PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Transkripsi

1 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensian Biasa Orde n Koefisien Konstan Resmawan UNIVERSITAS NEGERI GORONTALO November 2018 resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

2 4 PDB Orde n 4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan 4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan 4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

3 4 PDB Orde n 4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan 4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan Perhatikan bentuk umum a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0 (11) dimana koefisien-koefisien a n, a n 1,, a 0 adalah konstanta dan a n = 0. Solusi umum persamaan (11) dapat diperoleh dengan pendekatan yang sama dengan PD Orde dua homogen. Andaikan basis-basis solusinya adalah y = e λx Maka turunan-turunannya terhadap x adalah y = λe λx, y = λ 2 e λx, y (n 1) = λ n 1 e λx, y (n) = λ n e λx (12) resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

4 4 PDB Orde n 4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan 4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan Subtitusi persamaan (12) ke persamaan (11) menghasilkan ( an λ n + a n 1 λ n a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 ) e λx = 0 Karena e λx = 0, maka a n λ n + a n 1 λ n a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0 (13) yang disebut Persamaan Karakteristik, sehingga solusi umum diberikan oleh y = c 1 e λ 1x + c 2 e λ 2x + + c n e λ nx resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

5 4 PDB Orde n 4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan 4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan Langkah-Langkah menentukan solusi umum: 1 Menentukan polinomial persamaan karakteristik 2 Menentukan akar-akar persamaan karakteristik 3 Membentuk solusi umum berdasarkan akar-akar pada langkah ke 2, yang terdiri dari beberapa kasus: Kasus Akar-Akar Real Tak Berulang (Akar Real Berbeda) Kasus Akar-Akar Real Berulang (Akar Real Sama) Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak Berulang Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

6 4.3.1 Kasus Akar-Akar Real Berbeda 4 PDB Orde n Kasus Pertama: Akar-Akar Real Berbeda Kasus Pertama: Akar-Akar Real Berbeda resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

7 4.3.1 Kasus Akar-Akar Real Berbeda 4 PDB Orde n Kasus Pertama: Akar-Akar Real Berbeda Andaikan sebuah persamaan diferensial linear homogen orde n dengan koefisien konstan (11) dan jika persamaan karakteristik pada persamaan (13), semuanya bilangan real berbeda, yakni λ 1, λ 2,, λ n maka basis-basis solusinya diberikan oleh y 1 = e λ 1x, y 2 = e λ 2x,, y n = e λ nx Dengan demikian solusi umum diberikan oleh y (x) = c 1 e λ 1x + c 2 e λ 2x + + c n e λ nx (14) dimana c 1, c 2, c n konstanta. resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

8 4 PDB Orde n Kasus Pertama: Akar-Akar Real Berbeda Kasus Akar-Akar Real Berbeda Example Carilah solusi umum persamaan diferensial berikut: 1 y 2y 5y + 6y = 0 2 y (4) 5y + 5y + 5y 6y = 0 resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

9 4 PDB Orde n Kasus Pertama: Akar-Akar Real Berbeda Kasus Akar-Akar Real Berbeda Solution 1 Untuk soal nomor 1, diperoleh persamaan karakteristik λ 3 2λ 2 5λ + 6 = 0. dengan metode horner, diperoleh λ 3 2λ 2 5λ + 6 = (λ 1) ( λ 2 λ 6 ) = (λ 1) (λ + 2) (λ 3) yang berarti akar-akar persamaan karakteristik adalah λ 1 = 1, λ 1 = 2, dan λ 3 = 3 sehingga, solusi umum adalah y = c 1 e x + c 2 e 2x + c 3 e 3x resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

10 4.3.2 Kasus Akar-Akar Real Sama 4 PDB Orde n Kasus Kedua: Akar-Akar Real Sama Kasus Kedua: Akar-Akar Real Sama resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

11 4.3.2 Kasus Akar-Akar Real Sama 4 PDB Orde n Kasus Kedua: Akar-Akar Real Sama Andaikan sebuah persamaan diferensial linear homogen orde n dengan koefisien konstan (11) dan jika persamaan karakteristik pada persamaan (13), memuat m akar-akar real sama, yakni λ 1 = λ 2 = = λ m = λ maka basis-basis solusinya diberikan oleh y 1 = e λx, y 2 = xe λx, y 3 = x 2 e λx,, y m = x m 1 e λx Dengan demikian solusi umum diberikan oleh y (x) = ( c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c m x m 1) e λx (15) dimana c 1, c 2, c m konstanta. resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

12 4 PDB Orde n Kasus Kedua: Akar-Akar Real Sama Kasus Akar-Akar Real Sama Example Carilah solusi umum persamaan diferensial berikut: 1 y y y + y = 0 2 y (4) 6y + 13y 12y + 4y = 0 resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

13 4 PDB Orde n Kasus Kedua: Akar-Akar Real Sama Kasus Akar-Akar Real Sama Solution 1 Persamaan Karakteristik λ 3 λ 2 λ + 1 = 0. dengan metode horner, diperoleh λ 3 λ 2 λ + 1 = (λ 1) ( λ 2 1 ) = (λ 1) (λ 1) (λ + 1) yang berarti akar-akar persamaan karakteristik adalah λ 1 = λ 2 = 1, dan λ 3 = 1 sehingga, solusi umum adalah y = (c 1 + c 2 x) e x c 3 e x resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

14 4 PDB Orde n Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Konjugate Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak Berulang Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak Berulang resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

15 4 PDB Orde n Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Konjugate Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak Berulang Andaikan sebuah persamaan diferensial linear homogen orde n dengan koefisien konstan (11) dan jika persamaan karakteristik pada persamaan (13), memuat akar-akar kompleks konjugate, yakni λ 12 = a ± bi maka basis-basis solusinya diberikan oleh y 1 = e ax cos bx dan y 2 = e ax sin bx Dengan demikian solusi umum diberikan oleh dimana c 1, c 2 konstanta. y (x) = e ax (c 1 cos bx + c 2 sin bx) (16) resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

16 4 PDB Orde n Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Konjugate Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak Berulang Example Carilah solusi umum persamaan diferensial berikut: 1 y 4y + 9y 10y = 0 2 y (4) 10y + 41y 76y + 52y = 0 3 y (4) 4y + 9y 16y + 20y = 0 resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

17 4 PDB Orde n Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Konjugate Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak berulang Solution 2. Untuk kasus nomor 2, diperoleh Persamaan Karakteristik dengan metode horner, diperoleh λ 3 10λ λ 2 76λ + 52 = 0. λ 3 10λ λ 2 76λ + 52 = (λ 2) ( λ 3 8λ λ 26 ) = (λ 2) (λ 2) ( λ 2 6λ + 13 ) ( ) = (λ 2) 2 (λ 3) resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

18 4 PDB Orde n Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Konjugate Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak berulang Solution 2. yang berarti akar-akar persamaan karakteristik adalah sehingga, solusi umum adalah λ 12 = 2 dan λ 34 = 3 ± 2i y = (c 1 + c 2 x) e 2x + (c 3 cos 2x + c 4 sin 2x) e 3x resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

19 4 PDB Orde n Kasus Keempat: Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang Kasus Keempat: Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

20 4 PDB Orde n Kasus Keempat: Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang Andaikan sebuah persamaan diferensial linear homogen orde n dengan koefisien konstan (11) dan jika persamaan karakteristik pada persamaan (13), memuat akar-akar kompleks konjugate berulang, yakni λ 12 = a ± bi dan λ 34 = a ± bi maka basis-basis solusinya diberikan oleh y 1 = e ax cos bx, y 2 = e ax sin bx, y 3 = xe ax cos bx, y 4 = xe ax sin bx Dengan demikian solusi umum diberikan oleh y (x) = e ax (c 1 cos bx + c 2 sin bx) + xe ax (c 3 cos bx + c 4 sin bx) (17) dimana c 1, c 2, c 3, c 4 konstanta. resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

21 4 PDB Orde n Kasus Keempat: Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang Example Carilah solusi umum persamaan diferensial berikut: y (4) + 8y + 16y = 0 resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

22 4 PDB Orde n Kasus Keempat: Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate berulang Solution Persamaan Karakteristik λ 4 + 8λ = 0. Tulis kembali persamaan karakteristik menjadi λ 4 + 8λ = ( λ ) ( λ ) yang berarti akar-akar persamaan karakteristik adalah λ 12 = ±2i dan λ 34 = ±2i resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

23 4 PDB Orde n Kasus Keempat: Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate berulang Solution sehingga, solusi umum adalah y = e 0 (c 1 cos 2x + c 2 sin 2x) + xe 0 (c 3 cos 2x + c 4 sin 2x) = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x + c 3 x cos 2x + c 4 x sin 2x = (c 1 + c 3 x) cos 2x + (c 2 + c 4 x) sin 2x resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

24 4 PDB Orde n * Soal-Soal Latihan 8 * Soal-Soal Latihan 8 Problem Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut: 1 y (4) 5y + 4y = 0 2 y (4) + 3y + 5y + y 10y = 0 3 y (4) 6y + 17y 20y + 8y = 0 Carilah solusi umum dan solusi khusus dari persamaan diferensial dengan nilai awal berikut 4 y + 3y + y 5y = 0; y (0) = 0, y (0) = 4, dan y (0) = 0 5 2y (4) 11y + 21y 16y + 4y = 0; y (0) = 0, y (0) = 2, y (0) = 2, dan y (0) = 0 6 y (4) 6y + 13y 12y + 4y = 0; y (0) = 0, y (0) = 0, y (0) = 2, dan y (0) = 4 resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51

25 3. Penutup " Terima Kasih, Semoga Bermanfaat " (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 51