KALKULUS LANJUT. Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih. Resmawan. Universitas Negeri Gorontalo. 27 Agustus 2018
|
|
|
- Harjanti Santoso
- 5 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 KALKULUS LANJUT Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih Resmawan Universitas Negeri Gorontalo 27 Agustus 2018 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
2 3. Limit dan Kontinuitas 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel Pada subbab ini ini kita akan memberikan arti pada pernyataan lim f (x, y) = L (x,y ) (a,b) Secara intuisi kalimat ini dapat dimaknai: Nilai f (x, y) dekat ke L, jika (x, y) dekat ke (a, b) Bagaimana (x, y) dekat ke (a, b)? Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
3 3. Limit dan Kontinuitas 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel Definition (Definisi Limit Fungsi Dua Variabel) Dikatakan lim f (x, y) = L (x,y ) (a,b) artinya untuk setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian sehingga, 0 < (x, y) (a, b) < δ f (x, y) L < ɛ Untuk interpretasi (x, y) (a, b), pikirkan (x, y) dan (a, b) sehingga (x, y) (a, b) = (x a) 2 + (y b) 2 dan titik-titik yang memenuhi 0 < (x, y) (a, b) < δ adalah semua titik-titik dalam lingkaran berjari-jari δ kecuali titik pusat (a, b). Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
4 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel Perhatikan Gambar berikut 3. Limit dan Kontinuitas 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
5 3. Limit dan Kontinuitas 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel Beberapa poin yang perlu diperhatikan dari definisi limit fungsi dua variabel: 1 Jalur pendekatan ke (a, b) tidak penting, artinya bahwa jika jalur pendekatan yang berlainan menuju nilai-nilai L yang berlainan, maka limit tidak ada. 2 Perilaku f (x, y) di (a, b) tidak penting, bahkan fungsi f (x, y) bahkan tidak harus terdefinisikan di (a, b), sebagai akibat dari pembatasan 0 < (x, y) (a, b). 3 Definisi diekspresikan sedemikian sehingga dapat diperluas ke fungsi tiga variabel atau lebih, dengan mengganti (x, y) dan (a, b) dengan (x, y, z) dan (a, b, c). Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
6 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel 3. Limit dan Kontinuitas 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel Perhatikan bahwa, polinomial dengan variabel x dan y dapat dinyatakan f (x, y, z) = n m i=1 j=1 c ij x i y i dan fungsi rasional dalam variabel x dan y dinyatakan dengan f (x, y) = p (x, y) q (x, y) p dan q polinomial dalam x dan y, dengan asumsi q = 0. Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
7 3. Limit dan Kontinuitas 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel Theorem 1 Jika f (x, y) adalah polinomial, maka 2 Jika lim f (x, y) = (a, b) (x,y ) (a,b) f (x, y) = dengan p dan q polinomial, maka lim (x,y ) (a,b) p (x, y) q (x, y) p (a, b) f (x, y) = ; q (a, b) = 0 q (a, b) Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
8 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel 3. Limit dan Kontinuitas 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel Theorem 3. Lebih lanjut, jika lim (x,y ) (a,b) p (x, y) = L = 0 dan lim (x,y ) (a,b) q (x, y) = 0 maka nilai tidak ada. p (x, y) lim (x,y ) (a,b) q (x, y) Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
9 3. Limit dan Kontinuitas 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel Example Hitung limit-limit berikut jika ada ( 1) lim x 2 y + 3y ) x 2) 2 + y lim (x,y ) (1,2) (x,y ) (0,0) x 2 y 2 Solution 1 Menurut Teorema ( lim x 2 y + 3y ) = = 8 (x,y ) (1,2) 2 Fungsi kedua adalah fungsi rasional, sehingga tidak mempunyai limit karena nilai limit penyebut sama dengan nol Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
10 3. Limit dan Kontinuitas 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel Example Perlihatkan bahwa fungsi f (x, y) = x 2 y 2 x 2 + y 2 tidak mempunyai limit di titik asal (perhatikan Gambar) Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
11 3. Limit dan Kontinuitas 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel Solution Fungsi f didefinisikan diseluruh bidang xy kecuali titik asal (0, 0). Disemua titik pada sumbu x selain titik asal, nilai f adalah f (x, 0) = x 2 0 x = 1 sehingga limit fungsi f untuk (x, y) dekat ke (0, 0) disepanjang sumbu x: lim f (x, 0) = lim x 2 0 (x,0) (0,0) (x,0) (0,0) x = 1 Dengan cara yang sama, limit fungsi f untuk (x, y) dekat ke (0, 0) disepanjang sumbu y: lim f (0, y) = lim 0 y 2 (0,y ) (0,0) (0,y ) (0,0) 0 + y 2 = 1 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
12 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel 3. Limit dan Kontinuitas 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel Examples Carilah nilai limit yang ditunjukkan atau nyatakan bahwa limit tidak ada (1) lim (x,y ) ( 1,2) xy y 3 (x + y + 1) 2 x 2 + y 2 (2) lim (x,y ) (0,0) x 4 y 4 tan ( x 2 + y 2) (3) lim (x,y ) (0,0) x 2 + y 2 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
13 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel 3. Limit dan Kontinuitas 3.1 Limit Fungsi Dua Variabel Solution xy y 3 (1) lim (x,y ) ( 1,2) (x + y + 1) 2 = ( 1) (2) 23 ( ) 2 = 5 2 (2) x 2 + y 2 lim (x,y ) (0,0) x 4 y 4 = Tidak terdefinisi karena fungsi = tidak terdefinisi disepanjang = garis y = x tan ( x 2 + y 2) sin ( x 2 + y 2) 1 (3) lim (x,y ) (0,0) x 2 + y 2 = lim (x,y ) (0,0) x 2 + y 2. cos (x 2 + y 2 ) = (1) (1) = 1 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
14 3. Limit dan Kontinuitas 3.2 Limit Fungsi dengan Koordinat Polar 3.2 Limit Fungsi Dengan Koordinat Polar Dalam kasus tertentu, limit fungsi dua variabel khususnya di titik asal dapat dianalisis dengan lebih mudah dengan mengubah fungsi ke koordinat polar. Dalam hal ini, poin penting yang perlu diingat bahwa (x, y) (0, 0) jika dan hanya jika r = x 2 + y 2 0 Dengan ekspresi ini, limit fungsi dua variabel diekspresikan sebagai limit satu variabel r saja. Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
15 3. Limit dan Kontinuitas 3.2 Limit Fungsi dengan Koordinat Polar 3.2 Limit Fungsi Dengan Koordinat Polar Example Hitunglah limit fungsi berikut, jika ada sin ( x 2 + y 2) xy (1) lim (x,y ) (0,0) 3x 2 + 3y 2 (2) lim (x,y ) (0,0) x 2 + y 2 Ingat aturan L Hopital: Jika f lim f (x) = lim g (x) = 0 atau ± (x) dan lim x c x c x c g (x) ada, Maka f (x) lim x c g (x) = lim f (x) x c g (x) Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
16 3. Limit dan Kontinuitas 3.2 Limit Fungsi dengan Koordinat Polar 3.2 Limit Fungsi Dengan Koordinat Polar Solution 1 Dengan mengubah ke koordinat polar dan menggunakan aturan L Hopital, diperoleh sin ( x 2 + y 2) sin r lim (x,y ) (0,0) 3x 2 + 3y 2 = 2 lim r 0 3r 2 2 Perubahan ke koordinat polar memberikan lim (x,y ) (0,0) xy x 2 + y 2 = lim r cos θ r sin θ r 0 r 2 = 1 3 lim 2r cos r 2 r 0 2r = 1 3 = lim r 0 cos θ sin θ karena limit tergantung dari θ, maka lintasan-lintasan garis lurus ke titik asal akan menuju ke limit yang berlainan. Artinya limit tidak ada untuk fungsi ini. Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
17 3. Limit dan Kontinuitas 3.2 Limit Fungsi dengan Koordinat Polar 3.2 Limit Fungsi Dengan Koordinat Polar Examples Carilah nilai limit yang ditunjukkan dengan koordinat polar xy (1) lim (x,y ) (0,0) x 2 + y 2 x 7/3 (2) lim (x,y ) (0,0) x 2 + y 2 x 2 y 2 (3) lim (x,y ) (0,0) x 2 + y 4 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
18 3. Limit dan Kontinuitas 3.2 Limit Fungsi dengan Koordinat Polar 3.2 Limit Fungsi Dengan Koordinat Polar Solution xy r cos θ.r sin θ (1) lim = lim (x,y ) (0,0) x 2 + y 2 r 0 r = lim r cos θ. sin θ = 0 r 0 x 7/3 (r cos θ) 7/3 (2) lim (x,y ) (0,0) x 2 + y 2 = lim r 0 r 2 (3) lim (x,y ) (0,0) x 2 y 2 x 2 +y 4 r = 7/3 (cos θ) 7/3 lim r 0 r 2 = lim r 1/3 (cos θ) 7/3 r 0 = 0 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
19 3. Limit dan Kontinuitas 3.2 Limit Fungsi dengan Koordinat Polar 3.2 Limit Fungsi Dengan Koordinat Polar Solution (3) lim (x,y ) (0,0) Perhatikan bahwa: x 2 y 2 x 2 + y 4 = lim r 0 = lim r 0 Jika cos θ = 0, maka f (x, y) = 0 = lim r 2 r 0 r 4 cos 2.θ sin 2 θ r 2 cos 2 θ + r 4 sin 4 θ r 2 cos 2.θ sin 2 θ cos 2 θ + r 2 sin 4 θ ( cos 2.θ sin 2 θ cos 2 θ + r 2 sin 4 θ Jika cos θ = 0, limit f (x, y) konvergen ke 0 saat r 0 Dengan demikian lim f (x, y) = 0 (x,y ) (0,0) Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60 )
20 3. Limit dan Kontinuitas 3.3 Kontinuitas pada Suatu Titik 3.3 Kontinuitas pada Suatu Titik Definition (Kontinuitas pada Satu Titik) Suatu fungsi f (x, y) dikatakan kontinu di titik (a, b) jika memenuhi syarat 1 f mempunyai nilai di (a, b) 2 f mempunyai limit di (a, b) 3 Nilai f di (a, b) sama dengan nilai limitnya lim f (x, y) = f (a, b) (x,y ) (a,b) Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
21 3. Limit dan Kontinuitas 3.3 Kontinuitas pada Suatu Titik 3.3 Kontinuitas pada Suatu Titik Theorem (Komposisi Fungsi) Jika sebuah fungsi dua variabel g kontinu di (a, b) dan sebuah fungsi satu variabel f kontinu di (a, b), maka fungsi komposisi f g yang didefinisikan oleh (f g) (x, y) = f (g (x, y)) kontinu di (a, b). Example Jelaskan titik-titik (x, y) dimana pada titik-titik tersebut, fungsi berikut adalah kontinu 2x + 3y (1) H (x, y) = y 4x 2 (2) F (x, y) = cos ( x 3 4xy + y 2) Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
22 3. Limit dan Kontinuitas 3.3 Kontinuitas pada Suatu Titik 3.3 Kontinuitas pada Suatu Titik Solution 1 H (x, y) adalah fungsi rasional, sehingga kontinu di setiap titik tempat, kecuali titik yang menyebatkan penyebut 0. Penyebut y 4x 2 sama dengan 0 di sepanjang parabola y = 4x 2. Dengan demikian, H (x, y) kontinu untuk semua (x, y) kecuali untuk titik-titik di sepanjang parabola y = 4x 2. 2 Fungsi g (x, y) = x 3 4xy + y 2 kontinu untuk semua (x, y) karena merupakan fungsi polinomial. Fungsi f (t) = cos t juga kontinu disetiap bilangan t karena merupakan fungsi trigonometri. Dengan demikian, fungsi F (x, y) kontinu untuk semua (x, y) Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
23 3.4 Latihan 3 3. Limit dan Kontinuitas 3.4 Latihan 3 Problem 1. Carilah limit yang ditunjukka atau nyatakan bahwa limit tidak ada: ( a. lim xy 3 xy + 3y 2) (x,y ) ( 2,1) b. x 3 3x 2 y + 3xy 2 y 3 lim (x,y ) (1,2) y 2x 2 c. xy + cos x lim (x,y ) (0,0) xy cos x x 4 y 4 d. lim (x,y ) (0,0) x 2 y 2 e. lim (x,y ) (0,0) xy x 2 y 2 x 2 + y 2 Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
24 3.4 Latihan 3 3. Limit dan Kontinuitas 3.4 Latihan 3 Problem 2. Perlihatkan bahwa tidak ada xy + y 3 lim (x,y ) (0,0) x 2 + y 2 3. Uraikan himpunan terbesar S yang memenuhi untuk mengatakan bahwa f kontinu a. f (x, y) = x 2 + 3xy + y 2 y x 2 b. f (x, y) = ln ( 1 + x 2 + y 2) c. f (x, y) = x + y Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
25 3.4 Latihan 3 3. Limit dan Kontinuitas 3.4 Latihan 3 Problem 4. Misalkan f (x, y) = xy x 2 y 2 x 2 + y 2 Jika (x, y) = (0, 0) dan f (0, 0) = 0, perlihatkan bahwa f xy (0, 0) = f yx (0, 0) dengan melengkapi langkah-langkah berikut: ( ) a. perlihatkan bahwa f x (0, y) = f (0+h,y ) f (0,y ) lim h 0 h = y, untuk semua y. b. perlihatkan bahwa f y (x, 0) = x, untuk ( semua x. ) fy (0+h,0) f c. perlihatkan bahwa f yx (0, 0) = lim y (0,0) h 0 h = 1. d. perlihatkan bahwa f xy (0, 0) = 1. Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
26 Penutup " Terima Kasih, Semoga Bermanfaat " Resmawan (Math UNG) Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih 27 Agustus / 60
Fungsi Analitik (Bagian Ketiga)
Fungsi Analitik (Bagian Ketiga) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu VI) Outline 1 Persamaan Cauchy-Riemann 2 Persamaan
FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Fungsi Analitik (Bagian Pertama)
Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IV) Outline 1 Fungsi Variabel Kompleks 2 Pemetaan/Transformasi/Mappings
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL. Indah Yanti
Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL Indah Yanti Definisi Dasar Perhatikan fungsi f: A R n R m : x f x n = m = 1 fungsi bernilai riil satu variabel n = 1, m > 1 fungsi bernilai vektor satu variabel n > 1, m
Fungsi Analitik (Bagian Kedua)
Fungsi Analitik (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 5528, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu V) Outline Limit Menuju Tak Hingga 2 Fungsi Kontinu
III HASIL DAN PEMBAHASAN
Fungsi periodizer kutub tersebut dapat dituliskan pula sebagai: p θ, N, θ 0 = π N N.0 n= n sin Nn θ θ 0. () f p θ, N, θ 0 = π N N j= j sin Nj θ θ 0 diperoleh dengan menyubstitusi variabel θ pada f θ =
Pertemuan ke-10: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR
Pertemuan ke-0: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 205 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205
Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1
Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk
Bagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat
Bab 2 Fungsi Analitik
Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,
LIMIT DAN KONTINUITAS. Arum Handini Primandari
LIMIT DAN KONTINUITAS Arum Handini Primandari Jika sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka yang memuat a, kecuali di a sendiri, maka kita katakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah
Jika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t
Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan (C), dengan jari-jari 1 dan pusat dititik asal. X 2 + y 2 = 1 Panjang busur AP = t Keliling C = 2π y Jika t = π, maka P setengah C P(,y)
Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
BAB 3. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI
BAB. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI A. Definisi it Sebelum mendefinisikan it, terlebih dahulu perhatikan gambar berikut! y L + ε ε ε f() f() - L L f() - L f() L - ε c - δ c c + δ c- -c δ δ Gambar. Dari gambar
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil
LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)
LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan
Kalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2
Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101 SKS : 3 SKS Limit Fungsi Pertemuan - Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Kemampuan Akhir yang Diharapkan Mahasiswa
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 10, 2011 Pemahaman yang baik tentang fungsi kontinu merupakan hal yang penting dalam analisis. Dalam optimisasi,
SRI REDJEKI KALKULUS I
SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih
LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM
LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM Bilangan Tidak Tertentu Nol = Bilangan yang menyatakan banyaknya elemen himpunan kosong Misal : A={Orang yang Istrinya } Terdapat bilangan mendekati dari kiri/bawah/negati
BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN
Diktat Kuliah TK Matematika BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN 5. Nilai Ekstrim Fungsi Nilai ekstrim fungsi adalah nilai yang berkaitan dengan maksimum atau minimum fungsi tersebut. Ada dua jenis nilai ekstrim,
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 8 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Soal Babak Penyisihan OMITS 2008
Soal Babak Penyisihan OMITS 008. Banyak pembagi positif dari.50.000 adalah..... a. 05 b. 0 c. 75 d. 0 e.5. Jari-jari masing-masing lingkaran adalah 5 cm. Tentukan panjang busur ketiga lingkaran tersebut.....
a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Limit Fungsi Pertemuan - 2
a home base to eellene Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 0 SKS : 3 SKS Limit Fungsi Pertemuan - a home base to eellene TIU : Mahasiswa dapat memahami it ungsi TIK : Mahasiswa mampu menyelesaikan it ungsi
Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA
Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan
Open Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Hendra Gunawan. 5 Maret 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kuliah yang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 SistemKoordinatPolar 11.1 Sistem
LEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah
BAB V T U R U N A N 1. Menentukan Laju Perubaan Nilai Fungsi. Menggunakan Aturan Turunan Fungsi Aljabar 3. Menggunakan Rumus Turunan Fungsi Aljabar 4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva 5. Fungsi
Kalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:
LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat
LIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN 10.1 PENDAHULUAN Sebelum mambahas it fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal
Matematika EBTANAS Tahun 1999
Matematika EBTANAS Tahun 999 EBT-SMA-99-0 Akar-akar persamaan kuadrat + = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + ) dan (β + ) + = 0 + 7 = 0 + = 0 + 7 = 0 + = 0 EBT-SMA-99-0 Akar-akar
OUTLINE Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan. Kalkulus. Dani Suandi, M.Si.
Nilai Mutlak Kalkulus Dani Suandi, M.Si. Nilai Mutlak 1 Notasi Selang Menyelesaikan 2 Nilai Mutlak Definisi Nilai Mutlak Sifat Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Cartesius Grafik Persamaan Notasi Selang Nilai
Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola. Tim Kalkulus II
Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola Tim Kalkulus II Koordinat Kartesius Sistem Koordinat 2 Dimensi Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 27 Januari 2017 Bab Sebelumnya 7. Teknik Pengintegralan 7.1 Aturan Dasar Pengintegralan 7.2 Pengintegralan Parsial 7.3 Integral Trigonometrik
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1
Mata Kuliah Kode SKS : Kalkulus : CIV-101 : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Kemampuan Akhir ang Diharapkan : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menelesaikan pertaksamaan
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa
Bil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah
ANALISIS KOMPLEKS Pendahuluan Bil Kompleks Bil Riil Bil Imaginer (khayal) Bil Rasional Bil Irasional Bil Pecahan Bil Bulat Sistem Bilangan Kompleks Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + Untuk maka bentuk
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
karena limit dari kiri = limit dari kanan
A. DEFINISI LIMIT Istilah it dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai it sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.. Pengertian Limit secara Intusi Untuk memahami
MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987
MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1 FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I
![[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1 FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I](/thumbs/79/79568406.jpg "[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1 FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I")
FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu. Himpunan anak yang beranggotakan
MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS
MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS 2 PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS REAL IMAJINER RASIONAL IRASIONAL BULAT PECAHAN BULAT NEGATIF CACAH ASLI 0 3 ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan x 2 + 4x
Koordinat Polar (Ch )
Koordinat Polar (Ch.10.-10.) O (the pole) ray (polar axis) Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif
Matematika EBTANAS Tahun 1986
Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN
Pertemuan ke-: 10, 11, dan 12 Penyusun : Kosim Rukmana Materi: Barisan Bilangan Real 7. Barisan dan Limit Barisan 6. Teorema Limit Barisan 7. Barisan Monoton URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 7. Barisan dan
Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau
Integral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan
BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f
20. TRANSFORMASI. A. Translasi (Pergeseran) ; T = b. a y. a y. x atau. = b. = b
. TRANSFORMASI A. Translasi (Pergeseran) ; T b a + b a atau b a B. Refleksi (Pencerminan). Bila M matriks refleksi berordo, maka: M atau M. Matriks M karena refleksi terhadap sumbu, sumbu, garis, dan garis
STK 203 TEORI STATISTIKA I
STK 203 TEORI STATISTIKA I III. PEUBAH ACAK KONTINU III. Peubah Acak Kontinu 1 PEUBAH ACAK KONTINU Ingat definisi peubah acak! Definisi : Peubah acak Y adalah suatu fungsi yang memetakan seluruh anggota
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Terdapat beberapa kurva tertentu pada suatu bidang yang lebih mudah dijelaskan dengan menggunakan koordinat Kutub.
FUNGSI LOGARITMA ASLI
FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,
Sistem Bilangan Kompleks
Modul Sistem Bilangan Kompleks Drs. Hidayat Sardi, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini akan membahas bilangan kompleks, sistemnya dan arti geometri dari bilangan kompleks. Untuk itu Anda dianggap telah paham
MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Rencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
KUANTOR KHUSUS (Minggu ke-8)
KUANTOR KHUSUS (Minggu ke-8) 1 4 Kuantor Jenis Lain Terdapatlah satu dan hanya satu x yang mempunyai sifat P. ( x)(p(x) ( y)(p(y) = y = x)) Terdapat x yang memenuhi sifat p dan untuk setiap y yang memenuhi
Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika
PENGANTAR KALKULUS Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. SETIAWAN, M. Pd. Widyaiswara PPPG Matematika Yogyakarta
ANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor
ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran
Diferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan
ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA
PERBANDINGAN KISI-KISI UN 009 DAN 00 SMA IPA Materi Logika Matematika Kemampuan yang diuji UN 009 UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan Menentukan negasi pernyataan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 1, 2007 Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di
MA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus
Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus Sistem Koordinat pada Bidang Datar Disusun dengan pasangan angka urut (ordered pair) (a,b) : a dan b berturut- turut adalah
Bilangan Kompleks. Anwar Mutaqin. Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA
Bilangan Kompleks Anwar Mutaqin Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA DAFTAR ISI 1 BILANGAN KOMPLEKS 1 1.1 Eksistensi Bilangan Kompleks.................... 1 1.2 Operasi Aritmatika..........................
MA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Discrete Time Dynamical Systems
Discrete Time Dynamical Systems Sheet 1 and Solution (1) Tentukan titik tetap dari fungsi berikut. (a) f(x) = x x (b) f(x) = 2x + bx (c) f(x) = e (a) Titik tetap f memenuhi persamaan f(x) = x x x = x x
Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79
Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric
MAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
APLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG
Bahan ajar Kalkulus Integral 9 APLIKASI INTEGRAL. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f() kontinu pada a b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h, h,, h n yang panjangnya,,, n (anggap n ), ambil
MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI
MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT
II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x)
II. TINJUAN PUSTAKA 2.1. Limit Definisi lim f(x) = L, dan mengatakan limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, jika dapat dibuat nilai f (x) sebarang yang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai
METODE GARIS SINGGUNG DALAM MENENTUKAN HAMPIRAN INTEGRAL TENTU SUATU FUNGSI PADA SELANG TERTUTUP [, ]
![METODE GARIS SINGGUNG DALAM MENENTUKAN HAMPIRAN INTEGRAL TENTU SUATU FUNGSI PADA SELANG TERTUTUP [, ]](/thumbs/53/31205711.jpg "METODE GARIS SINGGUNG DALAM MENENTUKAN HAMPIRAN INTEGRAL TENTU SUATU FUNGSI PADA SELANG TERTUTUP [, ]")
METODE GARIS SINGGUNG DALAM MENENTUKAN HAMPIRAN INTEGRAL TENTU SUATU FUNGSI PADA SELANG TERTUTUP [, ] Zulfaneti dan Rahimullaily* Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumbar Abstract: There is
Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2
Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat
Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010
PREDIKSI UN 00 SMA IPA BAG. (Berdasar buku terbitan Istiyanto: Bank Soal Matematika-Gagas Media) Logika Matematika Soal UN 009 Materi KISI UN 00 Prediksi UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 / 2 Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Terdapat beberapa kurva tertentu pada suatu
Pada integral diatas, dalam mencari penyelesaiannya, pertama diintegralkan terlebih dahulu terhadap x kemudian diintegralkan lagi terhadap y.
PENDAHULUAN Pada bagian ini akan dibahas perluasan integral tertentu ke bentuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah Akan dibahas bentukbentuk integral lipat dalam koordinat kartesius koordinat kutub
a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 TIU : Mahasiswa dapat memahami dasar-dasar Kalkulus TIK : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu
FUNGSI Matematika Industri I
FUNGSI TIP FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Fungsi trigonometrik Fungsi eksponensial dan logaritmik Fungsi ganjil dan fungsi genap Pokok Bahasan Memproses
: D C adalah fungsi kompleks dengan domain riil
BAB 4. INTEGRAL OMPLES 4. Integral Garis ompleks Misalkan ( : D adalah fungsi kompleks dengan domain riil b D [ a, b], maka integral (, dimana ( x( + iy( dapat dengan mudah a b dihitung, yaitu a i contoh
MA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /
Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.
Xpedia Matematika. Kapita Selekta Set 05
Xpedia Matematika Kapita Selekta Set 05 Doc. Name: XPMAT9705 Doc. Version : 0-07 halaman 0a Garis singgung pada kurva y=x -x + akan sejajar dengan sumbu x di titik yang absisnya... x = x = 0 x = 0 dan
FUNGSI LOGARITMA ASLI
D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan
Hendra Gunawan. 13 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 13 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) sin t 1. Menggunakan fakta bahwa lim 1, t0 hitunglah: t 2 sin( 2 ) a. limsin t.cot 2t b. lim t 0 0
FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).
FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga