Penentuan Harga Wajar Opsi Beli Tipe Eropa dengan Pembagian Dividen Menggunakan Model Black-Scholes

Transkripsi

1 Prosiding SNMPM II, Prodi Pendidikan Matematika, Unswagati, Cirebon, 0 Maret 08 Penentuan Harga Wajar Opsi Beli Tipe Eropa dengan Pembagian Dividen Menggunakan Model Black-Scholes Riaman, Agus Supriatna, Eman Lesmana 3, Betty Subartini 4 Universitas Padjadjaran, Bandung (riaman@unpad.ac.id) Universitas Padjadjaran, Bandung (agussupriatna@unpad.ac.id) 3 Universitas Padjadjaran, Bandung (man.msie@gmail.com) 4 Universitas Padjadjaran, Bandung (betty.subartini@unpad.ac.id) Abstrak Opsi Saham adalah suatu produk turunan pasar uang yang berupa hak yang dimiliki pemiliki opsi untuk menjual atau membeli saham pada suatu harga tertentu yang disepakati dalam rentang atau pada periode waktu tertentu. Untuk membeli suatu opsi diperlukan sejumlah premi yang harus dibayarkan atau biasa disebut sebagai harga wajar opsi. Valuasi terhadap harga wajar yang sering digunakan adalah dengan model Black-Scholes yang terdiri dari asumsi seperti tidak adanya pembagian dividen, tingkat bunga dan volatilitas dianggap konstan, tidak ada pajak dan biaya transaksi yang diperhitungkan, dan sebagainya. Asumsi-asumsi tersebut berbeda dari keadaan pasar yang sebenarnya. Dalam penelitian ini, akan dibentuk model hasil modifikasi model Black-Scholes dengan memperhitungkan pembagian dividen beserta penurunannya. Penurunan yang dilakukan akan menggunakan ekspektasi dari fungsi payoff untuk dividen kontinu dengan menggunakan dasar- dasar teori peluang. Hasil model modifikasi Black-Scholes dengan pembagian dividen ini akan disimulasikan pada data saham Astra Agro Lestari Tbk untuk memperoleh harga wajar dari opsi beli tipe Eropa saham tersebut. Hasil harga wajar yang diperoleh diharapkan mampu menjadi acuan dalam menentukan harga wajar opsi beli tipe Eropa. Kata kunci: Opsi beli, model Black-Scholes, dividen, tipe Eropa, ekspektasi payoff Pendahuluan Dalam dunia investasi finansial, investor dihadapkan pada dua pilihan jenis investasi, yaitu membeli aset secara langsung di pasar keuangan atau membeli produk turunan/derivatif dari aset tersebut. Sejauh ini ada beberapa produk derivatif yang dikenal luas antara lain kontrak berjangka (future contract), kontrak forward, kontrak swaps, dan kontrak opsi. Seperti yang sudah diperdagangkan dan lama dikenal, sebuah instrumen investasi yang merupakan produk turunan dari perdagangan saham yaitu opsi yang dikenal sebagai salah satu produk keuangan yang banyak dikaji perhitungannya secara matematika. Baik dengan menggunakan model deterministik maupun model stokastik. Opsi saham merupakan salah satu produk turunan dari pembelian aset untuk investasi dimana investor memiliki hak dalam membeli atau menjual underlying asset yaitu saham kepada penjual hak pada harga tertentu dan pada waktu tertentu. Dari tipe penggunaan hak, opsi saham itu dibagi menjadi dua tipe, yaitu tipe Eropa dimana investor hanya dapat menggunakan haknya tepat pada saat jatuh tempo dan tipe Amerika yang mana opsi ini memberikan kebebasan pada investor untuk menggunakan haknya selama awal perjanjian sampai saat jatuh tempo.

2 Prosiding SNMPM II, Prodi Pendidikan Matematika, Unswagati, Cirebon, 0 Maret 08 Metode penetapan harga opsi saham secara analitik dibahas semenjak tahun 973 yaitu dengan model Black-Scholes. Metode yang digunakan dibuat sebuah model deterministik dengan memperhatikan aspek harga saham acuan dan harga strike. Model ini memiliki asumsi penggunaan hak dilakukan hanya pada saat waktu jatuh tempo yang telah ditentukan, tidak memberikan pembagian dividen, tidak ada biaya transaksi, volatilitas data yang digunakan bersifat konstan selama usia opsi, tingkat bunga bebas resiko diketahui dan dianggap konstan, serta harga saham mengikuti proses acak dan fluktuatif. Tetapi pada pasar riil, saham selalu memiliki pembagian dividen dari perusahaan kepada pemilik saham sehingga akan terdapat pengaruh adanya pembagian dividen tersebut terhadap nilai opsi. Model Black-Scholes tanpa pembagian dividen yang menjadi metode valuasi terhadap nilai opsi tentu akan berbeda dengan perhitungan harga opsi dengan adanya pembagian dividen. Dividen adalah pembagian laba kepada pemegang saham berdasarkan banyaknya saham yang dimiliki. Pembagian ini akan mengurangi laba ditahan dan kas yang tersedia bagi perusahaan, tetapi distribusi keuntungan kepada para pemilik memang adalah tujuan utama suatu bisnis. Banyak pengembangan model Black Scholes dengan berbagai macam solusi numerik maupun asumsi tambahan yang semakin menyempurnakan model ini. Abudy membuat formulasi terhadap opsi saham dengan adanya tambahan asumsi yaitu diperhitungkannya return dari saham dan bersifat stokastik [], oleh Bezborodov (06) formulasi model Black-Scholes dengan tambahan asumsi bahwa volatilitas data saham bersifat stokastik dan payoff-nya diskontinu dan penentuan nilai opsinya dengan pendekatan numerik [3], dan lainnya. Pada kenyataannya dalam pasar perdagangan opsi, investor juga menilai suatu harga opsi dilihat dari pembagian dividen dari underlying aset yang diperjualbelikan sehingga akan ada asumsi tambahan dalam model Black-Scholes dengan asumsi pembagian dividen baik dividen kontinu maupun konstan. Berdasarkan uraian tersebut, penelitian ini membahas tentang penentuan model Black-Scholes harga opsi tipe Eropa dengan pembagian dividen yang belum dibahas pada pustaka dan jurnal sebelumnya. Pada penelitian ini hanya ditentukan model untuk opsi beli saja. Kemudian dilakukan simulasi numerik model yang diperoleh dalam contoh kasus pada data harga penutupan saham Astra Agro Lestari Tbk (AALI). Adapun tujuan dari penelitian ini adalah Menentukan model Black-Scholes dengan pembagian dividen konstan dan kontinu untuk harga opsi beli tipe Eropa. Menganalisis bagaimana model Black-Scholes dengan pembagian dividen yang diperoleh digunakan pada data saham sebenarnya dan kasus kali ini pada saham AALI.

3 Prosiding SNMPM II, Prodi Pendidikan Matematika, Unswagati, Cirebon, 0 Maret 08 3 Kegunaan dari penelitian ini adalah model yang terbentuk dapat diaplikasikan untuk menentukan harga wajar dari kontrak opsi pada saham. Diharapkan penelitian ini juga bisa memberikan gambaran serta pemahaman kepada pembeli maupun penjual kontrak opsi, dimana dengan Model Black-Scholes dengan pembagian dividen ini dapat dijadikan acuan dalam menentukan harga opsi beli tipe Eropa. Selain itu, penelitian ini juga diharapkan membuka potensi baru untuk pengembangan dan kajian lanjut untuk adik tingkat dalam menentukan harga wajar yang semakin baik dan representatif sehingga model ini semakin sempurna adanya dan dapat digunakan di kajian dalam kampus bahkan untuk diterapkan di pasar secara nyata. Aspek-aspek Opsi Opsi adalah suatu kontrak perjanjian yang memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli atau menjual aset acuan (untuk hal ini adalah saham) pada harga tertentu dan pada waktu tertentu yang telah disepakati (Capinski, 003). Ada enam variabel yang memengaruhi harga opsi pada model Black-Scholes yaitu harga saham pada underlying asset, harga strike, waktu jatuh tempo, tingkat bunga bebas resiko, volatilitas, dan nilai dividen. Berdasarkan hak yang dimiliki pemegang opsi terdapat dua jenis opsi saham yaitu: Opsi Jual, Opsi ini memberikan hak kepada pemegang opsi untuk menjual saham dengan harga tertentu (strike price) pada saat jatuh tempo atau selama opsi berlaku. Opsi jual atau biasa dinotasikan sebagai P (put option). Keuntungan atau payoff yang diperoleh dari opsi jual adalah selisih antara harga strike dengan harga saham saat ini. Keuntungan tersebut dalam beberapa literatur disebut pula sebagai nilai intrinsik opsi. Maka keuntungan akan diperoleh apabila harga saham ini kurang dari harga strike. Besar keuntungan saat waktu jatuh tempo T atau sementara diasumsikan sebagai nilai opsi jual dinyatakan sebagai berikut: P maks K S t Dari persamaan tersebut, diinterpretasikan bahwa keuntungan yang akan diperoleh sebesar saat harga saham kurang dari harga strike dan akan bernilai 0 apabila harga saham diatas atau sama dengan harga strike yang berarti pemilik opsi tidak menggunakan haknya karena bila digunakan malah akan memberi kerugian sebesar harga premi opsi ditambah dengan selisih Opsi beli, Opsi ini memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli saham dengan harga tertentu (strike price) pada saat jatuh tempo atau selama opsi berlaku. Opsi beli atau biasa dinotasikan sebagai C (call option). Keuntungan yang diperoleh dari opsi beli adalah sebesar selisih antara harga saham waktu kontrak dengan harga strike yang ditentukan. Besar keuntungan yang diperoleh dari opsi beli dinyatakan sebagai berikut,0 3

4 Prosiding SNMPM II, Prodi Pendidikan Matematika, Unswagati, Cirebon, 0 Maret 08 4 C max( S( T) K,0) Dari persamaan () diinterpretasikan bahwa keuntungan yang akan diperoleh pemegang hak opsi sebesar saat harga saham lebih daripada harga strike dan akan bernilai 0 apabila harga saham kurang dari harga strike yang berarti pemilik hak opsi tidak akan menggunakan hak belinya karena apabila hak opsi digunakan akan menjadi kerugiaan sebesar ditambah dengan premi yang dibayarkan untuk membeli opsi tersebut. Suatu opsi saat jatuh tempo dikatakan in the money apabila nilai dari opsi tersebut bernilai lebih dari sama dengan nol atau saat underlying asset bernilai lebih besar dari harga strike. Dikatakan at the money saat underlying asset memiliki nilai yang sama dengan harga strike dan dikatakan out the money apabila nilai underlying asset lebih rendah dari harga strike yang berarti memiliki nilai payoff sama dengan nol. Model Saham Kontinu, harga saham selalu berubah-ubah sehingga nilai volatilitas tidak selalu bernilai nol (Hull, 000). Sebagai gambaran, jika seoarang investor memiliki saham senilai $5 tentunya tidak akan dikembalikan ketika nilai saham $3. Perubahan simpangan baku pada interval waktu harus sebanding dengan harga saham. Misalkan sebagai drift/laju pertumbuhan saham, menyatakan volatilitas saham, dan merupakan gerak Brownian maka model pergerakan harga saham dengan nilai volatilitas tidak nol adalah atau persamaan () dapat ditulis sebagai ds() t Sdt SdW t S(0) ds( t) S(0) dt S(0) dwt 3 Keadaan Dividen Konstan, Keadaan dividen konstan adalah keadaan kontrak opsi saham yang mengasumsikan suku bunga bebas resiko r konstan dan pembagian dividen D konstan. Investor berharap investasi opsi lebih menguntungkan daripada investasi saham (Chriss, 997). Investasi opsi mengasumsikan bahwa semua investor opsi netral terhadap resiko (risk-neutral). Keadaan risk-neutral memiliki suku bunga bebas resiko (r) konstan. Menurut Kanniainen (007), jika perusahaan membagikan dividen, misal dividen pada waktu adalah maka harga saham sebelum pembagian dividen jika t S(0) E S D t exp rt 4 (waktu jatuh tempo) maka persamaan (.6) dapat menjadi S(0) E S( T ) D( T) exp rt 4

5 Prosiding SNMPM II, Prodi Pendidikan Matematika, Unswagati, Cirebon, 0 Maret 08 5 S( T)exp rt S(0) D( T)exp rt 5 Ini menunjukkan bahwa harga sekarang saham pada waktu T akan mengalami penurunan sebesar nilai sekarang dari dividen yang diberikan pada waktu T Adapun asumsi yang digunakan untuk menentukan nilai opsi beli tipe Eropa dengan pembagian dividen dalam keadaan dividen konstan adalah. Pergerakan harga saham mengikuti proses stokastik. Tingkat suku bunga bebas resiko, r (konstan) sampai waktu jatuh tempo T 3. Pada saat waktu perusahaan membagikan dividen D (konstan) dengan tingkat laju mengikuti laju bunga 4. Tidak ada biaya transaksi dan tidak ada pajak 5. Pasar bebas arbitrasi. Dividen, dividen merupakan keuntungan perusahaan yang dibagikan kepada pemegang saham. Biasanya tidak seluruh keuntungan perusahaan dibagikan kepada pemegang saham, tetapi ada bagian yang ditanam kembali. Besarnya dividen yang diterima oleh pemegang saham ditentukan dalam Rapat Umum Pemegang Saham (RUPS) perusahaan tersebut. Perusahaan tidak selalu membagikan dividen kepada para pemegang saham karena tergantung kepada kondisi perusahaan itu sendiri. Artinya jika perusahaan mengalami kerugian tentu saja dividen tidak akan dibagikan pada tahun tersebut Pembagian dividen pada saham merupakan proses stokastik. Pada saat ex-dividend, saham akan mengalami penurunan harga. Hal ini menyebabkan nilai opsi beli naik dan nilai opsi jual turun. Model Black-Scholes harga opsi tipe Eropa dengan pembagian dividen dilakukan dengan cara mengasumsikan bahwa nilai saham merupakan jumlah dari dua komponen, yaitu komponen bebas resiko yang akan digunakan untuk membagikan dividen selama jangka waktu opsi dan komponen tidak bebas resiko yang akan digunakan untuk membagikan dividen selama waktu opsi terpotong oleh waktu ex- dividend. Nilai present value dividen terhadap tingkat suku bunga r dan waktu t adalah PV ( D) De rt 6 Volatilitas, Volatilitas adalah besarnya harga fluktuasi dari sebuah saham (Hanke, 005). Semakin besar volatilitas saham, maka semakin besar kemungkinan mengalami keuntungan atau kerugian. Adapun persamaan dari volatilitas adalah sebagai berikut. n t n 7 n Rt Rt 5

6 Prosiding SNMPM II, Prodi Pendidikan Matematika, Unswagati, Cirebon, 0 Maret 08 6 dengan : volatilitas : jumlah hari perdagangan dalam satu tahun : return harian : estimasi rataan dari return harian Untuk memperoleh nilai dan dicari dengan persamaan berikut ( ) dan Model Black- Scholes, Menurut Black (973), Model Black-Scholes menggunakan beberapa asumsi. Asumsi-asumsi tersebut diperlukan untuk mengembangkan suatu cegah resiko untuk memperoleh laba arbitrage jika harga pasar opsi beli berbeda dengan nilai yang diperoleh melalui model Black-Scholes. Beberapa asumsi yang mendasari model Black-Scholes adalah opsi yang digunakan adalah opsi tipe eropa, variansi harga saham konstan sepanjang usia kontrak, saham fluktuatif, suku bunga bebas resiko konstan dan diketahui, saham tidak memberikan dividen, dan tidak ada pajak serta biaya transaksi. Model tersebut dijelaskan dalam persamaan berikut: rt, E C S0 T S0 N d Ke N d untuk opsi beli atau Call Option dan 6 8 rt 0, 0 E P S T Ke N d S N d 9 untuk opsi jual atau Put Option dengan : harga opsi beli : harga opsi jual : harga saham sekarang pada waktu : harga strike price : waktu jatuh tempo : nilai distribusi normal kumulatif untuk dengan S(0) S(0) ln r T ln r T K K d dan d T T Salah satu teori dasar dalam dunia keuangan adalah arbitrage pricing theory. Teori ini berdasarkan pada hukum dimana dua aset yang sama tidak dapat dijual dengan harga yang berlainan. Jika terjadi perbedaan harga antara dua aset yang sama tersebut maka akan terjadi proses arbitrase. Investor akan menjual aset yang lebih mahal dan membeli aset lain yang harganya lebih murah. Dengan proses ini maka diperoleh keuntungan yaitu sebesar selisih dari harga kedua aset tersebut tanpa harus

7 Prosiding SNMPM II, Prodi Pendidikan Matematika, Unswagati, Cirebon, 0 Maret 08 7 menanggung resiko. Pada akhirnya proses ini menyamakan harga dari kedua aset tersebut. Orang yang melakukan arbitrase disebut arbitrageur yaitu orang yang memperhatikan keadaan pasar terlebih dahulu, kemudian mencoba menemukan situasi bebas resiko untuk memperoleh keuntungan dengan cara membandingkan dua pasar yang berbeda. Menurut Baxter (997), harga saham mengikuti distribusi peluang gerak Brown yaitu berdistribusi normal. Hal ini disebabkan karena adanya perubahan ukuran peluang yang ekuivalen. Jika, S( T) S(0)exp TWt r T maka memiliki distribusi normal dibawah ukuran peluang dengan rataan T dan variansi T. Maka nilai opsi beli merupakan nilai sekarang dari ekspektasi payoff untuk di waktu T, dimana x T rt x rt e ES( T ) K S(0) e Ke exp dx T ln \S(0) T K rt Integral diatas dapat diubah dalam bentuk fungsi kumulatif normal standar. Jika dinotasikan sebagai x y exp dy yaitu nilai peluang normal standar kurang dari, maka nilai sekarang dari ekspektasi payoff tersebut untuk akan berubah menjadi S(0) S(0) ln r T ln r T rt K rt K e ES( T ) K S(0) N Ke N T T 0 Kajian Pada simulasi ini, data yang digunakan adalah data sekunder harga penutupan (closing price) Astra Agro Lestari Tbk (kode: AALI) dari tanggal 30 Januari 05 sampai dengan tanggal 7 Januari 07 yang dipeoleh dari Volatilitas diukur oleh deviasi standar dari ln return saham tahunan dimasa lalu. Langkah-langkah untuk mengestimasi volatilitas historis dari harga saham sebagai berikut 7

8 Prosiding SNMPM II, Prodi Pendidikan Matematika, Unswagati, Cirebon, 0 Maret 08 8 a. Mencatat harga penutupan saham AALI selama tahun periode 30 Januari 06 sd 30 Januari 07 secara berurutan dengan harga saham tersebut secara berurutan sebagai b. Dari data harga penutupan saham dicari harga relatif saham dengan persamaan St harga relatif S t c. Dari harga relatif yang diperoleh dicari return saham yaitu logaritma natural dari harga relatif tersebut S t Rt ln St d. Dihitung estimasi variansi dari ln return saham harian 90 R t t Rt e. Menghitung estimasi variansi dari ln return saham tahunan. Karena data harian dengan jumlah hari perdagangan dalam tahun sebanyak 90 hari maka 90 R t Rt n f. Dari perhitungan tersebut dicari volatilitas yang diestimasi dengan standar deviasi dari ln return saham tahunan n 90 x Sehingga diperoleh volatilitas sebesar 7.7% Harga Opsi Beli pada Pembayaran Dividen Konstan Berdasarkan data harga penutupan saham Astra Agro Lestari Tbk diperoleh harga saham sekarang sebelum pembayaran dividen, jika ditentukan strike price, waktu sampai jatuh tempo opsi, waktu sampai jatuh tempo dividen, volatilitas,tingkat suku bunga bebas resiko dan dividen. Maka harga opsi beli untuk tipe Eropa dari saham Astra Agro Lestari Tbk adalah sebagai berikut a. Nilai sekarang dari dividen yang akan dibayarkan berdasarkan persamaan adalah sebesar D De 99e rt 97, (0.5) b. Nilai saham setelah pembagian dividen berdasarkan persamaan (4.3) menjadi 8

9 Prosiding SNMPM II, Prodi Pendidikan Matematika, Unswagati, Cirebon, 0 Maret 08 9 S *( t) S( t) D c. Volatilitas saham setelah adanya pembagian dividen berdasarkan persamaan (4.4) menjadi * St) 5800 *( (0.77) 0.73 S ( t) 570 d. Harga opsi beli saham AALI dengan periode opsi selama satu periode atau 3 bulan berdasarkan persamaan 9 adalah Harga wajar opsi beli dari kontrak opsi saham AALI ini dengan menggunakan model Black-Scholes dengan adanya pembagian dividen adalah sebesar Rp397,4. Sedangkan untuk data tersebut dihitung dengan model Black-Scholes tanpa pembagian dividen adalah sebesar Rp573, 8 Harga Opsi Beli pada Pembayaran Dividen Kontinu Berdasarkan data harga penutupan saham Astra Agro Lestari Tbk diperoleh harga saham sekarang sebelum pembayaran dividen, jika ditentukan strike price, waktu sampai jatuh tempo opsi, waktu sampai jatuh tempo dividen, volatilitas,tingkat suku bunga bebas resiko dan tingkat dividen kontinu sebesar. Maka harga opsi beli untuk tipe Eropa dari saham Astra Agro Lestari Tbk berdasarkan persamaan 9 adalah sebagai berikut: 9

10 Prosiding SNMPM II, Prodi Pendidikan Matematika, Unswagati, Cirebon, 0 Maret e 6000e 5800e 0.006(0.5) 0.065(0.5) ln ( ) N ln ( ) N ln N ln e N ( ) N (574.0) N0.76 Jadi, harga wajar opsi beli dari kontrak opsi saham AALI ini dengan menggunakan model Black-Scholes dengan adanya pembagian dividen adalah sebesar Rp. 70, 4309 Kesimpulan dan Saran Model Black-Scholes dengan pembagian dividen merupakan model modifikasi dari model Black-Scholes semula dengan tambahan asumsi pembagian dividen diperhitungkan. Dengan adanya dividen yang dibayarkan harga opsi beli menjadi lebih murah dibandingkan dengan hasil valuasi dengan model Black-Scholes tanpa memperhitungkan dividen. Dari model yang diperoleh juga disimpulkan bahwa semakin besar dividen yang dibayarkan dari underlying asset maka nilai opsi semakin kecil. Hal ini berdampak pula pada keuntungan yang diperoleh pada waktu jatuh tempo opsi beli, yaitu keuntungan yang diperoleh semakin kecil pula. Daftar Pustaka Abudy, M. (007). Pricing Stock Option with Stochastics Rate. Journal of Finance. (53), Baxter, Martin. (997). Financial Calculus an Introduction to Derivative Pricing. Cambridgeshire: Cambridge University Press 0

11 Prosiding SNMPM II, Prodi Pendidikan Matematika, Unswagati, Cirebon, 0 Maret 08 Bezborodov, V. (06). Option Pricing with Fractional Stochastic Volatility and Discontinuous Payoff. Quantitative Finance-Pricing of Securities, Cornell University, (3), Black, F. (973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities.Journal of Political Economy. (8), Capiński, Marek. (003). Mathematics for Finance an Introduction to Financial Engineering. Berlin: Springer Chriss, Neil. A. (997). Black-Scholes and Beyond Option Pricing Models. New York: McGraw- Hill Daftar Historis saham AALI. From 8 Januari 07 Direksi PT. Bursa Efek Indonesia. (004). Peraturan Tentang Opsi Saham. Jakarta: Bursa Efek Indonesia Hanke, John E. & Dean W. Wichern. (005). Business Forecasting (Eighth Edition). New Jersey: Prentice Hall, Pearson Education International. Higham, Desmond. (004). An Introduction to Financial Option Valuation Mathematics, Stochastics, and Computation. Cambridgeshire: Cambridge University Press Hull, J. (000). Option, Futures, and Other Derivatives. New Jersey: PrenticeHall Pembagian Dividen saham AALI tahun Tingkat suku bunga BI rate tahun