Berikut perbandingan besaran-besaran yang ada dalam kinematika gerak lurus dan gerak melingkar. Posisi Sudut (θ ) Perpindahan (Δr )

Transkripsi

1 Ahmad Basir Najwan Contact Person : Follow m Kinematika Gerak Kinematika Gerak adalah ilmu ang mempelajari gerakan suatu benda/partikel atau sistem tanpa mempedulikan sebab bagaimana gerakan tersebut terjadi. Kinematika Gerak dapat dibagi menjadi dua aitu 1. Kinematika Gerak Lurus : arah gerakan konstan atau tidak berubah 2. Kinematika Gerak Melingkar : jarak partikel relatif poros konstan Secara umum gerakan bisa dinatakan dalam gerak melingkar. v t v v r Berikut perbandingan besaran-besaran ang ada dalam kinematika gerak lurus dan gerak melingkar Kinematika Gerak Lurus Kinematika Gerak Melingkar Posisi (r ) Posisi Sudut ( ) Perpindahan (Δr ) Perpindahan Sudut (Δ ) Kecepatan (v ) Kecepatan Sudut (ω ) Percepatan (a ) Percepatan Sudut (α ) Penting : Maksud dari notasi Delta (Δ) adalah kondisi akhir dikurang kondisi awal. Sebagai contoh Δr, maksudna adalah posisi akhir dikurang posisi awal atau secara matematis menjadi Δr = r akhir r awal Definisi masing-masing besaran Kinematika Gerak Lurus 1. Posisi adalah kedudukan titik relatif terhadap titik lain ang dijadikan acuan. Pada umumna, titik ang dijadikan sebagai titik acuan adalah titik asal pada sistem koordinat ang digunakan. r 2. Perpindahan adalah perubahan posisi Δr = r akhir r awal r Basir Al Banjari anderbasir99@gmail.com Hal 1

2 Ahmad Basir Najwan Contact Person : Follow m r awal 3. Kecepatan adalah perubahan posisi tiap satuan waktu v = Δr Δr atau v = lim Δt Δt 0 Δt = dr 4. Percepatan adalah perubahan kecepatan tiap satuan waktu a = Δv Δv atau a = lim Δt Δt 0 Δt = dv Kinematika Gerak Melingkar 1. Posisi sudut adalah sudut ang dibentuk oleh garis ang menghubungkan titik ang diamati dan titik acuan dengan garis lain ang dijadikan acuan. Pada umumna, garis ang dijadikan sebagai acuan adalah sumbu positif (untuk sistem koordinat kartesius dua dimensi). Δr r akhir = k Arah bisa didapatkan menggunakan aturan tangan kanan. Putarlah keempat jari kecuali jari jempol tangan anda dari garis acuan ke garis ang menghubungkan titik ang diamati dan titik acuan. Arah jari jempol adalah arah dari ang mengorientasikan arah putaranna. Arah masuk bidang kertas ( k ) artina dihitung dengan putaran searah jarum jam atau clockwise (CW) dari garis acuan sedangkan arah masuk keluar bidang kertas (k ) artina dihitung dengan putaran berlawanan arah jarum jam atau counter-clockwise (CCW). 2. Perpindahan sudut adalah perubahan posisi sudut Δ = ( 2 1 )k Δ = akhir awal akhir = 2 k 2 1 awal = 1 k Basir Al Banjari anderbasir99@gmail.com Hal 2

3 Ahmad Basir Najwan Contact Person : Follow m 3. Kecepatan sudut adalah perubahan posisi sudut tiap satuan waktu ω = Δ Δ atau ω = lim Δt Δt 0 Δt = d 4. Percepatan sudut adalah perubahan kecepatan sudut tiap satuan waktu α = Δω Δω atau α = lim Δt Δt 0 Δt = dω Gerak Relatif C Untuk gerak relatif atau gerakan ang diamati oleh pengamat ang berbeda akan berlaku r CA r CB r CA = r CB + r BA r CA = posisi C menurut pengamat A B r CB = posisi C menurut pengamat B r BA A r BA = posisi B menurut pengamat A karena v = dr dv dan a =, maka akan kita dapatkan pula hubungan kecepatan relatif dr CA = d (r CB + r BA ) v CA = v CB + v BA percepatan relatif dv CA = d (v CB + v BA ) a CA = a CB + a BA Pada gerak relatif juga berlaku posisi benda C menurut pengamat B sama dengan negatif dari posisi pengamat C menurut benda C atau r CB = r BC sehingga berlaku pula v CB = v BC dan a CB = a BC Contoh 1 : Sebuah bisa bergerak dengan kecepatan v 0 terhadap tanah. Di atas bis tersebut, Agen 007 atau ang akrab kita kenal dengan nama James Bond, berlari dengan kecepatan 3v 0 relatif terhadap bis searah dengan gerakan bis. Ternata, Agen James Bond dikejar seorang penjahat ang menaiki motor dengan kecepatan motor terhadap tanah adalah 2v 0. Tuan Krab ang sedang diam di pinggir jalan sambil menghitung uang mengamati kejadian tersebut. Jika bis, Agen James Bond, dan si penjahat bergerak dengan kecepatan konstan, tentukanlah kecepetan Agen 007 menurut si penjahat dan menurut tuan Krab! v jb v kt = 0 v pt v bt Basir Al Banjari anderbasir99@gmail.com Hal 3

4 Ahmad Basir Najwan Contact Person : Follow m Pembahasan : Kecepatan bis relatif tanah = v bt = v 0 i Kecepatan James Bond relatif bis = v jb = 3v 0 i Kecepatan penjahat relatif tanah = v pt = 2v 0 i Kecepatan tuan Krab relatif tanah = v kt = 0 Kecepatan James Bond relatif = v jt v jt = v jb + v bt = 3v 0 i + v 0 i v jt = 4v 0 i Kecepatan James Bond relatif penjahat = v jp v jp = v jt + v tp = v jt v pt = 4v 0 i 2v 0 i v jp = 2v 0 i Kecepatan James Bond relatif tuan Krab = v jk v jk = v jt + v tk = v jt v kt = 4v 0 i 0 v jk = 4v 0 i Dari kasus di atas kita ketahui bahwa kecepatan suatu benda menurut pengamat ang diam terhadap suatu acuan lain ang diam akan sama dengan kecepatan benda tersebut terhadap acuan ang lain tadi. Dalam hal ini, acuan lain adalah tanah dan pengamat ang diam terhadap acuan lain ini adalah tuan Krab ang diam terhadap tanah. Maka kecepatan Agen 007 menurut tuan Krab akan sama dengan kecepatan Agen 007 terhadap tanah. Contoh 2 : Seorang pengamat A berada di dalam sebuah Bianglala ang bergerak dengan kecepatan sudut konstan ω 1 = ω 1 i. Kemudian seorang pengamat B bermain komidi putar dimana komidi putar ini berputar dengan kecepatan sudut konstan ω 2 = ω 2 k. Tentukan vektor kecepatan sudut pengamat A dan besarna ang diamati oleh pengamat B! ω 1 = ω 1 i ω 2 = ω 2 k Pembahasan : Sesuai dengan definisi gerak relatif, maka ω AB = ω 1 ω 2 = ω 1 i ω 2 k Besar kecepatan sudut tersebut adalah ω AB = ω ω 2 2. Bentuk lintasan pengamat A menurut pengamat B memang sedikit susah di baangkan namun itu masih termasuk ke dalam gerak melingkar. Hubungan Gerak Tangensial dan Gerak Angular Basir Al Banjari anderbasir99@gmail.com Hal 4

5 Ahmad Basir Najwan Contact Person : Follow m P s P R O Hubungan s, R, dan adalah s = R Dimana dalam satuan Radian. Jika diturunkan satu kali dan dua kali terhadap waktu akan kita dapatkan ds st = R d v = Rω dan dv st = R dω a = Rα Ini hana berlaku untuk nilai R ang konstan. Gerak Menggelinding Gerak Menggelinding dapat saa katakan sebagai gerak rotasi sambil berotasi, untuk definisi pastina saa lupa mohon maaf. Pada gerak menggelinding bisa terjadi slip atau tidak slip. Umumna gerak ini terjadi pada roda, bola, silinder, dan benda-benda ang memiliki dimensi lingkaran. Tapi bisa jadi juga terjadi pada benda ang berdimensi elips atau benda lengkung lainna. Contoh 1 : Tinjau suatu gerak menggelinding sebuah silinder berjari-jari R seperti gambar di bawah ini! Diketahui silinder berotasi dengan kecepatan sudut ω ω dan kecepatan pusat massa v 0 dimana v 0 ωr. Kecepatan pusat masssa v 0 dan kecepatan sudut ω P. diamati oleh seorang pengamat ang diam di atas tanah r v dan nilaina konstan. Terdapat suatu titik P pada 0 silinder ang berjarak r dari pusat silinder. Tentukan vektor kecepatan dan besar kecepatan titik P sebagai fungsi waktu terhadap tanah! Saat t = 0, = 0. Pembahasan : Vektor kecepatan pusat massa silinder adalah v pm,t = v 0 i Sekarang perhatikan titik P. Relatif terhadap pusat massa silinder, titik P memiliki kecepatan tangensial ωr ang arahna tegak lurus vektor r atau pada arah vektor satuan. ωr r P. r = rr v t = ωr Basir Al Banjari anderbasir99@gmail.com Hal 5

6 Ahmad Basir Najwan Contact Person : Follow m Arah vektor satuan r dan dapat kita proeksikan pada sumbu dan menjadi r = cos i + sin j = sin i + cos j Dengan i dan j adalah vektor satuan pada sumbu dan. Maka vektor kecepatan titik P terhadap pusat massa silinder adalah v p,pm = v t = ωr = ωr(sin i + cos j ) v p,pm = ωr sin i + ωr cos j Sehingga vektor kecepatan titik P terhadap tanah menurut prinsip gerak relatif akan menjadi v pt = v p,pm + v pm,t v pt = ωr sin i + ωr cos j + v 0 i v pt = (v 0 + ωr sin )i + ωr cos j v pt = v pt = (v 0 + ωr sin ) 2 + (ωr cos ) 2 v pt = v ω 2 R 2 + 2v 0 ωr sin Kita tahu bahwa saat t = 0, = 0. Karena ω konstan, akan kita dapatkan bahwa = ωt Maka vektor kecepatan dan besar kecepatan titik P sebagai fungsi waktu terhadap tanah adalah v pt = (v 0 + ωr sin ωt)i + ωr cos ωt j v pt = v ω 2 R 2 + 2v 0 ωr sin ωt Contoh 2 : Buktikan bahwa pada gerak menggelinding tanpa slip suatu silinder berjari-jari R ang bergerak dengan kecepatan pusat massa v 0 dan kecepatan sudut ω di atas permukaan mendatar akan berlaku v 0 = ωr Pembahasan : ω P 2 v 0 P 1 P 2 = s φ P 1 P 1 P 1 = s Berdasarkan gambar di atas dapat kita peroleh bahwa P 1 P 1 = s = P 1 P 2 s = Rφ Karena R konstan, jik kita turunkan kedua ruas satu kali terhadap waktu akan diperoleh P 1 Basir Al Banjari anderbasir99@gmail.com Hal 6

7 Ahmad Basir Najwan Contact Person : Follow m v 0 = Rω Contoh 3 : Sekarang silinder ang ada pada contoh 2 melakukan gerak menggelinding tanpa slip di atas permukaan silinder lain dengan jari-jari r dimana r > R. Tentukan perbandingan antara kecepatan pusat massa silinder (v 0 ) dan kecepatan sudutna (ω)! Pembahasan : Perhatikan gambar di bawah ini. ω v 0 P 3 P P 1 P 3 1 s φ P 2 φ P 1 P 1 P 2 r r Secara geometri akan kita peroleh P 1 P 1 = r = P 2 P 2 = Rφ = R(φ ) (R + r) = Rφ P 3 P 3 = s = (R + r) = Rφ s = Rφ Untuk r dan R ang konstan, penurunan satu kali terhadap waktu untuk kedua ruas akan kita peroleh Dan kita dapatkan pula v 0 = Rω v 0 ω = R v 0 = (R + r)ω Basir Al Banjari anderbasir99@gmail.com Hal 7

8 Ahmad Basir Najwan Contact Person : Follow m Sistem Koordinat Sistem Koordinat dapat dibagi menjadi sistem koordinat dua dimensi dan sistem koordinat tiga dimensi. Sistem Koordinat Dua Dimensi Sistem Koordinat Kartesian Koordinat titik P menurut sistem koordinat kartesian dua dimensi adalah P(, ) P Vektor posisi P dapat dinatakan sebagai j r P = r = i + j i Sistem Koordinat Polar r Koordinat titik P menurut sistem koordinat polar dua dimensi adalah P(r, ). Notasi dan r menatakan arah tangensial dan j r P arah radial. Vektor posisi P dapat dinatakan sebagai i P = r = rr Sebagai contoh, perhatikan tiga titik berikut aitu titik P 1, P 2, dan P 3 ang mempunai vektor posisi r 1, r 2, dan r 3. r 2 1 r 1 P 2 j r P i P 3 r 3 3 Posisi ketiga titik tersebut dalam sistem koordinat kartesian adalah r 1 = 1 i j 1 r 2 = 2 i j 2 r 3 = 3 i j 3 Disini, vektor satuan pada arah sumbu dan nilaina sama atau Basir Al Banjari anderbasir99@gmail.com Hal 8

9 Ahmad Basir Najwan Contact Person : Follow m i 1 = i 2 = i 3 = i j 1 = j 2 = j 3 = j Namun, pada sistem koordinat polar, vektor satuan pada setiap titik arahna berbeda r 1 r 2 r Hubungan antara vektor satuan r dan dengan i dan j Arah r dan dapat di proeksikan pada arah i dan j menjadi r = cos i + sin j = sin i + cos j Posisi titik P dapat dinatakan sebagai r = rr Kecepatan partikel secara umum dalam koordinat polar dapat dinatakan sebagai v = dr = d (rr ) = r dr dr + r Sekarang saa kenalkan suatu notasi baru, dr = r. Notasi titik menatakan turunan terhadap waktu, jika terdapat dua titik berarti turunan kedua terhdap waktu dan seterusna. dr = d d cos (cos i + sin j ) = i + j d sin j = sin d d i + cos j dr = sin i + cos j = ( sin i + cos j ) = d = d d sin d cos ( sin i + cos j ) = i + d = cos i sin j = (cos i + sin j ) = r Maka v = r r + r Suku r adalah kecepatan radial dan r adalah kecepatan tangensial. Percepatan partikel secara umum dalam koordinat polar dapat dinatakan sebagai r P i j = cos d d i sin j a = dv = d (r r + r ) dr = r + r dr + r d ( ) + dr r Basir Al Banjari anderbasir99@gmail.com Hal 9

10 Ahmad Basir Najwan Contact Person : Follow m a = r dr + r dr d + r ( + d dr ) + = r dr + r dr d + r + r d dr + a = r r + r + r r 2 r + +r a = r r r 2 r + 2r + r r = percepatan radial r 2 = percepatan sentripetal 2r = percepatan koriolis r = percepatan tangensial Definisi masing-masing percepatan 1. Percepatan Radial adalah percepatan ang menebabkan perubahan kecepatan radial partikel. 2. Percepatan Sentripetal adalah percepatan ang mengubah arah gerak partikel tapi tidak mengubah percepatan partikel, arahna selalu pada arah r (menuju pusat rotasi). 3. Percepatan Koriolis adalah percepatan ang menebabkan perubahan jarak dari pusat rotasi. 4. Percepatan tangensial adalah percepatan ang menebabkan perubahan kecepatan tangensial partikel. Contoh 1 : Suatu cincin C 2 dirotasikan pada sumbu dimana sumbuna diam tidak bertranslasi terhadap tanah. Kemudian cincin C 1 ikut berotasi bersama cincin C 2 dimana titik kontakna menempel. Pada saat t = 0 sumbu rotasi cincin C 1 adalah sumbu. Jari-jari cincin C 1 dan C 2 adalah R 1 dan R 2. Berikut diagram sistem dua cincin ini. ω 1 C 1 A R 1 P ω 2 O R 2 C 2 Basir Al Banjari anderbasir99@gmail.com Hal 10

11 Ahmad Basir Najwan Contact Person : Follow m Kecepatan sudut ω 1 dan ω 2 bernilai konstan. Pada saat t = 0 posisi titik P ada di koordinat (0, R 1, R 1 + R 2 ). a. Hitung kecepatan titik P sebagai fungsi waktu! b. Hitung percepatan titik P sebagai fungsi waktu! Pembasahan : a. Kita lihat pada dunia tiga dimensi seperti gambar di bawah. Misalkan pada saat t, terhadap masing-masing pusat rotasina, cincin C 1 dan C 2 telah menempuh sudut sejauh 1 dan 2 dengan 1 = ω 1 t dan 2 = ω 2 t. 1 R 1 A 2 R 2 O Vektor kecepatan titik A relatif titik O ang diam terhadap tanah adalah v AO = ω 2 (R 1 + R 2 ) 2 Kita lihat cincin C 2 pada bidang r 2 = sin 2 j + cos 2 k 2 = cos 2 j sin 2 k Maka v AO = ω 2 (R 1 + R 2 )(cos 2 j + sin 2 k ) Berikutna kita tinjau kecepatan titik P relatif terhadap titik A. Kecepatan titik P relatif A adalah v PA = ω 1 R 1 1 Perhatikan lintasan melingkar titik P pada bidang r 1 = sin 1 i + cos 1 j 1 = cos 1 i sin 1 j Dari gambar sebelumna, kita bisa dapatkan bahwa arah i searah dengan i sedangkan j berlawanan arah dengan 2, maka i = i dan j = cos 2 j + sin 2 k sehingga r 2 2 k j r j i 2 1 Basir Al Banjari anderbasir99@gmail.com Hal 11

12 Ahmad Basir Najwan Contact Person : Follow m 1 = cos 1 i + sin 1 2 v PA = ω 1 R 1 ( cos 1 i + sin 1 2) Menurut prinsip gerak relatif v PO = v PA + v AO v PO = ω 1 R 1 ( cos 1 i + sin 1 2) + ω 2 (R 1 + R 2 ) 2 v PO = ω 1 R 1 cos 1 i + [ω 1 R 1 sin 1 + ω 2 (R 1 + R 2 )] 2 Kita tahu bahwa i dan 2 tegak lurus karena berada di bidang ang berbeda. Kecepatan titik P sebagai fungsi waktu menjadi v PO = ( ω 1 R 1 cos 1 ) 2 + [ω 1 R 1 sin 1 + ω 2 (R 1 + R 2 )] 2 v PO = ω 1 2 R ω 22 (R 1 + R 2 ) 2 + ω 1 ω 2 R 1 (R 1 + R 2 ) sin ω 1 t b. Vektor percepatan titik P adalah turunan pertama vektor kecepatan titik P terhadap waktu a PO = dv PO d cos 1 = ω 1 R 1 i + [ω 1 R 1 sin 1 + ω 2 (R 1 + R 2 )] d 2 + 2ω d sin 1 1 R 1 Dari sebelumna kita tahu bahwa 2 = cos 2 j sin 2 k, maka Dan juga d 2 = d cos 2 j d sin 2 k = d 2 sin 2 j d 2 cos 2 k d 2 = ω 2( sin 2 j + cos 2 k ) = ω 2 r 2 d cos 1 d sin 1 = d 1 sin 1 = ω 1 sin 1 = d 1 cos 1 = ω 1 cos 1 Maka a PO = ω 1 2 R 1 sin 1 i ω 2 [ω 1 R 1 sin 1 + ω 2 (R 1 + R 2 )]r 2 + ω 1 2 R 1 cos 1 2 Ketiga vektor arah i, r 2 dan 2 tegak lurus, maka percepatan titik P sebagai fungsi waktu menjadi v PO = (ω 1 2 R 1 sin 1 ) 2 + ω 22 [ω 1 R 1 sin 1 + ω 2 (R 1 + R 2 )] 2 + (ω 1 2 R 1 cos 1 ) 2 v PO = ω 1 4 R ω 22 [ω 1 R 1 sin ω 1 t + ω 2 (R 1 + R 2 )] 2 Basir Al Banjari anderbasir99@gmail.com Hal 12

13 Ahmad Basir Najwan Contact Person : Follow m Sistem Koordinat Tiga Dimensi Sistem Koordinat Kartesian k r j P Koordinat titik P menurut sistem koordinat kartesian dua dimensi adalah P(,, ) Vektor posisi P dapat dinatakan sebagai P = r = i + j + k i Sistem Koordinat Silinder φ k r ρ P j φ Koordinat titik P menurut sistem koordinat silinder adalah P(ρ, φ, ). Notasi φ dan ρ menatakan arah tangensial dan arah radial ang analog dengan dan r pada sistem koordinat polar dua dimensi. Vektor posisi P dapat dinatakan sebagai P = r = ρρ + k ρ = cos φ i + sin φ j φ = sin φ i + cos φ j i ρ Kecepatan dan percepatan partikel secara umum pada sistem koordinat silinder adalah v = dr = d (ρρ + k ) = ρ dρ dρ d + ρ + k v = ρ ρ + ρ + k a = dv = d (ρ ρ + ρ + k ) a = ρ ρ ρ 2 ρ + 2ρ + r + k Basir Al Banjari anderbasir99@gmail.com Hal 13

14 Ahmad Basir Najwan Contact Person : Follow m Contoh 1 : R Suatu pipa fleksibel di lilitkan pada sebuah silinder besar dengan A jari-jari R seperti gambar di samping. Pipa fleksibel tersebut dibuat sangat licin sehingga gaa gesek di dalamna dapat di abaikan. Pada t = 0, suatu partikel di lepaskan tanpa kecepatan awal dari titik A dan suatu ketika pada t > 0 dia sampai di titik B. B Jika jarak vertikal titik A dan B adalah, tentukan kecepatan partikel tersebut di titik B! Pembahasan : Lintasan gerak partikel analog dengan sebuah bidang miring misal dengan sudut kemiringan. A Beradasarkan geometri kita peroleh partikel s = 2 + 4π 2 R 2 sin = s cos = 2πR s Berdasarkan persamaan gerak GLBB, besar kecepatan partikel di titik B adalah v B 2 = v A 2 + 2as v B = 2g Secara vektor, kecepatan partikel di B menjadi v B = 2g(cos φ sin k ) v Bφ = 2g cos dan v B = 2g sin Percepatan partikel di titik B adalah percepatan sentripetal dan percepatan tangensial a B = a s + a t a B = v Bφ 2 ρ + g sin (cos φ sin k ) Dan besarna adalah a = g sin 2πR s k R B φ v B a B = 2g R cos2 ρ + g sin cos φ g sin 2 k a B = 8π2 Rg s 2 ρ + 2πRg s 2 φ g2 s k 2 a B = ( 8π2 2 Rg s 2 ) + ( 2πRg 2 s 2 ) + ( g2 2 s 2 ) g a B = 2 + 4π 2 R 2 4π2 R 2 (16π 2 + 1) + 2 Basir Al Banjari anderbasir99@gmail.com Hal 14

15 Ahmad Basir Najwan Contact Person : Follow m Sistem Koordinat Bola Koordinat titik P menurut sistem koordinat bola adalah r P(r, φ, ). Pada koordinat bola arah ang digunakan adalah P arah r, φ, dan. k Vektor posisi P dapat dinatakan sebagai r j P = r = rr φ ρ φ Hubungan koordinat r, φ, dan dengan vektor satuan pada koordinat kartesian adalah i ρ r = sin cos φ i + sin sin φ j + cos k = cos cos φ i + cos sin φ j sin k φ = sin φ i + cos φ j Sekarang kita coba turunkan kecepatan dan percepatan partikel secara umum pada sistem koordinat bola. v = dr = d (rr ) = r dr dr + r Kita cari dulu turunan masing-masing arah terhadap waktu Untuk arah r dr = d (sin cos φ)i + d (sin sin φ)j + d cos k dr = ( cos cos φ φ sin sin φ)i + ( cos sin φ + φ sin cos φ)j sin k dr = (cos cos φ i + cos sin φ j sin k ) + φ sin ( sin φ i + cos φ j ) dr = + φ sin φ Untuk arah d = d (cos cos φ)i + d (cos sin φ)j d sin k d = ( sin cos φ φ cos sin φ)i + ( sin sin φ + φ cos cos φ)j cos k d = (sin cos φ i + sin sin φ j + cos k ) + φ cos ( sin φ i + cos φ j ) d = r + φ cos φ Untuk arah φ dφ = d ( sin φ)i + d (cos φ)j dφ = φ (cos φ i + sin φ j ) Basir Al Banjari anderbasir99@gmail.com Hal 15

16 Ahmad Basir Najwan Contact Person : Follow m dφ = φ ρ Arah ρ dapat kita uraikan pada arah r dan menjadi ρ = sin r + cos sehingga dφ = φ sin r φ cos Maka kecepatan umum partikel dapat dinatakan sebagai v = r r + r + rφ sin φ Untuk percepatan umum partikel a = dv = d (r r + r + rφ sin φ ) Untuk suku d (r r + r ) d a = d (r r + r ) + d (rφ sin φ ) dr + r dr d + r + r d dr + (r r + r ) = r d (r r + r ) = r r + r + r φ sin φ + r r 2 r + r φ cos φ + r d (r r + r ) = (r r r 2 )r + (2r + r ) + (r φ sin + r φ cos )φ Untuk suku d (rφ sin φ ) d (rφ sin φ ) = rφ d (sin φ ) + sin φ d (rφ ) d d sin (rφ sin φ ) = rφ (φ + sin dφ ) + sin φ (φ dr dφ + r ) d (rφ sin φ ) = rφ ( cos φ φ sin 2 r φ sin cos ) + (r φ + rφ ) sin φ d (rφ sin φ ) = rφ 2 sin 2 r rφ 2 sin cos + (rφ cos + (r φ + rφ ) sin )φ Sehingga a = (r r r 2 )r + (2r + r ) + (r φ sin + r φ cos )φ rφ 2 sin 2 r rφ 2 sin cos + (rφ cos + (r φ + rφ ) sin )φ a = (r r r 2 rφ 2 sin 2 )r + (2r + r rφ 2 sin cos ) + (2r φ sin + 2r φ cos + rφ sin )φ Atau bisa kita sederhanakan komponen percepatan pada arah masing-masing menjadi a r = r r r 2 rφ 2 sin 2 a = r + 2r rφ 2 sin cos a φ = rφ sin + 2r φ sin + 2r φ cos Basir Al Banjari anderbasir99@gmail.com Hal 16