Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Transkripsi

1 Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi A.1 ( Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan (Grimmett dan Stirzaker, 001) Defenisi A. (Kejadian) Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang contoh. (Grimmett dan Stirzaker, 001) Definisi A.3 (Kejadian lepas) Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong (Ø). (Grimmett dan Stirzaker, 001) Definisi A.4 (Medan- ) Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian ruang contoh yang memenuhi syarat syarat berikut : 1. Ø.. Jika maka 3. Jika maka (Grimmett dan Stirzaker, 001) Jadi, suatu himpunan disebut Medan- (field) jika adalah anggota, tertutup terhadap operasi union tak hingga, dan tertutup terhadap operasi komplemen. Definisi A.5 (Ukuran peluang) Suatu ukuran peluang P pada Ω, ( ) adalah suatu fungsi P: [0,1] yang memenuhi syarat syarat berikut: 1. P( ) = 0 dan P(Ω) = 1. Jika A 1, A.. adalah himpunan himpunan yang saling lepas, yaitu

2 A i A j = untuk setiap pasangan i, j dengan i j, maka : P( i= 1 Ai ) = i= 1 PA ( ) i i= 1 PA ( ) Definisi A.6 (Kejadian saling bebas) Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika: i (Grimmett dan Stirzaker, 001) Secara umum himpunan kejadian dikatakan saling bebas jika : untuk setiap himpunan bagian J dari I. Penduga Definisi A.7 ( Statistika ) Statistika (Grimmett dan Stirzaker, 001) adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui. Definisi A.8 ( Penduga ) ( Hogg et al, 005) Misalkan X 1, X,.., X n adalah contoh acak. Suatu statistik U(X 1, X,.., X n ) yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g(θ), dilambangkan oleh g(θ). Bilamana X 1 = 1, X =,., X n = n, makan nilai U(X 1, X,.., X n ) disebut sebagai dugaan ( estimate) bagi g(θ) Definisi A.9 ( Penduga Tak Bias ) ( Hogg et al, 005) (i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter g(θ), yaitu E[U(X 1, X,.., X n )] = g(θ), disebut penduga tak bias bagi parameter g(θ). Selainnya, pemduga di atas dikatakan berbias. (ii) Jika lim n E[U(X 1, X,.., X n )] = g(θ) untuk n, maka U(X 1, X,.., X n ) disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi g(θ) ( Hogg et al, 005)

3 Definisi A.10 ( Penduga konsisten ) Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter g(θ), disebut penduga konsisten bagi g(θ) Definisi A.11 ( MSE suatu penduga ) Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga U didefinisikan sebagai : MSE(U) = E (U - g(θ)) Dapat ditunjukkan bahwa MSE(U) = Var (U) + ( Bias (U) ) dengan Bias (U) = EU - g(θ) MSE(U) = E(U - g(θ)) = E(U EU + EU - g(θ)) = E(U - EU) + E(U EU)(EU - g(θ)) + (EU - g(θ)) = E(U - EU) + ( EU - g(θ)) = Var (U) + ( Bias (U)) Nilai Harapan, Ragam dan Momen Definisi A.1 (Nilai harapan) ( Hogg et al, 005) bagi parameter g(θ) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang px ( ). Nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah ( ) ( ) E X = px jika jumlah di atas konvergen mutlak. Definisi A.13 (Ragam) (Hogg et al, 005) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang p ( ) nilai harapan E(X). Ragam dari X, dinotasikan dengan Var(X) atau σ, adalah (( ( )) ) ( ( )) X ( ) σ = E X E X = X E X p X dan (Hogg et al, 005)

4 Definisi A.14 (Momen ke-k) Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau dari peubah acak X adalah (Hogg et al, 005) Nilai harapan dari peubah acak X juga merupakan momen pertama dari X. Definisi A.15 (Momen pusat ke-k) Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen pusat ke-k atau dari peubah acak X adalah (Hogg et al, 005) Nilai harapan dari kuadrat pebedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya disebut ragam atau varians dari X. Ragam merupakan momen pusat ke- dari peubah acak X. Definisi A.16 (Fungsi indikator) Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi, yang diberikan oleh: Dengan fungsi indikator kita dapat menyatakan hal berikut : (Grimmett dan Stirzaker, 001) Beberapa Definisi dan Lema Teknis Definisi A.17 ( (.) dan o(.)) Simbol simbol (.) dan o(.) merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u() dan v() dengan menuju suatu limit L. (i) Notasi u() = (v()),, menyatakan bahwa terbatas, untuk

5 (ii) Notasi u() = o(v()),, menyatakan bahwa, untuk Definisi 18 (Titik Lebesgue) Kita katakan s adalah titik Lebesgue dari fungsi λ jika berlaku (Serfling, 1980) (Wheeden and Zygmund, 1977) Lema A.1 (Formula Young dari Teorema Taylor) Misalkan g memiliki turunan ke-n yang berhingga pada suatu titik. Maka untuk. (Serfling, 1980) Bukti: Lihat Serfling Lema A. (Teorema Deret Taylor) Deret Taylor dari fungsi f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a ) memiliki persamaan Bukti:Lihat Stewart 003.