Logika dan Himpunan. 1) Kalimat Matematika Definisi Kalimat matematika adalah kumpulan kata yang mengungkapkan suatu konsep pikiran dan perkataan.

Transkripsi

1 Logika dan Himpunan A. Logika Matematika Logika matematika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan menggunakan bahasa serta simbol-simbol matematika dengan benar. 1) Kalimat Matematika Kalimat matematika adalah kumpulan kata yang mengungkapkan suatu konsep pikiran dan perkataan. a) Kalimat Tertutup Kalimat tertutup adalah suatu kalimat yang dapat dinyatakan nilai kebenarannya, bernilai benar atau salah, dan tidak keduanya. Tomy : Siapakah presiden pertama Republik Indonesia? Rizky : Presiden pertama Republik Indonesia adalah Ir. Soekarno. Tomy : Berapakah dua ditambah lima? Rizky : Dua ditambah lima sama dengan tujuh. Tomy : Berapakah enam dikurang satu? Rizky : Enam dikurang satu adalah sepuluh. b) Kalimat Terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya, bernilai benar saja atau salah saja. Variabel atau peubah adalah simbol yang ditulis dengan huruf kecil. Negara Republik Indonesia ibukotanya x. Provinsi m terletak di Sulawesi. Dua ditambah a sama dengan delapan. b + 28 = 40 x + 4 = 10 2) Kata Penghubung Kata penghubung adalah kata-kata yang digunakan untuk menghubungkan kalimat dengan kalimat. a) Dan Kata penghubung dan adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan kalimat dengan kalimat serta berlaku untuk semuanya. Dinotasikan ' '. Saya sekolah di SMP Negeri 2 Pare dan saya tinggal di kecamatan Pare. 13 adalah bilangan ganjil dan bilangan prima. b) Atau Kata penghubung atau adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan kalimat dengan kalimat serta berlaku untuk salah satu. Dinotasikan ' '. Setelah lulus SD, saya akan sekolah di SMP atau MTs. 1

2 Saya berangkat sekolah lewat jalan ke arah utara atau ke arah selatan. c) Jika..., maka... Kata penghubung Jika..., maka... adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan dan mengandaikan suatu keinginan yang belum terpenuhi, tetapi bermaksud untuk melakukan hal tersebut. Dinotasikan ' '. Jika saya berangkat sekolah lewat jalan ke arah utara, maka akan terlambat masuk sekolah. d)... jika dan hanya jika... Kata penghubung... jika dan hanya jika... adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan dan mengandaikan keinginan yang harus dipenuhi. Dinotasikan ' '. x = 3, jika dan hanya jika 4x = 12. x = 3 4x = 12. B. Himpunan 1) Pengertian Himpunan Himpunan adalah sekumpulan objek yang dapat dinyatanan dengan jelas. Himpunan dinotasikan dalam huruf Kapital, misalnya: A, B, C, dll. Tentukan, apakah pernyataan berikut merupakan himpunan atau bukan himpunan. Kumpulan binatang berkaki empat! Kumpulan binatang berkaki empat merupakan himpunan karena kita dapat mendefinisikan dengan jelas binatang yang berkaki empat dan binatang yang tidak berkaki empat. Tentukan, apakah pernyataan berikut merupakan himpunan atau bukan himpunan. Kumpulan makanan enak! Kumpulan makanan enak bukan merupakan himpunan karena kita tidak dapat mendefinisikan dengan jelas makanan yang enak dan yang tidak enak. Makanan yang enak sangat bergantung pada orang yang merasakannya dan tidak sama menurut setiap orang. 2) Elemen atau Anggota Elemen atau anggota adalah setiap objek yang termasuk dalam sebuah himpunan. Elemen dinotasikan dalam huruf Kecil, misalnya: a, b, c, dll. A = {1,2,3} a = 3, maka a A b = 4, maka b A Jika a termasuk dalam anggota himpunan A, maka ditulis a A (dibaca a merupakan anggota dari himpunan A) Jika b tidak termasuk dalam anggota himpunan A, maka ditulis b A (dibaca b bukan anggota dari himpunan A) 2

3 3) Kardinalitas Himpunan Kardinalitas himpunan adalah banyak anggota suatu himpunan. P = {5,10,15,20} Q = {a, b, c, d, e} Himpunan P memuat 4 anggota, disimbolkan dengan n(p) = 4. Himpunan Q memuat 5 anggota, disimbolkan dengan n(q) = 5. C. Penyajian Himpunan 1) Dengan Kata-kata Misalkan diketahui himpunan lima bilangan asli yang pertama adalah 12,3,4, dan 5. A = himpunan lima bilangan asli pertama 2) Dengan Mendaftar Misalkan diketahui himpunan lima bilangan asli yang pertama adalah 12,3,4, dan 5. A = {1,2,3,4,5} 3) Dengan Notasi Misalkan diketahui himpunan lima bilangan asli yang pertama adalah 12,3,4, dan 5. A = {x x < 6, x N} atau A = {x x 5, x N} 4) Diagram Venn Diagram venn merupakan suatu cara untuk menyajikan suatu himpunan. Contoh : S = { 2, 1,0,1,2, } D. Jenis-jenis Himpunan 1) Himpunan Berhingga P adalah himpunan nama-nama hari, dapat ditulis P = {senin, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, minggu}. Pada himpunan P di atas, semua anggota himpunan P sudah didaftar, yaitu senin, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, dan minggu. Jadi, banyaknya anggota himpunan adalah 7. 2) Himpunan Tak Hingga G adalah Himpunan bilangan ganjil, dapat ditulis G = {1, 3, 5, 7, } dengan anggotanya 1, 3, 5, 7, dan seterusnya. 3

4 Tidak semua anggotanya didaftar dan juga tidak dapat ditentukan, berapakah bilangan terbesar yang merupakan anggota himpunan. Karena tidak diketahui anggota yang terbesar maka tidak dapat dihitung banyaknya anggota pada himpunan G. Himpunan seperti G disebut himpunan tak hingga. 3) Himpunan Kosong Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan Kosong dinotasikan dengan atau{ }. Contoh : A = {x: x 2 = 9, x adalah bilangan genap} Karena x tidah ada yang memenuhi x 2 = 9, x adalah bilangan genap. Jadi A adalah himpunan kosong, ditulis A = atau A = { }. 4) Himpunan Semesta Himpunan Semesta adalah himpunan yang terdiri atas semua himpunan bagian yang dibentuk darinya. Himpunan semesta dinotasikan S. Contoh : S adalah himpunan bilangan bulat atau S = {, 2, 1,0,1,2,, }. E. Relasi Himpunan 1) Himpunan Bagian Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B, jika dan hanya jika setiap anggota A juga anggota pada B. Dinotasikan A B. Contoh : A = {1,3,5,7} B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 4

5 2) Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah semua himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan P(A). Banyaknya anggota himpunan kuasa dari himpunan A dinotasikan dengan n(p(a)) = 2 k. Diberikan himpunan A = {1,3,5}, carilah himpunan kuasa yang merupakan himpunan bagian dari A. Himpunan-himpunan yang merupakan himpunan bagian dari A adalah: Himpunan yang banyak anggotanya 0 adalah 1, yaitu:. Himpunan yang banyak anggotanya 1 adalah 3, yaitu {1}, {3}, {5} Himpunan yang banyak anggotanya 2 adalah 3, yaitu {1,3}, {1,5}, {3,5} Himpunan yang banyak anggotanya 3 adalah 1, yaitu {1,3,5} P(A) = {, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5}, {1,3,5}}. n(p(a)) = 2 3 = 8. 3) Kesamaan Dua Himpunan Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika A B dan B A, dinotasikan dengan A = B. Diberikan himpunan A = {1,3,5} dan B = {3,5,1}, apakah himpunan A dan himpunan B sama? A B {1} {3,5,1}, {3} {3,5,1}, {5} {3,5,1}. B A {3} {1,3,5}, {5} {1,3,5}, {1} {1,3,5}. A B dan B A, jika dan hanya jika A = B 4) Himpunan Berpotongan Himpunan A dan B dikatakan saling berpotongan jika ada anggota himpunan A dan B yang sama. Dinotasikan A B. 5

6 5) Himpunan Saling Lepas Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika tidak ada anggota himpunan A dan B yang sama. F. Operasi Himpunan 1) Irisan Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari himpunan A dan himpunan B, dinotasikan dengan A B = {x x A dan x B}. Diberikan himpunan A = {1, 2} dan B = {2, 3, 4, 5}, carilah A B! Jadi, A B = {2}. 2) Gabungan Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari himpunan A atau himpunan B atau semuanya, dinotasikan dengan A B = {x x A atau x B}. Diberikan himpunan A = {1, 2} dan B = {2, 3, 4, 5}, carilah A B! Jadi, A B = {1, 2, 3, 4, 5} 6

7 3) Komplemen Komplemen dari A adalah himpunan yang tediri atas semua anggota S tetapi bukan anggota A, dinotasikan A atau A c = {x x S dan x A}. Diberikan himpunan S = {1, 2, 3, 4, 5} dan A = {1, 2, 3}, carilah A c! Jadi, A c = {4, 5}. 4) Selisih Himpunan yang elemennya ada di A, tetapi tidak ada di B, dinotasikan A B = {x x S dan x A} Diberikan himpunan A = {1, 2} dan B = {2, 3, 4, 5}, carilah A B! Jadi, A B = {1} G. Sifat-sifat Operasi Himpunan 1) Komutatif (Pertukaran) A B = B A A B = B A 2) Asosiatif (Pengelompokkan) A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C 3) Himpunan Kosong A = A = A 7

8 4) Himpunan Semesta A S = A A S = S 5) Distributif (Penyebaran) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 6) Komplemen (A ) = A A A = A A = S = S S = 7) De Morgan (A B) = A B (A B) = A B 8