FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONENSIAL

Transkripsi

1 FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONENSIAL A. FUNGSI EKSPONEN Definisi: Fungsi eksponen dengan bilangan dasar (bilangan pokok atau basis) a, dengan a > 0 dan a I mempunyai bentuk umum: f x a x atau y = f (x) = a x Dengan: 1) a dinamakan bilangan dasar (pokok atau basis) dengan ketentuan: a > 0 dan a 1 (a > 1 atau 0 < a < 1) Bila a = 1, fungsi eksponen menjadi = 1 x = 1. Karena itu, dalam definisi tersebut disyaratkan a 1 2) x dinamakan variabel (peubah) bebas dan himpunan dari variabel x dinamakan daerah asal ( daerah definisi / domain/ wilayah) fungsi f, ditulis D f = {x x R} 3) y dinamakan variabel (peubah) tak bebas dan himpunan dari semua variabel y dinamakan daerah hasil (range daerah nilai/ jelajah), fungsi f ditulis R f = {y y > 0 dan y R} 4) f (x) = a x dinamakan aturan atau rumus untuk fungsi eksponen baku (standar). Dalam pembahasan fungsi eksponen kita akan melibatkan teorema-teorema berikut ini. Teorema: 1) Jika a, b, m, n dan p masing-masing bilangan real, maka: a. a m. a n = a m+n b. a m : a n = a m n, a 0 c. (a m ) n = a mn d. (a m b n ) p = a mp b np e. ( am b m) = (a b )m 2) a. Jika a > 1 dan m adalah bilangan real positif, maka a m > 1 b. Jika 0 > a < 1 dan m bilangan real positif, maka a m < 1 3) a. Jika a > 1 dan m n adalah bilangan real, sehingga m < n, maka a m x a n b. Jika 0 > a < 1 dan m bilangan real, sehingga m < n, maka a m > a n Transformasi pada Fungsi Eksponen Diberikan fungsi eksponen y = f(x) = a x, maka grafik dari: 1) y = f(x k), k > 0, menggunakan translasi sepanjang sumbu X sebesar k satuan ke kanan. 2) y = f(x + k), k > 0 menggunakan translasi sepanjang sumbu X sebesar k satuan ke kiri. Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 1

2 3) y = f(x) + k, k > 0 menggunakan translasi sepanjang sumbu Y sebesar k satuan ke atas. 4) y = f(x) k, k > 0 menggunakan translasi sepanjang sumbu Y sebesar k satuan ke bawah. 5) y = k f(x), k > 0 menggambarkan perbesaran atau bentangan ( stertching dilation) sebesar faktor k sepanjang sumbu Y 6) y = k f(x), 0 < k < 1 menggambarkan perbesaran penciutan (shrinkking dilation) sebesar faktor k sepanjang sumbu Y 7) y = f(x), menggambarkan refleksi terhadap sumbu X 8) y = f ( x), menggambarkan refleksi terhadap sumbu Y 9) y = f(kx), k > 1 menggambarkan perbesaran penciutan (shrinking dilation) sebesar faktor 1 sepanjang sumbu X k 10) y = f(kx), 0 < k < 1 menggambarkan perbesaran rengangan atau bentangan (stretching dilation) sebesar faktor 1 sepanjang sumbu X k Menentukan Persamaan Fungsi Eksponen Seringkali kita menjumpai grafik fungsi eksponen dengan beberapa keterangan seperti beberapa titik atau titik dan asimtot datar. Untuk menentukan persamaan grafik fungsi eksponen ini. Biasanya melibatkan sistem persamaan yang dipecahkan secara simultan. B. PERSAMAAN EKSPONEN Definisi: Persamaan eksponen adalah persamaan yang pangkatnya mengandung variabel dan tidak menutup kemungkinan bilangan dasar juga mengandung variabel. 1) Persamaan Eksponen Berbentuk a f(x) = a n Jika a f(x) = a n, dengan a > 0 dan a 1, maka f(x) = n 2) Persamaan Eksponen Berbentuk a f(x) = 1 Jika a f(x) = 1, dengan a > 0 dan a 1, maka f(x) = 0 3) Persamaan Eksponen Berbentuk a f(x) = a g(x) Jika a f(x) = a g(x), dengan dengan a > 0 dan a 1, maka f(x) = g(x) 4) Persamaan Eksponen Berbentuk a f(x) = b f(x) Jika a f(x) = b f(x), dengan a > 0 dan a 1, b > 0, dan b 1, dan a b, maka f(x) = 0 5) Persamaan Eksponen Berbentuk {h(x)} f(x) = {h(x)} g(x) Jika: {h(x)} f(x) = {h(x)} g(x), maka kemungkinannya adalah: a) h(x) = 0 asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif (f(x) > 0 dan g(x) > 0) b) h(x) = 1 Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 2

3 c) h(x) = 1, asalkan f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap (( 1) f(x) g(x) = 1) d) f(x) = g(x) asalkan h(x) 0 dan h(x) 1 6) Persamaan Eksponen Berbentuk {h(x)} f(x0 = 1 Jika {h(x)} f(x0 = 1, maka kemungkinannya adalah: a) f(x) = 0, h(x) 0 b) h(x) = 1 c) h(x) = 1, f(x) = ± p q Dengan p dan q adalah bilangan asli yang tidak dapat saling membagi ( tidak mempunyai faktor persekutuan), dan p adalah bilangan genap. 7) Persamaan Eksponen Berbentuk a f(x) = b g(x) Jika a f(x) = b g(x), dengan a > 0, a 1, b > 0, b 1, maka f(x) log a = g(x) log b 8) Persamaan Eksponen Berbentuk a f(x) = b Jika a f(x) = b, dengan a > 0, b > 0, dan a 1 maka f(x) = logb log a = a logb 9) Persamaan Eksponen Berbentuk A{a f(x) } 2 + B{a f(x) } +C = 0 Untuk menyelesaikan persamaan eksponen berbentuk A{a f(x) } 2 + B{a f(x) } +C = 0 adalah sebagai berikut: Misalkan a f(x) = y maka persamaan semula ekuivalen dengan persamaan: Ay 2 + By + C = 0 Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dalam y, maka maksimal akan di dapat dua akar real dan minimalnya tidak satupun akar real. Akar real yang di terima adalah akar real yang positif. Selanjutnya akar-akar itu disubtitusikan ke persamaan a f(x) = y, sehingga kita memperoleh akar-akar persamaan yang diminta. C. PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN Definisi: Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung variabel. Teorema: 1. Jika a > 1 dan a f(x) a g(x), maka f(x) g(x) 2. Jika a > 1 dan a f(x) a g(x), maka f(x) g(x) 3. Jika 0 < a < 1 dan a f(x) a g(x), maka f(x) g(x) 4. Jika 0 < a < 1 dan a f(x) a g(x), maka f(x) g(x) Pertidaksamaan eksponen berbentuk A{a f(x) } 2 + B{a f(x) } +C < 0 (tanda ketidaksamaan < dapat di ganti dengan,>, atau " ", diselesaikan sebagai berikut: Misalkan a f(x) = y, maka pertidaksamaan semula ekuivalen dengan pertidaksamaan Ay 2 + By + C < 0 Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 3

4 Dengan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dalam y, maka kita akan mendapatkan maksimal dua pertidaksamaan dan minimal tidak ada. Subtitusikan a f(x) = y ke pertidaksamaan semula, sehingga jika terdapat dua pertidaksamaan maka penyelesaiannya adalah irisan dari penyelesaian setiap pertidaksamaan itu. D. CONTOH SOAL 1. Carilah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut: a) 10 2x 3 = b) 4 x = 32 2 c) 3 x2 6x = d) 37 5 x = 1 e) 64 x2 4x 12 = 1 f) ( 1 81 )10+3x x2 = 1 g) 5 x2 +6x 42 = x h) 1 36 x63x 4 = 6 2x 3 i) 5 2x 6 = 3 2x 6 j) 64 x2 2x+1 = 625 x2 2x+1 k) 5 x2 +x 42 = 4 x2 +x 42 l) (x 10) x2 9 = (x 10) 3 x m) (2x + 3) 3x+2 = 1 n) 3 x = 7 x 2 o) 2 x 7 = 6 p) 3 2x 2. 3 x+1 27 = 0 2. Carilah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut: a) 10 4x b) 5 2x 6. 5 x > 0 Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 4

5 FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA A. FUNGSI LOGARITMA Misal terdapat suatu contoh : 2 3 = 2 x 2 x 2 = 8 Dari contoh di atas tampak bahwa apabila bilangan pokok dan pangkatnya diketahui maka dapat ditentukan hasil perpangkatannya. Bagaimana cara menentukan pangkat, apabila bilangan pokok dan hasil perpangkatannya diketahui: Misal : 2 n = 8 Permasalahan ini bisa diselesaikan dengan menggunakan logaritma. 2 n = 8 maka n = 2 log 8 = 2 log 2 3 = 3 Terlihat bahwa antara logaritma dan perpangkatan terdapat hubungan, yaitu bahwa logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan. Definisi : Logaritma suatu bilangan x dengan bilangan pokok a ( ditulis a log x) adalah eksponen bilangan yang menghasilkan x jika a dipangkatkan dengan eksponen itu. Keterangan : a log x = n artinya x = a n untuk a > 0 ; a 1 dan x > 0 a disebut bilangan pokok x disebut bilangan logaritma atau numerus dengan x > 0 n disebut hasil logaritma atau eksponen dari basis 1. Nyatakan dalam bentuk logaritma: a. 3 4 = 81 b. 3 2 = c. 0,001 = Nyatakan dalam bentuk pangkat a. 5 log 25 = 2 b. 3 1 log = c. a log b = c 3. Tentukan nilai logaritma berikut! a. 2 log 32 b. 3 log 3 3 Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 5

6 c. 2 log B. PERSAMAAN LOGARITMA Sifat-sifat Logaritma : Jika a > 0 dan a 1, m > 0 dan m 1, b > 0, dan c > 0, maka berlaku hubungan berikut : a 1. log 1 = 0, a log a = 1 a 2. log b + a log c = a log (bc) 3. a log b a log c = a log b c 4. a log b = m log b m log a 5. a m logb n = n m a log b 6. a a log b = b 7. a log b. b log c = a log c 8. a log b = 1 b log a a 9. log b = - a log c c b 10. a m logb m = a log b 1) Sederhanakanlah : a) 4 log log 8 b) 2 a log 5 3 a log 2 c) log 4/35 + log 70 log log 5 d) 25 5 log log 27. ( 5) 5 log 100 2) Diketahui 2 log 3 = 1,585 dan 2 log 5 = 2,322. Hitunglah 2 log 60! 3) Jika 9 log 8 = a, hitunglah 4 log 3! 4) Diketahui 4 log x = a dan 2 log y = b. a) Nyatakan x.y dan x/y sebagai bentuk perpangkatan 2. b) Jika x.y = 128 dan x/y = 4. Hitunglah nilai a dan b. Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 6

7 Bentuk-bentuk Persamaan Logaritma : Jika a > 0 dan a 1, b > 0 dan b 1, f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) > 0, dan p > 0, maka berlaku hubungan berikut : 1. a log f(x) = a log p f(x) = p 2. a log f(x) = a log g(x) f(x) = g(x) 3. a log f(x) = b log f(x) f(x) = 1 4. f(x) log g(x) = f(x) log h(x) g(x) = h(x) 5. A { a log f(x)} 2 + B { a log f(x)} + C = 0, dengan A, B, dan C R, maka dapat dilakukan pemisalan u = a log f(x), sehingga persamaan tsb berubah menjadi Au 2 + Bu + C = 0 1) Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma di bawah ini! a) 2 log (x + 1) = 2 log 16 b) log (x + 6) = log (3x - 2)! c) log (3x + 2) 2 log x = 1 log (5x 3) d) 2 log 3 + log 2x = log (3x + 1) e) 2 7 log x = 7 log (x + 2) f) 3 log (x + 6) 3 log (x 2) = 2 g) 5 log (x 2 4x 3) = 7 log (x 2 4x 3) h) x+1 log (x 2 3) = x+1 log (x + 3) i) 3 log 2 x 3 log x 2 3 = 0 2) Tentukan hasil kali akar-akar dari persamaan logaritma 3 log x 2+3 log x = 15! C. PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Sifat-sifat pertidaksamaan logaritma : 1. Jika a > 1, maka 0 < x < y a log x < a log y 2. Jika 0 < a < 1, maka 0 < x < y a log x > a log y Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan! 1) 2 log (x 2 7x) 2 log 18 2) ½ log (x 2 7x) > 0 Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 7

8 SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL Bentuk umum persamaan linier Dua Variabel (PLDV) : ax + by = c dengan a, b, c adalah bilangan real dan a, b 0. Himpunan semua pasangan bilangan yang memenuhi persamaan ax + by = c disebut himpunan penyelesaian persamaan ax + by = c. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Bentuk umum sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) : a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 dengan a1, b1, c1, a2, b2, dan c2 merupakan konstanta real. SPLDV mempunyai dua bentuk, yaitu : 1. SPLDV homogen Jika c1 = 0 dan c2 = 0, maka disebut SPL yang homogen, dengan bentuk umum : a 1 x + b 1 y = 0 dengan a1, b1, a2, dan b2 merupakan konstanta real. a 2 x + b 2 y = 0 2. SPLDV tak homogen Jika c1 0 dan c2 0, maka disebut SPL yang homogen, dengan bentuk umum : a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 dengan a1, b1, c1, a2, b2, dan c2 merupakan konstanta real. Penyelesaian SPLDV Beberapa jenis penyelesaian SPLDV dapat dibedakan menjadi 3 kelompok, yaitu : 1. Jika a 1 a 2 b 1 b 2 dengan a 2 0 dan b 2 0, maka SPL ini mempunyai tepat satu penyelesaian, dan grafiknya saling berpotongan. SPL ini dikatakan konsisten. 2. Jika a 1 a 2 = b 1 b 2 c 1 c 2 dengan a 2 0, b 2 0, dan c 2 0, maka SPL ini tidak mempunyai penyelesaian, dan grafiknya saling sejajar. SPL ini dikatakan tidak konsisten. 3. Jika a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 dengana 2 0, b 2 0, dan c 2 0, maka SPL ini mempunyai tak terhingga penyelesaian, dan grafiknya saling berhimpit. SPL ini dikatakan sangat konsisten. Penyelesaian SPLDV dapat dilakukan berdasarkan metode berikut : 1. Metode Grafik Penyelesaian secara grafik dari SPL tsb adalah titik potong atau titik persekutuan antara kedua garis yang memenuhi persamaan tsb. Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 8

9 2. Metode Substitusi Murni Salah satu variabel dipisahkan dari salah satu persamaan yang ada kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan yang lain. 3. Metode Eliminasi Murni Salah satu variabel dieleminiasi atau dihilangkan dengan cara mengurangkan atau menambahkan kedua persamaan yang ada. 4. Metode Gabungan Eliminasi Subsitusi 5. Metode Determinan (Aturan Cramer) ax + by = c dx + ey = f D = a b d e, D c b x = f e, D a c y = d f, x = D x D dan y = D y, dengan D 0. D Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut : 2x + 3y = 8 3x + y = 5 B. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL Bentuk umum persamaan linier Tiga Variabel (PLTV) : ax + by + cz = d dengan a, b, c, dan d adalah bilangan real dan a, b, c 0. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) Bentuk umum sistem persamaan linier tiga variabel (SPLTV) : a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 Penyelesaian SPLTV Penyelesaian SPLTV dapat dilakukan berdasarkan metode berikut : 1. Metode Substitusi Murni 2. Metode Eliminasi Murni 3. Metode Gabungan Eliminasi Subsitusi 4. Metode Determinan (Aturan Cramer) Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 9

10 Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut : x y + z = 4 2x + y + 2z = 5 3x y z = 6 C. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR Lambang pertidaksamaan yang digunakan meliputi : >,, <,. Solusi alternatif dalam mencari HP dari pertidaksamaan linear : Misal terdapat pertidaksamaan : 2x + 3y 6 Lihat tanda di depan variabel y, yaitu (+). Tanda berarti ( ). Perkalian tanda (+). ( ) = ( ) Arsir di bawah garis pembatas 2x + 3y 6. Tentukan HP dari pertidaksamaan berikut : 1. 3x + y 3 2. x + y 1, 2x + 2y 3, x 3y 3, dan 3x y 3. Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 10

11 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT A. PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat Misalkan a, b, c R dan a 0, maka persamaan yang terbentuk : ax 2 + bx + c = 0 dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Akar-akar Persamaan Kuadrat Menentukan akar-akar persamaan kuadrat ada beberapa cara diantaranya : 1. Memfaktorkan 2. Melengkapkan kuadrat sempurna 3. Menggunakan rumus kuadrat x 1,2 = b ± b2 4ac 2a 4. Menggambarkan sketsa grafik fungsi f(x) = ax 2 + bx + c Tentukan akar-akar dari persamaan x 2 6x + 8 = 0! Diskriminan Persamaan Kuadrat Akar-akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai diskriminan D = b 2 4ac yang membedakan jenis akar-akar persamaan kuadrat menjadi 3, yaitu : 1. Jika D > 0 Persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berlainan: a) Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akar rasional. b) Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional. 2. Jika D = 0 Persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), real dan rasional. 3. Jika D < 0 Persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya imajiner. 4. Bentuk perluasan untuk akar-akar real : a) Kedua akar berkebalikan (x 1 = 1 ) x 2 D 0 x1.x2 = 1 Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 11

12 b) Kedua akar berlawanan (x 1 = x 2 ) D > 0 x1+x2 = 0 x1.x2 < 0 c) Kedua akar positif (x 1 > 0 x 2 > 0) D 0 x1+x2 > 0 x1.x2 > 0 d) Kedua akar negatif (x 1 < 0 x 2 < 0) D 0 x1+x2 < 0 x1.x2 > 0 e) Akar berlainan tanda D > 0 x1.x2 < 0 f) Kedua akar lebih besar dari bilangan konstan p (x 1 > p x 2 > p) D 0 (x1 p) + (x2 p) > 0 (x1 p).(x2 p) > 0 g) Kedua akar lebih kecil dari bilangan konstan q (x 1 < q x 2 < q) D 0 Sifat Akar (x1 q) + (x2 q) < 0 (x1 q).(x2 q) > 0 Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 dengan D > 0, maka berlaku : 1) x 1 + x 2 = b a 2) x 1. x 2 = c a 3) x 1 x 2 = D a 4) Rumus menentukan jumlah dan hasil akar-akar persamaan kuadrat : a) Jumlah Kuadrat x x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2(x 1. x 2 ) b) Selisih Kuadrat x 1 2 x 2 2 = (x 1 + x 2 )(x 1 x 2 ) c) Kuadrat Selisih (x 1 x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 4(x 1. x 2 ) Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 12

13 d) Jumlah Pangkat Tiga x x 3 2 = (x 1 + x 2 ) 3 3(x 1. x 2 ) (x 1 + x 2 ) e) Selisih Pangkat Tiga x 3 1 x 3 2 = (x 1 + x 2 ) 3 + 3(x 1. x 2 ) (x 1 + x 2 ) Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar-akarnya 1. Menggunakan faktor (x x 1 )(x x 2 ) = 0 2. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar x 2 (x 1 + x 2 )x + (x 1. x 2 ) = 0 1. Persamaan (2m 4)x 2 + 5x + 2 = 0 mempunyai akar-akar real berkebalikan maka nilai m = 2. Persamaan kuadrat 2x 2 px + 1 = 0 dengan p > 0, mempunyai akar-akar. Jika x 2 5x + q = 0 mempunyai akar-akar 1 dan 1 2 β2. maka q p = 3. Akar-akar persamaan 2x 2 + 2px q 2 = 0 yaitu p dan q, p q = 6, maka nilai pq = B. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel ada 4 macam, yaitu : 1. ax 2 + bx + c < 0 2. ax 2 + bx + c 0 3. ax 2 + bx + c > 0 4. ax 2 + bx + c 0 Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditentukan dengan 2 cara, yaitu dengan menggunakan: a. Dengan sketsa grafik fungsi kuadrat b. Dengan garis bilangan dengan a, b, c bilangan real dan a 0. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x 2 3x 4 > 0 Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 13

14 MATRIKS A. PENGERTIAN DAN NOTASI MATRIKS Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom yang ditulis diantara tanda kurung ( ) atau [ ] atau. Susunan horizontal disebut baris sedangkan susunan vertikal disebut kolom. Bentuk Umum Matriks : a 11 a 12 a 1n a [ 21 a 22 a 2n ] a m1 a m2 a mn amxn adalah elemen atau unsur matriks yang terletak pada baris ke-m dan kolom ke-n. Nama matriks ditulis dengan huruf besar misal : A, sedangkan unsur/elemen menggunakan huruf kecil sesuai nama matriks dengan indeks sesuai letak elemennya, seperti a11, a12,... B. ORDO MATRIKS Yaitu banyaknya baris dan kolom yang menyatakan suatu matriks. A mxn artinya matriks A berordo m x n yaitu banyaknya baris m buah dan banyaknya kolom n buah. A = [ ] ordo matriks A = 2 x 3 atau A2x C. JENIS-JENIS MATRIKS 1. Matriks Nol Yaitu matriks yang setiap elemennya nol. A = [ ] 2. Matriks Baris Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu baris. A = [ 2 5 0] 3. Matriks Kolom Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom. A = [ 9 6 ] 4. Matriks Bujur sangkar/matriks Persegi Yaitu suatu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. A = [ ] 5. Matriks Diagonal Yaitu matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali elemen diagonal utamanya A = [ 0 3 0] Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 14

15 6. Matriks Satuan /Matriks Identitas Yaitu matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, dan lainnya nol A = [ 0 1 0] Matriks Skalar Yaitu matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya sama, tetapi bukan nol dan semua elemen lainnya nol. A = [ ], B = [ ] 8. Matriks Segitiga Atas Yaitu matriks yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol A = [ ] Matriks Segitiga Bawah Yaitu matriks yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol A = [ 3 8 0] D. TRANSPOSE MATRIKS Transpose (putaran) matriks A yaitu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukarkan elemen-elemen pada baris menjadi kolom dan sebaliknya elemen-elemen pada kolom menjadi baris. Sifat sifat matrik transpose : 1. (A + B) T = A T + B T 2. (A T ) T = A 3. (A T ) = ( A) T 4. (AB) T = B T A T E. OPERASI MATRIKS 1. Penjumlahan Matriks Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Yang dijumlahkan yaitu elemenelemen yang seletak. a b q + p b + q [ ] + [p ] = [a c d r s c + r d + s ] Sifat-sifat penjumlahan matriks : 1. A + B = B + A 2. A + (B + C) = (A + B) + C 3. A + O = O + A = A 4. A + (-A) = (-A) + A = O Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 15

16 2. Pengurangan Matriks Dua matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama. Yang dikurangkan elemen-elemen yang seletak. a b q p b q [ ] [p ] = [a c d r s c r d s ] Sifat-sifat Pengurangan matriks : 1. A B B A 2. A (B C) = (A B) C 3. Perkalian Matriks Dengan Bilangan Real (Skalar) Hasil perkalian skalar k dengan sebuah matriks A yang berordo m x n adalah sebuah matriks yang berordo m x n dengan elemen-elemennya adalah hasil kali skalar k dengan setiap elemen matriks A. k [ a b kb ] = [ka c d kc kd ] Sifat-sifat perkalian skalar k dengan suatu matriks : 1. k(a + B) = 2. (k + l)a = 3. k(la) = 4. Perkalian Matriks dengan Matriks Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A (matriks kiri) sama dengan jumlah baris matriks B (matriks kanan). A mxn B pxq = C mxq, dimana n = p Cara mengalikan matriks A dan B yaitu dengan menjumlahkan setiap perkalian elemen pada baris matriks A dengan elemen kolom matriks B dan hasilnya diletakkan sesuai dengan baris dan kolom pada matriks C (matriks hasil perkalian). Misal : A = [ a b q r ] dan B = [p c d s t u ] maka : A. B = AB = C = [ a b q r + bs aq + bt ar + bu ]. [p ] = [ap c d s t u cp + ds cq + dt cr + du ] Sifat-sifat perkalian matriks : Umumnya tidak komutatif (AB BA) 1. (AB)C = A(BC) 2. A (B + C) = AB + AC 3. (B + C)A = BA + CA 4. I.A = A.I = A 5. k(ab) = (ka)b Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 16

17 Jika diketahui matriks E = [ ], F = [ ], G = [ ], H = [ ] I = [ 4 3 ], J = [ 2 5] Tentukan : a. E T b. G (F H) c. GI d. JE F. KESAMAAN DUA MATRIKS Dua matriks dikatakan sama jika ordo dan elemen-elemen yang seletak sama. A = [ a b q ], B = [p ], jika A = B, maka a = p, b = q, c = r, dan d = s. c d r s 1 3d c + 2 Tentukan c dan d dari matriks M = [ ], dan N = [ ]! 2c 3 4c G. DETERMINAN Definisi: Determinan adalah jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari matriks. Syaratnya ordonya harus sama. Simbolnya : det ( ) atau. Sifat-sifat determinan : 1) Jika A adalah sembarang matriks, maka det (A) = det (A T ). 2) Jika A dan B merupakan matriks berukuran sama, maka det (A). det (B) = det (AB). 3) Jika A mempunyai invers maka : det(a 1 ) = 1 det(a) Cara Mencari Determinan : Jika matriks berordo 2x2 A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] Maka : det(a) = A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11. a 22 a 12. a 21 Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 17

18 Tentukan determinan dari matriks B = [ ]! Jika matriks berordo 3x3 a 11 a 12 a 13 A = [ a 21 a 31 a 22 a 32 a 23 ] a 33 Ada beberapa cara mencari determinan : 1. Metode Sarrus 2. Metode Penguraian (Ekspansi) Secara Baris atau Kolom / Kofaktor 1. Metode Sarrus a 11 a 12 a 13 A = [ a 21 a 31 a 22 a 32 a 23 ] a 33 a 11 a 12 a 13 det(a) = A = a 21 a 31 a 22 a 32 a 23 a 33 = (a 11. a 22. a 33 + a 12. a 23. a 31 + a 13. a 21. a 32 ) (a 13. a 22. a 31 + a 12. a 21. a 33 + a 11. a 23. a 33 ) Hitung determinan matriks A = [ ] dengan menggunakan metode sarrus! Metode Penguraian (Ekspansi) Secara Baris atau Kolom / Kofaktor Mencari determinan dengan cara kofaktor berarti mengambil 1 baris atau 1 kolom sebagai patokan. Dalam penghitungan, posisi/letak masing-masing bilangan atau angka menentukan tanda yang akan diberikan, yaitu jika jumlahnya genap maka bertanda (+) dan jika jumlahnya ganjil maka bertanda (-). Dengan baris dan kolom berapapun yang menjadi patokan seharusnya hasil determinannya selalu sama. Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 18

19 a 11 a 12 a 13 Jika matriks A = [ a 21 a 31 a 22 a 32 a 23 ], a 33 untuk a = 2, berarti genap, maka bertanda (+). untuk a = 3, berarti ganjil, maka bertanda (-). untuk a = 4, berarti genap, maka bertanda (+). untuk a = 3, berarti ganjil, maka bertanda (-). dst Hitung determinan matriks A = [ ] dengan menggunakan cara kofaktor! H. MATRIKS KOFAKTOR DAN MATRIKS ADJOINT Definisi: Jika A adalah sebarang matriks berukuran nxn dan Cij adalah kofaktor aij maka matriks c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n [ ] dinamakan matriks kofaktor dari A. c n1 c n2 c nn Untuk mencari matriks kofaktor terlebih dahulu dicari minor dan kofaktornya. Transpos matriks kofaktor dinamakan matriks adjoint A dan dinyatakan dengan adj (A). a. Minor Dan Kofaktor Mij disebut Minor-ij yaitu determinan A dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom kej matriks A. Cij disebut kofaktor-ij yaitu (-1) i+j Mij. b. Matriks Kofaktor Dan Matriks Adjoint Diketahui A = [ ]. Carilah matriks kofaktor dan matriks adjointnya! Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 19

20 I. INVERS DARI MATRIKS Hubungan antara matriks dengan inversnya yaitu jika A. A 1 = I dan jika A 1. A = I, dimana I merupakan matriks indentitas. Invers matriks ordo 2x2 Jika A = [ a b c d ], maka A 1 = 1 [ d b a.d b.c c a ] Contoh: Jika A = [ 2 5 ]. Hitunglah invers dari A! 1 3 Invers matriks ordo 3x3 atau lebih A 1 = 1 det(a) adj(a) Berdasarkan matriks A = [ ], yang menjadi contoh pada sub bahasan menghitung determinan dengan cara kofaktor. Hal ini agar contohnya saling berhubungan dan berkesinambungan sehingga mudah untuk dipahami. Demikian juga karena matriks A sudah kita hitung matriks kofaktor dan matriks adjointnya pada sub bahasan matriks kofaktor dan matriks adjoint Diketahui A = [ ], hitunglah inversnya! Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 20

21 RELASI DAN FUNGSI A. RELASI Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain dinyatakan dengan struktur ini disebut Relasi. Sebuah relasi R dari himpunan A ke himpunan B adalah memasangkan anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. dituliskan sebagai R : A B. Cara yang paling mudah menyatakan relasi antara elemen dari dua himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian (cartesian product) antara dua himpunan. Notasi : A B = {a, b a A dan B} Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R. Contoh 1 : Diketahui A = {1, 4, 9, 16} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Gambarlah relasi R : A B yang menyatakan kuadrat dari dengan diagram panah! Contoh 2 : Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {3, 4, 5, 6}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) R jika p habis membagi q dengan terlebih dahulu menuliskan pasangan bilangan terurutnya! Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 21

22 Beberapa Jenis Relasi : 1. Relasi Invers Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R 1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh R = {(a, b) (a, b) R } R 1 = {(b, a) (a, b) R } Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {3, 4, 5, 6}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) R jika p habis membagi q. Maka relasi inversnya adalah. R 1 = 2. Refleksif (reflexive) Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) R untuk setiap a A. Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a A sedemikian sehingga (a, a) R. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, a) Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4). b) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak refleksif karena (3, 3) R. 3. Simetris (symmetric) dan Anti Simetris (antisymmetric) Relasi R pada himpunan A disebut simetris jika (a, b) R, maka (b, a) R untuk a,b A. Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) R dan (b, a) R maka berlaku a = b untuk a, b A disebut anti simetris. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, a) Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)} bersifat simetris karena jika (a, b) R maka (b, a) juga R. Di sini (1, 2) dan (2, 1) R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) R. b) Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2)} tidak simetris karena (2, 3) R, tetapi (3, 2) R. c) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} anti simetris karena 1 = 1 dan (1, 1) R, 2 = 2 dan (2, 2) R, dan 3 = 3 dan (3, 3) R. Perhatikan bahwa R juga simetris. d) Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)} anti simetris karena (1, 1) R dan 1 = 1 dan, (2, 2) R dan 2 = 2 dan. Perhatikan bahwa R tidak simetris. 4. Transitif Relasi R pada himpunan A disebut transitif jika (a, b) R dan (b, c) R, maka (a, c) R, untuk a, b, c A. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 22

23 a) R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat transitif. Lihat tabel berikut: Pasangan berbentuk (a, b) (b, c) (a, c) (3, 2) (2, 1) (3, 1) (4, 2) (2, 1) (4, 1) (4, 3) (3, 1) (4, 1) (4, 3) (3, 2) (4, 2) b) R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak transitif karena (2, 4) dan (4, 2) R, tetapi (2, 2) R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3) R, tetapi (4, 3) R. 5. Ekuivalensi Relasi R : A B disebut relasi ekuivalensi jika ia refleksif, simetris dan transitif. B. FUNGSI Relasi R : A B disebut fungsi jika setiap anggota dari himpunan A dapat dipasangkan dengan tepat satu unsur di himpunan B, dapat ditulis dalam notasi fungsi : f : A B, dapat juga ditulis : f : x y y = f(x). Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f, dan himpunan B dinamakan daerah kawan (codomain) dari f. x disebut variabel bebas karena nilainya ditentukan dari sembarang bilangan pada domain fungsi f, y disebut variabel terikat karena merupakan nilai fungsi dari nilai variable bebas. Cara menyatakan suatu fungsi : 1. Fungsi sebagai diagram panah. 2. Fungsi sebagai himpunan pasangan terurut. 3. Fungsi sebagai koordinat kartesius. Macam-macam fungsi : 1. Komposisi Fungsi Misalkan f : A B dan g : B C adalah fungsi, maka dapat ditunjukkan bahwa komposisi dari f dan g, f g, adalah fungsi dari A ke C. Jika a A dan b = f(a) B sedangkan c = g(b) C, maka ( f g )(a) = f(g(a)). Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 23

24 Misalkan f(x) = x + 1 dan g(x) = x 2 : Tentukanlan ( f g ) (x) dan ( g f )(x)! 2. Fungsi Kebalikan (Fungsi Invers) Sebuah fungsi f : A B dikatakan dapat dibalik (invers) bila f 1 : B A juga merupakan fungsi. Tentukan invers fungsi f(x) = x 1! Penyelesaian: 3. Invers dari Fungsi Komposisi Misal terdapat (f g)(a) = f(g(a)) maka invers dari fungsi komposisinya. ( g f ) -1 (x) = (f -1 o g -1 )(x). Misalkan f(x) = x + 1 dan g(x) = x 2. Tentukan ( Penyelesaian: f g ) -1 (x) dan ( g f ) -1 (x)! Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 24

25 Sifat-sifat fungsi : 1. Fungsi Surjektif Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = B. A : {1,2,3,4}, B : {a,b,c} 1 a Fungsi f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut : f = 2 b {(1,a), (2,c), (3,b), (4,c)}. 3 4 A f c B Tampak bahwa daerah hasil fungsi f adalah Rf : {a,b,c} dan Rf = B maka fungsi f adalah fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada. Fungsi f : A B disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian murni dari himpunan B atau Rf B. 2. Fungsi Injektif Fungsi f : a B disebut fungsi injektif (fungsi satu-satu) jika dan hanya jika untuk tiap a1, a2 A dan a1 a2 berlaku f (a1) f (a2) A a b c B A : {1,2,3}, B : {a,b,c} f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,b), (3,c)}. Tampak bahwa tiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di B Fungsi f Fungsi f adalah fungsi injektif atau satu-satu. 3. Fungsi Bijektif Fungsi f : A B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif a b c A : {1,2,3}, B : {a,b,c} f : A B, dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,c), (3,b)}. Tampak bahwa fungsi f adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif. A B Fungsi f fungsi f adalah fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu. Telaah & Kajian Materi Matematika SMA I 25