2.1 Fungsi dan Grafiknya

Transkripsi

1 FUNGSI DAN LIMIT

2 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Fungsi Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (jelajah) fungsi tersebut. Notasi Fungsi Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau F). Maka f(x) yang dibaca f dari x atau f pada x, menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi, jika f x = x 3 4. f 2 = = 4 f 1 = ( 1) 3 4 = 5 f a = a 3 4 f a + = (a + ) 3 4 = a 3 + 3a 2 + 3a

3 Daerah Asal dan Daerah Hasil Daerah Asal adalah himpunan elemen-elemen pada mana fungsi itu mendapat nilai. Daerah Hasil adalah himpunan nilai-nilai yang diperoleh secara demikian. Contoh : Cari daerah asal mula (natural) f x = 1/(x 3) Solusi : Daerah asal mula untuk f adalah x R. Ini dibaca himpunan x dalam R (bilangan riil) sedemikian sehingga x tidak sama dengan 3. Kita kecualikan 3 untuk menghindari pembagian oleh 0.

4 Grafik Fungsi Jika daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan riil, maka kita dapat menggambarkan grafiknya pada bidang koordinat. Grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f x. Contoh : Buatlah sketsa grafik dari x = 2/(x 1). Solusi : Jika x mendekati, nilai-nilai x membesar tanpa batas (misalnya, 0,99 = 200 dan 1,001 = 2000). Garis tegak putus-putus disebut asimtot, pada x = 1 dan pada sumbu x. (Garis asimtot pada grafik tersebut bukan merupakan bagian dari grafik). Daerah asal fungsi *x R x 1+, daerah hasil *y R y 0+.

5 Fungsi Genap dan Ganjil Digunakan untuk memperkirakan kesimetrian grafik dan fungsi. Jika f x = f x Simetri thd sumbu y (Fungsi Genap) Jika f x = f x Simetri thd titik asal (Fungsi Ganjil)

6 Dua Fungsi Khusus a. Fungsi Nilai Mutlak x jika x 0 x = x jika x < 0 b. Fungsi Bilangan Bulat Terbesar x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x Jadi, 3,1 = 3,1 = 3,1, sedangkan 3,1 = 4 dan 3,1 = 3

7 2.2 Operasi pada Fungsi Jumlah, Selisih, Hasil Kali, Hasil Bagi, Pangkat. Misal fungsi-fungsi f dan g dengan rumus-rumus f x = x 3, g x = x 2

8 Komposisi Fungsi Jika f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f x ), dikatakan bahwa kita telah menyusun g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut komposit g dengan f, dinyatakan oleh g f x = g(f(x)) Contoh :

9 Translasi (Penggeseran) Contoh :

10 Katalog Sebagian dari Fungsi a. Fungsi Konstan Fungsi berbentuk f x = k, dengan k konstanta (bilangan riil). b. Fungsi Identitas Fungsi berbentuk f x = x. c. Fungsi Polinom Fungsi yang diperoleh dari fungsi konstan dan dan fungsi identitas dengan memakai operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian. Fungsi ini berbentuk f x = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 d. Fungsi Linear Fungsi berderajat satu. Fungsi ini berbentuk f x = ax + b e. Fungsi Kuadrat Fungsi berderajat dua. Fungsi ini berbentuk f x = ax 2 + bx + c f. Fungsi Rasional Fungsi yang diperoleh dari hasil bagi fungsi-fungsi polinom. Fungsi ini berbentuk f x = a nx n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 b m x m +b m 1 x m 1 + +b 1 x+b 0 g. Fungsi Aljabar Eksplisit Fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi identitas melalui lima operasi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar. Contohnya : g x = x 3 + x+2 x 3 x 2 1

11 2.3 Fungsi Trigonometri

12 Kesamaan-Kesamaan Penting

13 2.4 Pendahuluan Limit Pemahaman Secara Intuisi Pandang Fungsi yang ditentukan oleh rumus f x = x3 1 x 1 Perhatikan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisikan pada x = 1 karena di titik ini f(x) berbentuk 0, yang tanpa arti. Tetapi kita masih dapat menanyakan apa yang 0 terjadi pada f(x) bilamana x mendekati 1. Kesimpulannya : f(x) mendekati 3 bilamana x mendekati 1. Kita tuliskan, lim x 1 x 3 1 x 1 = 3 Dibaca : limit dari x 3 1 / x 1 untuk x mendekati 1 adalah 3.

14 Definisi Limit (Pengertian limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa lim f x = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dari c, x c maka f(x) dekat ke L.

15 Limit-Limit Sepihak

16 2.5 Pengkajian Mendalam Tentang Limit Definisi Limit (Pengertian persis tentang limit). Mengatakan bahwa lim f x = L berarti bahwa untuk tiap ε > 0 yang diberikan (betapapun x c kecilnya), terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian sehingga f x L < ε asalkan bahwa 0 < x c < δ; yakni, 0 < x c < δ f x L < ε

17 Contoh Bukti Limit

18 Limit-Limit Satu Pihak

19 2.6 Teorema Limit

20

21

22

23

24

25 2.7 Limit melibatkan Fungsi Trigonometri

26

27 2.8 Limit-limit pada Tak Berhingga, Limit-limit Tak Hingga

28

29

30 2.9 Kekontinuan Fungsi

31

32 Kekontinuan Fungsi yang Banyak Dikenal

33 Kekontinuan Fungsi yang Banyak Dikenal