PENDAHULUAN LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 PENDHULUN Latar Belaag Baya feomea dalam ehidupa sehari-hari yag dapat dijelasa dega proses stoasti Model semacam ii megguaa atura-atura peluag utu meggambara perilau suatu sistem yag tida dietahui dega pasti di masa yag aa datag Proses stoasti mempuyai peraa yag cuup petig dalam berbagai bidag pada ehidupa sehari-hari Sebagai cotoh, dalam feomea yata misalya, proses edataga pelagga e pusat servis (ba, ator pos, supermaret, da sebagaiya) da proses edataga peggua lie telepo dapat dimodela dega proses stoasti Proses stoasti dibedaa mejadi dua yaitu proses stoasti dega watu disret da proses stoasti dega watu otiu Pada arya ilmiah ii pembahasa haya dibatasi pada proses stoasti dega watu otiu Salah satu betu husus dari proses stoasti dega watu otiu adalah proses Poisso periodi Proses Poisso periodi adalah suatu proses Poisso dega fugsi itesitas berupa fugsi periodi Proses ii atara lai dapat diguaa utu memodela proses edataga pelagga e pusat servis dega periode satu hari Pada proses edataga pelagga tersebut, fugsi itesitas loal (λ(s)) meyataa laju edataga pelagga pada watu s Dalam baya peerapa, di sampig diperlua peduga bagi fugsi itesitas suatu proses Poisso periodi, diperlua juga peduga bagi turua fugsi itesitas tersebut Pada tulisa ii dipelajari perumusa peduga bagi turua pertama da turua edua dari fugsi itesitas suatu proses Poisso periodi Kemudia ditetua sifatsifat statistiaya Tujua Tujua peulisa arya ilmiah ii adalah utu : (i) Mempelajari perumusa peduga turua pertama da turua edua dari fugsi itesitas suatu proses Poisso periodi (ii) Membutia perumusa pedeata asimtoti bagi bias utu peduga turua pertama da turua edua (iii) Membutia perumusa pedeata asimtoti bagi ragam utu peduga turua pertama da turua edua LNDSN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Suatu percobaa yag dapat diulag dalam odisi yag sama, yag hasilya tida bisa dipredisi secara tepat tapi ita bisa megetahui semua emugia hasil yag mucul disebut percobaa aca Defiisi 1 (Ruag cotoh) Ruag cotoh adalah himpua semua hasil yag mugi dari suatu percobaa aca, da diotasia dega Ω (Grimmett ad Stirzaer 199) Defiisi (Kejadia) Kejadia adalah suatu himpua bagia dari ruag cotoh Ω (Grimmett ad Stirzaer 199) Defiisi 3 (Kejadia lepas) Kejadia da B disebut salig lepas jia irisa dari eduaya adalah himpua osog (Ф) (Grimmett ad Stirzaer 199) Defiisi 4 (Meda - σ) Meda σ adalah suatu himpua F yag aggotaya terdiri atas himpua bagia ruag cotoh Ω, yag memeuhi syarat beriut 1 c Jia, maa 3 Jia,,, maa 1 i1 i

2 Defiisi 5 (Uura peluag) Misala Ω adalah ruag cotoh suatu percobaa da F adalah meda - σ pada Ω Suatu fugsi P yag memetaa usur-usur F e himpua bilaga yata R, atau P : disebut uura peluag jia : 1 P ta egatif, yaitu utu setiap, P() 0 P bersifat aditif ta higga, yaitu jia,, dega, j, 1 maa P 1 3 P berorma satu, yaitu P 1 Pasaga (Ω, F, P) disebut ruag uura peluag atau ruag probabilitas Defiisi 6 (Kejadia salig bebas) Kejadia da B diataa salig bebas jia: P B P P B Secara umum, himpua ejadia i ; i I diataa salig bebas jia : P i P i ij ij utu setiap himpua bagia J dari I (Grimmett ad Stirzaer 199) Peubah ca da Fugsi Sebara Defiisi 7 (Peubah aca) Misala Ω adalah ruag cotoh dari suatu percobaa aca Fugsi yag terdefiisi pada Ω yag memetaa setiap usur e satu da haya satu bilaga real (ω) = x disebut peubah aca Ruag dari adalah himpua bagia x : x, bilaga real j Peubah aca diotasia dega huruf apital, misalya, Y, Z Sedaga ilai peubah aca diotasia dega huruf ecil seperti x, y, z Setiap peubah aca memilii fugsi sebara Defiisi 8 (Peubah aca disret) Peubah aca diataa disret jia semua himpua ilai dari peubah aca tersebut merupaa himpua tercacah 1 P Defiisi 9 (Fugsi sebara) Misala adalah peubah aca dega ruag Misala ejadia, x, maa peluag dari ejadia adalah P x F x Fugsi F disebut fugsi sebara dari peubah aca Defiisi 10 (Fugsi massa peluag) Fugsi massa peluag dari peubah aca disret adalah fugsi p : 0,1 yag diberia oleh : p x P x Defiisi 11 (Peubah aca Poisso) Suatu peubah aca disebut peubah aca Poisso dega parameter, 0 jia fugsi massa peluagya diberia oleh utu = 0, 1,, p e! Lema 1 (Jumlah peubah aca Poisso) Misala da Y adalah peubah aca yag salig bebas da memilii sebara Poisso dega parameter berturut-turut 1 da Maa + Y memilii sebara Poisso dega parameter 1 + (Taylor ad Karli 1984) Buti : lihat Lampira 1 Mome, Nilai Harapa, da Ragam Defiisi 1 (Nilai harapa) Misala adalah peubah aca disret dega fugsi massa peluag p x Nilai harapa dari, diotasia dega E(), adalah E xp x, jia jumlah di atas overge mutla Defiisi 13 (Ragam) Misala adalah peubah aca disret dega fugsi massa peluag p x da ilai harapa E() Maa ragam dari, diotasia dega Var() atau, adalah

3 x p x E E E x Defiisi 14 (Mome e-) Jia adalah bilaga bulat positif, maa mome e- atau m dari peubah aca adalah m E Defiisi 15 (Mome pusat e-) Jia adalah bilaga bulat positif, maa mome pusat e- atau dari peubah aca adalah E m 1 Nilai harapa dari peubah aca juga merupaa mome pertama dari Nilai harapa dari uadrat perbedaa atara peubah aca dega ilai harapaya disebut ragam atau variace dari Ragam merupaa mome pusat e- dari peubah aca Defiisi 16 (Fugsi idiator) Misala adalah suatu ejadia Fugsi idiator dari adalah suatu fugsi I : 0,1, yag diberia oleh : I 1, jia 0, jia (Grimmett ad Stirzaer 199) Dega fugsi idiator ita dapat meyataa hal beriut : EI P Keovergea Peubah ca Terdapat beberapa cara utu megiterpretasia peryataa eovergea barisa peubah aca, utu Defiisi 17 (Keovergea dalam peluag) Misala, 1,, adalah barisa peubah aca pada suatu ruag peluag (Ω, F, P) Barisa peubah aca diataa overge p dalam peluag e, diotasia, jia utu setiap > 0 berlau P, utu 0 Peduga (Grimmett ad Stirzaer 199) Defiisi 18 (Statisti) Statisti adalah suatu fugsi dari satu atau lebih peubah aca yag tida tergatug pada satu atau beberapa parameter yag ilaiya tida dietahui Defiisi 19 (Peduga) Misala 1,,, adalah cotoh aca Suatu statisti U 1,,, yag diguaa utu meduga fugsi parameter g, diataa sebagai peduga (estimator) bagi g dilambaga dega gˆ Bilamaa ilai 1 x1, x,, x, maa ilai U 1,,, disebut sebagai dugaa (estimate) bagi g Defiisi 0 (Peduga ta bias) (i) Suatu peduga yag ilai harapaya sama dega parameter g, yaitu E U 1,,, g disebut peduga ta bias bagi g Jia sebaliya, peduga di atas disebut berbias (ii) Jia lim E U 1,,, g, maa U 1,,, disebut sebagai peduga ta bias asimtoti bagi g Defiisi 1 (Peduga osiste) Suatu peduga yag overge dalam peluag e parameter g, disebut peduga osiste bagi g Defiisi (MSE suatu peduga) Mea Square Error (MSE) dari suatu peduga U bagi parameter g didefiisia sebagai MSE U EU g Bias U Var U dega Bias U E U g Proses Stoasti

4 Defiisi 3 (Proses stoasti) Proses stoasti t, t T adalah suatu himpua dari peubah aca yag memetaa suatu ruag cotoh Ω e suatu ruag state S Jadi utu setiap t pada himpua ides T, (t) adalah suatu peubah aca Kita serig megiterpretasia t sebagai watu da (t) sebagai state (eadaa) dari proses pada watu t Defiisi 4 (Proses stoasti watu otiu) Suatu proses stoasti disebut proses stoasti dega watu otiu jia T adalah suatu iterval Defiisi 5 (Ireme bebas) Suatu proses stoasti dega watu otiu t, t Tdisebut memilii ireme bebas jia utu semua t0 t1 t t, peubah aca t1 t0, t t1,, t t 1 adalah bebas Dega ata lai, suatu proses stoasti dega watu otiu disebut memilii ireme bebas jia proses berubahya ilai pada iterval watu yag tida tumpag tidih (tida overlap) adalah bebas Defiisi 6 (Ireme stasioer) Suatu proses stoasti dega watu otiu t, t T disebut memilii ireme stasioer jia t s t memilii sebara yag sama utu semua ilai t Dega ata lai, suatu proses stoasti dega watu otiu disebut memilii ireme stasioer jia sebara (distribusi) dari perubaha ilai atara sembarag dua titi haya tergatug pada jara atara edua titi tersebut, da tida tergatug dari loasi titi-titi tersebut Proses Poisso Salah satu betu husus dari proses stoasti dega watu otiu adalah proses Poisso Pada proses ii, ecuali diyataa secara husus, diaggap bahwa himpua ides T adalah iterval bilaga real ta egatif, yaitu 0, Defiisi 7 (Proses pecacaha) Suatu proses stoasti N t, t 0 disebut proses pecacaha jia N(t) meyataa bayaya ejadia yag telah terjadi sampai watu t Dari defiisi tersebut, maa suatu proses pecacaha N(t) harus memeuhi syaratsyarat beriut : (i) N t 0 utu semua t 0, (ii) Nilai N(t) adalah iteger (iii) Jia s t maa N s N t, s, t 0, (iv) Utu s t maa N t N s sama dega bayaya ejadia yag terjadi pada selag s, t Defiisi 8 (Proses Poisso) Suatu proses pecacaha N t, t 0 disebut proses Poisso dega laju, 0, jia dipeuhi tiga syarat beriut (i) N t 0 (ii) Proses tersebut memilii ireme bebas (iii) Bayaya ejadia pada sembarag iterval watu dega pajag t, memilii sebara (distribusi) Poisso dega ilai harapa t Jadi utu semua t, s 0, t e t P N t s N s,! 0,1, Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisso memilii ireme yag stasioer Dari syarat ii juga dapat diperoleh: E N t t Defiisi 9 (Proses Poisso ta homoge) Suatu proses Poisso N t, t 0 disebut proses Poisso ta homoge jia laju λ pada sembarag watu t merupaa fugsi ta osta dari t yaitu λ(t) Defiisi 30 (Itesitas loal) Itesitas loal dari suatu proses Poisso ta homoge dega fugsi itesitas λ pada titi s adalah λ(s) yaitu ilai fugsi (s) di s (Cressie 1993) Defiisi 31 (Fugsi periodi) Suatu fugsi λ disebut periodi jia utu

5 s s semua s da Kostata terecil τ yag memeuhi persamaa di atas disebut periode dari fugsi λ tersebut (Browder 1996) Defiisi 3 (Proses Poisso periodi) Proses Poisso periodi adalah proses Poisso ta homoge yag fugsi itesitasya adalah fugsi periodi (Magu 001) Beberapa Defiisi da Lema Teis Defiisi 33 (Fugsi teritegrala loal) Fugsi itesitas λ disebut teritegrala loal jia utu sembarag himpua Borel terbatas B ita peroleh ( B) ( s) ds B (Dudley 1989) Defiisi 34 (O() da o()) Simbol-simbol O() da o() merupaa cara utu membadiga besarya dua fugsi u(x) da v(x) dega x meuju suatu limit L (i) Notasi u x O vx, x L, meyataa bahwa u x v x terbatas, utu x L meyataa bahwa u x 0, utu v x (Serflig 1980) Defiisi 35 (Titi Lebesque) Kita ataa s adalah titi Lebesque dari λ jia berlau h 1 lim s x s dx 0 h0 h (Wheede ad Zygmud 1977) Lema (Formula Youg dari Teorema Taylor) Misala g memilii turua e- yag berhigga pada suatu titi x Maa ( ) g x g y g x y x o y x,! utu x L y x h 1 Buti : lihat Serflig 1980 (Serflig 1980) Lema 3 (Pertidasamaa Chebyshev) Jia adalah peubah aca dega ilai harapa µ da ragam, maa utu setiap 0, P (ii) Notasi,, u x o v x x L Buti : lihat Lampira