MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Tentang UTS

Transkripsi

1 MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Tentang UTS Do maths and you see the world

2 1 Teknik Pengintegralan 2 Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar 3 Deret Tak Hingga 4 Irisan Kerucut 5 Vektor

3 Soal 1 Materi UTS Cari persamaan bidang yang memuat titik (2, 1, 5) dan garis x = y 4 2 = z 1

4 Solusi 1 Materi UTS Persamaan garis di ruang, dapat ditulis sebagai x = y 4 2 = z 1 x ( 1) 4 = y 4 2 = z 1 1 yang artinya vektor < x ( 1), y 4, z 1 > sejajar dengan vektor < 4, 2, 1 >.

5 Titik-titik (2, 1, 5) dan ( 1, 4, 1) membentuk vektor < 1 ( 2), 4 ( 1), 1 5 >=< 3, 5, 4 >

6 Apa yang akan kita lakukan pada kedua vektor < 4, 2, 1 > dan < 3, 5, 4 >?

7 Lakukan hasil kali silang karena keduanya berada di bidang. Diperoleh < 4, 2, 1 > < 3, 5, 4 >=< 13, 13, 26 >

8 Jadi, persamaan bidangnya adalah < x 2, y ( 1), z 5 > < 13, 13, 26 >= 0 atau atau 13(x 2) + 13(y + 1) + 26(z 5) = 0 13x 13y 26z = 91.

9 Soal 2 Materi UTS Pandang segitiga dengan titik sudut-titik sudut A = (1, 3, 2), B = (2, 0, 4), C = (6 2, 5). Tentukan luas segitiga tersebut.

10 Solusi 2 Materi UTS Vektor-vektor AB dan BC, berturut-turut, adalah < 1, 3, 2 > dan < 4, 2, 1 >

11 Hasil kali silang kedua vektor: < 1, 3, 2 > < 4, 2, 1 >=< 7, 7, 14 > yang memiliki panjang ( 7) 2 + ( 7) 2 + ( 14) 2 = 294. Nilai ini merupakan luas jajarangenjang. Dengan demikian, luas segitiga yang dimaksud adalah setengah nilai tersebut.

12 Soal 3 Materi UTS Pandang r (t) = 2t 3 î + (t 2 t)ĵ 8tˆk. Hitung besar sudut antara vektor kecepatan dan percepatan saat t = 0.

13 Solusi 3 Materi UTS Vektor-vektor kecepatan dan percepatan adalah turunan pertama dan kedua dari r (t), r (t) =< 6t 2, 2t 1, 8 > dan r (t) =< 12t, 2, 0 >.

14 Saat t = 0, dan r (0) =< 0, 1, 8 > r (0) =< 0, 2, 0 >. Jadi, sudut antara kedua vektor adalah...

15 Soal 4 Materi UTS Kurva r (t) =< 2 sin(t), 2 cos(t), t > menggambarkan gerakan sebuah partikel di R 3. Tentukan persamaan garis singgung pada saat t = π/4.

16 Solusi 4 Materi UTS Turunan pertama dari r (t) adalah vektor kecepatan, r (t) =< 2 cos(t), 2 sin(t), 1 >.

17 Persamaan garis singgung saat t = π/4 adalah L (t) r (π/4) = r (π/4)(t π/4) atau L (t) =< 2, 2, π/4 > + < 2, 2, 1 > (t π/4).

18 Soal 1 Materi UTS Hitung 1 0 x 2 1 x 3 dx

19 Soal 2 Materi UTS Apa yang dapat anda katakan tentang integral tak wajar 1 1 x 2 + x dx?

20 Solusi 2 Materi UTS Misalkan dan kita pilih g(x) = 1 x 2 + x f (x) = x 2 yang mana 0 g(x) f (x) untuk x 1 serta konvergen. 1 f (x) dx

21 Jadi, konvergen. (uji banding) 1 1 x 2 + x dx

22 Bagaimana dengan 1 1 x 2 + x + 1 dx?

23 Soal 3 Materi UTS Hitung π/2 0 tan x dx

24 Solusi 3 Materi UTS Perhatikan bahwa integran f (x) = tan x tidak terdefinisi di x = π/2. Jadi, tulis π/2 0 tan x dx = lim b π 2 b 0 tan x dx

25 Dengan demikian kita dapat hitung π/2 0 tan x dx = lim b π 2 = lim b π 2 = lim b π 2 = b 0 tan x dx ( ln cos x ) b ( ln cos b + ln cos 0 0 )

26 Soal 1 Materi UTS Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat n=1 (x + 2) n n 3 n.

27 Solusi 1 Materi UTS Deret pangkat diatas dapat ditulis sebagai n=1 a n, dengan a n = (x + 2)n n 3 n.

28 Kita gunakan uji kekonvergenan mutlak, L = lim n a n+1 a n diperoleh L = x

29 Akibatnya, deret konvergen jika L < 1 atau jika 5 < x < 1. Pada titik x = 5, didapat deret n=1 ( 5 + 2) n n 3 n = n=1 ( 1) n n yang konvergen. Di titik x = 1, n=1 (1 + 2) n n 3 n = n=1 1 n yang divergen.

30 Jadi, selang kekonvergenan deretnya adalah 5 x < 1.

31 Soal 2 Materi UTS Apa yang dapat anda katakan tentang ln 1 x 1 + x?

32 Solusi 2 Materi UTS Tulis, dan 1 1 x = 1 + x + x 2 + = x = 1 1 ( x) = ( x) n = n=0 n=0 x n ( 1) n x n n=0

33 Lakukan pengintegralan pada kedua suku, diperoleh ln 1 x = n=0 x n+1 n + 1 dan ln 1 + x = n=0 ( 1) n x n+1 n + 1

34 Jadi, ln 1 x 1 + x = 2 n=0 x 2n+1 2n + 1

35 Dengan uji kekonvergenan mutlak, L = lim n a n+1 a n diperoleh L = x 2.

36 Akibatnya, deret konvergen jika L < 1 atau jika 1 < x < 1.