Sedangkan perpindahan titik B terhadap pengamat luar adalah. Maka perpindahan partikel menurut pengamat luar adalah

Transkripsi

1 Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 R.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota Contact Person : es 1 Kinematika Gerak 1. injau suatu bola dengan radius R yang berotasi terhadap sumbunya (sumbu vertikal) dengan periode rotasi sebesar. Di permukaan bola terdapat partikel yang bergerak dengan laju konstan relatif terhadap bola. Saat t = 0 partikel berada di titik. Saat t = /2 partikel berada di titik. Saat t = /4 partikel berada di titik teratas bola. itik dan berada di bidang equator bola dan ikut bergerak bersama bola. Relatif terhadap bola, partikel hanya bergerak pada lingkaran vertikal. ω = 2π R Menurut pengamat yang diam di luar bola tentukan: a. Perpindahan partikel mulai dari t = 0 hingga t = /2. b. Kecepatan partikel sebagai fungsi waktu (0 < t < /2) c. Percepatan partikel saat t = 0. d. Percepatan partikel saat t = /8. Pembahasan : a. Kita gunakan sistem koordinat bola. Karena bola hanya bergerak pada lintasana lingkaran vertikal relatif terhadap bola, dapat kita ambil kesimpulan bahwa gerak kecepatan partikel relatif terhadap lingkaran hanya pada arah θ. Saat t = /2 partikel berada di titik, sehingga perpindahan partikel relatif bola adalah Δr pb = 2Rr Sedangkan perpindahan titik terhadap pengamat luar adalah Δr P = 2Rr Maka perpindahan partikel menurut pengamat luar adalah Δr pp = Δr pb + Δr P = 2Rr + 2Rr = 0 Partikel kembali ke posisinya semula. Hal ini bisa kita pahami secara sederhana sebagai berikut. Kita tahu bahwa periode rotasi bola adalah. Maka saat t = /2 titik dan yang berseberangan akan bertukar posisi. Sedangkan dalam selang waktu ini, partikel yang awalnya ada di titik sekarang berada di titik, dan titik berada di posisi awal partikel yaitu titik. Hal 1

2 Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 R.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota Contact Person : Maka perpindahan partikel sama dengan nol atau dia kembali ke posisinya semula. Ingat bahwa titik dan ikut berotasi bersama bola sedangkan partikel gerakan partikel relatif bola hanya pada arah vertikal, jika dilihat dari luar bola partikel ikut berotasi bersama bola dengan kecepatan sudut yang sama dengan kecepatan sudut bola. b. Sekarang kita amati gerakan partikel pada lingkaran vertikal yang melalui titik dan (lintasan lingkaran ini berotasi terhadap sumbu z bersama bola). ω = 2π r z y x O C θ θ R θ = ω p t Kita tahu bahwa dalam waktu t = /2 partikel menempuh sudut π radian maka ω p = π /2 = 2π θ = 2π t Maka kecepatan partikel relatif bola (titik C) v pc = ω p R( θ ) = 2π R( θ ) Kecepatan tangensial titik tempat partikel berada (namakan titik C) relatif pengamat di luar bola adalah v CP = ω rφ Dengan ω = 2π dan r = R cos θ v CP = 2π R cos θ φ Maka kecepatan partikel menurut pengamat di luar bola adalah v p = v pc + v CP = 2π R( θ ) + 2π R cos θ φ v p = 2πR ( θ + cos θ φ ) Karena arah θ dan φ tegak lurus, maka kecepatan partikel menjadi v p = v p = 2πR 1 + cos 2 θ Hal 2

3 Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 R.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota Contact Person : v p = 2πR 1 + cos 2 ( 2π t) c. Percepatan partikel adalah dv p = a p = 2πR ( dθ d cos θ φ + ) a p = 2πR dθ ( θ sin θ φ + cos θ dφ ) Pada koordinat bola r = sin θ cos φ i + sin θ sin φ j + cos θ k θ = cos θ cos φ i + cos θ sin φ j sin θ k φ = sin φ i + cos φ j Dan kita tahu bahwa dθ = θ = ω p = 2π dφ dan = φ = ω = 2π Sehingga kita peroleh dθ dθ (cos θ sin φ)j sin θ k = d (cos θ cos φ)i + d dθ = ( θ sin θ cos φ φ cos θ sin φ)i + ( θ sin θ sin φ + φ cos θ cos φ)j θ cos θ k dφ Maka = d ( sin φ)i + d (cos φ)j dφ = φ (cos φ i + sin φ j ) a p = 2πR ((θ sin θ cos φ + φ cos θ sin φ)i + (θ sin θ sin φ φ cos θ cos φ)j + θ cos θ k θ sin θ ( sin φ i + cos φ j ) φ cos θ (cos φ i + sin φ j )) Dari soal kita dapatkan θ = φ dan θ = φ sehingga Saat t = 0, θ = φ = 0 a p = 2πR θ [(sin 2θ cos 2θ)i (sin 2θ + cos 2θ)j + cos θ k ] a p = 4π2 R [(sin 2θ cos 2θ)i (sin 2θ + cos 2θ)j + cos θ k ] 2 Sehingga besarnya adalah a p (0) = 4π2 R 2 [ i j + k ] a p (0) = 4 3π2 R 2 Hal 3

4 Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 R.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota Contact Person : d. Saat t = /8 maka Maka Dan besarnya adalah sin 2θ = sin 4π t = sin π 2 = 1 cos 2θ = cos 4π t = cos π 2 = 0 cos θ = cos 2π t = cos π 4 = a p ( 8 ) = 4π2 R 2 [(1 0)i (1 + 0)j k ] a p ( 8 ) = 4π2 R 2 [i j k ] a p ( 8 ) = 4π2 R Sebuah silinder berjari-jari R bergerak menggelinding tanpa slip di permukaan kerucut dengan sudut puncak 2θ. Menurut pengamat yang diam di permukaan kerucut (ikut berotasi bersama kerucut sebut sebagai pengamat ), pusat massa silinderbergerak lurus menuruni kerucut dengan kecepatan v 0. Saat t = 0, titik kontak silinder-kerucut berjarak R 0 dari sumbu kerucut. Menurut pengamat lain yang diam di luar kerucut (sebut sebagai pengamat ), ternyata kerucut berotasi terhadap sumbunya dengan kecepatan sudut konstan ω. baikan gravitasi bumi. ω θ θ R 0 a. Hitung jarak radial pusat massa silinder terhadap sumbu rotasi kerucut sebagai fungsi waktu menurut pengamat. b. Hitung perpindahan pusat massa silinder sebagai fungsi waktu menurut pengamat. c. Hitung kecepatan pusat massa silinder sebagai fungsi waktu menurut pengamat. d. Hitung percepatan pusat massa silinder sebagai fungsi waktu menurut pengamat. Hal 4

5 Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 R.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota Contact Person : Pembahasan : a. Menggunakan koordinat silinder, kecepatan pusat massa silinder menurut pengamat adalah v s = v 0 sin θ ρ v 0 cos θ k Kita jadikan puncak kerucut sebagai acuan. Posisi titik kontak silinder sebagai fungsi waktu adalah r = (R 0 + v 0 t sin θ)ρ (R 0 cot θ + v 0 cos θ)k Maka jarak radial pusat massa silinder adalah r rad = R 0 (1 + cos θ) + v 0 t sin θ b. Posisi pusat massa silinder dengan acuan puncak kerucut adalah r pm (t) = (R 0 (1 + cos θ) + v 0 t sin θ)ρ (R 0 (cot θ sin θ) + v 0 t cos θ)k Pada saat t = 0, posisi pusat massa silinder adalah r pm (0) = R 0 (1 + cos θ)ρ R 0 (cot θ sin θ)k Maka perpindahan pusat massa silinder adalah Δr pm = r pm (t) r pm (0) Δr pm = (R 0 (1 + cos θ) + v 0 t sin θ)ρ (R 0 (cot θ sin θ) + v 0 t cos θ)k R 0 (1 + cos θ)ρ + R 0 (cot θ sin θ)k Δr pm = v 0 t sin θ ρ v 0 t cos θ k c. Kecepatan pusat massa silinder menurut pengamat adalah dr pm (t) = v pm (t) = v 0 sin θ ρ + (R 0 (1 + cos θ) + v 0 t sin θ) dρ v 0 cos θ k v pm (t) = v 0 sin θ ρ + ω(r 0 (1 + cos θ) + v 0 t sin θ)φ v 0 cos θ k d. Percepatan pusat massa silinder menurut pengamat adalah dv pm (t) = a pm (t) = v 0 sin θ dρ + ωv 0 sin θ φ + ω(r 0 (1 + cos θ) + v 0 t sin θ) dφ a pm (t) = ω 2 (R 0 (1 + cos θ) + v 0 t sin θ)ρ + 2ωv 0 sin θ φ Hal 5