PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA"

Widya Sudirman
5 tahun lalu
Tontonan:

1 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensian Biasa Orde n Koefisien Konstan Resmawan UNIVERSITAS NEGERI GORONTALO November 2018 resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 62

2 4 PDB Orde n resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 62

3 4 PDB Orde n Perhatikan bentuk umum a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 2 y + a 1 y + a 0 y = r(x) (18) dengan koefisien-koefisien a n, a n 1,, a 0 adalah konstanta dan a n = 0. Solusi umum persamaan (18) dapat dinyatakan dengan y = y h + y p y h = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c n y n merupakan solusi homogen dari persamaan (18) sedangkan y p merupakan solusi khusus yang berkaitan dengan fungsi r (x). Solusi khusus y p dapat diselesaikan dengan : 1 Metode Koefisien Tak Tentu 2 Metode Variasi parameter Berikut akan dibahas metode koefisien tak tentu resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 62

4 4 PDB Orde n Beberapa aturan dalam penentuan solusi khusus y p, dengan memperhatikan tabel berikut Bentuk r (x) Pilihan y p k x n K n x n + K n 1 x n K 1 x + K 0 k e ax Ke ax k cos bx A cos bx + B sin bx k sin bx A cos bx + B sin bx k x n e ax ( Kn x n + K n 1 x n 1 ) + + K 1 x + K 0 e ax k x cos bx (A 1 cos bx + B 1 sin bx) + (A 2 x cos bx + B 2 x sin bx) k x sin bx (A 1 cos bx + B 1 sin bx) + (A 2 x cos bx + B 2 x sin bx) k e ax cos bx (A cos bx + B sin bx) e ax k e ax sin bx (A cos bx + B sin bx) e ax resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 62

5 4 PDB Orde n 1 Aturan Dasar Jika r (x) pada kolom pertama bukan solusi homogen y h, maka pilih y p yang sesuai pada kolom kedua. Koefisien-koefisien tak tentunya diperoleh dengan mensubtitusi y p beserta turunan-turunannya ke PD awal. 2 Aturan Kedua Jika y p pada langkah 1 merupakan solusi y h, maka kalikanlah y p tersebut dengan x ( atau x 2). Koefisien-koefisien tak tentunya diperoleh dengan mensubtitusi y p beserta turunan-turunannya ke PD awal. 3 Aturan Ketiga Jika r (x) merupakan penjumlahan dari beberapa fungsi pada kolom pertama, maka pilih y p yang merupakan penjumlahan fungsi-fungsi yang sesuai pada kolom 2. Koefisien tak tentunya diperoleh sebagaimana langkah 1 dan 2. resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 62

6 4 PDB Orde n Berdasarkan aturan dasar, langkah-langkah menentukan y p dengan Metode Koefisien Tak Tentu, antara lain: 1 Tentukan solusi umum homogen 2 Selidiki apakah y (x) merupakan solusi dari y h. Jika tidak, gunakan aturan 1, jika ya, gunakan aturan 2. 3 Tentukan konstanta-konstanta y p yang memenuhi kondisi tersebut Example Carilah solusi Persamaan Diferensial y + 4y = 12x x 2 6x (19) resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 62

7 4 PDB Orde n Solution Solusi Homogen λ = 0 λ = ±2i y h = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x Solusi Partikular sehingga r (x) = 12x x 2 6x y p = k 3 x 3 + k 2 x 2 + k 1 x + k 0 = y h (20) y p = 6k 3 x + 2k 2 (21) resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 62

8 4 PDB Orde n Solution Solusi Partikular Subtitusi (20) dan (21) ke (19) y + 4y = 12x x 2 6x 6k 3 x + 2k ( k 3 x 3 + k 2 x 2 + k 1 x + k 0 ) = 12x x 2 6x 4k 3 x 3 + 4k 2 x 2 + (6k 3 + 4k 1 ) x + (2k 2 + 4k 0 ) = 12x x 2 6x Dari persamaan ini diperoleh 4k 3 = 12 k 3 = 3 4k 2 = 16 k 2 = 4 6k 3 + 4k 1 = 6 k 1 = 6 2k 2 + 4k 0 = 0 k 0 = 2 resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 62

9 4 PDB Orde n Solution Solusi Partikular sehingga y p = 3x 3 + 4x 2 6x 2 Solusi Umum PD Example y = y h + y p = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x + 3x 3 + 4x 2 6x 2 Carilah solusi dari Persamaan Diferensial y + 4y = 4 cos 2x + 16 sin 2x resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 62

10 4 PDB Orde n Solution Solusi Homogen λ = 0 λ = ±2i y h = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x Solusi Partikular r (x) = 4 cos 2x + 16 sin 2x Karena Maka diambil y p sesuai aturan 2 A cos 2x + B sin 2x = y h y p = x (A cos 2x + B sin 2x) = Ax cos 2x + Bx sin 2x resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 62

11 4 PDB Orde n Solution Solusi Partikular Selanjutnya diperoleh y p = (A + 2Bx) cos 2x + ( 2Ax + B) sin 2x y p = (4B 4Ax) cos 2x + ( 4Ax 4Bx) sin 2x Subtitusi y p dan y p ke PD awal menghasilkan 4B cos 2x 4A sin 2x = 4 cos 2x + 16 sin 2x 4B = 4 B = 1 dan 4A = 16 A = 4 sehingga y p = 4x cos 2x + x sin 2x resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 62

12 4 PDB Orde n Solution Solusi Umum PD y = y h + y p = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x 4x cos 2x + x sin 2x Problem Carilah solusi umum dari Persamaan Diferensial berikut: 1 y 4y + 4y = 12xe 2x + 6e 2x 2 y 4y + 8y = 34e x sin 2x 3 y 4y + 4y 4y = 80 cos 2x resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 62

13 3. Penutup " Terima Kasih, Semoga Bermanfaat " (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November / 62

dokumen-dokumen yang mirip

PD Orde 2 Lecture 3. Rudy Dikairono

PD Orde 2 Lecture 3. Rudy Dikairono PD Orde Lecture 3 Rudy Dikairono Today s Outline PD Orde Linear Homogen PD Orde Linear Tak Homogen Metode koefisien tak tentu Metode variasi parameter Beberapa Pengelompokan Persamaan Diferensial Order