Kalkulus 1 MA1104 TURUNAN. Dr. I W. Sudarsana. Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tadulako

Transkripsi

1 Kalkulus MA04 TURUNAN Dr. I W. Sudarsana Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetauan Alam Universitas Tadulako

2 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan m P - Q -

3 b. Keepatan Sesaat Misal sebua benda bergerak sepanjang garis koordinat seingga posisina setiap saat diberikan ole s t. Pada saat t benda berada di dan saat t benda berada di. Perubaan waktu Perubaan posisi Seingga keepatan rata-rata pada selang waktu [,] adala s v ratarata

4 Jika 0, diperole keepatan sesaat di : v v 0 ratarata Misal, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk v Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan keepatan sesaat terliat bawa dua masala tersebut berada dalam satu tema, aitu turunan Deinisi 4. : Turunan pertama ungsi di titik, notasi sebagai berikut: bila it diatas ada 0 dideinisikan 4

5 Notasi lain : d, d Conto : Diketaui tentukan 9 MA4 Kalkulus I 5

6 4.. Turunan Sepiak Turunan kiri dari ungsi di titik, dideinisikan sebagai : Turunan kanan dari ungsi di titik, dideinisikan sebagai : bila it ini ada. Fungsi dikatakan mempunai turunandierensiabel di atau ada, jika dan _ sebalikna dikatakan tidak mempunai turunan di. 6

7 Conto : Diketaui,, < Selidiki apaka dierensiabel di Jika a, tentukan Jawab : a. b. Jadi, dierensiabel di. dan. 7

8 8 Teorema 4. Jika dierensiabel di kontinu di. Bukti : Yang perlu ditunjukkan adala Peratikan bawa Maka Siat tersebut tidak berlaku sebalikna. Artina, Jika kontinu di, maka belum tentu dierensiabel di. Hal ini, ditunjukkan ole onto berikut.,...0. Terbukti.

9 Conto Tunjukkan bawa kontinu di 0 tetapi tidak dierensiabel di 0 Jawab Akan ditunjukkan bawa kontinu di 0, 0, < kontinu di 0 9

10 Selidiki apaka terdierensialkan di Karena 0 0 maka tidak dierensiabel di 0. 0

11 Conto: Tentukan konstanta a dan b agar ungsi berikut dierensiabel di ; <,, a b. Jawab : Agar terdierensialkan di, arusla a. kontinu di sarat perlu b. Turunan kiri turunan kanan di sarat ukup kontinu di jika kontinu kiri dan kontinu kanan di atau a b a b a a b a

12 a b a a a a a a a Maka diperole : a dan b.

13 Soal Latian Tentukan nilai a dan b agar ungsi berikut dierensiabel di titik ang diberikan... a ; 0 < b ; a b ; < ;,,. ; < a b ;,

14 4. Aturan Penarian Turunan Fungsi Turunan Pertama Deinisi 4. Misalkan terdeinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari, ditulis, dideinisikan sebagai t, Ι t t atau jika t- 0, Ι bila itna ada. d d Notasi lain,,, D, D d, bentuk dikenal d d d sebagai notasi Leibniz. 4

15 Dengan menggunakan deinisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk menari turunan sebagai berikut :. Jika k, maka.. 4. r r r ; r R d d d d d d g g g d g g 5. dengan g 0. d 0 g g g g 5

16 6 Bukti aturan ke-4 Misal g 0 g g 0 g g g g 0 g g g 0 g g g g g g g

17 7 6..Tentukan turunan pertama dari. 6 Conto. Tentukan turunan pertama dari 4 Jawab : Tentukan turunan pertama dari Jawab : Jawab :

18 Soal Latian Tentukan ungsi turunan pertama dari. /

19 9 a os sin. b sin os. t t t sin sin sin. os 0 t t t t t t t t t sin os. os. os

20 b. Misal os maka os os os os sin 0 0 os os sin sin 0 os sin sin sin 0 / 4 os sin 0 os sin sin sin / / sin os sin sin 4 0 / 0 os.0 sin sin 0

21 Untuk turunan ungsi trigonometri ang lain dapat diperole dengan menerapkan rumus peritungan turunan, kususna turunan bentuk u/v sin tan d os d. d d os ot d sin d d. d d se d os d e. d d s d sin d. d d os sin os sin os sin sin os os sin se os s sin sin tan se os os os s ot sin sin

22 4.4 Aturan Rantai Andaikan u dan u g. Jika d dan du ada, maka du d Conto : Tentukan dari sin Jawab : Misal u seingga bentuk diatas menjadi Karena maka d d d du d d d du du d osu dan d d os du d os sin u

23 Jika u, u gv, v, dan d d Conto : Tentukan Jawab : Misal v d du dv du dv d d d dari 5 d du Sin 4 du dv, dv d, Ada, maka dv d 5 u Sin v du osv os 5 dv 4 u d 4u 4Sin 5 seingga du d d du dv.. Sin 5 Cos d du dv d 5

24 Conto : Tentukan jika d d jawab : d d. 4

25 Soal Latian Tentukan ungsi turunan pertama dari sin os sin tan [ ] 5

26 4.5 Turunan Tingkat Tinggi Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-n-. n Turunan pertama Turunan kedua Turunan ketiga Turunan ke-n Conto : Tentukan dari Jawab : d d n d d d " d d " d n n d d n 4 sin os maka 4 sin 6

27 Soal Latian A. Tentukan turunan kedua dari. sin os π B. Tentukan nilai seingga " 0 bila 45 6 g a C. Tentukan nilai a, b dan dari b bila g 5, g dan g 4 7

28 4.6 Turunan Fungsi Implisit Jika ubungan antara dan dapat dituliskan dalam bentuk maka disebut ungsi eksplisit dari, aitu antara peuba bebas dan tak bebasna dituliskan dalam ruas ang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan ungsi implisit dari. Conto :. 0. sin Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap ungsi dari. 8

29 Tentukan d/d dari bentuk implisit berikut. Jawab. D D D D D D 0. sin D sin D os 0 os os os os 9

30 Soal Latian Tentukan turunan pertama dari bentuk implisit. 0. sin. 4. tan - 0 sin 0

31 4.7 Garis singgung dan garis normal Persamaan garis singgung ungsi di titik 0, 0 dengan kemiringan m adala 0 m 0. Garis ang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan garis normal. Persamaan garis normal di titik 0, 0 adala m 0 0.

32 Conto: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal ungsi 6 di,6. Jawab : 4, Seingga persamaan garis singgung di titik,6 : Persamaan garis normal dititik,6 :

33 Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva di titik dengan absis Jawab : 6 0 Jika disubstitusikan nilai pada persamaan kurva diperole dan - Seingga diperole titik dimana akan ditentukan persamaan garis singgung dan garis normalna adala, dan,- Hitung terlebi daulu dengan menggunakan turunan ungsi implisit D 6 D 0 0 0

34 0 Di titik,..9 5,.. 5 Persamaan garis singgung 6 Persamaan garis normal 8 4

35 Di titik,-, Persamaan garis singgung 4 Persamaan garis normal 5

36 4.8 Dierensial dan Hampiran 4.8. Dierensial Jika ada, maka 0 0 Q T. P Untuk sangat keil, maka m PQ m PT akni, Deinisi 4.4 Jika dierensiabel di, maka Dierensial dari, dinatakan dengan d, adala Dierensial dari, dinatakan dengan d, adala, d d d 6

37 4.8. Hampiran Peratikan kembali gambar sebelumna, Misalkan dierensiabel di interval I ang memuat dan. Jika ditamba, maka bertamba sepadan dengan ang dapat diampiri ole d. d Jadi, * Conto : Hampiri 8 Jawab : Pandang, Dengan pers *

38 Soal Latian. Diketaui kurva ang dinatakan seara implisit sin Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di π,. Gunakan dierensial untuk mengampiri a. b. 8, 6,. Jika diketaui 0, g0 0, g0 tentukan g0. 8