BAB IV. Relasi Kabur. 4.1 Relasi Biasa ke Relasi Kabur
|
|
- Yenny Lanny Makmur
- 5 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 elasi Kabur 83 BAB IV elasi Kabur 4. elasi Biasa ke elasi Kabur Suatu relasi biasa pada suatu himpunan merepresentasikan adanya atau tidak adanya asosiasi, interaksi atau keterhubungan di antara elemenelemen dari dua atau lebih himpunan. elasi antara himpunan U dan V, yaitu (U, V) merupakan himpunan bagian dari hasil kali kartesian U V, yaitu : (U, V) UV = {(x, y) xu, yv}, sehingga UV merupakan himpunan semesta dari relasi (U,V). Hasil kali kartesian dapat diperluas pada suatu keluarga himpunanhimpunan {U i i n}, yang dinyatakan dengan U U U n. Suatu relasi di antara himpunan-himpunan U, U,, U n, yaitu (U, U,,U n) merupakan himpunan bagian dari U U U n. Karena relasi sendiri merupakan suatu himpunan, maka operasi-operasi dasar himpunan, seperti ketermuatan, gabungan, irisan dan komplemen dapat diberlakukan pada relasi. Suatu relasi dapat didefinisikan dengan menggunakan fungsi keanggotaan nol-satu, yaitu suatu fungsi yang memetakan himpunan U U U n ke himpunan {0, }, yaitu : U U U n {0, }, (4.) sedemikian sehingga ; ( u, u,, u n ), u U,..., u nu (u, u,, u n) = 0 yang lain n
2 84 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur Nilai dari (u, u,, u n) disebut derajat keanggotaan. Apabila nilai derajat keanggotaan sama dengan satu berarti elemen u, u,, u n berelasi, dan apabila nilai derajat keanggotaan sama dengan nol berarti elemen u, u,, u n tidak berelasi sama sekali. Jadi relasi biasa hanya mempunyai dua kemungkinan, yaitu berelasi atau tidak berelasi sama sekali, tidak ada kemungkinan lain. Suatu relasi biasa di antara dua himpunan disebut relasi biner. Jika terdapat tiga, empat atau lima himpunan yang dilibatkan maka relasinya berturut-turut biasa disebut relasi ternary, relasi quaternary dan relasi quinary. Secara umum, jika didefinisikan pada n himpunan, maka disebut sebagai relasi n-ary atau n-dimensional. Contoh 4. (relasi biner) Misalkan U={,, 3} dan V={, 3, 4} maka hasil kali kartesian UV={ (, ), (, 3), (, 4), (, ), (, 3), (, 4), (3, ), (3, 3), (3, 4)}. Misalkan relasi (U, V) didefinisikan sebagai elemen pertama lebih besar atau sama dengan elemen kedua, maka (U, V) = {(, ), (3, ), (3, 3)}; atau dapat dinyatakan dengan matriks relasional berikut: V U Entri-entri dalam matriks relasional di atas merupakan nilai dari derajat keanggotaan (u, v). (, )= berarti berelasi dengan, yaitu lebih besar atau sama dengan ; (, 3) = 0 berarti tidak berelasi dengan 3, yaitu tidak lebih besar atau tidak sama dengan 3 ; dan seterusnya. Contoh 4. (relasi ternary) Misalkan relasi di antara himpunan U = {bahasa Inggris, bahasa Perancis}, U = {Dollar, Pound, Euro}, dan U 3 = {AS, Perancis, Inggris, Canada, Belanda } menyatakan hubungan suatu negara dengan mata uang dan bahasa yang digunakan. Maka relasi (U, U, U 3 ) = {(Bahasa Inggris,
3 elasi Kabur 85 Dollar, AS), (Bahasa Perancis, Euro, Perancis), (Bahasa Inggris, Pound, Inggris)}. elasi ini dapat juga dinyatakan dengan matriks relasional berikut: U 3 AS Perancis Inggris Canada Belanda Dollar U Pound Euro Bahasa Inggris U 3 AS Perancis Inggris Canada Belanda Dollar U Pound Euro Bahasa Perancis Fungsi keanggotaan nol-satu pada relasi biasa dapat diperluas dengan mengubah kodomain dari himpunan {0, } menjadi interval [0, ] yaitu: : U U U n [0, ] Hal ini mengakibatkan bahwa satu relasi dapat berelasi secara sempurna jika derajat keanggotaanya sama dengan satu, tidak berelasi sama sekali jika derajat keanggotaannya sama dengan nol, dan agak berelasi atau sangat berelasi atau kurang berelasi dan sebagainya, jika derajat keanggotaannya terletak antara nol dan satu. elasi semacam ini biasa disebut relasi kabur, yang disimbolkan dengan. Secara formal, relasi kabur didefinisikan sebagai berikut: Definisi 4. Suatu relasi kabur adalah suatu himpunan kabur yang didefinisikan pada hasil kali kartesian himpunan-himpunan U, U,..., U n, yaitu: ={((x,x,,x n), di mana. ( x, x,..., x ) ) (x,,x n)(u U U n)} (4.) n ( x, x,..., x ) adalah derajat keanggotaan dari relasi kabur n
4 86 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur Suatu kasus khusus, jika n = maka relasi disebut relasi kabur biner. elasi kabur biner pada hasil kali kartesian yang anggota himpunannya berhingga biasanya direpresentasikan dengan matriks relasional, yaitu matriks yang elemen-elemennya merupakan derajat keanggotaan pasanganpasangan dari relasi yang bersesuaian (seperti dalam Contoh 4. dan 4., untuk relasi biasa) Contoh 4.3 Misalkan U = {Banda Aceh, Jakarta, Surabaya} U = { Makassar, Surabaya, Jayapura } Jika didefinisikan relasi sangat berjauhan di antara dua himpunan ibu kota provinsi tersebut, yaitu U dan U, maka relasi biasa tidak cocok untuk digunakan karena relasi sangat berjauhan tidak terdefinisi dengan jelas dalam kerangka himpunan dan relasi biasa. Akan tetapi, kita dapat memberikan suatu nilai pada relasi sangat berjauhan di antara anggota himpunan U dan anggota himpunan U. Nilai satu akan diberikan pada relasi sangat jauh di antara dua ibu kota provinsi pada himpunan U dan U jika kedua ibu kota tersebut dianggap paling berjauhan, dan nilai nol akan diberikan pada relasi sangat berjauhan jika kedua ibu kota provinsi tersebut dianggap paling berdekatan (jarak keduanya mungkin nol kilometer). Sedangkan nilai di antara nol dan satu diberikan kepada pasangan-pasangan ibu kota provinsi yang dianggap agak berjauhan, cukup berjauhan, sangat berjauhan dan sebagainya. Nilai-nilai yang diberikan tersebut adalah derajat keanggotaan dari relasi kabur, yang biasa diinterpretasikan sebagai kekuatan hubungan yang ada di antara elemen-elemen dari himpunan U dan himpunan U. Seperti pada himpunan kabur, pemberian derajat keanggotaan untuk relasi kabur juga bersifat subjektif, namun pemberian derajat keanggotaan tersebut tidak dapat ditentukan secara bebas. Penentuannya harus merefleksikan konteks persoalan dari relasi yang diberikan. Misalkan derajat keanggotaan relasi sangat berjauhan di antara himpunan U dan himpunan U dinyatakan dengan matriks relasional berikut:
5 elasi Kabur 87 U Surabaya Makassar Jayapura Banda Aceh 0,6 0,7 U Jakarta 0,4 0,65 0,8 Surabaya 0 0,6 0,7 maka relasi kabur sangat berjauhan adalah sebagai berikut: ={((Banda Aceh, Surabaya), 0.6), ((Banda Aceh, Makassar), 0.7), ((Banda Aceh, Jayapura),), ((Jakarta, Surabaya), 0.4), ((Jakarta, Makassar), 0.65), ((Jakarta, Jayapura), 0.8), ((Surabaya, Surabaya), 0), ((Surabaya, Makassar), 0.6), ((Surabaya, Jayapura), 0.7)} Contoh 4.4. Misalkan U = U =, relasi kabur di antara U dan U didefinisikan sebagai x jauh lebih besar dari y, di mana x U dan yu. elasi kabur merupakan himpunan kabur pada U U dengan fungsi keanggotaan didefinisikan sebagai: 0 ; x y xy - ( x, y) = ; y x y 0y ; x y atau dapat didefinisikan sebagai: ( x, y) = - ( ( ) ) ; ; (x, y) y-x x y ; (x, y) 0 ; x y 4. Operasi-operasi Dasar antar elasi Kabur Seperti pada himpunan kabur, maka pada relasi kabur dapat juga diberlakukan operasi-operasi dasar, seperti komplemen, irisan dan gabungan. Komplemen Misalkan adalah relasi kabur pada U U, maka komplemen dari c relasi kabur adalah dengan derajat keanggotaan:
6 88 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur c ( x, y) = - ( x, y), (x, y) U U Contoh 4.5 Diketahui relasi kabur pada + +, di mana y sangat berdekatan. Fungsi keanggotaan ( x, y) = e -( x - y ), (x, y) + +, sehingga grafik dari fungsi keanggotaan dalam Gambar 4.. menyatakan relasi x dan didefinisikan sebagai : adalah seperti diperlihatkan Gambar 4. Grafik fungsi keanggotaan relasi kabur (Contoh 4.5) Komplemen dari relasi kabur mempunyai fungsi keanggotaan ( x, y) = - ( x, y) c = - e -( x - y ) seperti diperlihatkan dalam Gambar 4.., (x, y) + +,
7 elasi Kabur 89 Gambar 4. Grafik fungsi keanggotaan relasi kabur c (Contoh 4.5) Gabungan dan Irisan Misalkan dan masing-masing adalah relasi kabur pada U U, maka gabungan dari dan adalah dengan fungsi keanggotaan x, y) = max[ x, y), ( x, y) ], (x, y) ( ( U U, kemudian irisan dari dan adalah dengan fungsi keanggotaan Contoh 4.6 ( x, y) = min[ x, y), ( ( x, y) ] (x, y) U U. Misalkan dan masing-masing adalah relasi kabur pada + +, di mana menyatakan relasi x dan y hampir sama dan menyatakan relasi x dan y sangat berbeda. Grafik dari fungsi keanggotaan dan adalah seperti pada Gambar 4.3.
8 90 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur Fungsi keanggotaan gabungan antara dan dapat diperoleh sebagai berikut: Misalkan = x 0 y 0 sedemikian hingga ( x0, y0) = ( x y 0, 0), maka ( x, y ) ; 0 x - y ( x, y) = ( x, y ) ; x -y Sedangkan fungsi keanggotaan irisan antara dan adalah : ( x, y ) ; 0 x - y ( x, y) = ( x, y ) ; x - y Gambar 4.4 memperlihatkan grafik fungsi keanggotaan. Gambar 4.3 Grafik fungsi keanggotaan dan (Contoh 4.6) dan
9 elasi Kabur 9 Gambar 4.4 Grafik fungsi keanggotaan (Contoh 4.6) dan Contoh 4.7. Diketahui relasi kabur dan masing-masing pada U U dalam bentuk matriks relasional berikut y y y 3 y 4 x 0,3 0, 0 x 0,8 0 0, x 3 0,5 0 0,4 0, y y y 3 y 4 x 0, x 0,6 0.8 x 3 0, ,3 0, maka sebagai berikut: dan dalam bentuk matriks relasional adalah
10 9 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur y y y 3 y 4 x 0, x 0,8 x 3 0, ,4 0, y y y 3 y 4 x 0, x 0, x 3 0,5 0 0,3 0, 4.3 Proyeksi dan Perluasan Cylindric elasi Kabur Misalkan suatu himpunan A={(x, y) (x-) + (y-) 4, xu =, yu = } yang merupakan suatu relasi dalam U U =. Proyeksi A pada U yang dinyatakan oleh A (), adalah A () = [0, 4]U, dan proyeksi A pada U yang dinyatakan oleh A () adalah A () = [0, 4]U. Perluasan cylindric dari A () ke U U yang dinyatakan oleh A () L adalah A () L =[0, 4]U U U =, dan perluasan cylindric dari A () ke U U yang dinyatakan oleh A ( ) L =[0, 4]U U U =, seperti diperlihatkan dalam Gambar 4.5. A ( ) L adalah
11 elasi Kabur 93 Misalkan relasi A dinyatakan dalam bentuk matriks relasional berikut: A Gambar 4.5. Proyeksi dan perluasan cylindric A A L A L U U
12 94 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur Dengan menggunakan derajat keanggotaan pada matriks relasional di atas, maka proyeksi A pada U dapat diperoleh sebagai berikut: A ( ) A ( ) A ( ) A ( ) A ( ) (-) = max[..., (0) = max[..., () = max[..., A A A (-,-),, (0, -),, (, -),, A A A (-,0),, (0, 0),, (, 0),, A A A (-,),, (0, ),, (, ),, A A A (-, 5), ] = 0 (0, 5), ] = (, 5), ] = () = max[..., A (, -),, A (, 0),, A (, ),, A (, 5), ] = (3) = max[..., A ( ) A ( ) (4) = max[..., A A (3, -),, (4, -),, A A (3, 0),, (4, 0),, A A (3, ),, (4, ),, A A (3, 5), ] = (4, 5), ] = (5) = max[..., A (5, -),, A (5, 0),, A (5, ),, A (5, 5), ] = 0 atau secara umum dapat dinyatakan sebagai jika x [0, 4] A ( ) (x)= max [ A( x, y)] yu 0 x yang lain, xu Dengan cara yang serupa, proyeksi A pada U dapat dinyatakan dengan menggunakan fungsi keanggotaan nol-satu (fungsi karakteristik), yaitu: jika y [0, 4] A ( ) (y)= max [ A( x, y)] xu 0 y yang lain, yu Selanjutnya, perluasan cylindric dari A () ke U U adalah L A () = {((x, y), ( )( x, y) )} A L
13 elasi Kabur 95 di mana ( )( x, y) = A L A ( ) (x)= jika x [0, 4 ], xu, yu. 0 x yang lain Adapun perluasan cylindric dari A () ke U U adalah A ( ) L di mana ( )( x, y)= A L = {((x, y), A ( ) ( )( x, y))} A L (y)= jika y [0, 4 ], xu, yu. 0 y yang lain Proyeksi dan perluasan cylindric pada relasi biner biasa dapat diperluas ke relasi kabur biner, yang secara formal didefinisikan sebagai berikut: Definisi 4. Misalkan ={((x, y), Proyeksi pertama relasi ( x, y)) (x, y)u U } adalah relasi kabur biner. () (proyeksi di mana x ( ) ( ) = dan proyeksi kedua relasi ( ) pada U ) didefinisikan sebagai = {(x, x ( ) ( )) x U }, (4.3) max[ ( x, y)], yu (proyeksi pada U ) didefinisikan sebagai = {(y, ( )( y)) y U } (4.4) di mana ( )( y) = max[ ( x, y)]. Adapun perluasan cylindric dari xu () ke U U adalah himpunan kabur dalam U U dengan fungsi keanggotaan ( )( x, y) = ( ) ( x) (4.5) L ( ) dan perluasan cylindric dari ke U U adalah himpunan kabur dalam U U dengan fungsi keanggotaan ( )( x, y) = ( )( y) (4.6) L () L ( ) L Contoh 4.8 Misalkan adalah relasi kabur pada U U yang dinyatakan dengan matriks relasional berikut:
14 96 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur y y y 3 Y 4 y 5 Y 6 x 0, x 0, x 3 0 0, x maka proyeksi pertama dari dapat diperoleh sebagai berikut: ( )( x ) = max [ ( x, y )] = max[0., 0.6, 0, 0.8, 0.9, 0.9 ] = 0.9 y ( )( x ) = max [ ( x, y )] = max[0., 0.8,, 0., 0.7, 0] = 3 y ( )( x ) = max [ ( x 3, y )] = max[, 0, 0.3,, 0, 0.3] = 4 y ( )( x ) = max [ ( x 4, y )] = max[0.3, 0., 0.6, 0, 0.5, 0.7] = 0.7, sehingga () y = {(x, 0.9), (x, ), (x 3, ), (x 4, 0.7)} Dengan cara yang serupa, proyeksi kedua dari diperoleh: ( ) = {(y, ), (y, 0.8), (y 3, ), (y 4, ), (y 5, 0.9), (y 6, 0.9)} Perluasan cylindric dari () pada U U mempunyai derajat keanggotaan sebagai berikut: ( )( x, y ) = ( )( x, y)=...= ( )( x, y6)= ( )( x)= 0.9 L L L ( )( x, y )= ( )( x, y) =...= ( )( x, y6) = ( )( x)= 3 L L ( )( x, y ) = ( )( x3, y)= = ( )( x3, y6) = ( )( x3)= 4 L L ( )( x, y )= ( )( x4, y) =...= ( )( x4, y6) = ( )( x4)= 0.7 L sehingga () L = {((x, y ), 0.9), ((x, y ), 0.9),..., ((x, y 6), 0.9), ((x, y ), ), ((x, y ), ),..., ((x, y 6), ), ((x 3, y ), ), ((x 3, y ), ),..., ((x 3, y 6), ), ((x 4, y ), 0.7), ((x 4, y ), 0.7),..., ((x 4, y 6), 0.7)} Dengan cara yang serupa, ( ) L dapat diperoleh, yaitu ( ) L = {((x, y ), ), (x, y ), ), (x 3, y ), ), (x 4, y ), ), ((x, y ), 0.8), L L L L
15 elasi Kabur 97 Contoh 4.9 ((x, y ), 0.8), ((x 3, y ), 0.8), ((x 4, y ), 0.8), ((x, y 3),), ((x, y 3), ), ((x 3, y 3), ), ((x 4, y 3), ), ((x, y 4),), ((x, y 4),), ((x 3, y 4),), ((x 4, y 4),), ((x, y 5), 0.9), ((x, y 5), 0.9), ((x 3,y 5), 0.9), ((x 4, y 5),0.9), ((x, y 6), 0.9), ((x, y 6), 0.9), ((x 3, y 6), 0.9), ((x 4, y 6), 0.9)} Misalkan relasi kabur ( ) ( x, y) = e - x-y didefinisikan pada + +, di mana, (x, y) + +. Proyeksi pertama dan proyeksi kedua dari dapat diperoleh sebagai berikut: Proyeksi pertama: Misalkan dipilih sebarang x 0 + sehingga diperoleh: ( x ) = max[ ( x y 0, )] ( ) 0 y ( x y) = max[ e 0 ] (4.7) y Persamaan (4.7) dapat diselesaikan dengan memaksimumkan fungsi ( x y) 0 f(y)= e (x 0 - y) e y, yaitu kita cari y sedemikian sehingga f (y) = 0, yaitu f (y) = ( x y) 0 ( x y) = 0 jika dan hanya jika y = x 0. Jadi ( x ) = ( ) 0 max[ e 0 ] =. Karena x 0 dipilih sebarang elemen dari +, maka : Proyeksi kedua: () = {( x 0, ) x 0 + } = + Misalkan dipilih sebarang y 0 +, sehingga diperoleh : 0 ( y ) = max[ ( x, y 0 )] = max[ e ] ( ) 0 x x ( xy ) Dengan cara yang serupa pada proyeksi pertama, maka diperoleh: x ( xy ) 0 max[ e ] = Karena y 0 dipilih sebarang elemen dalam +, maka : ( ) = {( y 0, ) y 0 + } = +
16 98 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur Misalkan suatu ruang yang lebih umum, yaitu U U U n, maka akan ada suatu relasi kabur n-ary pada U U U n, yaitu (U, U,,U n), dan misalkan ada suatu proyeksi dari relasi kabur n-ary, yaitu, pada U i U i... U i k di mana {i, i,, i k} adalah suatu subbarisan dari {,,, n}. Proyeksi relasi kabur n-ary sebagai berikut: Definisi 4.3 q ( ) pada U i U i... U i n didefinisikan Misalkan adalah relasi kabur pada U U U n, maka proyeksi pada U i U i... U i k adalah suatu relasi kabur pada U i U i... U i k dengan fungsi keanggotaan ( q)( ui, ui,..., u )= max [ ( u,..., un )] (4.8) di mana i k j j j (n-k) u U,..., u U j j j(n-k) j(n-k) { u, u,..., u } adalah komplemen dari q ( ) { u, u,..., u } i i i k terhadap {u, u,, u n}. Suatu relasi kabur yang berbeda dalam ruang yang sama (semestanya sama) dapat mempunyai proyeksi yang sama, akan tetapi harus ada relasi terbesar pada U U U n. elasi terbesar tersebut merupakan perluasan cylindric dari ke U U U n, yang secara formal didefinisikan sebagai berikut: Definisi 4.4 Misalkan q ( ) q ( ) adalah suatu proyeksi pada q ( ) U i U i... U i n, maka perluasan cylindric dari ke U U U n adalah suatu relasi kabur q ( ) pada U U U n, dengan fungsi keanggotaan ( )( u, u,..., u ) = ( q)( u, u,..., u ) (4.9) q L n i i Sebagai kasus khusus, apabila adalah suatu relasi kabur biner, yaitu (U, U ), maka (4.8) akan menjadi himpunan kabur dan (4.9) akan menjadi perluasan cylindric seperti pada Definisi 4.. Dari definisi tentang proyeksi dan perluasan cylindric, terlihat bahwa proyeksi akan membatasi suatu relasi kabur pada suatu subruang sedangkan perluasan cylindric akan memperluas suatu relasi kabur/himpunan kabur dari subruang ke ruang yang lebih luas. i k
17 elasi Kabur Komposisi antar elasi Kabur Seperti pada relasi biasa, maka pada relasi kabur dalam ruang hasil kali yang berbeda dapat dikombinasikan antara satu dengan yang lain dengan menggunakan operasi komposisi. Terdapat banyak versi komposisi yang diusulkan oleh para ahli yang penggunaannya sesuai dengan keperluan bidang aplikasi. Akan tetapi, terdapat dua jenis komposisi yang paling sering digunakan dan paling sering muncul dalam literatur-literatur himpunan kabur, yaitu komposisi max-min dan komposisi max-hasil kali. Komposisi pada relasi biasa (x, y) dan (y, z) di mana xu, yu, zu 3 dapat diinterpretasikan sebagai keberadaan suatu rantai relasi di antara elemen-elemen dari U dan U 3, sementara komposisi pada relasi kabur dapat diinterpretasikan sebagai indikasi kekuatan dari suatu rantai relasi di antara elemen-elemen U dan U 3. Kekuatan ini direpresentasikan oleh derajat keanggotaan pasangan (x, z) dalam komposisi tersebut. Secara formal, beberapa komposisi didefinisikan sebagai berikut: Definisi 4.5 Misalkan ( x, y), (x, y)uu dan ( y, z), (y, z)u U3 adalah relasi kabur yang berturut-turut didefinisikan pada U U dan U U 3, maka komposisi max-min dan, yaitu, adalah suatu himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan: yu ( x, z) max [ min ( ( x, y), ( y, z ))] ; xu, yu, zu 3 (4.0) Definisi 4.6 Misalkan dan adalah relasi kabur yang didefinisikan seperti pada Definisi 4.5, maka komposisi max- dan, yaitu, adalah suatu himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan: ( x, z) max [( ( x, y) ( y, z )] ; x U, y U, z U 3 (4.) yu
18 00 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur Jika operator merupakan operasi assosiatif yang monoton tidak turun, maka komposisi max- akan bersesuaian dengan komposisi max-min. Definisi 4.7. Misalkan dan adalah relasi kabur yang didefinisikan seperti pada Definisi 4.5, maka komposisi max-hasil kali dan adalah suatu himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan yu, yaitu ( x, z) max [( ( x, y). ( y, z )] ; x U, y U, z U 3 (4.), Definisi 4.8. Misalkan dan adalah relasi kabur yang didefinisikan seperti pada Definisi 4.5, maka komposisi max-rata-rata dan, yaitu adalah suatu himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan: ( x, z ) = yu max[ ( x, y) ( y, z )] ; xu, yu, zu 3 (4.3), Contoh 4.0 Misalkan ( x, y) dan ( y, z) didefinisikan dengan menggunakan matriks relasional berikut: y y y 3 y 4 x x
19 elasi Kabur 0 z z z 3 y y y y (i) Komposisi max-min dapat diperoleh sebagai berikut: Kita akan menghitung ( x, z ), i =, ; j =,, 3. Untuk mendapatkannya, maka terlebih dahulu harus dihitung min[ ( x, y ), ( y, z )], k =,, 3, 4 i k k j a) untuk i =, j = : k =, min[ k =, min[ (x, y ), (x, y ), i j (y, z )] = min[0., 0.9] = 0. (y, z )] = min[0., 0.] = 0. k = 3, min[ (x, y 3), (y 3, z )] = min[0, 0.8] = 0 k = 4, min[ (x, y 4), (y 4, z )] = min[, 0.4] = 0.4 sehingga (x, z ) = max[0., 0., 0, 0.4] = 0.4 b) untuk i =, j = : k =, min[ (x, y ), (y, z )] = min[0., 0] = 0 k =, min[ (x, y ), (y, z )] = min[0., ] = 0.
20 0 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur k = 3, min[ k = 4, min[ sehingga c) untuk i =, j = 3 k =, min [ (x, y 3), (x, y 4), (y 3, z )] = min[0, 0] = 0 (y 4, z )] = min[, 0.] = 0. (x, z ) = max[0, 0., 0, 0.] = 0. (x, y ), k =, min [ (x, y ), (y, z 3)] = min[0., 0.3] = 0. (y, z 3)] = min[0., 0.8] = 0. k = 3, min [ (x, y 3), (y 3, z 3)] = min[0, 0.7] = 0 k = 4, min [ (x, y 4), (y 4, z 3)] = min[, 0.3] = 0.3 sehingga ( x, z 3) = max[0., 0., 0, 0.3] = 0.3 d) untuk i =, j =, dengan cara yang serupa, diperoleh (x, z ) = 0.3 e) untuk i =, j =, dengan cara yang serupa, diperoleh (x, z ) = 0.5 f) untuk i =, j = 3, dengan cara yang serupa, diperoleh (x, z 3) = 0.5 Jadi komposisi max-min dalam bentuk matriks relasional adalah sebagai berikut : z z z 3 x x
21 elasi Kabur 03 (ii) Komposisi max-hasil kali dapat diperoleh sebagai berikut: Kita akan menghitung ( x, z ) i =, ; j =,, 3. i j Untuk mendapatkannya, maka terlebih dahulu harus dihitung ( x, y ). ( y, z ), k =,, 3, 4 (a) untuk i =, j = k =, i k k ( x, y ). ( y, z ) = (0.) (0.9) = 0.09 j k =, k = 3, k = 4, ( x, y ). ( y, z ) = (0.) (0.) = ( x, y ). ( y, z ) = (0) (0.8) = ( x, y ). ( y, z ) = () (0.4) = sehingga ( x, z )= max [0.09, 0.04, 0, 0.4] = 0.4 (b) untuk i =, j =, dengan cara yang serupa, diperoleh ( x, z ) = 0. (c) untuk i =, j = 3, dengan cara yang serupa, diperoleh ( x, z ) = 0.3 (d) untuk i =, j =, dengan cara yang serupa, diperoleh ( x, z ) = (e) untuk i =, j =, dengan cara yang serupa, diperoleh ( x, z )= 0.5 (f) untuk i =, j = 3, dengan cara yang serupa, diperoleh ( x, z ) = 0.4 3
22 04 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur Jadi komposisi max-hasil kali sebagai berikut : dalam bentuk matriks relasional adalah z z z 3 x x (iii) Komposisi max-rata-rata Kita akan menghitung dapat diperoleh sebagai berikut: (x i, z j), i =, ; j =,, 3. Untuk mendapatkannya, maka terlebih dahulu harus dihitung (x i, y k) + (a) untuk i =, j =. k =, (x, y ) + (y k, z j), k =,, 3, 4 (y, z ) = (0.)+ (0.9) = k =, (x, y ) + (y, z ) = (0.)+(0.) = 0.4 k = 3, k = 4, sehingga (x, y 3) + (x, y 4) + (y 3, z ) = (0)+ (0.8) = 0.8 (y 4, z ) = ()+ (0.4) =.4 (x, z ) = max[, 0.4, 0.8,.4] = 0.7 (b) untuk i =, j =, dengan cara yang serupa, diperoleh (c) untuk i =, j = 3, dengan cara yang serupa, diperoleh (x, z ) = 0.6 (x, z 3)= 0.65
23 elasi Kabur 05 (d) untuk i =, j =, dengan cara yang serupa, diperoleh (e) untuk i =, j =, dengan cara yang serupa, diperoleh (f) untuk i =, j = 3, dengan cara yang serupa, diperoleh (x, z ) = 0.6 (x, z )= 0.75 (x, z 3)= 0.65 Jadi komposisi max-rata-rata adalah sebagai berikut : dalam bentuk matriks relasional z z z 3 x x Ada suatu cara sederhana untuk menghitung komposisi dengan menggunakan perkalian matriks pada matriks relasional Caranya adalah sebagai berikut: dan dan yaitu untuk komposisi max-min, matriks relasional dan dikalikan dengan cara perkalian matriks, tetapi operator kali diganti dengan operator min dan operator jumlah diganti dengan operator max. untuk komposisi max-hasil kali, matriks relasional dan dikalikan dengan cara perkalian matriks, tetapi operator jumlah diganti dengan operator max. untuk komposisi max rata-rata, matriks relasional dan dikalikan dengan cara perkalian matriks, tetapi operator kali diganti dengan operator jumlah dan operator jumlah diganti dengan operator max, kemudian hasilnya dikalikan dengan ½..
24 06 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur Kita akan mengecek hasil komposisi menggunakan cara sederhana di atas. Untuk komposisi max-min: Untuk komposisi max-hasil kali dan pada Contoh 4.0, dengan Untuk komposisi max-rata-rata: hasilnya sama dengan yang diperoleh dalam Contoh 4.0.
25 elasi Kabur Beberapa Definisi pada elasi Kabur dan Sifat Komposisi antar elasi Kabur - Kerefleksifan Definisi 4.9. Misalkan adalah suatu relasi kabur pada U U, maka :. disebut refleksif jika dan hanya jika ( x, x) =, x U disebut anti-refleksif jika dan hanya jika ( x, x), xu disebut irrefleksif jika dan hanya jika xu sedemikian sehingga ( x, x). disebut -refleksif jika dan hanya jika ( x, x), xu, 0< <. 3. disebut refleksif lemah jika dan hanya jika - Kesimetrisan Definisi 4.0. ( x, y) ( x, x) ( y, x) ( x, x) x, yu Misalkan adalah suatu relasi kabur pada U U, maka : disebut simetris jika dan hanya jika ( x, y) = ( y, x), x, y U disebut asimetris jika dan hanya jika x, y U ( x, y) ( y, x)
26 08 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur disebut antisimetris jika dan hanya jika ( x, y) >0 dan - Ketransitifan (ketransitifan max-min) Definisi 4. ( y, x) Misalkan adalah relasi kabur pada U U, maka: >0, maka x = y, x, y U. disebut transitif jika dan hanya jika ( x, z) max yu [min( disebut nontransitif jika dan hanya jika x, y, zu ( x, z) < ( x, y), ( y, z))], x, y, z U max yu [min( ( x, y), ( y, z))] disebut anti-transitif jika dan hanya jika ( x, z) < Contoh 4. max yu [min( ( x, y), ( y, z))], x, y, z U Misalkan adalah relasi kabur yang didefinisikan pada himpunan kota-kota di dunia yang menyatakan relasi sangat dekat. Kita dapat mengasumsikan bahwa setiap kota sangat dekat dengan kota itu sendiri (jaraknya 0 km) dengan derajat keanggotaan sama dengan satu. Jadi adalah relasi refleksif. Selanjutnya, jika kota A sangat dekat dengan kota B, maka kota B juga sangat dekat dengan kota A dengan derajat keanggotaan yang sama, jadi adalah relasi simetris. Demikian juga, jika kota A sangat dekat dengan kota B dengan derajat keanggotaan ( A, B) dan kota B sangat dekat dengan kota C dengan derajat keanggotaan ( B, C), maka ada kemungkinan bahwa kota A sangat dekat dengan kota C dengan derajat keanggotaan yang lebih kecil dari derajat keanggotaan ( A, B) dan ( B, C). Oleh karena itu, relasi yang menyatakan relasi sangat dekat pada himpunan kota-kota di dunia tidak transitif (nontransitif).
27 elasi Kabur 09 Beberapa sifat komposisi kabur (khusus max-min):. Komposisi max-min bersifat assosiatif yaitu ( ) 3 = ( 3 ). Jika refleksif dan sebarang relasi kabur, maka dan 3. Jika refleksif maka 4. Jika dan relasi refleksif, maka juga refleksif. 5. Jika dan simetris dan =, maka 6. Jika 7. Jika simetris. transitif maka simetris maka ~ simetris 8. Jika simetris dan transitif, maka ( x, y) ( x, x), x, y U 9. Jika refleksif dan transitif, maka 0. Jika dan transitif dan transitif. = =, maka Sifat-sifat di atas hanya berlaku untuk komposisi max-min, akan tetapi ada juga beberapa sifat yang berlaku untuk komposisi max-hasil kali dan komposisi max-rata-rata. Pembaca dipersilahkan untuk memeriksa sifat yang berlaku pada komposisi max-hasil kali dan komposisi max-rata-rata sebagai latihan. 4.6 elasi Kemiripan Pada relasi biner biasa, kita mengenal adanya relasi kesetaraan (ekivalensi), yaitu relasi yang bersifat refleksif, simetris dan transitif. Pada
28 0 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur relasi yang demikian dapat didefinisikan himpunan A x yang memuat semua elemen U yang dihubungkan ke x oleh relasi kesetaraan, yaitu A x={y (x, y) } xu. Himpunan A x disebut kelas kesetaraan dari. Anggota dalam masing-masing kelas kesetaraan adalah setara satu sama lain dan keluarga semua kelas kesetaraan akan membentuk suatu partisi pada U. Contoh 4. Misalkan U = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. Hasil kali kartesian UU akan memuat 00 anggota, yaitu UU={(, ), (, ),, (0, 0)}. Misalkan adalah relasi pada U yang didefinisikan sebagai x dan y mempunyai sisa yang sama kalau dibagi tiga. Dengan mudah diperlihatkan bahwa relasi adalah relasi kesetaraan. Kelas-kelas kesetaraan yang terbentuk adalah: A =A 4=A 7=A 0={, 4, 7, 0}, A =A 5=A 8={, 5, 8}, dan A 3=A 6=A 9={3, 6, 9}. Jadi, 4, 7 dan 0 setara satu sama lain, yaitu dan 4 mempunyai sisa yang sama kalau masing-masing dibagi tiga, dan 7 mempunyai sisa yang sama kalau masing-masing dibagi tiga, dan 0 mempunyai sisa yang sama kalau masing-masing dibagi tiga, dan seterusnya. Demikian juga,, 5, 8 dan 3, 6, 9 akan setara satu sama lain. Seperti pada relasi biner biasa di atas, maka pada relasi kabur biner juga dikenal adanya relasi yang memenuhi sifat refleksif, simetris dan transitif. elasi kabur biner yang memenuhi sifat tersebut biasa disebut relasi kemiripan. elasi transitif yang dipakai pada pambahasan relasi kemiripan dalam buku ini adalah relasi transitif bentuk max-min. Konsep relasi transitif bentuk lain dapat dipakai untuk mendefinisikan relasi kemiripan. elasi kemiripan dapat membentuk himpunan-himpunan yang elemen-elemennya mirip (similar) satu sama lain pada derajat keanggotaan yang dispesifikasikan. Himpunan yang terbentuk tersebut disebut kelas kemiripan, yaitu suatu himpunan bagian M dari U sedemikian sehingga ( x, y), x, y M di mana adalah elemen himpunan-tingkat (level set) dari. Derajat keanggotaan yang dispesifikasikan tersebut dapat diinterpretasikan sebagai derajat kemiripan antara satu elemen dengan elemen yang lain dalam kelas kemiripan. Jika derajat keanggotaan sama dengan satu (=) maka kelas kemiripan menjadi kelas kesetaraan (elemen yang mirip satu sama lain menjadi setara satu sama lain). Masing-masing M untuk semua akan membentuk suatu partisi dalam U. Kelas-kelas
29 elasi Kabur kemiripan dari suatu relasi kemiripan yang elemennya berhingga pada derajat keanggotaan yang dispesifikasikan dapat direpresentasikan dalam bentuk diagram yang biasa disebut pohon-kemiripan yang mirip dengan suatu dendogram. Contoh 4.3 Misalkan relasi kabur pada himpunan U={a, b, c, d, e, f, g} dinyatakan oleh matriks relasional berikut: a b c d e f g a b c d e f g Dengan mudah dapat diperiksa bahwa relasi kabur tersebut di atas adalah relasi kemiripan pada U. Himpunan tingkat dari adalah ={0, 0.4, 0.5, 0.8, 0.9, }, sehingga diperoleh kelas kemiripan pada derajat keanggotaan, yaitu: M 0 = U M 0.4= {a, b, d}, {c, e, f, g} M 0.5= {a, b}, {d}, {c, e, f, g} M 0.8={a, b}, {d}, {c, e, f}, {g} M 0.9={a}, {b}, {d}, {c, e, f}, {g} M ={a}, {b}, {d}, {c, e}, {f}, {g}
30 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur elasi kemiripan tersebut dapat direpresentasikan dalam pohon-kemiripan atau dendogram berikut: Gambar 4.6 Pohon kemiripan untuk relasi kemiripan (Contoh 4.3) Dari Contoh 4.3, terlihat bahwa c, e, f dan g adalah mirip satu sama lain dengan derajat kemiripan 0.5; c, e dan f mirip satu sama lain dengan derajat kemiripan 0.8; c dan e mirip dengan derajat kemiripan sama dengan satu; dan seterusnya. 4.7 elasi Kedekatan Pada relasi biner biasa, kita mengenal adanya relasi kecocokan, yaitu relasi biner yang bersifat refleksif dan simetris. Suatu konsep penting yang berhubungan dengan relasi kecocokan adalah kelas kecocokan. Jika diberikan suatu relasi kecocokan, maka kelas kecocokan merupakan suatu himpunan bagian A dari U sedemikian sehingga (x, y) (U, U), x, y A. Suatu kelas kecocokan yang tidak termuat (sejati) dalam kelas kecocokan yang lain disebut kelas kecocokan maksimal. Keluarga yang memuat semua kelas kecocokan maksimal disebut penutup lengkap dari U. Seperti pada relasi biner biasa, maka pada relasi kabur biner juga dikenal adanya relasi yang memenuhi sifat refleksif dan simetris. elasi
31 elasi Kabur 3 kabur biner yang memenuhi sifat tersebut biasa disebut sebagai relasi kedekatan. Apabila relasi kedekatan, maka kelas kedekatan didefinisikan berdasarkan suatu derajat keanggotaan yang dispesifikasikan. Kelas kedekatan- merupakan suatu himpunan bagian D dari U sedemikian sehingga ( x, y), x, y D di mana adalah elemen himpunantingkat (level set) dari. Kelas kedekatan- maksimal dan penutup- lengkap merupakan perluasan dari konsep kelas kecocokan maksimal dan penutup lengkap. Kelas kendekatan- maksimal dan penutup- lengkap berturut-turut akan sama dengan kelas kecocokan dan penutup lengkap pada =. Contoh 4.4 Misalkan relasi kabur matriks relasional berikut: ~ didefinisikan pada U = 9 yang dinyatakan oleh Karena matriks di atas simetris dan semua entri pada diagonal utama sama dengan satu, maka relasi kabur adalah simetris dan refleksif. Dengan
32 4 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur demikian adalah suatu relasi kedekatan. Himpunan tingkat dari adalah = {0, 0.4, 0.5, 0.7, 0.8, }, sehingga diperoleh kelas kedekatan pada masing-masing tingkat: D 0 = N 9 D 0.4 = {,},{3, 4, 5}, {4, 5, 6, 7}, {5, 8}, {9} D 0.5 = {,},{3, 4, 5}, {4, 5, 6}, {4, 5, 7}, {5, 8},{9} D 0.7 = {,},{3, 4, 5}, {4, 5, 6}, {7}, {5, 8}, {9} D 0.8 = {,},{3, 4, 5}, {6}, {7}, {8}, {9} D = {}, {},{3, 4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9} elasi kedekatan tersebut dapat direpresentasikan dalam pohon kedekatan seperti diperlihatkan dalam Gambar 4.7. Kelas-kelas kedekatan tersebut tidak ada yang termuat (sejati) dalam kelas kedekatan yang lain pada tingkat yang sama. Oleh karena itu, kelas-kelas kedekatan tersebut merupakan kelas kedekatan- maksimal. Jadi {{,},{3, 4, 5}, {4, 5, 6, 7}, {5, 8}, {9}} adalah penutup-0.4 lengkap, {{,},{3, 4, 5}, {4, 5, 6},{4, 5, 7}, {5, 8}, {9}} adalah penutup-0.5 lengkap dan seterusnya = = = = = Gambar 4.7 Pohon kedekatan untuk relasi kedekatan (Contoh 4.4).
33 elasi Kabur 5 Soal-Soal Latihan 4. Berikan suatu contoh fungsi keanggotaan relasi kabur := jauh lebih kecil dari pada dalam 0 0 dengan menggunakan matriks relasional. 4. elasi kabur yang didefinisikan dalam U U U 3 U 4, di mana U = {a, b, c}, U ={s, t}, U 3={x, y} dan U 4={i, j} adalah sebagai berikut: ( U, U, U 3, U 4) = {((b, t, y, i), 0.4), ((a, s, x, i), 0.6), ((b, s, y, i), 0.9), a) Hitunglah proyeksi ((b, s, y, j), ), ((a, t, y, i), 0.6), ((c, s, y, i), 0.)}. pada U U U 4, U U, dan U 4 b) Hitunglah perluasan cylindric dari proyeksi dalam (a) ke U U U 3U Misalkan suatu relasi kabur pada menggunakan matriks relasional berikut: A B didefinisikan dengan y y y 3 y 4 y 5 x x x x Carilah a) Tentukan proyeksi pertama dan proyeksi kedua dari relasi. b) Tentukan perluasan cylindric dari proyeksi pertama dan proyeksi kedua relasi. () L dan () L dalam Contoh 4.8
34 6 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 4.5 Komposisikan dua relasi kabur dan berikut y y y 3 y 4 x x z z z 3 y 0 y y y dengan menggunakan komposisi maksimun, komposisi max-hasil kali dan komposisi max-rata-rata. 4.6 Misalkan didefinisikan relasi kedekatan menggunakan matriks relasional berikut: pada 7 7 dengan
35 elasi Kabur 7 Tentukan: a) Pohon kedekatan dari relasi. b) Semua penutup- lengkap dari relasi.
36 8 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur
Relasi & Fungsi. Kuliah Matematika Diskrit 20 April Pusat Pengembangan Pendidikan - Universitas Gadjah Mada
Relasi & Fungsi Kuliah Matematika Diskrit 20 April 2006 Hasil Kali Kartesian Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Hasil kali Kartesian A dengan B (simbol: A x B) adalah himpunan semua pasangan berurutan
Lebih terperinciRelasi Tegas (Crips Relation)
Logika Fuzzy (3) 1 Cartesian Product Terdapat dua himpunan A = {0, 1} dan B = {a, b, c}. Maka beberapa variasi hasil-kali kartesian (cartesian product) dapat dituliskan sebagai berikut: 2 Relasi Tegas
Lebih terperinciBAB 2 RELASI. 1. Produk Cartesian
BAB 2 RELASI 1. Produk Cartesian Notasi-notasi yang digunakan dari produk cartesian : (a, b) pasangan terurut dari elemen a dan b; (a 1, a 2,, a n ) n-tuple dari elemen-elemen a 1,, a n ; A x B = {(a,
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT BAB 2 RELASI
BAB 2 RELASI Kalau kita mempunyai himpunan A ={Edi, Tini, Ali, Diah} dan himpunan B = {Jakarta, Bandung, Surabaya}, kemudian misalnya Edi bertempat tinggal di Bandung, Tini di Surabaya, Ali di Jakarta,
Lebih terperinciProduk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI
Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI Jika A dan B masing-masing menyatkan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terutut (x,y) dengan
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR PROGRAM STUDI AGROTEKNOLOGI
RELASI MATEMATIKA DASAR PROGRAM STUDI AGROTEKNOLOGI Apa itu Relasi? Relasi ( hubungan ) himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. RELASI R : A B, artinya R relasi dari
Lebih terperinciDEFINISI. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).
BAB 3 RELASI DEFINISI Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah
Lebih terperinci9.1 RELATIONS AND THEIR PROPERTIES
CHAPTER 9 RELATION 9. RELATIONS AND THEIR PROPERTIES 2 Relasi Hubungan antar anggota himpunan direpresentasikan dengan menggunakan struktur yang disebut relasi. Untuk mendeskripsikan relasi antar anggota
Lebih terperinciRELASI BINER. 1. Hasil Kali Cartes
RELASI BINER 1. Hasil Kali Cartes Definisi: Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan tak kosong. Hasil kali Cartes dari A dan B yang dilambangkan A x B adalah himpunan A x B = {(x, y) x є A, y є B} Contoh
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan permasalahan, seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. 2.1 Graf Graf
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu
BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers
Lebih terperinciRELASI SMTS 1101 / 3SKS
RELASI SMTS 0 / 3SKS LOGIKA MATEMATIKA Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si 6 DAFTAR ISI Cover pokok bahasan... 6 Daftar isi... 7 Judul Pokok Bahasan... 8 5.. Pengantar... 8 5.2. Kompetensi... 8 5.3. Uraian
Lebih terperinciLogika, Himpunan, dan Fungsi
Logika, Himpunan, dan Fungsi A. Logika Matematika Logika matematika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan menggunakan bahasa serta simbol-simbol matematika dengan benar. 1) Kalimat Matematika Kalimat
Lebih terperinciMATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1
RELASI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI Apa itu Relasi? Relasi ( hubungan ) himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. RELASI R : A B, artinya R relasi dari himpunan A ke
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciMatematika Diskret. Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara RELASI. Pemodelan dan Simulasi
Matematika Diskret Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara Pemodelan dan Simulasi RELASI 1 9/26/2017 Hasil Kali Kartesian Hasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan
Lebih terperinciDefinisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}.
RELASI A. Pendahuluan Definisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}. Apabila (a, b) R, maka a dihubungkan dengan b oleh relasi R, ditulis a R
Lebih terperinciAljabar Linier Lanjut. Kuliah 1
Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Multiset Definisi Misalkan S himpunan
Lebih terperinciBAB I PEMBAHASAN 1. PENGERTIAN RELASI
BAB I PEMBAHASAN 1. PENGERTIAN RELASI Misalkan relasi pada himpunan A dan B adalah dua himpunan sebarang, suatu relasi dari A ke B adalah himpunan bagian dari A x B yaitu pasangan terurut (a,b) dimana
Lebih terperinciMatematika Diskrit 1
Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Pendahuluan Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/struktur matematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagai nilai-nilai
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, serta diakhiri dengan sistematika penulisan. 1.1 Latar
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 2
Relasi Relasi antara himpunan A dan himpunan B didefinisikan sebagai cara pengawanan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B. ilustrasi grafis dapat dilihat sebagai berikut: - Relasi Biner Relasi
Lebih terperinciRelasi Adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan
Relasi dan Fungsi Relasi Adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut.
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. papernya yang monumental Fuzzy Set (Nasution, 2012). Dengan
BAB II LANDASAN TEORI 2.. Logika Fuzzy Fuzzy set pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi Zadeh, 965 orang Iran yang menjadi guru besar di University of California at Berkeley dalam papernya yang monumental
Lebih terperinciKALKULUS (Relasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
KALKULUS (Relasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang
Lebih terperinciMatriks. Contoh matriks simetri. Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Contoh matriks 0/1:
MATRIKS & RELASI Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemenelemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: A = a a M a 2 m a a a 2 22 M m 2
Lebih terperinciPENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015
PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,
Lebih terperinciDefinisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}.
Modul 2 RELASI A. Pendahuluan Definisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}. Apabila (a, b) R, maka a dihubungkan dengan b oleh relasi R, ditulis
Lebih terperinciPERKALIAN CARTESIAN DAN RELASI
RELASI Anggota sebuah himpunan dapat dihubungkan dengan anggota himpunan lain atau dengan anggota himpunan yang sama. Hubungan tersebut dinamakan relasi. Contoh Misalkan M = {Ami, Budi, Candra, Dita} dan
Lebih terperinciRelasi. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).
Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk
Lebih terperinci1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q.
Diskusi Kelompok (I) Waktu: 100 menit Selasa, 23 September 2008 Pengajar: Hilda Assiyatun, Djoko Suprijanto 1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q. (a) Mahasiswa perlu membawakan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 HIMPUNAN CRIPS Himpunan adalah suatu kumpulan objek-objek yang mempunyai kesamaan sifat tertentu. Suatu himpunan harus terdefinisi secara tegas, artinya untuk setiap objek selalu
Lebih terperinciBAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan
BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciSEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA & KOMPUTER JAKARTA STI&K SATUAN ACARA PERKULIAHAN
SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMAA & KOMPUTER JAKARTA STI&K SATUAN ACARA PERKULIAHAN Mata : LOGIKA HIMPUNAN Kode Mata : DK - 11206 Jurusan / Jenjang : S1 SISTEM INFORMASI Tujuan Instruksional Umum : Agar
Lebih terperinciPEWARNAAN GRAF: POLINOMIAL KROMATIK DAN TEOREMA INVERSI MOBIUS
PEWARNAAN GRAF: POLINOMIAL KROMATIK DAN TEOREMA INVERSI MOBIUS Nurul Miftahul Jannah, Dr. Agung Lukito, M.S. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. 3 SKS By : Sri Rezeki Candra Nursari
LOGIKA MATEMATIKA 3 SKS By : Sri Rezeki Candra Nursari Komposisi nilai UAS = 36% Open note UTS = 24% Open note ABSEN = 5 % TUGAS = 35% ============================ 100% Blog : reezeki2011.wordpress.com
Lebih terperinciHasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan terurut (a, b) untuk a A dan b B.
III Relasi Banyak hal yang dibicarakan berkaitan dengan relasi. Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal istilah relasi bisnis, relasi pertemanan, relasi antara dosen-mahasiswa yang disebut perwalian
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2. 1. Fuzzy Logic Fuzzy logic pertama kali dikembangkan oleh Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965. Teori ini banyak diterapkan di berbagai bidang, antara lain representasi pikiran manusia
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bab II ini menjelaskan tentang teori-teori pendukung yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya yaitu sistem persamaan linear sistem persamaan linear kompleks dekomposisi Doolittle
Lebih terperinci22 Matematika Diskrit
.. Relasi Ekivalen Definisi : Sebuah relasi pada sebuah himpunan A disebut relasi ekivalen jika dan hanya jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Dua elemen yang dihubungkan dengan
Lebih terperinciOPERASI PADA GRAF FUZZY
OPERASI PADA GRAF FUZZY Budi Setiawan, Prof. Dr. Dwi Juniati, M.Si. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Surabaya Jalan Ketintang Surabaya 60231 Email: b_diset@yahoo.com,
Lebih terperinciYang akan dibicarakan adalah relasi-relasi yang determinatif.
Lecture 3: Relation A A. Pengertian Relasi Definisi 3.1 (a). Relasi R yang didefinisikan pada suatu semesta U, misal U = {x, y, } disebut determinatif pada U jika dan hanya jika ( x, yεu) kalimat xry merupakan
Lebih terperinciMatematika Komputasi RELASI. Gembong Edhi Setyawan
Matematika Komputasi RELASI Gembong Edhi Setyawan DEFINISI Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B Relasi Biner : Hubungan antara
Lebih terperinciRelasi. Oleh Cipta Wahyudi
Relasi Oleh Cipta Wahyudi Definisi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh
Lebih terperinciR = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323) }
Pertemuan 9 Relasi Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b
Lebih terperinciBAB II RELASI. 2. Relasi Definisi 2 Relasi antara A dan B disebut relasi biner. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B
II RESI 9 1. Produk artesian efinisi 1 Perkalian kartesian dari himpunan dan adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan dan
Lebih terperinciRELASI FUNGSI. (Kajian tentang karakteristik, operasi, representasi fungsi)
Outline RELASI DAN FUNGSI (Kajian tentang karakteristik, operasi, representasi fungsi) Drs., M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika FKIP PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT RELASI
MATEMATIKA DISKRIT RELASI Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh
Lebih terperinciKode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit
8/29/24 Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 8/29/24 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/24 8/29/24 Relasi dan Fungsi Tujuan Mahasiswa memahami
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Himpunan fuzzy adalah bentuk umum himpunan biasa yang memiliki tingkat
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Fuzzy Himpunan fuzzy adalah bentuk umum himpunan biasa yang memiliki tingkat keanggotaan dari tiap-tiap elemen yang dibatasi dengan interval [ 0, 1 ]. Oleh karena itu
Lebih terperinciKALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
KALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Relasi Ekivalen Relasi ekivalen digunakan untuk merelasikan obyek-obyek yang memiliki kemiripan dalam suatu hal tertentu. Definisi.
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Ruang vektor adalah suatu grup abelian yang dilengkapi dengan operasi pergandaan skalar atas suatu lapangan. Suatu ruang vektor dapat dikawankan dengan ruang
Lebih terperinci1 P E N D A H U L U A N
1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat
Lebih terperinciBAB 5 POSET dan LATTICE
BAB 5 POSET dan LATTICE 1. Himpunan Urut Parsial Suatu relasi R pada himpunan S dikatakan urut parsial pada S, jika R bersifat : 1. Refleksif, yaitu a R a, untuk setiap a Є s 2. Anti simetris, yaitu a
Lebih terperinci2. Matrix, Relation and Function. Discrete Mathematics 1
2. Matrix, Relation and Function Discrete Mathematics Discrete Mathematics. Set and Logic 2. Relation 3. Function 4. Induction 5. Boolean Algebra and Number Theory MID 6. Graf dan Tree/Pohon 7. Combinatorial
Lebih terperinciOleh : Winda Aprianti
Oleh : Winda Aprianti Relasi Definisi Relasi Relasi antara himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan yang berisi pasangan terurut yang mengikuti aturan tertentu (relasi biner). Relasi biner R antara
Lebih terperinciRPKPS MATA KULIAH PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UGM
RPKPS MATA KULIAH PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UGM 1 Judul, Kode, SKS Pengantar Logika Matematika Dan Himpunan, MMM 1201, 3 SKS 2 Silabus Semesta Pembicaraan, Kalimat Deklaratif, Ingkaran
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi graf,
Lebih terperinciAljabar Boole. Meliputi : Boole. Boole. 1. Definisi Aljabar Boole 2. Prinsip Dualitas dalam Aljabar
Aljabar Boole Meliputi : 1. Definisi Aljabar Boole 2. Prinsip Dualitas dalam Aljabar Boole 3. Teorema Dasar Aljabar Boole 4. Orde dalam sebuah Aljabar Boole Definisi Aljabar Boole Misalkan B adalah himpunan
Lebih terperinciRENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (Kelas Teori)
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (Kelas Teori) Fakultas : Teknik Industri Jurusan : Teknik Informatika Mata Kuliah & Kode : Matematika Diskrit SKS : Teori : 3 Praktik : - Semester & Waktu : Sem : 1 Waktu
Lebih terperinciMA3051 Pengantar Teori Graf. Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun
MA3051 Pengantar Teori Graf Semester 1 2013/2014 Pengajar: Hilda Assiyatun Bab 1: Graf dan subgraf Graf G : tripel terurut VG, E G, ψ G ) V G himpunan titik (vertex) E G himpunan sisi (edge) ψ G fungsi
Lebih terperinciUraian Singkat Himpunan
Uraian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 3, 2014 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi
Lebih terperinciAdri Priadana ilkomadri.com. Relasi
Adri Priadana ilkomadri.com Relasi Relasi Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain dinyatakan dengan struktur yang disebut relasi. Relasi antara himpunan A dan B disebut relasi biner,
Lebih terperinciFUZZY MULTI-CRITERIA DECISION MAKING
Media Informatika, Vol. 3 No. 1, Juni 2005, 25-38 ISSN: 0854-4743 FUZZY MULTI-CRITERIA DECISION MAKING Sri Kusumadewi, Idham Guswaludin Jurusan Teknik Informatika, Fakultas Teknologi Industri, Universitas
Lebih terperinciKALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
KALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Relasi Ekivalen Relasi ekivalen digunakan untuk merelasikan obyek-obyek yang memiliki kemiripan dalam suatu hal tertentu. Definisi.
Lebih terperinci1.1 Pengertian Himpunan. 1.2 Macam-macam Himpunan. 1.3 Relasi Antar Himpunan. 1.4 Diagram Himpunan. 1.5 Operasi pada Himpunan. 1.
I. HIMPUNAN 1.1 Pengertian Himpunan 1.2 Macam-macam Himpunan 1.3 Relasi Antar Himpunan 1.4 Diagram Himpunan 1.5 Operasi pada Himpunan 1.6 Aljabar Himpunan Pengertian Himpunan 1. Apa yang dimaksud dengan
Lebih terperinciRuang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1
Ruang Vektor Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor 1. Jika vektor vektor u, v V, maka vektor u + v V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
Lebih terperinciHUTAN DAN SIKEL PADA GRAF FUZZY
HUTAN DAN SIKEL PADA GRAF FUZZY Aisyahtin Afidah Arifai 1, Dwi Juniati 2 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, 60231 2 Jurusan Matematika, Fakultas
Lebih terperinciSUATU KAJIAN TENTANG HIMPUNAN FUZZY INTUISIONISTIK
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 47 56 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SUATU KAJIAN TENTANG HIMPUNAN FUZZY INTUISIONISTIK NILA SEFRIANA PUTRI Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciRELASI PERTEMUAN 2. Dosen : Ir. Hasanuddin Sirait, MT
RELASI PERTEMUAN 2 www.hsirait.wordpress.com Dosen : Ir. Hasanuddin Sirait, MT Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain dinyatakan dengan relasi. Misalkan variabel x dan y adalah bilangan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Pada abad ke-19, Teori Representasi secara umum dipelajari sebagai bagian dari Teori Grup. Himpunan semua endomorfisma invertibel dari ruang vektor V atas
Lebih terperinciHimpunan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan Dra. Kusrini, M.Pd. PENDAHULUAN D alam Modul 1 ini ada 3 kegiatan belajar, yaitu Kegiatan Belajar 1, Kegiatan Belajar 2, dan Kegiatan Belajar 3. Dalam Kegiatan Belajar 1, Anda akan mempelajari
Lebih terperinciDASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING
DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:
Lebih terperinciPengantar Analisis Real
Modul Pengantar Analisis Real Dr Endang Cahya, MA, MSi P PENDAHULUAN ada Modul ini disajikan beberapa topik pengantar mata kuliah Analisis Real, yang terbagi dalam beberapa kegiatan belajar yang harus
Lebih terperinciHimpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan Tahun Ajaran 2013/2014 Obyek-obyek diskret ada di sekitar kita. Matematika Diskret (TKE132107)
Lebih terperinciBAB 5 POSET dan LATTICE
BAB 5 POSET dan LATTICE 1. Himpunan Urut Parsial Suatu relasi R pada himpunan S dikatakan urut parsial pada S, jika R bersifat : 1. Refleksif, yaitu a R a, untuk setiap a Є s 2. Anti simetris, yaitu a
Lebih terperinciRelasi dan Fungsi. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP
Relasi dan Fungsi Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP 2 Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m
Lebih terperinciBAB III HIMPUNAN DAN FUNGSI
BAB III HIMPUNAN DAN FUNGSI A. Konsep Dasar Himpunan dan Fungsi Himpunan dan fungsi merupakan obyek dasar dari semua obyek yang dipelajari dalam matematika. Pada saat seseorang belajar matematika, baik
Lebih terperinciTEORI HIMPUNAN. A. Penyajian Himpunan
TEORI HIMPUNAN A. Penyajian Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Dalam
Lebih terperinciBAB II RELASI DAN FUNGSI
9 BAB II RELASI DAN FUNGSI Dalam kehidupan nyata, senantiasa ada hubungan (relasi) antara dua hal atau unsur-unsur dalam suatu kelompok. Misalkan, hubungan antara suatu urusan dengan nomor telepon, antara
Lebih terperinciTeori Himpunan Ole l h h : H anu n n u g n N. P r P asetyo
Teori Himpunan Oleh : Hanung N. Prasetyo Meski sekilas berbeda, akan kita lihat bahwa logika matematika dan teori himpunan berhubungan sangat erat. Matematika Diskrit Kuliah-2 2 Definisi: himpunan (set)
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. 2.1 Penelusuran Minat dan Kemampuan (PMDK) diselenggarakan oleh suatu perguruan tinggi secara mandiri.
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Penelusuran Minat dan Kemampuan (PMDK) PMDK adalah salah satu program penerimaan mahasiswa baru yang diselenggarakan oleh suatu perguruan tinggi secara mandiri. Sesuai dengan
Lebih terperinciSILABUS MATAKULIAH. Indikator Pokok Bahasan/Materi Aktifitas Pembelajaran
SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11. 54302/ Matematika Diskrit 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot
Lebih terperinciPENDAHULUAN. 1. Himpunan
PENDAHULUAN 1. Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu himpunan biasanya
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Logika Fuzzy Fuzzy secara bahasa diartikan sebagai kabur atau samar yang artinya suatu nilai dapat bernilai benar atau salah secara bersamaan. Dalam fuzzy dikenal derajat keanggotan
Lebih terperinci55 LEMBAR VALIDASI MODUL BERBASIS PROBING PROMPTING UNTUK MATERI RELASI PADA MATA KULIAH MATEMATIKA DISKRIT PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA A. Pengantar Lembar validasi ini dibuat untuk memperoleh data yang
Lebih terperinciRelasi Kongruensi Fuzzy pada Grup dan Grup Hasil Bagi
Relasi Kongruensi Fuzzy pada rup dan rup asil Bagi Oleh K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta e-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciSUATU KAJIAN TENTANG HIMPUNAN LUNAK KABUR (FUZZY SOFT SET ) DAN APLIKASINYA
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 65 73 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SUATU KAJIAN TENTANG HIMPUNAN LUNAK KABUR (FUZZY SOFT SET ) DAN APLIKASINYA PRIMA PUTRI ADHA UTAMI Program
Lebih terperinciAljabar Linier. Kuliah 3. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand
Aljabar Linier Kuliah 3 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 1 Materi Kuliah 3 Jumlah Langsung, Hasilkali Langsung Himpunan Pembangun (Spans) dan Bebas Linier 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 2
Lebih terperinciBAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut
BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS Sebelum membahas Aljabar Max-Plus, akan diuraikan terlebih dahulu beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh suatu Aljabar Max-Plus.
Lebih terperinciBAB II TEORI PENUNJANG
BAB II TEORI PENUNJANG 2.1 LOGIKA FUZZY Titik awal dari konsep modern mengenai ketidakpastian adalah paper yang dibuat oleh Lofti A Zadeh, dimana Zadeh memperkenalkan teori yang memiliki obyek-obyek dari
Lebih terperinciLOGIKA FUZZY FUNGSI KEANGGOTAAN
LOGIKA FUZZY FUNGSI KEANGGOTAAN FUNGSI KEANGGOTAAN (Membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai/derajat keanggotaannya yang memiliki interval
Lebih terperinciMisalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} dan relasi R dari A ke B diberikan oleh R = {(1,5),(4,5),(1,4),(4,6),(3,7),(7,6)}
SOAL-SOAL DAN PENYELESAIAN 1'1) Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} dan relasi R dari A ke B diberikan oleh R = {(1,5),(4,5),(1,4),(4,6),(3,7),(7,6)} Carilah: Domain, range Uangkauan)
Lebih terperinciPERTEMUAN Relasi dan Fungsi
4-1 PERTEMUAN 4 Nama Mata Kuliah : Matematika Diskrit (3 SKS) Nama Dosen Pengampu : Dr. Suparman E-mail : matdis@netcourrier.com HP : 081328201198 Judul Pokok Bahasan Tujuan Pembelajaran : 4. Relasi dan
Lebih terperinciREVIEW PROPERTI OPERATOR MATEMATIKA MORPHOLOGI DALAM PEMROSESAN CITRA
Prosiding Semirata 2015 bidang Teknologi Informasi dan Multi Disiplin Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 134-141 REVIEW PROPERTI OPERATOR MATEMATIKA MORPHOLOGI DALAM PEMROSESAN CITRA Zaiful Bahri Jurusan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinci