Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Transkripsi

1 Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung

2 Tentang AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Jadwal kuliah: Rabu, 7- (R. Sem 5.4); Kamis, 13- (R. Sem 5.1) Penilaian: Ujian: 13/09/18, 20/09/18; 25/10/18; 21/11/18 25%) Kuis (10-15%) Tugas/Pemodelan (10-15%) Minggu Tanggal Pertemuan Kuliah M Kuliah M ,2 Kuliah M Kuliah M Ujian 1, M ,2 Kuliah 3 Ujian 1, M ,2 Kuliah M M ,2 Kuliah M ,2 Kuliah M Ujian 2, M ,2 Kuliah M ,2 Kuliah M Kuliah M Ujian 3, M ,2 Tugas/Pemodelan Buku teks: Sheldon Ross, 2011, Introduction to Mathematical Finance - 2

3 Risiko versus Nilai Uang: Matematika versus Stokastik Keuangan Risiko adalah sistem yang dapat dikendalikan. Salah satu kegiatan penting dalam (men)transfer risiko adalah berasuransi; pemegang polis (insured) menitipkan atau memindahkan risiko kepada pihak lain yaitu perusahaan asuransi (insurer) dan sebaliknya. Kedua subyek memiliki risiko, pemegang polis membayar premi sedangkan perusahaan asuransi membayar klaim. Kegiatan lain yang juga berisiko adalah investasi atau bermain uang. Jika kita ingin menggandakan uang untuk mendapatkan nilai yang lebih besar maka kita dapat melakukan kegiatan investasi baik kepada individu atau institusi. Adakah hubungan antara investasi dan asuransi dan investasi? Saat ini praktik asuransi mulai digabungkan dengan investasi. Hal ini dimaksudkan untuk menumbuhkan iklim (atau minat) asuransi dengan keuntungan dari investasi. Kuliah Matematika Keuangan Aktuaria mengajak kita untuk memahami konsep dan menghitung nilai uang, opsi dan, secara umum, bermain peluang (memahami kejadian dan peubah acak serta menghitung peluang atas keduanya) menjadi sangat krusial. Return Nilai Uang: Matematik vs Stokastik Misalkan saya meminjamkan uang kepada Laila, pada waktu t 0, sebesar U. Saya ingin Laila mengembalikan, pada waktu t 1, sebesar U + ru, dengan r suku bunga per waktu t 1, atau U(t 1 ) = U(t 0 ) + r U(t 0 ) = U(t 0 ) (1 + r). Perhatikan: r = U(t 1) U(t 0 ) 1 = U(t 1) U(t 0 ), U(t 0 ) yang sering dikatakan sebagai imbal hasil (return). Adakah formula imbal hasil yang lain? Dapatkah imbal hasil berubah menurut waktu? 3

4 Bab 1,2 - Imbal hasil, Nilau Uang dan PVA/ANS (Diskusi-1) Model harga aset memiliki formula S t = f t +g(b t ), dengan {B t } merupakan suatu proses stokastik tertentu (baca: Gerak Brown standar). Perubahan harga saat t, S t, relatif terhadap saat t 1, S t 1, dapat diperoleh (antara lain) melalui S t S t 1 ; S t S t 1 S t ; ; ln S t S t 1 S t 1 S t 1 yang dapat kita tentukan distribusi dan modelnya. (Diskusi-2) Misalkan S t harga saat t. Harga saat t + 1, S t+1 = S t + r S t, dengan r suatu pengali (yang menyatakan keuntungan) atau sering dikatakan sebagai suku bunga. Formula harga diatas mengasumsikan bahwa harga/nilai aset akan terus naik. Perhatikan S t+1 S t S t+1 = (1 + r) S t S t+1 S t 1 = r = 1 + r S t+1 S t S t = r. Apakah r akan kita pandang sebagai suku bunga (tetap, setiap waktu) atau imbal hasil (return? Mungkinkah return akan bernilai tetap setiap waktu? r t? (Diskusi-3) Pandang kembali masalah nilai aset pada waktu t dan t + 1. Jika kita ingin nilai aset S t+1, yang diperoleh dengan suku bunga r, maka saat ini nilainya adalah S t = S t r = S t+1(1 + r) 1. Bagaimana kita memandang nilai (aset) saat ini atau present value? Dapatkah kita gunakan ini untuk melakukan analisis (prediksi) nilai aset saat ini dan akan datang? 4

5 Latihan: 1. Tentukan rate of return (tahunan) jika saya melakukan investasi: 100, 110 (setelah dua tahun) 2. Tentukan ekspektasi dari rate of return (tahunan) jika saya melakukan investasi: 100, 120 atau 100 (setelah dua tahun) 3. Perhatikan barisan return berikut: 20, 20, 20, 15, 10, 5; 10, 10, 15, 20, 20, 20. Tentukan barisan return yang baik jika suku bunga majemuk tahunan-nya 5%. 4. Saya membeli HP yang dijual dengan harga 4.2 (juta). Saya memberi uang muka 1 dan mencicil selama 24 bulan dengan cicilan 0.16 setiap bulannya (terhitung mulai awal bulan depan). Tentukan suku bunga efektif-nya. 5. Saya mempertimbangkan membayar pinjaman di bank dengan dua cara. Pertama, membayar lunas 16 (juta). Kedua, membayar 10 sekarang dan 10 lagi di akhir tahun kesepuluh (suku bunga 10%). Tentukan pilihan cicilan yang baik. 6. Untuk investasi awal 100, diperoleh return X i pada akhir periode i, untuk i = 1, 2. Diketahui X 1 dan X 2 peubah acak normal saling bebas dengan mean 60 dan variansi 25. Tentukan peluang bahwa rate of return dari investasi ini lebih dari 10 prosen? 7. Saya mau membeli mesin cuci baru untuk lima tahun ke depan. Saat ini saya punya mesin cuci juga sih, bernilai 6, tapi kemudian berkurang 2 setiap tahun untuk tiga tahun ke depan. Biaya operasional mesin cuci 9, naik 1 setiap tahun. Mesin cuci baru yang akan dibeli harganya 22 dengan masa hidup 6 tahun. Nilai mesin cuci baru akan berkurang 3 setiap tahun untuk dua tahun ke depan, lalu berkurang 4 setiap tahunnya. Biaya operasional 6, naik 1 setiap tahunnya. Kapan sebaiknya saya membeli mesin cuci baru? 5

6 Bab 3,4 - Peluang Nilai Uang, Distribusi Normal Apa yang dapat kita lakukan terhadap perilaku nilai uang? Dapatkah kajian peluang atau stokastik membantu kita memahami hal tersebut? Misalkan X peubah acak. Kita dapat menghitung peluang nilai peubah acak secara (i) langsung atau (ii) melalui kejadian. Perhatikan contoh berikut: Ayo berjudi! Saya bertaruh 1 untuk Merah (yang akan muncul dengan peluang 18/38). Jika Merah muncul, saya dapat 1 dan berhenti. Atau, Saya tambah 1 untuk Merah untuk dua putaran/taruhan berikutnya lalu berhenti. Misalkan X nilai kemenangan saya saat saya berhenti. Tentukan nilai X yang mungkin dan peluangnya. Hitung P (X > 0). Distribusi Normal Peubah acak normal merupakan salah satu kajian menarik dalam berbagai bidang, termasuk keuangan, karena pola yang dikenal dan dianggap dapat dipahami dengan mudah. Suatu peubah acak X dikatakan normal apabila memiliki fungsi peluang f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2, < x <. 2πσ 2 2σ 2 Catatan: Untuk µ = 0 dan σ 2 = 1, peubah acak X dikatakan sebagai peubah acak normal standar/unit; fungsi peluangnya dinotasikan ϕ(x) sedangkan fungsi distribusinya Φ(x). Perhatikan pertaksamaan berikut yang merupakan salah satu hasil teoritis penting untuk peubah acak normal: ( 1 1 2π x 1 ) exp( x 2 /2) < 1 Φ(x) < 1 1 x 3 2π x exp( x2 /2), x > 0. Akibatnya, untuk x yang besar, 1 Φ(x) 1 x 2π exp( x2 /2). Diskusi: Bagaimana untuk x (relatif) kecil? Formula pendekatan apa yang dapat digunakan? (lihat butir (iii) dibawah) 6

7 Apa yang dapat kita lakukan terhadap X atau f(x) tersebut? (i) membuat plot f untuk berbagai nilai µ dan σ 2 (ii) menentukan sifat-sifat statistik peubah acak normal (iii) menghitung peluang; termasuk dengan akurasi yang lebih tinggi (hal 25-26) (iv) mengkaji hubungan dengan peubah acak lognormal: Y = exp(x) Latihan: 1. Misalkan X peubah acak normal dengan parameter (µ, σ 2 ). Misalkan Y = exp(x). Tentukan mean dan variansi Y. 2. Lakukan simulasi data berdistribusi normal dan lognormal. Plot kedua data. Tepatkah perilaku harga aset dimodelkan dengan distribusi normal/lognormal? Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak normal dengan parameter (µ, σ 2 ). Misalkan S n = n X i. i=1 Apakah yang kita dapat dapatkan (perilaku S n ) untuk n besar? Adakah ukuran/statistik lain selain S n? Dapatkah kita melakukan hal yang sama diatas untuk peubah acak lain yang berdistribusi Binomial? Poisson? tanpa asumsi distribusi? (Jelaskan!) Latihan: 1. Suatu model pergerakan harga aset harian memiliki perilaku sebagai berikut. Jika harga aset saat ini adalah s maka setelah satu periode waktu akan menjadi τs dengan peluang p atau λs dengan peluang 1 p. Misalkan pergerakan harga saling bebas. Diketahui τ = 1.012, λ = 0.990, p = Tentukan peluang bahwa harga aset akan naik setidaknya 30% setelah 1000 hari. 2. Nilai penjualan mingguan di suatu perusahaan adalah peubah acak normal dengan mean 2200 dan deviasi standar 230. Hitung peluang bahwa total penjualan pada 2 minggu kedepan melampaui Hitung peluang bahwa penjualan mingguan melampaui 2000 pada setidaknya 2 dari 3 minggu kedepan. 7

8 3. Sebagai pedagang baru dibidang valas, Yeni dan Yena bersaing dalam mendapatkan poin penjualan. Poin Yeni adalah peubah acak normal dengan mean 170 dan variansi 400; Poin Yena adalah peubah acak normal dengan mean 160 dan deviasi standar 15. Jika pada hari ini keduanya sama-sama berjualan valas (asumsikan kedua poin saling bebas), hitung peluang (a) nilai Yena lebih tinggi (b) poin total keduanya lebih dari