Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun 2012

Transkripsi

1 Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun 0 Oleh Tutur Widodo. Banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi adalah... (n )(n 3)(n 5) (n 03) = n(n + )(n + ) (n + 0) Jawaban : 0 ( tidak ada ) Jika n genap maka ruas kanan genap tetapi ruas kiri ganjil. Sedangkan jika n ganjil maka ruas kanan ganjil tetapi ruas kiri genap. Jadi, tidak ada nilai n yang memenuhi.. Banyaknya pasangan bilangan asli berbeda yang selisih kuadratnya 0 adalah... Jawaban : Misal kedua bilangan tersebut adalah a dan b maka a b = 0 (a+b)(a b) = 0. Oleh karena itu, (a + b) dan (a b) adalah faktor positif dari 0. Karena faktor positif dari 0 adalah,,, 503, 06 dan 0 dan (a + b) dan (a b) paritasnya sama maka nilai yang mungkin adalah a + b = 06 dan a b =. Sehingga diperoleh, a = 50 dan b = Bilangan terbesar x kurang dari 00 sehingga terdapat tepat dua bilangan asli n sehingga n + x merupakan bilangan asli adalah... n + Jawaban : 960 Perhatikan, n + x n + = n + x + n + maka agar n + x bulat, haruslah n + faktor dari x +. Oleh karena itu, supaya hanya ada n + tepat dua nilai n maka x + harus memiliki tepat 3 faktor. Dengan kata lain x + adalah kuadrat suatu bilangan prima. Jadi, diperoleh x + = 3 = 96 sehingga x = Diketahui suatu kelas terdiri dari siswa. Semua siswa tersebut akan dikelompokkan menjadi kelompok yang terdiri dari,, dan 3 siswa. tersebut? ( ) ( ) ( ) 7 Ada berapa cara pengelompokan Jawaban : 3! Misal kelompok yang terbentuk adalah A, B, C dan D dengan A, B dan C terdiri dari anggota dan D terdiri dari 3 anggota. Maka : ( ) Banyaknya cara menyusun A ada ( ) Banyaknya cara menyusun B ada Halaman dari

2 ( ) 7 Banyaknya cara menyusun C ada Untuk kelompok D tinggal sisanya saja, jadi tidak perlu repot menghitung. Tetapi yang perlu diingat ( adalah ) ( dengan ) ( cara ) ini setiap kasus dihitung sebanyak 3!= 6 kali. Jadi, jawabannya 7 adalah 3! 5. Diberikan segitiga siku-siku ABC, dengan AB sebagi sisi miringnya. Jika keliling dan luasnya berturut-turut 6 dan 686. Panjang sisi miring segitiga tersebut adalah... Jawaban : 90 Dari keterangan soal diperoleh, a + b + c = 6 a + b = 6 c dan Dengan dalil phytagoras diperoleh ab = 686 c = a + b = (a + b) ab = (6 c) 686 = c 6c maka diperoleh c = Banyaknya tripel bilangan bulat (x, y, z) yang memenuhi x + y + z xy yz zx = x 3 + y 3 + z 3 adalah... Jawaban : tak hingga Untuk sebarang bilangan real x, y, z berlaku x 3 + y 3 + z 3 3xyz = (x + y + z)(x + y + z xy yz zx) Jika x + y + z = dan xyz = 0 maka persamaan x + y + z xy yz zx = x 3 + y 3 + z 3 equivalen dengan x 3 + y 3 + z 3 3xyz = (x + y + z)(x + y + z xy yz zx) Dengan kata lain, setiap x, y, z yang memenuhi x + y + z = dan xyz = 0 juga memenuhi Halaman dari

3 persamaan yang diberikan pada soal. Namun, karena persamaan x + y + z = dan xyz = 0 mempunyai takhingga solusi (Anda bisa dengan mudah melihat bahwa (x, y, z) = (k, k, 0) dengan k suatu bilangan bulat, adalah solusi dari persamaan tersebut) maka persamaan x + y + z xy yz zx = x 3 + y 3 + z 3 juga memiliki takhingga solusi. 7. Diberikan suatu lingkaran dengan diameter AB = 30. Melalui A dan B berturut-turut ditarik tali busur AD dan BE berpotongan di titik C. Jika AC = 3AD dan BC = BE, maka luas segitiga ABC adalah... Jawaban : 50 Perhatikan sketsa gambar di bawah ini! C A D E B Perlu diperhatikan bahwa ADB = 90. Misal, AD = x dan BE = y maka AC = 3x, CD = x, BC = y dan CE = 3y. Berdasarkan power of the points diperoleh CD CA = CE CB x 3x = 3y y x = y sehingga didapat 900 x = 6y x 900 x = 8x x 900 = 5x x = 80 Oleh karena itu, BD = 900 x = = 70 BD = 70 Halaman 3 dari

4 Jadi, Luas segitiga ABC = AC BD = = Misalkan a, b, c, d, dan e adalah bilangan-bilangan bulat sehingga a 3 b c 5 d 6 e juga merupakan bilangan bulat. Jika diketahui bahwa nilai mutlak dari a, b, c, d dan e tidak lebih dari 0 maka nilai terkecil yang mungkin dari a + b + c + d + e adalah... Jawaban : -0 Perhatikan, a 3 b c 5 d 6 e = a 3 b c 5 d ( 3) e = a+c+e 3 b+e 5 d Agar a + b + c + d + e minimal, maka haruslah a + c + e = 0, b + e = 0 dan d = 0. Dari a + c + e = 0 dan b + e = 0 diperoleh persamaan b = a + c. Karena nilai minimum b yang mungkin adalah 0 maka agar a + b + c + d + e = a + c minimum pilih a = 0 dan c = 0. Sehingga a + b + c + d + e = a = Jika ( 0 + 0) = n + r dengan n merupakan bilangan asli dan 0 r <, maka r =... Jawaban : ( 0 + 0) 805 ( 0 + 0) = Perhatikan bahwa 0 < 0 0 < 0 sehingga 0 0 = 0 + k. Akan ditunjukkan bahwa k <. Andaikan k maka berakibat 0 0 = (0 + k) (0 + ) = > 0 0 yang jelas salah. Oleh karena itu, terbukti k < sehingga 0 < k <. ( 0 + 0) = = k = k sehingga r = k = ( 0 + 0) Tentukan semua nilai b sehingga untuk semua x paling tidak salah satu dari f(x) = x + 0x + b atau g(x) = x 0x + b positif. Halaman dari

5 Jawaban : b > 0 Jumlahkan kedua fungsi, diperoleh f(x) + g(x) = x + b sehingga untuk sebarang nilai x jika b > 0 maka f(x)+g(x) bernilai positif. Ini berarti paling tidak salah satu dari f(x) atau g(x) bernilai positif. Selanjutnya tinggal dibuktikan, untuk b 0 terdapat x = t sehingga f(t) 0 dan g(t) 0. Untuk itu pilih t = 0 sehingga f(t) = f(0) = b 0 dan g(t) = g(0) = b 0 Jadi, terbukti nilai b yang memenuhi adalah b > 0.. Jumlah semua bilangan bulat x sehingga log(x x ) merupakan bilangan bulat adalah... Jawaban : Agar log(x x ) bernilai bulat maka x x = n untuk suatu bilangan bulat n. Karena x x bernilai bulat maka n 0. Perhatikan juga, x x = n (x ) = n + 5 tetapi karena (x ) 0,, atau mod 8 dan untuk n 3, n mod 8 maka n. Jadi, nilai yang memenuhi n = 0,,. Mudah dicek hanya nilai n = yang memenuhi dengan memperoleh persamaan kuadrat x x 5 = 0. Jadi, x + x =.. Ada berapa faktor positif dari yang merupakan kelipatan 6? Jawaban : 0 Karena = , maka banyaknya faktor positif yang merupakan kelipatan 6 sama dengan banyaknya faktor positif dari yaitu ada (6 + ) ( + ) (3 + ) ( + ) = 0 3. Suatu set soal terdiri dari soal pilihan B atau S dan soal pilihan ganda dengan pilihan. Seorang siswa menjawab semua soal dengan menebak jawaban secara acak. Tentukan Probabilitas ia menjawab dengan benar hanya soal? Jawaban : Jika soal benar tersebut berasal dari soal tipe B atau S maka peluangnya adalah ( ) ( ) ( ) 3 Jika soal benar tersebut berasal dari soal tipe pilihan ganda maka peluangnya adalah ( ) ( ) ( ) ( 3 3 ) Halaman 5 dari

6 Jika soal benar tersebut berasal dari soal tipe B atau S dan soal benar berasal dari pilihan ganda maka peluangnya adalah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 Jadi, secara keseluruhan peluang menjawab tepat soal benar adalah ( ) ( ) ( ) 3 + ( ) ( ) ( ) ( 3 3 ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ). Diberikan segitiga ABC dengan keliling 3, dan jumlah kuadrat sisi-sisinya sama dengan 5. Jika jari-jari lingkaran luarnya sama dengan, maka jumlah ketiga garis tinggi dari segitiga ABC tersebut adalah... Jawaban : Misalkan t, t, t 3 berturut-turut adalah garis tinggi yang ditarik dari titik C, A, B seperti terlihat pada gambar di bawah ini! C t a b t t 3 B A c Misalkan sisi - sisi segitiga tersebut adalah a, b, c maka diperoleh a + b + c = 3 dan a + b + c = 5 sehingga (ab + bc + ac) = (a + b + c) (a + b + c ) = ab + bc + ac = Kita ketahui bahwa [ABC] = abc R = abc, karena R = Halaman 6 dari

7 Sehingga diperoleh, t + t + t 3 = [ABC] + [ABC] c a = ab + bc + ac = + [ABC] b. Jika hasil kali tiga bilangan ganjil berurutan sama dengan 7 kali jumlah ketiga bilangan itu, maka jumlah kuadrat ketiga bilangan itu adalah... Jawaban : 83 Misal tiga bilangan tersebut adalah t, t, t+ dengan t bilangan ganjil. Sehingga diperoleh, (t )t(t + ) = 7 3t t 5 = 0 Jika t = 5 maka tiga bilangan tersebut adalah 3, 5, 7 sehingga = 83 Jika t = 5 maka tiga bilangan tersebut adalah 7, 5, 3 sehingga ( 3) +( 5) +( 7) = Diketahui ABC sama kaki dengan panjang AB = AC = 3, BC =, titik D pada sisi AC dengan panjang AD =. Tentukan luas ABD. Jawaban : 3 Dengan Heron formula diperoleh, Selain itu, kita punya sehingga diperoleh, Luas ABC = = Luas ABD Luas ABC = AD AC = 3 Luas ABD = 3 7. Suatu dadu ditos enam kali. Tentukan Probabilitas jumlah mata yang muncul 7. Jawaban : Untuk mencari banyak kemungkinan jumlah mata dadu yang muncul berjumlah 7 equivalen dengan mencari banyaknya penyelesaian dari persamaan x + x + x 3 + x + x 5 + x 6 = 7 dimana x i bilangan bulat dan x i 6 untuk setiap i =,, 3,, 5, 6. Yang setara dengan mencari koefisien x 7 dari (x + x + x 3 + x + x 5 + x 6 ) 6. Perhatikan, x + x + x 3 + x + x 5 + x 6 = x( + x + x + x 3 + x + x 5 ) = x( + x + x + x 3 ( + x + x )) = x( + x + x )( + x 3 ) sehingga (x + x + x 3 + x + x 5 + x 6 ) 6 = x 6 ( + x 3 ) 6 ( + x + x ) 6 Halaman 7 dari

8 Dengan Binom Newton didapat, ( + x 3 ) 6 = 6 ( ) 6 x 3i i=0 i dan ( + x + x ) 6 = = = 6 ( ) 6 (x ) 6 i (x + ) i i=0 i 6 ( ) 6 i=0 6 i i=0 j=0 x i i ( ) i j=0 i ( )( ) 6 i x i+j i j j x j Oleh karena itu didapat Koefisien x 9 dari (x 3 + ) 6 adalah 0 Koefisien x dari (x 3 + ) 6 adalah Koefisien x dari (x 3 + ) 6 adalah 6 Koefisien x 8 dari (x 3 + ) 6 adalah selain itu diperoleh juga, Koefisien x dari (x + x + ) 6 adalah Koefisien x 9 dari (x + x + ) 6 adalah 50 Koefisien x 6 dari (x + x + ) 6 adalah Koefisien x 6 dari (x + x + ) 6 adalah 50 Jadi, koefisien x 7 dari x 6 ( + x 3 ) 6 ( + x + x ) 6 adalah (0 ) + ( 50) + (6 ) + ( 50) = 666 Jadi, peluang diperoleh jumlah mata yang muncul sama dengan 7 adalah Diberikan segitiga ABC dengan sisi-sisi : AB = x +, BC = x dan CA = 7 x. Tentukan nilai dari x sehingga segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki. Jawaban : 9 5 Karena x +, x dan 7 x membentuk sisi - sisi segitiga maka berlaku, (x + ) + (x ) > 7 x sehingga x > 3 Oeh karena itu, (x + ) + (7 x) > x sehingga x < 5 (7 x) + (x ) > x + sehingga x > Halaman 8 dari

9 Jika x + = x diperoleh x = yang jelas tidak mungkin sebab 3 < x < 5. Jika x + = 7 x diperoleh x = 3 yang jelas tidak mungkin sebab 3 < x < 5. Jika 7 x = x diperoleh x = Misalkan terdapat 5 kartu dimana setiap kartu diberi nomor yang berbeda yaitu, 3,, 5, 6. Kartu-kartu tersebut kemudian dijajarkan dari kiri ke kanan secara acak sehingga berbentuk barisan. Berapa probabilitas bahwa banyaknya kartu yang dijajarkan dari kiri ke kanan dan ditempatkan pada tempat ke- i akan lebih besar atau sama dengan i untuk setiap i dengan i 5 Jawaban : Susunan yang paling sederhana adalah, 3,, 5, 6 Untuk memenuhi kondisi pada soal maka masing - masing angka, 3,, dan 5 hanya bisa digeser ke kanan satu langkah saja. Cara ini ada sebanyak = 6. Sedangkan untuk kemungkinan angka digeser ke kiri tidak perlu kita perhatikan, sebab jika kita menggeser angka ke kiri maka pasti ada angka yang harus digeser ke kanan sehingga sudah masuk perhitungan yang pertama di atas. Oleh karena itu, besar probabilitas adalah 6 5! =. 0. N lingkaran digambar pada sebuah bidang datar demikian sehingga terdapat enam titik dimana keenam titik tersebut terdapat pada paling sedikit tiga lingkaran. Berapa N terkecil yang memenuhi kondisi tersebut? Jawaban : 5 Jika kita menggambar 3 lingkaran pada bidang datar maka maksimal akan terbentuk 6 titik potong, seperti gambar berikut B D F C E A Karena melalui sebarang 3 titik yang tidak segaris dapat dibentuk sebuah lingkaran yang melalui ketiga titik tersebut, maka dengan membuat dua lingkaran yang masing - masing melalui 3 titik A, B, C, D, E, F akan terbentuk 5 lingkaran dimana terdapat 6 titik yang masing - masing terdapat pada 3 lingkaran, sesuai apa yang diminta. Halaman 9 dari

10 B C D F E A Disusun oleh : Tutur Widodo Apabila ada saran, kritik maupun masukan silakan kirim via ke tutur.w87@gmail.com Website : Last edited : September, 06 Halaman dari