENELITIAN A. Deskripsi Data Bab ini akan membahas dan menginterpretasikan tentang hasil penelitian yang telah dilakukan oleh peneliti. Hasil penelitian ini berupa
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Model Matematika. Model Pertumbuhan Tumor Tanpa Perlakuan
TINJAUAN PUSTAKA Model Matematika. Model Pertumbuhan Tumor Tanpa Perlakuan Setiap akan melakukan terapi pada pertumbuhan tumor diperlukan suatu model pertumbuhan tumor tanpa perlakuan terapi. Pada umumnya,
Lebih terperinciÞßÞ Ê ÌÛÓËßÒ ÜßÒ ÐÛÓÞßØßÍßÒ
ÞßÞ Ê ÌÛÓËßÒ ÜßÒ ÐÛÓÞßØßÍßÒ ìòïò Ì»³«² ßò Ð ² ß ¼ ² Ì»»³ ²² ïò ß «¼» Ûª «± º»¾ ¹ ß «¼» ¼»µ ¼ ¹«² µ ² ̱² ß¾¾± ¼ ² Ö Þ ±»½ ¼±³ ² ² ¼ ¼ ³»µ ô ³ ¼«µ ¼»ª «²»¹ ºò Ø ² ³»²«² «µµ ² ¾ ³» µ «² µ»¼²««³»²«² «µµ ²
Lebih terperinciCatatan Kuliah FI2101 Fisika Matematik IA
Khairul Basar atatan Kuliah FI2101 Fisika Matematik IA Semester I 2015-2016 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung Bab 6 Analisa Vektor 6.1 Perkalian Vektor Pada bagian
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 3: Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Bila sampling berasal dari populasi yang digambarkan melalui fungsi peluang f X (x θ), pengetahuan tentang θ menghasilkan karakteristik mengenai keseluruhan
Lebih terperinciDAFTAR NOTASI. = Luas efektif bidang geser dalam hubungan balok-kolom (mm²) = Luas penampang tiang pancang (mm²)
DAFTAR NOTASI A cp Acv Ag An Atp Al Ao Aoh As As At Av b = Luas yang dibatasi oleh keliling luar penampang beton, mm² = Luas efektif bidang geser dalam hubungan balok-kolom (mm²) = Luas bruto penampang
Lebih terperinciLAMPIRAN I GREEK ALPHABET
LAMPIRAN I GREEK ALPHABE Α, Alpha Μ, µ Mu Ψ, Psi Β, β Ba Ν, ν Nu Ω, ω Oga. Γ, γ Gaa, δ Dla Ε, ε Epsilo Ζ, ζ Za Η, η Ea Θ, θ ha Ι, ι Ioa Κ, κ Kappa Λ, λ Labda Ξ, ξ i Ο,ο Oico Π, π Pi Ρ, ρ Rho Σ, σ Siga
Lebih terperinciKENDALI OPTIMAL PADA MODEL PERIKLANAN NERLOVE-ARROW DENGAN MENGGUNAKAN PRINSIP MAKSIMUM
KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PERIKLANAN NERLOVE-ARROW DENGAN MENGGUNAKAN PRINSIP MAKSIMUM Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: Dewita
Lebih terperinciBab II Teori Pendukung
Bab II Teori Pendukung II.1 Sistem Autonomous Tinjau sistem persamaan differensial berikut, = dy = f(x, y), g(x, y), (2.1) dengan asumsi f dan g adalah fungsi kontinu yang mempunyai turunan yang kontinu
Lebih terperinciD = Beban mati atau momen dan gaya dalam yang berhubungan dengan beban mati e = Eksentrisitas dari pembebanan tekan pada kolom atau telapak pondasi
DAFTAR NOTASI A cp = Luas yang dibatasi oleh keliling luar penampang beton, mm 2 Ag = Luas bruto penampang (mm 2 ) An = Luas bersih penampang (mm 2 ) Atp = Luas penampang tiang pancang (mm 2 ) Al = Luas
Lebih terperinci