LECTURE 4: FIXED AND PERIODIC POINTS. A. Fixed Point

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "LECTURE 4: FIXED AND PERIODIC POINTS. A. Fixed Point"

Transkripsi

1 LECTURE 4: FIXED AND PERIODIC POINTS A. Fixed Point Definition (Fixed point). Diberikan ruang metrik X dengan metric d, dan f: X X merupakan fungsi dari X ke dirinya sendiri. Suatu titik xεx disebut titik tetap (fixed point) jika f(x) = x. Contoh. Misalkan X = R dan f: R R dengan f(x) = 4x(1 x). Maka x = 0 dan x = adalah titik-titik tetap f, karena f(0) = 0 dan f =. Definition (Contractive map). Diberikan ruang metrik (X, d), dan E X. Suatu fungsi f: E E disebut fungsi kontraktif, jika, 0 < 1 sehingga berlaku df(x ) f(x ) d(x x ), x, x εe. Contoh. Misalkan X = R. Fungsi f: R R dengan f(x) = x merupakan fungsi kontraktif, karena x, x εr berlaku f(x ) f(x ) = x x = (x x ) dengan =. = x x < x x, Theorem (Intermediate value theorem) Diberikan E himpunan bagian dari ruang metrik terhubung (X, d), dan fungsi kontinu f: E R. Jika x, x εe dan suatu titik y berada antara f(x ) dan f(x ), maka terdapat suatu xεe sedemikian sehingga f(x) = y. Proof (buktikan) Theorem (Fixed point existence) Diberikan fungsi kontinu f: [a, b] [a, b]. Maka f mempunyai paling sedikit satu titik tetap di [a, b]. Misal diberikan fungsi F(x) = f(x) x. F merupakan penjumlahan dua fungsi kontinu, sehingga F kontinu. Karena a f(x) b untuk setiap x [a, b], maka diperoleh 0 f(a) a = F(a) b a a b f(b) b = F(b) 0. Akibatnya, 0 berada antara F(a) dan F(b). Berdasarkan Intermediate Value Theorem,terdapat x ε[a, b] sedemikian sehingga F(x ) = f(x ) x = 0 f(x ) = x. Jadi, x adalah titik tetap dari f.

2 Theorem (Banach fixed point theorem) Diberikan (X, d) ruang metrik lengkap (ruang Banach) dan E X, E tertutup. Jika f: E E merupakan pemetaan kontraktif, maka: (a) terdapat dengan tunggal x E sehingga f(x ) = x, yaitu x titik tetap f. (b) x dapat ditentukan secara iteratif, yaitu lim f (x) = x untuk semua x E. dengan f (x) = (f f f)(x) (n kali komposisi). Karena f kontraktif, maka dapat dipilih, dengan 0 < 1, sehingga df(x ) f(x ) d(x x ), x, x E. (1) Ambil sebarang x E. Akan ditunjukkan bahwa {f (x) n 0} = {x, f(x), f (x), f (x), } merupakan barisan Cauchy. Perhatikan bahwa dari (1) diperoleh df (x) f(x) d(f(x) x) df (x) f (x) d(f (x) f(x)) d(f(x) x)... df (x) f (x) d(f(x) x), n 1. Akibatnya, untuk m > n berlaku: df (x) f (x) df (x) f (x) + df (x) f (x) + + df (x) f (x) ( )d(f(x) x) = ( )d(f(x) x) = d(f(x) x) d(f(x) x) Dengan argumen yang sama, untuk m < n diperoleh df (x) f (x) d(f(x) x). Jadi, diperoleh df (x) f (x) {,} Karena 0 < 1, maka dari (2) disimpulkan lim, df (x) f (x) = 0, d(f(x) x). (2) yaitu {f (x) n 0} barisan Cauchy di E. Karena E tertutup dan X lengkap, terdapat x E, sehingga: x = lim f (x). (3) Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa x titik tetap. Dapat diperlihat-kan bahwa pemetaan kontraktif f kontinu di x, sehingga dari (3): f(x ) = flim f (x) = lim f (x) = x. Akhirnya tinggal ditunjukkan ketunggalan x. Jika terdapat y, sehing-ga f(y ) = y, maka dari (1) diperoleh 0 d(x, y ) = d(f(x ), f(y )) d(x, y ) yang akan terpenuhi jika dan hanya jika x = y.

3 Definition. Diberikan titik tetap x dari fungsi diferensiabel F(x). (i) Jika F (x ) < 1, maka x merupakan titik tetap penarik (attracting fixed point/stable). (ii) Jika F (x ) > 1, maka x merupakan titik tetap penolak (repelling fixed point/unstable). (iii) Jika F (x ) = 1, maka x merupakan titik tetap netral (neutral fixed point/indifferent). Contoh: g(x) = x. Fungsi g(x) = x mempunyai dua titik tetap, yaitu x = 0 dan x =. Turunan fungsi g(x) adalah g (x) = 2x. Untuk setiap titik tetap diperoleh g (0) = < 1 dan g = 2.5 > 1, sehingga x = 0 adalah titik tetap penarik dan x = adalah titik tetap penolak. Berikut iterasi g(x) = x dengan x0 = 1.4 dan x0 = Untuk x0 = 1.4, iterasi menjauhi x = dan konvergen ke titik x = 0, sedangkan untuk x0 = 1.51, iterasi menjauhi titik tersebut. Fungsi g(x) = x tidak memiliki titik periodik. Theorem (Attracting fixed point theorem) Diberikan titik tetap penarik x dari fungsi diferensiabel F(x) (sedemikian sehingga F (x ) < 1). Maka terdapat suatu interval, I, yang memuat x sebagai titik interior sehingga berlaku (i) Jika xεi, maka f (x)εi untuk setiap n > 0, dan (ii) Untuk setiap xεi, f (x) x untuk n. Karena x titik tetap penarik, maka F (x ) < 1. Sehingga terdapat suatu bilangan > 0 sedemikian sehingga F (x ) < < 1. Berdasarkan sifat kontinuitas dari F, dapat dipilih ε > 0 sedemikian sehingga F (x) < untuk setiap x ε (x ε, x + ε). Sekarang diambil sebarang x ε (x ε, x + ε). Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata diperoleh

4 ()( ) = F (y), untuk beberapa nilai y diantara x dan x. Dengan demikian, diperoleh ()( ) = F (y) <, atau ekuivalen dengan F(x) F(x ) < x x. Karena x titik tetap, sehingga F(x) x < x x. Karena 0 < < 1, maka dari pertidaksamaan tersebut, jarak F(x) dengan x lebih kecil daripada jarak x dengan x. Akibatnya, F(x) berada pada interval (x ε, x + ε), karena x dipilih dari interval tersebut. Dengan menerapkan proses di atas terhadap F(x) dan F(x ), diperoleh F (x) x = F (x) F (x ) < F(x) x < x x. Karena 0 < < 1, maka 0 < <. Hal ini menunjukkan bahwa jarak F (x) dengan x menjadi semakin lebih kecil daripada jarak x dengan x, dan akibatnya F (x) tetap berada pada interval (x ε, x + ε). Hal ini berarti jika kita melanjutkan proses di atas, maka jarak F (x) dengan x semakin menyusut. Secara umum untuk n > 0, diperoleh F (x) x < x x. Karena 0 < < 1, maka 0 untuk n. Sehingga dari pertidaksamaan di atas diperoleh F (x) x 0 untuk n, atau ekuivalen dengan F (x) x untuk n. Theorem (repelling fixed point theorem) Diberikan titik tetap penolak x dari fungsi diferensiabel F(x) (sedemi-kian sehingga F (x ) > 1). Maka terdapat suatu interval, I, yang memuat x sebagai titik interior sehingga berlaku Jika xεi dan x x, maka n > 0 sedemikian sehingga f (x) I Karena x titik tetap penolak, maka F (x ) > 1. Sehingga terdapat beberapa > 0 sedemikian sehingga F (x ) > > 1. Berdasarkan sifat kontinuitas dari F, dapat dipilih ε > 0 sedemikian sehingga F (x) > untuk setiap x ε (x ε, x + ε). Sekarang diambil sebarang x ε (x ε, x + ε). Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata diperoleh ()( ) = F (y), untuk beberapa nilai y diantara x dan x. Dengan demikian, diperoleh ()( ) = F (y) >, atau ekuivalen dengan F(x) F(x ) > x x. Karena x titik tetap, sehingga F(x) x > x x.

5 Karena > 1, maka dari pertidaksamaan tersebut, jarak F(x) dengan x lebih besar daripada jarak x dengan x. Jika f(x) (x ε, x + ε), yaitu jika F(x) x > ε, maka bukti selesai. Jika tidak, yaitu jika f(x) (x ε, x + ε), proses di atas dapat diulang terhadap F(x) dan F(x ), se-hingga diperoleh F (x) x = F (x) F (x ) > F(x) x > x x. Karena > 1, maka >. Hal ini menunjukkan bahwa jarak F (x) dengan x menjadi semakin lebih besar daripada jarak x dengan x, dan. Hal ini berarti jika kita melanjutkan proses di atas, maka jarak F (x) dengan x semakin membesar. Secara umum untuk n > 0, diperoleh F (x) x > x x. Karena > 1, maka untuk n. Sehingga terdapat N > 0 sedemikian sehingga > F (x) x > x x > ε. Dengan kata lain f (x) (x ε, x + ε). untuk n N. Akibatnya diperoleh Note. Teorema ini menunjukkan bahwa suatu titik yang dekat dengan titik tetap penolak akan didorong menjauh setelah beberapa n iterasi. Tetapi, teorema tersebut tidak mengatakan apa yang akan terjadi kemudian (karena bisa saja kembali masuk ke dalam interval I). Hal ini bergantung pada karakteristik fungsi secara global. Neutral Fixed Point. Titik tetap netral dapat menunjukkan beberapa perilaku yang berbeda, yaitu: (i) Titik tetap penarik lemah (Weakly attracting), yaitu orbit dari titiktitik di dekat titik tetap konvergen menuju titik tetap dengan lambat. Contoh: Titik x = 0 pada fungsi F(x) = x x, F (0) =

6 Titik x = 0 pada fungsi F(x) = x x, F (0) = (ii) Titik tetap penolak lemah (Weakly repelling), yaitu orbit dari titik-titik di dekat titik tetap menjauhi titik tetap tersebut dengan lambar. Contoh: Titik x = 0 pada fungsi F(x) = x + x, F (0) = Titik x = 0 pada fungsi F(x) = x 2x, F (0) = 1.

7 (iii) Bukan titik tetap penarik maupun penolak (neither attracting nor repelling). Contoh: titik x = 0 pada fungsi F(x) = x x, yaitu repelling di sebelah kiri dan attracting di sebelah kanan B. Periodic Points Suatu titik periodik dengan periode n dari fungsi F mempunyai sifat attracting (repelling) jika titik tersebut merupakan titik tetap attracting (repelling) dari F. Dengan kata lain: (i) Jika (F ) (x ) < 1, maka x merupakan n-cycle penarik (attracting n-cycle/stable). (ii) Jika (F ) (x ) > 1, maka x merupakan n-cycle penolak (repelling n-cycle/unstable). Theorem (Chain rule along a cycle) Diberikan {x, x,, x } merupakan n-cycle dari fungsi diferensiabel F, dengan x = F (x ). Maka berlaku (F ) (x ) = F (x )F (x )...F (x ). Dengan menerapkan aturan rantai (chain rule) pada fungsi F diperoleh (F )(x) = ( )() = (( )()) = F F (x)(f ) (x). Sehingga diperoleh (F ) (x ) = F (x )(F ) (x ) = F (x )F (x )(F ) (x ) = F (x )F (x )F (x )(F ) (x ) Dengan induksi pada n diperoleh (F ) (x ) = F (x )F (x ) F (x )F (x ) = F (x )F (x )...F (x ). Akibat. Diberikan {x, x,, x } merupakan n-cycle dari fungsi diferensiabel F. Maka (f ) (x ) = (f ) (x ) untuk setiap i, yaitu (f ) (x ) = (f ) (x ) = = (f ) (x )

8 Contoh 1. Diberikan fungsi F(x) = x 1, dengan titik periodik periode 2 di titik x = 0 dan x = 1. Diperoleh F (x) = 2x, sehingga F (0) = 0 dan F (1) = 2. Sehingga (F ) (0) = F (1). F (0) = 2.0 = 0 < 1. Diperoleh juga (F ) (1) = (F ) (0) = 0 < 1. Jadi, 2-cycle {0,1} merupakan 2-cycle attracting Contoh 2. Diberikan fungsi F(x) = x + x + 1. Titik 0 merupakan titik periodik dengan periode 3 atau berada di 3-cycle karena F(0) = 1, F(1) = 2, dan F(2) = 0. Diperoleh F (x) = 3x +, sehingga F (0) =, F (1) =, dan F (2) =. Oleh karena itu diperoleh: (F ) (0) = F (2). F (1). F (0) = = > 1. Jadi, 3-cycle {0,1,2} merupakan 3-cycle repelling

LECTURE 8: SYMBOLIC DYNAMICS (A)

LECTURE 8: SYMBOLIC DYNAMICS (A) LECTURE 8: SYMBOLIC DYNAMICS (A) A. Itineraries Points with Prime Period 3 for Q c (x) = x 2 + c Misal kita ingin mencari titik-titik periodik periode 3 dari Q (x) = x + c. Secara analisis titik-titik

Lebih terperinci

Discrete Time Dynamical Systems

Discrete Time Dynamical Systems Discrete Time Dynamical Systems Sheet 1 and Solution (1) Tentukan titik tetap dari fungsi berikut. (a) f(x) = x x (b) f(x) = 2x + bx (c) f(x) = e (a) Titik tetap f memenuhi persamaan f(x) = x x x = x x

Lebih terperinci

PEMETAAN KONTRAKTIF LEMAH MULTIVALUED DI RUANG METRIK PARSIAL

PEMETAAN KONTRAKTIF LEMAH MULTIVALUED DI RUANG METRIK PARSIAL Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 9 No. 2, Desember 2017, hal. 1-10 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN (Online) : 2550-0422; https://jmpunsoed.com/ PEMETAAN KONTRAKTIF LEMAH MULTIVALUED

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Teori titik tetap merupakan salah satu subjek yang menarik untuk dikaji karena memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang. Selama kurun waktu sepuluh tahun

Lebih terperinci

Ketunggalan titik Tetap Pemetaan Kondisi Tipe Kontraktif pada Ruang Banach

Ketunggalan titik Tetap Pemetaan Kondisi Tipe Kontraktif pada Ruang Banach Ketunggalan titik Tetap Pemetaan Kondisi Tipe Kontraktif pada Ruang Banach Badrulfalah 1,Khafsah Joebaedi 2 1 Departemen Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran badrulfalah@gmail.com 2 Departemen Matematika

Lebih terperinci

Kekontraktifan Pemetaan pada Ruang Metrik Kerucut

Kekontraktifan Pemetaan pada Ruang Metrik Kerucut Jurnal Matematika Integratif ISSN 1412-6184 Vol 9 No 2, Oktober 2013 pp 53-57 Kekontraktifan Pemetaan pada Ruang Metrik Kerucut Badrulfalah dan Iin Irianingsih Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas

Lebih terperinci

TITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111

TITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111 TITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111 Abstract. In this paper was discussed about Nadlr fixed

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh

TINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional,

Lebih terperinci

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Ruang Norm Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Definisi. Misalkan suatu ruang vektor atas. Norm pada didefinisikan sebagai fungsi. : yang memenuhi N1. 0 N2. 0 0 N3.,, N4.,, Kita dapat

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu Diberikan f dan g, keduanya terdefinisi pada himpunan A, kita definisikan f + g, f g, fg, f/g secara

Lebih terperinci

PROSIDING SEMINAR NASIONAL STATISTIKA UNIVERSITAS DIPONEGORO 2013 ISBN: DUA TIPE PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE

PROSIDING SEMINAR NASIONAL STATISTIKA UNIVERSITAS DIPONEGORO 2013 ISBN: DUA TIPE PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE DUA TIPE PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE Mohammad Mahfuzh Shiddiq 1 1) Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Abstract Meir and Keeler introduced type of contraction

Lebih terperinci

TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG BERNORMA CONE BERNILAI-

TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG BERNORMA CONE BERNILAI- JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 1 TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG BERNORMA CONE BERNILAI- Hajar Grestika Murti, Erna Apriliani, Sunarsini Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

LECTURE 6: THE QUADRATIC FAMILY

LECTURE 6: THE QUADRATIC FAMILY LECTURE 6: THE QUADRATIC FAMILY Pada bagian ini, kita akan melanjutkan menganalisis dinamika keluarga fungsi kuadrat Q (x) = x + c. Pada bagian sebelumnya, diperoleh dinamika fungsi yang cukup sederhana

Lebih terperinci

Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi

Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi Definisi 1: Misalkan I R suatu interval, c I dan f : I R. Fungsi f disebut diferensiabel

Lebih terperinci

Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan dari f (derivative of f).

Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan dari f (derivative of f). Lecture 5. Derivatives C A. Turunan (derivatives) Sebagai Fungsi Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah f ()() (x) = lim. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan

Lebih terperinci

Newton, Leibniz, dan Kalkulus.

Newton, Leibniz, dan Kalkulus. Bab 1 LIMIT Newton, Leibniz, dan Kalkulus www.calculusbook.net 1.1 Pengantar Limit Kenapa Limit Penting? Misalkan suatu objek selalu bergerak maju, dengan s(t) adalah posisi pada saat t. Kecepatan rata-rata

Lebih terperinci

Gambar 1. Gradien garis singgung grafik f

Gambar 1. Gradien garis singgung grafik f D. URAIAN MATERI 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Sala satu masala yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adala gradien garis singgung. Peratikan Gambar 1. f(c +

Lebih terperinci

Konvergensi Barisan dan Teorema Titik Tetap

Konvergensi Barisan dan Teorema Titik Tetap JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 5 No. (016) 337-350 (301-98X Print) A-59 Konvergensi Barisan dan Teorema Titik Tetap pada Ruang b-metrik Cahyaningrum Rahmasari, Sunarsini, dan Sadjidon Jurusan Matematika,

Lebih terperinci

Konsep Dasar Ruang Metrik Cone

Konsep Dasar Ruang Metrik Cone JURNAL FOURIER Oktober 04, Vol. 3, No., 5-9 ISSN 5-763X Konsep Dasar Ruang Metrik Cone A. Rifi Bahtiar, Muchammad Abrori, dan Malahayati Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan

Lebih terperinci

HOMOMORFISMA DARI LEVEL SUBNEAR-RING FUZZY

HOMOMORFISMA DARI LEVEL SUBNEAR-RING FUZZY ISSN : 1978-4422 HOMOMORFISMA DARI LEVEL SUBNEAR-RING FUZZY Saman Adurrahman Hal. 1-5 PEMETAAN KONTRAKSI CIRIC-MATKOWSKI PADA RUANG METRIK TERURUT Mariatul Kiftiah Hal. 6-14 PEMBENTUKAN FUNGSI PELUANG

Lebih terperinci

Analisis Riil II: Diferensiasi

Analisis Riil II: Diferensiasi Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku

Lebih terperinci

BAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada

BAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi

Lebih terperinci

Discrete Time Dynamical Systems Sheet 4 and Solution

Discrete Time Dynamical Systems Sheet 4 and Solution Discrete Time Dynamical Systems Sheet 4 and Solution. Setiap fungsi berikut dilakukan bifurkasi terhadap nilai parameter yang diberikan. Gunakan cara analisis dan grafik untuk mengidentifikasi tipe bifurkasi

Lebih terperinci

Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti

Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti Kuliah 3: TURUNAN Indah Yanti Turunan Parsial DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Untuk setiap x = (x 1,..., x n ) A dan setiap j = 1,..., n limit f x j x 1,, x n f x 1,,

Lebih terperinci

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus

Lebih terperinci

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah

Lebih terperinci

Teorema Titik Tetap Pada Ruang Quasi Metrik Terasing Tanpa Menggunakan Sifat Kekontinuan Fungsi

Teorema Titik Tetap Pada Ruang Quasi Metrik Terasing Tanpa Menggunakan Sifat Kekontinuan Fungsi JURNAL FOURIER April 2014, Vol. 3, No. 1, 31-47 ISSN 2252-763X Teorema Titik Tetap Pada Ruang Quasi Metrik Terasing Tanpa Menggunakan Sifat Kekontinuan Fungsi Malahayati dan Mutia Utami Program Studi Matematika,

Lebih terperinci

Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua

Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai

Lebih terperinci

ANALISIS TITIK TETAP SET- VALUED FUNCTION MENGGUNAKAN METRIK HAUSDORFF TESIS

ANALISIS TITIK TETAP SET- VALUED FUNCTION MENGGUNAKAN METRIK HAUSDORFF TESIS UNIVERSITAS INDONESIA ANALISIS TITIK TETAP SET- VALUED FUNCTION MENGGUNAKAN METRIK HAUSDORFF TESIS SAGITA CHAROLINA SIHOMBING 1006786266 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER

Lebih terperinci

BAB III KEKONVERGENAN LEMAH

BAB III KEKONVERGENAN LEMAH BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini

Lebih terperinci

tidak terdefinisi ketika x = 1, tetapi dapat kita peroleh

tidak terdefinisi ketika x = 1, tetapi dapat kita peroleh Lecture 4. Limit A A. Definition of Limit Definisi 4.1 (a). Jika f adalah suatu fungsi, maka kita mengatakan bahwa jika nilai f(x) mendekati L saat x dipilih mendekati a. Dengan kata lain, bilangan L merupakan

Lebih terperinci

(3) Fungsi eksponensial (exponential function)

(3) Fungsi eksponensial (exponential function) LECTURE : ORBITS AND TYPES OF ORBITS A. Iterasi (iteration) Seperti yang kita lihat pada lecture, ada banyak masalah yang melibatkan iterasi (iteration). Iterasi bertujuan mengulang suatu proses terus-menerus.

Lebih terperinci

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum

Lebih terperinci

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x)

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x) II. TINJUAN PUSTAKA 2.1. Limit Definisi lim f(x) = L, dan mengatakan limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, jika dapat dibuat nilai f (x) sebarang yang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai

Lebih terperinci

Muhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D

Muhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D 1 FUNGSI KONTINU, Ph.D FUNGSI KONTINU 3 1 Kekontinuan Bab ini akan diawali dengan klas fungsi yang terpenting dalam analisis riil, yaitu klas fungsi-fungsi kontinu. Terlebih dahulu akan didenisikan gagasan

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi ruang vektor,

TINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi ruang vektor, II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi ruang vektor, ruang Bernorm dan ruang Banach, ruang barisan, operator linear (transformasi linear) serta teorema-teorema

Lebih terperinci

TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG NORM-n STANDAR. Shelvi Ekariani KK Analisis dan Geometri FMIPA ITB

TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG NORM-n STANDAR. Shelvi Ekariani KK Analisis dan Geometri FMIPA ITB JMP : Volume 4 Nomor, Juni 0, hal. 69-77 TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG NORM-n STANDAR Shelvi Ekariani KK Analisis dan Geometri FMIPA ITB shelvi_ekariani@students.itb.ac.id Hendra Gunawan KK Analisis dan

Lebih terperinci

MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 6 No.2 Tahun 2018 ISSN

MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 6 No.2 Tahun 2018 ISSN MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 6 No.2 Tahun 2018 ISSN 201-9115 TITIK TETAP PADA RUANG METRIK-G LENGKAP Jesya Sulton Abdulloh (Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Surabaya E-mail :

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang dan Permasalahan

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang dan Permasalahan BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Permasalahan Dalam ilmu matematika, khususnya dalam bidang analisis dikenal berbagai macam ruang, salah satunya adalah ruang metrik. Ruang metrik merupakan suatu

Lebih terperinci

SIFAT KELENGKAPAN RUANG METRIK BERNILAI KOMPLEKS

SIFAT KELENGKAPAN RUANG METRIK BERNILAI KOMPLEKS Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pembelajarannya. Jurusan Matematika, FMIPA UM. 13 Agustus 016 SIFAT KELENGKAPAN RUANG METRIK BERNILAI KOMPLEKS Dahliatul Hasanah FMIPA Universitas Negeri Malang

Lebih terperinci

ABSTRAK 1 PENDAHULUAN

ABSTRAK 1 PENDAHULUAN EKSISTENSI SOLUSI LOKAL DAN KETUNGGALAN SOLUSI MASALAH NILAI AWAL PERSAMAAN DIFERENSIAL TUNDAAN Muhammad Abdulloh Mahin Manuharawati Matematika, Fakultas Ilmu Pengetahuan Alam Matematika, Universitas Negeri

Lebih terperinci

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS Lecture 5. Integral A. Masalah Luas (The Area Problem) Sebelumnya kita pernah mempelajari rumus-rumus luas dari beberapa bentuk geometri. Misalnya, luas daerah persegi panjang adalah panjang kali lebar,

Lebih terperinci

CARA LAIN PEMBUKTIAN TEOEMA ARZELA-ASCOLI DAN HUBUNGANNYA DENGAN EKSISTENSI PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL (SUATU KAJIAN TEORITIS)

CARA LAIN PEMBUKTIAN TEOEMA ARZELA-ASCOLI DAN HUBUNGANNYA DENGAN EKSISTENSI PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL (SUATU KAJIAN TEORITIS) CARA LAIN PEMBUKTIAN TEOEMA ARZELA-ASCOLI DAN HUBUNGANNYA DENGAN EKSISTENSI PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL SUATU KAJIAN TEORITIS) Sufri Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jambi Kampus

Lebih terperinci

ANALISA KETUNGGALAN TITIK TETAP PADA PEMETAAN KONTRAKTIF DI RUANG METRIK LENGKAP DENGAN MEMANFAATKAN JARAK-W

ANALISA KETUNGGALAN TITIK TETAP PADA PEMETAAN KONTRAKTIF DI RUANG METRIK LENGKAP DENGAN MEMANFAATKAN JARAK-W ANALISA KETUNGGALAN TITIK TETAP PADA PEMETAAN KONTRAKTIF DI RUANG METRIK LENGKAP DENGAN MEMANFAATKAN JARAK-W Malahayati Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta

Lebih terperinci

BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)

BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis

Lebih terperinci

Lecture Notes: Discrete Dynamical System and Chaos. Johan Matheus Tuwankotta

Lecture Notes: Discrete Dynamical System and Chaos. Johan Matheus Tuwankotta Lecture Notes: Discrete Dynamical System and Chaos Johan Matheus Tuwankotta Departemen Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung, jl. Ganesha no., Bandung, Indonesia. mailto:theo@dns.math.itb.ac.id.

Lebih terperinci

TEOREMA TITIK TETAP BANACH

TEOREMA TITIK TETAP BANACH TEOREMA TITIK TETAP BANACH Esih Sukaesih Abstrak Ruang Banach menjamin setiap barisan akan konvergen ke vektor di ruang tersebut. Barisan iterasi yang kontraktif menjamin bahwa barisan tersebut akan konvergen

Lebih terperinci

PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL

PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat

Lebih terperinci

FOURIER Oktober 2014, Vol. 3 No. 2, KONSEP DASAR RUANG METRIK CONE. Yogyakarta

FOURIER Oktober 2014, Vol. 3 No. 2, KONSEP DASAR RUANG METRIK CONE. Yogyakarta FOURIER Oktober 014, Vol. 3 No., 146 166 KONSEP DASAR RUANG METRIK CONE A. Rifqi Bahtiar 1, Muchammad Abrori, Malahayati 3 1,, 3 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga

Lebih terperinci

KETUNGGALAN TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN PADA RUANG METRIK-G LENGKAP

KETUNGGALAN TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN PADA RUANG METRIK-G LENGKAP UNIVERSITAS INDONESIA KETUNGGALAN TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN PADA RUANG METRIK-G LENGKAP Tesis NURUL HUDA 1006734565 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM MAGISTER MATEMATIKA DEPOK JANUARI

Lebih terperinci

BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi

BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

BAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

BAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT 29 BAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT 4.1 Perumusan Penduga Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

Eksistensi Dan Ketunggalan Titik Tetap Untuk Pemetaan Kontraktif Pada Ruang Metrik-G Komplit

Eksistensi Dan Ketunggalan Titik Tetap Untuk Pemetaan Kontraktif Pada Ruang Metrik-G Komplit SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Eksistensi Dan Ketunggalan Titik Tetap Untuk Pemetaan Kontraktif Pada Ruang Metrik-G Komplit Nurul Huda Matematika FMIPA Universitas Lambung

Lebih terperinci

TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG ULTRAMETRIK DISKRIT

TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG ULTRAMETRIK DISKRIT JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 2, No1, (2014) 2337-3520 (2301-928X Print) 1 TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG ULTRAMETRIK DISKRIT Wihdatul Ummah, Sunarsini dan Sadjidon Jurusan Matematika, Fakultas Matematika

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 1, 2007 Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di

Lebih terperinci

Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1

Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Misalkan diberikan suatu ruang vektor atas lapangan R atau C. Jika

BAB I PENDAHULUAN. Misalkan diberikan suatu ruang vektor atas lapangan R atau C. Jika BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Misalkan diberikan suatu ruang vektor atas lapangan R atau C. Jika dilengkapi dengan suatu norma., maka dikenal bahwa suatu ruang vektor bernorma. Kemudian

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

PEMETAAN KONTRAKSI CIRIC-MATKOWSKI PADA RUANG METRIK TERURUT. Mariatul Kiftiah

PEMETAAN KONTRAKSI CIRIC-MATKOWSKI PADA RUANG METRIK TERURUT. Mariatul Kiftiah PEMETAAN KONTRAKSI CIRIC-MATKOWSKI PADA RUANG METRIK TERURUT Mariatul Kiftiah Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Tanjungpura Jl. Prof. Dr. H. Hadari Nawawi, Pontianak, Kalimantan Barat

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

BAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab

BAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab BAB III PEMBAHASAN Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab C. Sub-bab A menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang vektor beserta contohnya. Sub-bab B

Lebih terperinci

Analisis Fungsional. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

Analisis Fungsional. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Analisis Fungsional Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Lingkup Materi Ruang Metrik dan Ruang Topologi Kelengkapan Ruang Banach Ruang Hilbert

Lebih terperinci

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,

Lebih terperinci

(b) M merupakan nilai minimum (mutlak) f apabila M f(x) x I..

(b) M merupakan nilai minimum (mutlak) f apabila M f(x) x I.. 3. Aplikasi Turunan a. Nilai ekstrim Bagian ini dimulai dengan pengertian nilai ekstrim suatu fungsi yang mencakup nilai ekstrim maksimum dan nilai ekstrim minimum. Definisi 3. Diberikan fungsi f: I R,

Lebih terperinci

Ruang Norm-n Berdimensi Hingga

Ruang Norm-n Berdimensi Hingga Jurnal Matematika Integratif. Vol. 3, No. 2 (207), pp. 95 04. p-issn:42-684, e-issn:2549-903 doi:0.2498/jmi.v3.n2.986.95-04 Ruang Norm-n Berdimensi Hingga Moh. Januar Ismail Burhan Jurusan Matematika dan

Lebih terperinci

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Bab 7 Limit dan Kekontinuan 2 Isaac Newton (1643-1727) Isaac Newton adalah seorang fisikawan & matematikawan Inggris yang

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penulisan, tinjauan pustaka serta sistematika penulisan skirpsi ini. 1.1.

Lebih terperinci

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1). FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga

Lebih terperinci

TEOREMA TITIK TETAP DI RUANG METRIK CONE PADA JARAK-W. Skripsi. Untuk memenuhi sebagai persyaratan. mencapai derajat Sarjana S-1

TEOREMA TITIK TETAP DI RUANG METRIK CONE PADA JARAK-W. Skripsi. Untuk memenuhi sebagai persyaratan. mencapai derajat Sarjana S-1 TEOREMA TITIK TETAP DI RUANG METRIK CONE PADA JARAK-W Skripsi Untuk memenuhi sebagai persyaratan mencapai derajat Sarjana S-1 program Studi Matematika SYAUQI TAUFIQUR RAHMAN 11610048 PROGRAM STUDI MATEMATIKA

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT

DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor kompleks V disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi (.,.) : V V C sehingga untuk setiap x, y, z

Lebih terperinci

Muhafzan TURUNAN. Muhafzan, Ph.D

Muhafzan TURUNAN. Muhafzan, Ph.D 1 TURUNAN, Ph.D TURUNAN 3 1 Turunan Kita mulai diskusi ini dengan memperkenalkan denisi turunan suatu fungsi Denisi 1. Misalkan I R; f : I! R dan c 2 I: Bilangan L 2 R dikatakan merupakan turunan dari

Lebih terperinci

16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik

16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik 16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan

Lebih terperinci

Teorema Titik Tetap Pada Ruang Ultrametrik Diskrit

Teorema Titik Tetap Pada Ruang Ultrametrik Diskrit JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 3, No2, (2014) 2337-3520 (2301-928X Print) A-58 Teorema Titik Tetap Pada Ruang Ultrametrik Diskrit Wihdatul Ummah, Sunarsini dan Sadjidon Jurusan Matematika, Fakultas Matematika

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Teori titik tetap merupakan teori matematika yang sering digunakan untuk menjamin eksistensi solusi masalah nilai awal dan syarat batas persamaan diferensial

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan

BAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada Bab III nanti, diantaranya: fungsi komposisi,

Lebih terperinci

TEOREMA TITIK TETAP BANACH UNTUK MENDAPATKAN SYARAT KEKONVERGENAN METODE JACOBY

TEOREMA TITIK TETAP BANACH UNTUK MENDAPATKAN SYARAT KEKONVERGENAN METODE JACOBY La Ode Muhammd Umar Reky Rahmad R, et al.// Paradigma, Vol. 17 No. 1, April 2013, hlm. 51-60 TEOREMA TITIK TETAP BANACH UNTUK MENDAPATKAN SYARAT KEKONVERGENAN METODE JACOBY La Ode Muhammad Umar Reky Rahmad

Lebih terperinci

BAB III REVIEW PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR

BAB III REVIEW PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR 9 BAB III REVIEW PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR 3. Perumusan Penduga bagi dan " Untuk merumuskan penduga

Lebih terperinci

INTERVAL KEKONTRAKTIFAN PEMETAAN PADA RUANG BANACH. Badrulfalah 1, Khafsah Joebaedi. 2.

INTERVAL KEKONTRAKTIFAN PEMETAAN PADA RUANG BANACH. Badrulfalah 1, Khafsah Joebaedi. 2. Eksakta Vol.18 No.2 Oktober 2017 http://eksakta.ppj.unp.ac.id E-ISSN : 2549-7464 P-ISSN : 1411-3724 INTERVAL KEKONTRAKTIFAN PEMETAAN PADA RUANG BANACH Badrulfalah 1, Khafsah Joebaedi. 2 1) Departemen Matematika,

Lebih terperinci

Kajian Fungsi Metrik Preserving

Kajian Fungsi Metrik Preserving Kajian Fungsi Metrik Preserving A 2 Binti Mualifatul Rosydah Politeknik Perkapalan Negeri Surabaya Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Jalan Teknik Kimia Kampus ITS Sukolilo Surabaya 6 Abstrak

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Ilmu matematika merupakan ilmu dasar yang digunakan di berbagai bidang. Teori titik tetap merupakan salah satu cabang dalam ilmu matematika, khususnya matematika

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

KAJIAN TEOREMA TITIK TETAP PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE LENGKAP DENGAN JARAK-W

KAJIAN TEOREMA TITIK TETAP PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE LENGKAP DENGAN JARAK-W J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 8, No. 2, November 2011, 43 49 KAJIAN TEOREMA TITIK TETAP PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE LENGKAP DENGAN JARAK-W Sunarsini. 1, Sadjidon 2 Jurusan

Lebih terperinci

KUANTOR KHUSUS (Minggu ke-8)

KUANTOR KHUSUS (Minggu ke-8) KUANTOR KHUSUS (Minggu ke-8) 1 4 Kuantor Jenis Lain Terdapatlah satu dan hanya satu x yang mempunyai sifat P. ( x)(p(x) ( y)(p(y) = y = x)) Terdapat x yang memenuhi sifat p dan untuk setiap y yang memenuhi

Lebih terperinci

Teorema Titik Tetap di Ruang Norm-2 Standar

Teorema Titik Tetap di Ruang Norm-2 Standar Teorema Titik Tetap di Ruang Norm- Standar Muh. Nur Universitas Hasanuddin Abstract Pada tulisan ini, akan dipelajari ruang norm- standar, yakni ruang hasil kali dalam yang dilengkapi dengan norm- standar.

Lebih terperinci

UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK

UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +

Lebih terperinci

Gambar 3. Pada selang a x b atau biasa ditulis a, b gradien garis yang

Gambar 3. Pada selang a x b atau biasa ditulis a, b gradien garis yang 1. Maksimum dan Minimum a. Nilai Tengah (Mean Value Theorem) Gambar 3 Pada selang a x b atau biasa ditulis a, b gradien garis yang menghubungkan titik a, f a dan b, f b adalah m = f b f a Pada selang a

Lebih terperinci

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 3, Dosen FMIPA - ITB

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 3, Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 3, 2011 6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak Hingga Bila sebelumnya kita mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

DISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK

DISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK 0 DISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK Dalam hal ini akan dibahas macam-macam peubah acak, distribusi peluang, fungsi densitas, dan fungsi distribusi. Pada pembahasan selanjutnya, fungsi peluang untuk peubah acak

Lebih terperinci

-LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

-LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ -LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id Konsep Limit Fungsi mendasari pembentukan kalkulus dierensial dan integral. Konsep ini

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4. Fungsi Kontinu 4.1 Konsep Kekontinuan Fungsi kontinu Limit fungsi dan limit barisan Prapeta himpunan buka 4.2 Sifat-Sifat Fungsi

Lebih terperinci