Chapter 3. Aplikasi Turunan

Transkripsi

1 Chapter 3 Aplikasi Turunan 1

2 3.1 Fungsi Naik dan Turun 2

3 Fungsi Naik dan Turun Misalkan f fungsi yang terdefinisi di a < x < b. Misalkan pula x 1 dan x 2 dua bilangan dalam selang tersebut. Maka f dikatakan monoton naik pada selang jika f(x 2 ) > f(x 1 ) untuk x 2 > x 1 f dikatakan monoton turun pada selang jika f(x 2 ) < f(x 1 ) untuk x 2 > x 1 3

4 gradien garis singgung positif f naik f ( x) 0 f ( x) 0 gradien garis singgung negatif f turun 4

5 Contoh Tentukan selang di mana fungsi berikut naik atau turun. 1. f x = 2x 3 + 3x 2 12x 7 2. g x = x2 x 2 5

6 Ekstrim Lokal Grafik fungsi f dikatakan mencapai maksimum lokal pada x = c jika f(c) f(x) untuk semua x di dalam selang a < x < b yang memuat c. Grafik fungsi f dikatakan mencapai minimum lokal pada x = c jika f(c) f(x) pada selang tersebut. Maksimum dan minimum lokal dari fungsi f disebut ekstrim lokal. 6

7 Bilangan kritis dan titik kritis Karena f monoton naik jika f (x) > 0 dan turun jika f (x) < 0, titik c di mana f memiliki ektrim lokal adalah pada saat f (c) = 0 atau f tidak kontinu di c (f (c) tidak ada). Bilangan c pada domain f disebut bilangan kritis jika f (x) = 0 atau f (x) tidak kontinu (tidak ada). Titik (c, f(c)) pada grafik fungsi f disebut titik kritis untuk f. Ektrim local hanya dapat terjadi pada titik kritis! 7

8 Tidak semua titik kritis memberikan ekstrim lokal! Tiga titik kritis dengan f (x) = 0: (a) maksimum lokal, (b) minimum local, (c) bukan ekstrim lokal. 8

9 Tidak semua titik kritis memberikan ekstrim lokal! Tiga titik kritis di mana f (x) tidak ada: (a) maksimum lokal, (b) minimum lokal (c) bukan ekstrim lokal. 9

10 Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal Misalkan c bilangan kritis untuk fungsi f. Maka titik kritis (c, f(c)) adalah maksimum lokal jika f x > 0 di sebelah kiri c dan f x < 0 di sebelah kanan c f 0 c f 0 minimum lokal jika f x < 0 di sebelah kiri c dan f x > 0 di sebelah kanan c f 0 c f 0 bukan ekstrim lokal jika f x bertanda sama di sebelah kiri dan kanan c f 0 c f 0 f 0 c f 0 10

11 Contoh 1. Tentukan semua ekstrim lokal dari fungsi berikut. 1. f x = 2x 3 + 3x 2 12x 7 2. g x = x2 x 2 2. Penghasilan yang diperoleh dari penjualan skateboard bermotor t minggu setelah produk tersebut diperkenalkan ke pasar adalah R t = 63t t2 t juta dolar. Kapankah penghasilan maksimum terjadi? Berapakah penghasilan maksimum tersebut? 11

12 3.2 Kecekungan 12

13 Kenaikan atau penurunan gradien garis singgung juga penting! Gambar. Q(t): produksi pekerja pabrik t jam setelah mulai bekerja. 13

14 Kecekungan Jika fungsi f dapat diturunkan dalam selang a < x < b maka grafik dari f dikatakan cekung ke atas pada a < x < b jika f (x) naik pada interval tersebut cekung ke bawah pada a < x < b jika f (x) turun pada interval tersebut 14

15 Contoh Tentukan selang kecekungan dari fungsi f x = 2x 6 5x 4 + 7x 3 15

16 Kecekungan berbeda dengan kemonotonan! 16

17 Titik Infleksi Titik infleksi adalah titik (c, f(c)) pada grafik fungsi f di mana kecekungan berubah. Pada titik tersebut, f (c) = 0 atau f" tidak kontinu di c (f (c) tidak ada). Contoh. Tentukan titik infleksi dari fungsi berikut. 1. f x = 3x 5 5x g x = x

18 Catatan: Suatu fungsi dapat memiliki titik infleksi hanya di tempat di mana fungsi tersebut kontinu! Namun f (x) = 0 bukan merupakan jaminan bahwa titik tersebut merupkan titik infleksi. 18

19 Grafik fungsi dengan kecekungan dan titik infleksi 19

20 Contoh Tentukan di mana fungsi f ( x) = 3x 2x 12x + 18x + 15 naik dan turun, dan di mana grafik fungsinya cekung ke atas dan cekung ke bawah. Tentukan semua ektrim lokal dan titik infleksi, serta sketsalah grafik fungsinya. 20

21 Uji Turunan Kedua Misalkan f (x) ada pada suatu selang buka yang memuat c dan f (c) = 0. Jika f (c) > 0 maka f memiliki maksimum lokal di c. Jika f (c) < 0 maka f memiliki minimum lokal di c. Namun jika f c = 0 atau f (c) tidak ada, maka tidak ada kesimpulan yang dapat diambil. 21

22 Contoh 1. Misalkan f x = 3x 5 5x 3. Tentukan titik kritis dari f dan tentukan apakah di mana f memiliki maksimum dan minimum lokal. 2. Dalam suatu pabrik, seorang buruh yang bekerja pada sesi pagi (mulai Pk dan diakhiri Pk ) akan memproduksi Q t = t 3 + 9t t unit setelah bekerja selama t jam. Kapankah buruh tersebut bekerja paling efisien? 22

23 Max 0 4 t 23

24 3.3 Sketsa Grafik 24

25 Makna limit di tak hingga dan limit tak hingga pada grafik fungsi Pandang fungsi rasional f x = x+1 x 2. x+1 lim =? x 2 x 2 lim x x+1 x 2 =? lim x+1 =? x 2 + x 2 lim x x+1 x 2 =? Garis x = c adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi f jika lim x c f(x) = (atau ) atau lim f(x) = (atau ) + x c Garis y = b adalah asimtot horisontal dari grafik fungsi f jika lim x f(x) = b atau lim x f(x) = b 25

26 Contoh Tentukan semua asimtot dari grafik fungsi berikut. 1. f x = x2 9 x 2 +3x 2. f x = x2 x 2 +x+1 26

27 General Procedure for Sketching a Graph of a Function 27

28 Contoh Sketsalah grafik fungsi 1. f x = x (x+1) 2 2. f x = 3x2 x 2 +2x 15 28

29 3.4 Optimisasi 29

30 Maksimum dan Minimum Global Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada selang I yang memuat c. Maka f(c) adalah maksimum global dari f pada I jika f(c) f(x) untuk semua x di I f(c) adalah minimum global dari f pada I jika f(c) f(x) untuk semua x di I 30

31 Sifat Nilai Ekstrim Fungsi f yang kontinu pada selang tutup a x b mencapai nilai ekstrim global pada titik ujung selang atau pada titik kritis c di dalam selang. 31

32 Contoh Carilah maksimum dan minimum global dari fungsi f x = 2x 3 + 3x 2 12x + 7 pada selang 3 x 0. 32

33 Contoh Selama beberapa minggu, PT Jasa Marga mendata kecepatan kendaraan yang melalui gerbang tol tertentu. Data menunjukkan bahwa di antara Pk dan Pk pada hari kerja, kecepatan kendaraan tersebut adalah s t = t t t + 20 km per jam, dengan t ada banyaknya jam setelah tengah hari. Pada Pk. berapakah kendaraan bergerak paling cepat dan paling lambat? 33

34 Contoh Dalam suatu pabrik, diestimasi bahwa ketika q ribu unit dari suatu komoditas diproduksi setiap bulan, biaya produksi total adalah C q = 0.4q 2 + 3q + 40 ribu dolar dan seluruh unit tersebut dapat dijual dengan harga p q = q dolar per unit. a. Tentukan level produksi yang memberikan keuntungan maksimum. Berapakah keuntungan maksimum tersebut? b. Tentukan level produksi di mana biaya rata-rata A q = C(q) diminimumkan. q c. Tentukan level produksi di mana biaya rata-rata sama dengan biaya marginal. 34

35 Dua Prinsip Analisis Marginal untuk Keuntungan Maksimum Jika penghasilan yang diperoleh dari penjual q unit adalah R(q) dan biaya produksi adalah C(q), maka keuntungan adalah P q = R q C q. Karena P (q) = [R(q) C(q)] = R (q) C (q) dan P"(q) = [R(q) C(q)]" = R"(q) C"(q), maka untuk memaksimumkan keuntungan: agar P (q) = 0 haruslah R (q) = C (q), dan agar P (q) < 0 haruslah R (q) < C (q). 35

36 Prinsip Analisis Marginal untuk Biaya Rata-rata Minimum Jika C(q) adalah biaya memproduksi q unit suatu komoditas, maka biaya produksi rata-rata per unit adalah A q = C(q) q. Dengan Aturan Pembagian diperoleh A q = C q q C(q) q 2. Untuk meminimumkan biaya produksi rata-rata: A q = 0, sehingga C q q C q = 0 atau C q q = C(q). Dengan demikian C q = C(q) q biaya produksi rata-rata). (biaya marginal sama dengan 36

37 Makna Ekonomi Biaya marginal (MC) adalah estimasi biaya produksi bila dilakukan penambahan 1 unit. Jika unit tambahan tersebut berbiaya lebih rendah daripada biaya produksi rata-rata (AC) atau MC < AC, maka unit tambahan yang lebih murah ini akan mengakibatkan biaya produksi rata-rata menjadi turun. Sebaliknya, jika unit tambahan tersebut berbiaya lebih tinggi daripada biaya produksi rata-rata atau MC > AC, maka unit tambahan yang lebih mahal ini akan mengakibatkan biaya produksi rata-rata menjadi naik. Namun jika MC = AC, maka biaya produksi rata-rata tidak turun atau naik, yang berarti (AC) = 0. 37

38 Harga dan Permintaan Pada umumnya, penambahan harga per unit suatu komoditas akan mengakibatkan turunnya permintaan, namun seberapa sensitif atau responsif permintaan terhadap perubahan harga bervariasi dari satu komoditas ke komoditas lain. Untuk komoditas seperti sabun atau garam, perubahan harga dalam prosentase yang kecil memiliki efek yang kecil terhadap permintaan. Namun untuk komoditas lain seperti tiket pesawat atau kredit rumah, perubahan kecil dalam harga dapat mempengaruhi permintaan secara dramatis. 38

39 Price Elasticity of Demand Jika fungsi permintaan q = D(p) dapat diturunkan, maka prosentase laju perubahan permintaan q adalah: 100dq dp q prosentase laju perubahan harga p adalah: 100dp dp p = 100 p. dan Sehingga sensitifitas terhadap perubahan harga diukur oleh rasio 100 dq dp q 100 p = p q dq dp yang dalam ekonomi disebut price elasticity of demand. 39

40 Makna Price Elasticity of Demand Jika fungsi permintaan q = D(p) dapat diturunkan, maka E(p) = p dq q dp disebut price elasticity of demand dan bermakna prosentase perubahan permintaan q yang terjadi karena 1% perubahan dalam harga p. Karena permintaan q turun seiring dengan peningkatan harga, maka dq < 0. Karena q > 0 dan p > 0, maka E(p) < 0. dp Sebagai contoh, jika suatu komoditas dikatakan memiliki price elasticity of demand 0.5 pada harga p, artinya 10% kenaikan harga akan memberikan penurunan 5% dalam permintaan. 40

41 Contoh Misalkan q adalah permintaan dan p harga per unit untuk suatu komoditas yang dihubungkan oleh suatu persamaan linear q = 240 2p (untuk 0 p 120). a. Ekspresikan elasticity of demand sebagai fungsi dari p. b. Hitunglah elasticity of demand pada saat harga p = 100. Berikan interpretasi untuk jawaban Anda. c. Hitunglah elasticity of demand pada saat harga p = 50. Berikan interpretasi untuk jawaban Anda. d. Pada harga berapakah elasticity of demand sama dengan 1? Apakah makna dari harga tersebut? 41

42 Tingkat Elasticity E p > 1: Elastic demand Prosentase penurunan permintaan lebih besar dari prosentase peningkatan harga. Artinya, permintaan sensitif terhadap perubahan harga. E p < 1: Inelastic demand Prosentase penurunan permintaan lebih kecil dari prosentase peningkatan harga. Artinya, permintaan tidak sensitif terhadap perubahan harga. E p = 1: Unitary demand Prosentase penurunan permintaan kurang lebih sama dengan prosentase peningkatan harga. 42

43 Tingkat Elasticity dan Penghasilan Asumsikan bahwa fungsi permintaan q dapat diturunkan terhadap p. Karena R(p) = pq, maka dr dp = p dq dp + q. Sehingga, dr = q dq p + q = q p dq + 1 = q E p + 1. dp q dp q dp Jika permintaan elastic ( E p > 1), maka E p < 1 sehingga E p + 1 < 0 dan dr = q E p + 1 < 0. Artinya, peningkatan kecil dp dalam harga akan mengakibatkan penurunan penghasilan. Jika permintaan inelastic ( E p < 1), maka 1 < E p < 0 sehingga E p + 1 > 0 dan dr > 0. Artinya, peningkatan kecil dalam harga akan dp mengakibatkan peningkatan penghasilan. Jika permintaan unitary ( E p = 1), maka E p = 1 sehingga dr = dp 0. Artinya, peningkatan kecil dalam harga tidak akan mengakibatkan perubahan penghasilan. 43

44 Tingkat Elasticity dan Penghasilan E p > 1: Elastic demand Penghasilan R turun sejalan dengan peningkatan harga p. E p < 1: Inelastic demand Penghasilan R naik sejalan dengan peningkatan harga p. E p = 1: Unitary demand Penghasilan tidak dipengaruhi oleh peningkatan kecil dalam harga. 44

45 Contoh Manajer suatu toko buku menemukan bahwa jika suatu novel dijual pada harga p per buku, maka permintaan harian adalah q = 300 p 2 buku, dengan 0 p 300. a. Tentukan di mana permintaan bersifat elastic, inelastic, dan unitary. b. Berikan interpretasi untuk jawab a. dalam hal perilaku penghasilan sebagai fungsi dari harga. 45