LECTURE 4: FIXED AND PERIODIC POINTS. A. Fixed Point

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "LECTURE 4: FIXED AND PERIODIC POINTS. A. Fixed Point"

Transkripsi

1 LECTURE 4: FIXED AND PERIODIC POINTS A. Fixed Point Definition (Fixed point). Diberikan ruang metrik X dengan metric d, dan f: X X merupakan fungsi dari X ke dirinya sendiri. Suatu titik xεx disebut titik tetap (fixed point) jika f(x) = x. Contoh. Misalkan X = R dan f: R R dengan f(x) = 4x(1 x). Maka x = 0 dan x = adalah titik-titik tetap f, karena f(0) = 0 dan f =. Definition (Contractive map). Diberikan ruang metrik (X, d), dan E X. Suatu fungsi f: E E disebut fungsi kontraktif, jika, 0 < 1 sehingga berlaku df(x ) f(x ) d(x x ), x, x εe. Contoh. Misalkan X = R. Fungsi f: R R dengan f(x) = x merupakan fungsi kontraktif, karena x, x εr berlaku f(x ) f(x ) = x x = (x x ) dengan =. = x x < x x, Theorem (Intermediate value theorem) Diberikan E himpunan bagian dari ruang metrik terhubung (X, d), dan fungsi kontinu f: E R. Jika x, x εe dan suatu titik y berada antara f(x ) dan f(x ), maka terdapat suatu xεe sedemikian sehingga f(x) = y. Proof (buktikan) Theorem (Fixed point existence) Diberikan fungsi kontinu f: [a, b] [a, b]. Maka f mempunyai paling sedikit satu titik tetap di [a, b]. Misal diberikan fungsi F(x) = f(x) x. F merupakan penjumlahan dua fungsi kontinu, sehingga F kontinu. Karena a f(x) b untuk setiap x [a, b], maka diperoleh 0 f(a) a = F(a) b a a b f(b) b = F(b) 0. Akibatnya, 0 berada antara F(a) dan F(b). Berdasarkan Intermediate Value Theorem,terdapat x ε[a, b] sedemikian sehingga F(x ) = f(x ) x = 0 f(x ) = x. Jadi, x adalah titik tetap dari f.

2 Theorem (Banach fixed point theorem) Diberikan (X, d) ruang metrik lengkap (ruang Banach) dan E X, E tertutup. Jika f: E E merupakan pemetaan kontraktif, maka: (a) terdapat dengan tunggal x E sehingga f(x ) = x, yaitu x titik tetap f. (b) x dapat ditentukan secara iteratif, yaitu lim f (x) = x untuk semua x E. dengan f (x) = (f f f)(x) (n kali komposisi). Karena f kontraktif, maka dapat dipilih, dengan 0 < 1, sehingga df(x ) f(x ) d(x x ), x, x E. (1) Ambil sebarang x E. Akan ditunjukkan bahwa {f (x) n 0} = {x, f(x), f (x), f (x), } merupakan barisan Cauchy. Perhatikan bahwa dari (1) diperoleh df (x) f(x) d(f(x) x) df (x) f (x) d(f (x) f(x)) d(f(x) x)... df (x) f (x) d(f(x) x), n 1. Akibatnya, untuk m > n berlaku: df (x) f (x) df (x) f (x) + df (x) f (x) + + df (x) f (x) ( )d(f(x) x) = ( )d(f(x) x) = d(f(x) x) d(f(x) x) Dengan argumen yang sama, untuk m < n diperoleh df (x) f (x) d(f(x) x). Jadi, diperoleh df (x) f (x) {,} Karena 0 < 1, maka dari (2) disimpulkan lim, df (x) f (x) = 0, d(f(x) x). (2) yaitu {f (x) n 0} barisan Cauchy di E. Karena E tertutup dan X lengkap, terdapat x E, sehingga: x = lim f (x). (3) Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa x titik tetap. Dapat diperlihat-kan bahwa pemetaan kontraktif f kontinu di x, sehingga dari (3): f(x ) = flim f (x) = lim f (x) = x. Akhirnya tinggal ditunjukkan ketunggalan x. Jika terdapat y, sehing-ga f(y ) = y, maka dari (1) diperoleh 0 d(x, y ) = d(f(x ), f(y )) d(x, y ) yang akan terpenuhi jika dan hanya jika x = y.

3 Definition. Diberikan titik tetap x dari fungsi diferensiabel F(x). (i) Jika F (x ) < 1, maka x merupakan titik tetap penarik (attracting fixed point/stable). (ii) Jika F (x ) > 1, maka x merupakan titik tetap penolak (repelling fixed point/unstable). (iii) Jika F (x ) = 1, maka x merupakan titik tetap netral (neutral fixed point/indifferent). Contoh: g(x) = x. Fungsi g(x) = x mempunyai dua titik tetap, yaitu x = 0 dan x =. Turunan fungsi g(x) adalah g (x) = 2x. Untuk setiap titik tetap diperoleh g (0) = < 1 dan g = 2.5 > 1, sehingga x = 0 adalah titik tetap penarik dan x = adalah titik tetap penolak. Berikut iterasi g(x) = x dengan x0 = 1.4 dan x0 = Untuk x0 = 1.4, iterasi menjauhi x = dan konvergen ke titik x = 0, sedangkan untuk x0 = 1.51, iterasi menjauhi titik tersebut. Fungsi g(x) = x tidak memiliki titik periodik. Theorem (Attracting fixed point theorem) Diberikan titik tetap penarik x dari fungsi diferensiabel F(x) (sedemikian sehingga F (x ) < 1). Maka terdapat suatu interval, I, yang memuat x sebagai titik interior sehingga berlaku (i) Jika xεi, maka f (x)εi untuk setiap n > 0, dan (ii) Untuk setiap xεi, f (x) x untuk n. Karena x titik tetap penarik, maka F (x ) < 1. Sehingga terdapat suatu bilangan > 0 sedemikian sehingga F (x ) < < 1. Berdasarkan sifat kontinuitas dari F, dapat dipilih ε > 0 sedemikian sehingga F (x) < untuk setiap x ε (x ε, x + ε). Sekarang diambil sebarang x ε (x ε, x + ε). Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata diperoleh

4 ()( ) = F (y), untuk beberapa nilai y diantara x dan x. Dengan demikian, diperoleh ()( ) = F (y) <, atau ekuivalen dengan F(x) F(x ) < x x. Karena x titik tetap, sehingga F(x) x < x x. Karena 0 < < 1, maka dari pertidaksamaan tersebut, jarak F(x) dengan x lebih kecil daripada jarak x dengan x. Akibatnya, F(x) berada pada interval (x ε, x + ε), karena x dipilih dari interval tersebut. Dengan menerapkan proses di atas terhadap F(x) dan F(x ), diperoleh F (x) x = F (x) F (x ) < F(x) x < x x. Karena 0 < < 1, maka 0 < <. Hal ini menunjukkan bahwa jarak F (x) dengan x menjadi semakin lebih kecil daripada jarak x dengan x, dan akibatnya F (x) tetap berada pada interval (x ε, x + ε). Hal ini berarti jika kita melanjutkan proses di atas, maka jarak F (x) dengan x semakin menyusut. Secara umum untuk n > 0, diperoleh F (x) x < x x. Karena 0 < < 1, maka 0 untuk n. Sehingga dari pertidaksamaan di atas diperoleh F (x) x 0 untuk n, atau ekuivalen dengan F (x) x untuk n. Theorem (repelling fixed point theorem) Diberikan titik tetap penolak x dari fungsi diferensiabel F(x) (sedemi-kian sehingga F (x ) > 1). Maka terdapat suatu interval, I, yang memuat x sebagai titik interior sehingga berlaku Jika xεi dan x x, maka n > 0 sedemikian sehingga f (x) I Karena x titik tetap penolak, maka F (x ) > 1. Sehingga terdapat beberapa > 0 sedemikian sehingga F (x ) > > 1. Berdasarkan sifat kontinuitas dari F, dapat dipilih ε > 0 sedemikian sehingga F (x) > untuk setiap x ε (x ε, x + ε). Sekarang diambil sebarang x ε (x ε, x + ε). Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata diperoleh ()( ) = F (y), untuk beberapa nilai y diantara x dan x. Dengan demikian, diperoleh ()( ) = F (y) >, atau ekuivalen dengan F(x) F(x ) > x x. Karena x titik tetap, sehingga F(x) x > x x.

5 Karena > 1, maka dari pertidaksamaan tersebut, jarak F(x) dengan x lebih besar daripada jarak x dengan x. Jika f(x) (x ε, x + ε), yaitu jika F(x) x > ε, maka bukti selesai. Jika tidak, yaitu jika f(x) (x ε, x + ε), proses di atas dapat diulang terhadap F(x) dan F(x ), se-hingga diperoleh F (x) x = F (x) F (x ) > F(x) x > x x. Karena > 1, maka >. Hal ini menunjukkan bahwa jarak F (x) dengan x menjadi semakin lebih besar daripada jarak x dengan x, dan. Hal ini berarti jika kita melanjutkan proses di atas, maka jarak F (x) dengan x semakin membesar. Secara umum untuk n > 0, diperoleh F (x) x > x x. Karena > 1, maka untuk n. Sehingga terdapat N > 0 sedemikian sehingga > F (x) x > x x > ε. Dengan kata lain f (x) (x ε, x + ε). untuk n N. Akibatnya diperoleh Note. Teorema ini menunjukkan bahwa suatu titik yang dekat dengan titik tetap penolak akan didorong menjauh setelah beberapa n iterasi. Tetapi, teorema tersebut tidak mengatakan apa yang akan terjadi kemudian (karena bisa saja kembali masuk ke dalam interval I). Hal ini bergantung pada karakteristik fungsi secara global. Neutral Fixed Point. Titik tetap netral dapat menunjukkan beberapa perilaku yang berbeda, yaitu: (i) Titik tetap penarik lemah (Weakly attracting), yaitu orbit dari titiktitik di dekat titik tetap konvergen menuju titik tetap dengan lambat. Contoh: Titik x = 0 pada fungsi F(x) = x x, F (0) =

6 Titik x = 0 pada fungsi F(x) = x x, F (0) = (ii) Titik tetap penolak lemah (Weakly repelling), yaitu orbit dari titik-titik di dekat titik tetap menjauhi titik tetap tersebut dengan lambar. Contoh: Titik x = 0 pada fungsi F(x) = x + x, F (0) = Titik x = 0 pada fungsi F(x) = x 2x, F (0) = 1.

7 (iii) Bukan titik tetap penarik maupun penolak (neither attracting nor repelling). Contoh: titik x = 0 pada fungsi F(x) = x x, yaitu repelling di sebelah kiri dan attracting di sebelah kanan B. Periodic Points Suatu titik periodik dengan periode n dari fungsi F mempunyai sifat attracting (repelling) jika titik tersebut merupakan titik tetap attracting (repelling) dari F. Dengan kata lain: (i) Jika (F ) (x ) < 1, maka x merupakan n-cycle penarik (attracting n-cycle/stable). (ii) Jika (F ) (x ) > 1, maka x merupakan n-cycle penolak (repelling n-cycle/unstable). Theorem (Chain rule along a cycle) Diberikan {x, x,, x } merupakan n-cycle dari fungsi diferensiabel F, dengan x = F (x ). Maka berlaku (F ) (x ) = F (x )F (x )...F (x ). Dengan menerapkan aturan rantai (chain rule) pada fungsi F diperoleh (F )(x) = ( )() = (( )()) = F F (x)(f ) (x). Sehingga diperoleh (F ) (x ) = F (x )(F ) (x ) = F (x )F (x )(F ) (x ) = F (x )F (x )F (x )(F ) (x ) Dengan induksi pada n diperoleh (F ) (x ) = F (x )F (x ) F (x )F (x ) = F (x )F (x )...F (x ). Akibat. Diberikan {x, x,, x } merupakan n-cycle dari fungsi diferensiabel F. Maka (f ) (x ) = (f ) (x ) untuk setiap i, yaitu (f ) (x ) = (f ) (x ) = = (f ) (x )

8 Contoh 1. Diberikan fungsi F(x) = x 1, dengan titik periodik periode 2 di titik x = 0 dan x = 1. Diperoleh F (x) = 2x, sehingga F (0) = 0 dan F (1) = 2. Sehingga (F ) (0) = F (1). F (0) = 2.0 = 0 < 1. Diperoleh juga (F ) (1) = (F ) (0) = 0 < 1. Jadi, 2-cycle {0,1} merupakan 2-cycle attracting Contoh 2. Diberikan fungsi F(x) = x + x + 1. Titik 0 merupakan titik periodik dengan periode 3 atau berada di 3-cycle karena F(0) = 1, F(1) = 2, dan F(2) = 0. Diperoleh F (x) = 3x +, sehingga F (0) =, F (1) =, dan F (2) =. Oleh karena itu diperoleh: (F ) (0) = F (2). F (1). F (0) = = > 1. Jadi, 3-cycle {0,1,2} merupakan 3-cycle repelling