Transformasi (operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Matriks

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Transformasi (operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Matriks"

Sudirman Kusumo
5 tahun lalu
Tontonan:

1 Mtriks (Cont d)

2 Trnsformsi (opersi) Elementer pd Bris dn Kolom Mtriks Trnsformsi Elementer pd mtriks dlh: Penukrn tempt bris ke i dn ke j (bris ke i dijdikn bris ke j dn bris ke j dijdikn bris ke i), ditulis Hij(A) H 12((A) A H 12 (A) berrti menukr bris ke-1 mtriks A dengn bris ke-2 Penukrn tempt kolom ke i dn kolom ke j (kolom ke i dijdikn kolom ke j tu seblikny), ditulis Kij (A) K 23((A) A K 23 (A) berrti menukr kolom ke-2 mtriks A dengn kolom ke-3

3 Trnsformsi (opersi) Elementer pd Bris dn Kolom Mtriks Menglikn bris ke i dengn sklr 0, ditulis () () Hi (A). Menglikn kolom ke i dengn 0, ditulis Ki (A) A H ( 2) K (1/2) 2 (A) (A) 2 3 1/ /2 Menmbh kolom ke-i dengn kli kolom ke-j, ditulis K ij (A) dn menmbh bris ke-i dengn() kli bris ke-j, ditulis H ij () (A) H ( 23 1) (A) K31 (2) (A) H 2 ( 1*H 3 ) K 3 (2*K 1 ) A

4 Trnsformsi (opersi) Elementer pd Bris dn Kolom Mtriks Jik trnsformsi elementer hny terjdi pd bris sj disebut ELEMENTER BARIS jik trnsformsi terjdi pd kolom sj disebut ELEMENTER KOLOM

5 Ltihn A= ,crilh mtrik B yng dihsilkn dri sederetn trnsformsi elementer K 41 (1). Crilh B tersebut. (-1) (2) H, H, H,

6 Penyelesin H ( 1) (2) H2 H (1) K

7 Ltihn B= ,diperoleh dri A dengn sederetn trnsformsi elementer berturut-turut: H,H,K,K. Crilh A. (-1) (1/2)

8 Determinn Setip mtriks persegi tu bujur sngkr memiliki nili determinn Nili determinn dri sutu mtriks merupkn sutu sklr. Jik nili determinn sutu mtriks sm dengn nol, mk mtriks tersebut disebut mtriks singulr. Mislkn mtriks A sngkr merupkn sebuh mtriks bujur Fungsi determinn dinytkn oleh det (A) Jumlh det(a) disebut determinn A det(a) sering dinotsikn A

9 Determinn Pd mtriks 2x2 cr menghitung nili determinnny dlh : Contoh : A det( A) det( A) A det( A) det( A)

10 Determinn A Pd mtriks 3x3 cr menghitung nili determinnny dlh menggunkn Metode Srrus Metode Srrus hny untuk mtrix berdimensi 3x det( A)

11 Determinn Contoh : A Nili Determinn dicri menggunkn metode Srrus det(a) = (-2 1-1) + (2 3 2) + (-3-1 0) (-3 1 2) (-2 3 0)-(2-1 -1) = = 18

12 Metode Crmer (orde 3 x 3) Determinn

13 Determinn : Minor-Kofktor Mislkn det A = A = d-bc Determinn hny untuk mtriks bujur sngkr Untuk order lebih dri 2, digunkn pengertin minor dn kofktor. Ilustrsi: Minor komponen Kofktor komponen dlh dlh Minor dlh bgin mtrik terkecil dengn dimensi 2x2 dri sutu mtrik bujursngkr yng sm tu lebih dri dimensi 3x3. Kofktor dlh nili sklr permutsi dri minor

14 Minor Yng dimksud dengn MINOR unsur ij dlh determinn yng bersl dri determinn orde ke-n tdi dikurngi dengn bris ke-i dn kolom ke-j. Dinotsikn dengn Mij Contoh Minor dri elemen ₁₁ A M A M

15 Kofktor Kofktor dri bris ke-i dn kolom ke-j dituliskn dengn Contoh : Kofktor dri elemen 11 c ( 1) M 23 M 23

16 Determinn Determinn dengn Ekspnsi Kofktor Pd Bris Mislkn d sebuh mtriks A berordo 3x3 A Determinn Mtriks A dengn metode ekspnsi kofktor bris pertm A 11c11 12c12 13c M M M

17 Determinn Determinn dengn Ekspnsi Kofktor Pd Kolom Mislkn d sebuh mtriks A berordo 3x3 A Determinn Mtriks A dengn metode ekspnsi kofktor kolom pertm A 11c11 21c21 31c M M M

18 Mencri determinn mtriks A dengn kofktor i = 1, j = = 3 x (-1) 1+1 x (6x0-3x-4) = 36 i = 1, j = = 2 x (-1) 1+2 x (1x0-3x2) = 12 i = 1, j = = -1 x (-1) 1+3 x (1x-4-6x2) = 16 sehingg determinn mtriks A dlh = = 64

19 Invers mtriks Mtriks invers dri sutu mtriks A dlh mtriks B yng pbil diklikn dengn mtriks A memberikn stun I AB = I Notsi mtriks invers : Sebuh mtriks yng diklikn mtriks inverseny kn menghsilkn mtrik stun A 1 A I A 1

20 Invers mtriks Invers mtriks (ordo 2 x 2) b A = c d 1 1 d -b invers A det(a) -c ket : -1 A = invers mtriks A det(a) = determinn dri mtriks A

21 Contoh sol 3 5 A = 1 2 tentukn A 1!

22 Invers mtriks Invers mtriks (ordo 3 x 3) A = invers A Adj(A) det(a) ket : -1 A = invers mtriks A Adj(A) = mtriks Adjoin dri A (trnspos dri mtriks kofktor A) det(a) = determinn dri mtriks A

23 Menentukn djoin A = Adj(A) =

24 Ltihn HItunglh invers mtriks A =

27 Ltihn 4 tentukn invers dri mtriks berikut : b c d

28 Penyelesin persmn mtriks Penyelesin persmn mtriks berbentuk A.X = B tu X.A = B, dengn A, B, dn X dlh mtriks-mtriks berordo 2x2, dn mtriks A dlh mtriks nonsingulr, sehingg mtriks A mempunyi invers (A -1 ).

29 1. Persmn bentuk A.X = B Untuk persmn A.X = B, klikn persmn mtriks tersebut dengn A -1 dri rh kiri. A -1.(A.X) = A -1.B (A -1.A).X = A -1.B I.X = A -1.B (sebb A -1.A = I) X = A -1.B (sebb I.X = X.I = X) Jdi, jik A.X = B, mk X = A -1.B

30 2. Persmn bentuk X.A = B Untuk persmn X.A = B, klikn persmn mtriks tersebut dengn A -1 dri rh knn. (X.A) A -1 = B. A -1 X.(A. A -1 ) = B. A -1 X.I = B. A -1 (sebb A.A -1 = I) X = B. A -1 (sebb I.X = X.I = X) Jdi, jik X.A = B, mk X = B. A -1

31 Contoh

32 Penyelesin sistem persmn liner Metode Crmer X i A i A dengn Xi = bilngn yng tidk dikethui ke-i Ai = nili determinn dri A (mtriks koefisien) yng kolom ke-i sudh dignti dengn mtriks H tu mtriks konstnt A = nili determinn mtriks A

33 Contoh sol

35 Penyelesin sistem persmn liner Metode Invers x by p untuk persmn liner berbentuk : cx dy q dpt diubh menjdi perklin mtriks sbb : b x p b y q dengn msing-msing rus diklikn invers mtriks c d c d diperoleh : 1 1 b b x b p y q c d c d c d x b p y q 0 1 c d x 1 d -b p y d bc q -c

36 Contoh sol

37 Ltihn 5 1. Dikethui mtriks A = dn B = Tentukn mtriks X ordo 2x2, sehingg A.X=B b. Tentukn mtriks X ordo 2x2 sehingg X.A=B 2. Tentukn himpunn dri sistem persmn berikut : x y z 3 2x 3y 1. b. 2x y z 5 3x y 5 x 2y z 7

38 Eigenvlue-Eigenvector Jik A dlh sebuh mtriks n kli n, mk sebuh vektor yng tk nol x berukurn n kli 1 di dlm Rn dinmkn vektor eigen dri A jik Ax dlh keliptn sklr dri x, yitu: Ax = λx untuk sutu sklr λ, Ax sebuh vektor berukurn n kli 1. Sklr λ dinmkn nili eigen dri A dn x diktkn sebuh vektor eigen yng bersesuin dengn A

39 Contoh sol : 2 1. Buktikn vektor x -1 dlh vektor eigen dri dn tentukn nili eigenny! A Jwb : Untuk membuktiknny dilkukn dengn cr menglikn mtrik dengn vektor, sehingg diperoleh hsil keliptn dri vektor itu sendiri. Ax nili eigen vektor eigen

40 Cr menentukn nili eigen dri A Untuk mencri nili eigen dri mtrik A yng berukurn n kli n yng memenuhi persmn : Ax = λx dpt ditulis sebgi : Ax = λi.x tu ekuivlen : (λi A)x = 0 Sistem persmn tersebut memiliki jwbn bukn nol, jik dn hny jik : I A 0 Ini disebut sebgi persmn krkteristik (polinomil dlm λ)

41 2. Crilh nili eigen dri : Jwb : Persmn krkteristik : Nili-nili eigen: 1 dn A I A = (λ)(λ-2)(λ-3) - (-2(λ-2)) = (λ-2) (λ(λ-3)+2)=0 = (λ-2)((λ-2)(λ-1))= 0 λ=2 dn λ= 1

42 Menentukn vector eigen 1. Diberikn vektor mtriks A dn slh stu nili eigenny, mislny λ = 3. Tentukn semu vektor eigen yng bersesuin dengn λ = 3. (A - 3 I)x = A Penyelesin x x1 0 ( A 3 I) x x 0 x x x A I A 3I Himpunn penyelesin Himpunn vektor eigen A bersesuin dengn λ =3 : 2x x x x 0 2x x 2x 0 1 2, R 0 1 2, 0, R 0

43 2. Crilh nili-nili eigen dn bsis-bsis untuk mtriks A : Jwb : A Persmn krkteristik : I A det (λi A)= 0 (λ-3)(λ) (1)(-2)=0 λ 2-3 λ + 2 = 0 Nili eigen : λ 1 = 2, λ 2 = 1

44 -3-2 x1 0 Rung vektor : 1 x 2 0 Untuk λ 1 = 2 diperoleh : -1-2 x x 2 0 -x 1 2x 2 = 0 x 1 + 2x 2 = 0 x 1 = 2x 2 Jdi vektor eigen dri A yng bersesuin dengn λ dlh vektor tk nol : x -2s -2 s s 1 Jdi untuk λ=2, bsisny dlh : -2 1

45 Ltihn 6 1. Tentukn nili eigen dri mtriks A = Tentukn vector eigen dri mtriks A = -1 0

dokumen-dokumen yang mirip

BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN

Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut